Радоновая мера

В математике (в частности, в теории меры ) мера Радона , названная в честь Иоганна Радона , — это мера на $σ$ -алгебре борелевских множеств хаусдорфова топологического пространства $X$ , которая конечна на всех компактных множествах, внешне регулярна на всех борелевских множествах и внутренне регулярна на открытых множествах. ^[1] Эти условия гарантируют, что мера «совместима» с топологией пространства, и большинство мер, используемых в математическом анализе и теории чисел , действительно являются мерами Радона.

Мотивация

Распространенной проблемой является поиск хорошего понятия меры на топологическом пространстве , которое в некотором смысле совместимо с топологией. Один из способов сделать это — определить меру на борелевских множествах топологического пространства. В общем случае с этим связано несколько проблем: например, такая мера может не иметь хорошо определенного носителя . Другой подход к теории мер — ограничиться локально компактными хаусдорфовыми пространствами и рассматривать только меры, которые соответствуют положительным линейным функционалам на пространстве непрерывных функций с компактным носителем (некоторые авторы используют это как определение меры Радона). Это дает хорошую теорию без патологических проблем, но неприменимо к пространствам, которые не являются локально компактными. Если нет ограничения на неотрицательные меры и разрешены комплексные меры, то меры Радона можно определить как непрерывное сопряженное пространство на пространстве непрерывных функций с компактным носителем. Если такая мера Радона действительна, то ее можно разложить на разность двух положительных мер. Более того, произвольную меру Радона можно разложить на четыре положительные меры Радона, где действительная и мнимая части функционала представляют собой разности двух положительных мер Радона.

Теория мер Радона обладает большинством хороших свойств обычной теории для локально компактных пространств, но применима ко всем топологическим пространствам Хаусдорфа. Идея определения меры Радона состоит в том, чтобы найти некоторые свойства, характеризующие меры на локально компактных пространствах, соответствующие положительным функционалам, и использовать эти свойства в качестве определения меры Радона на произвольном пространстве Хаусдорфа.

Определения

Пусть $m$ — мера на $σ$ -алгебре борелевских множеств хаусдорфова топологического пространства $X.$

Мера $m$ называется внутренней регулярной или плотной , если для каждого открытого множества U $мера$ m $(U) равна$ супремуму m $(K) по$ всем компактным подмножествам $K$ множества $U$ .
Мера $m$ называется внешне регулярной , если для каждого борелевского множества B $мера$ $m (B)$ равна инфимуму m $($ $U$ $)$ по всем открытым множествам $U$ $,$ содержащим $B$ .
Мера $m$ называется локально конечной, если каждая точка $X$ имеет окрестность $U,$ для которой $m (U)$ конечна.

Если $m$ локально конечно, то отсюда следует, что $m$ конечно на компактных множествах, а для локально компактных хаусдорфовых пространств верно и обратное. Таким образом, в этом случае локальная конечность может быть эквивалентно заменена конечностью на компактных подмножествах.

Мера $m$ называется мерой Радона, если она внутренне регулярна и локально конечна. Во многих ситуациях, таких как конечные меры на локально компактных пространствах, это также подразумевает внешнюю регулярность (см. также пространства Радона).

(Можно распространить теорию мер Радона на нехаусдорфовы пространства, по сути, заменив везде слово «компактный» на «замкнутый компактный». Однако, похоже, практически нет приложений для такого расширения.)

Радоновые меры на локально компактных пространствах

Когда базовое пространство мер является локально компактным топологическим пространством, определение меры Радона может быть выражено в терминах непрерывных линейных функционалов на пространстве непрерывных функций с компактным носителем . Это позволяет развивать меру и интеграцию в терминах функционального анализа , подхода, принятого Бурбаки и рядом других авторов. ^[2]

Меры

В дальнейшем $X$ обозначает локально компактное топологическое пространство. Непрерывные вещественные функции с компактным носителем на $X$ образуют векторное пространство $K (X) = C c (X)$ , которому можно задать естественную локально выпуклую топологию. Действительно, $K (X)$ является объединением пространств $K (X, K)$ непрерывных функций с носителем, содержащимся в компактных множествах $K$ . Каждое из пространств $K (X, K)$ естественным образом несет топологию равномерной сходимости , что превращает его в банахово пространство . Но поскольку объединение топологических пространств является частным случаем прямого предела топологических пространств, пространство $K (X) может быть снабжено$ локально выпуклой топологией прямого предела , индуцированной пространствами $K (X, K)$ ; эта топология тоньше топологии равномерной сходимости.

Если $m$ — мера Радона на, то отображение $X,$ $I:f\mapsto \int f(x)\,m(dx)$

— непрерывное положительное линейное отображение из $K (X)$ в $R$ . Положительность означает, что $I (f) \geq 0$ всякий раз, когда $f$ — неотрицательная функция. Непрерывность относительно топологии прямого предела, определенной выше, эквивалентна следующему условию: для каждого компактного подмножества $K$ из $X$ существует константа $M K$ такая, что для каждой непрерывной действительной функции $f$ на $X$ с носителем, содержащимся в $K$ , $|I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|.$

Наоборот, по теореме Рисса–Маркова–Какутани о представлении каждая положительная линейная форма на $K (X)$ возникает как интегрирование по единственной регулярной борелевской мере.

Действительная мера Радона определяется как любая непрерывная линейная форма на $K (X)$ ; они являются в точности разностями двух мер Радона. Это дает идентификацию действительных мер Радона с дуальным пространством локально выпуклого пространства K $(X) .$ Эти действительные меры Радона не обязательно должны быть знаковыми мерами . Например, $sin(x) dx$ является действительной мерой Радона, но не является даже расширенной знаковой мерой, поскольку ее нельзя записать как разность двух мер, по крайней мере одна из которых конечна.

Некоторые авторы используют предыдущий подход для определения (положительных) мер Радона как положительных линейных форм на $K (X)$ . ^[3] В этой постановке принято использовать терминологию, в которой меры Радона в указанном выше смысле называются положительными мерами, а действительные меры Радона, как указано выше, называются (действительными) мерами.

Интеграция

Для завершения построения теории меры для локально компактных пространств с функционально-аналитической точки зрения необходимо расширить меру (интеграл) с компактных непрерывных функций. Это можно сделать для действительных или комплекснозначных функций в несколько этапов следующим образом:

Определение верхнего интеграла $μ *(g)$ полунепрерывной снизу положительной (действительной) функции $g$ как супремума (возможно, бесконечного) положительных чисел $μ (h)$ для непрерывных функций с компактным носителем $h \leq g$ ;
Определение верхнего интеграла $μ *(f)$ для произвольной положительной (действительной) функции $f$ как инфимума верхних интегралов $μ *(g)$ для полунепрерывных снизу функций $g \geq f$ ;
Определение векторного пространства $F = F (X, μ)$ как пространства всех функций $f$ на $X,$ для которых верхний интеграл $μ *(| f |)$ абсолютной величины конечен; верхний интеграл абсолютной величины определяет полунорму на F $,$ а $F$ является полным пространством относительно топологии, определяемой полунормой;
Определение пространства $L 1 (X, μ)$ интегрируемых функций как замыкания внутри $F$ пространства непрерывных финитных функций.
Определение интеграла для функций из $L 1 (X, μ)$ как расширения по непрерывности (после проверки непрерывности $μ$ относительно топологии $L 1 (X, μ)$ );
Определение меры множества как интеграла (если он существует) индикаторной функции множества.

Можно проверить, что эти шаги приводят к теории, идентичной той, которая начинается с меры Радона, определяемой как функция, которая присваивает число каждому борелевскому множеству $X.$

Мера Лебега на $R$ может быть введена несколькими способами в этой функционально-аналитической установке. Во-первых, возможно положиться на «элементарный» интеграл, такой как интеграл Даниэля или интеграл Римана для интегралов непрерывных функций с компактным носителем, поскольку они интегрируемы для всех элементарных определений интегралов. Мера (в смысле, определенном выше), определяемая элементарным интегрированием, — это как раз мера Лебега. Во-вторых, если кто-то хочет избежать опоры на интеграл Римана или Даниэля или другие подобные теории, можно сначала разработать общую теорию мер Хаара и определить меру Лебега как меру Хаара $λ$ на $R$ , которая удовлетворяет условию нормировки $λ ([0, 1]) = 1$ .

Примеры

Ниже приведены примеры мер по радону:

Мера Лебега на евклидовом пространстве (ограниченная подмножествами Бореля);
Мера Хаара на любой локально компактной топологической группе ;
Мера Дирака на любом топологическом пространстве;
Гауссова мера на евклидовом пространстве $ℝ n$ с ее борелевской сигма-алгеброй;
Вероятностные меры на $σ$ -алгебре борелевских множеств любого польского пространства . Этот пример не только обобщает предыдущий пример, но и включает в себя множество мер на нелокально компактных пространствах, таких как мера Винера на пространстве действительнозначных непрерывных функций на интервале $[0, 1]$ .
Мера на $ℝ$ является мерой Радона тогда и только тогда, когда она является локально конечной мерой Бореля .

Ниже приведены примеры мер по радону:

Подсчет меры на евклидовом пространстве является примером меры, которая не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной.
Пространство ординалов , не более $Ω$ , первого несчетного ординала с топологией порядка, является компактным топологическим пространством. Мера, равная $1$ на любом борелевском множестве, содержащем несчетное замкнутое подмножество $[1, Ω)$ , и $0$ в противном случае, является борелевской, но не радоновской, поскольку одноточечное множество ${Ω}$ имеет меру ноль, но любая его открытая окрестность имеет меру $1$ . ^[4]
Пусть $X$ — интервал $[0, 1)$ , снабженный топологией, порожденной набором полуоткрытых интервалов ${[a, b) : 0 \leq a < b \leq 1}$ . Эту топологию иногда называют линией Зоргенфрея . На этом топологическом пространстве стандартная мера Лебега не является мерой Радона, поскольку она не является внутренней регулярной, поскольку компактные множества не более чем счетны.
Пусть $Z$ — множество Бернштейна в $[0, 1]$ (или любом польском пространстве). Тогда никакая мера, обращающаяся в нуль в точках на $Z,$ не является мерой Радона, поскольку любое компактное множество в $Z$ счетно.
Стандартная мера произведения на $(0, 1) κ$ для несчетного $κ$ не является мерой Радона, поскольку любой компактный набор содержится в произведении несчетного числа замкнутых интервалов, каждый из которых короче 1.

Мы отмечаем, что интуитивно мера Радона полезна в финансовой математике, особенно для работы с процессами Леви, поскольку она обладает свойствами как мер Лебега, так и мер Дирака , поскольку в отличие от меры Лебега мера Радона в одной точке не обязательно имеет меру 0. $[$ ^5]

Основные свойства

Умеренные меры по радону

Если задана мера Радона $m$ на пространстве $X$ , то можно определить другую меру $M$ (на множествах Бореля), положив

$M(B)=\inf\{m(V)\mid V{\text{ — открытое множество с }}B\subseteq V\subseteq X\}.$

Мера $M$ является внешне регулярной, локально конечной и внутренне регулярной для открытых множеств. Она совпадает с $m$ на компактных и открытых множествах, и $m$ может быть восстановлена из $M$ как единственная внутренняя регулярная мера, которая совпадает с $M$ на компактных множествах. Мера $m$ называется умеренной, если $M$ является $σ$ -конечной; в этом случае меры $m$ и $M$ одинаковы. (Если $m$ является $σ$ -конечной, это не означает, что $M$ является $σ$ -конечной, поэтому быть умеренной сильнее, чем быть $σ$ -конечной.)

В наследственном пространстве Линделёфа каждая мера Радона является умеренной.

Пример меры $m$ , которая является $σ$ -конечной, но не модерируемой следующим образом. ^[6] Топологическое пространство $X$ имеет в качестве базового множества подмножество действительной плоскости, заданное осью $y$ точек $(0, y)$ вместе с точками $(1/ n, m / n 2)$ с $m$ , $n$ положительными целыми числами. Топология задается следующим образом. Отдельные точки $(1/ n, m / n 2)$ являются открытыми множествами. База окрестностей точки $(0, y)$ задается клиньями, состоящими из всех точек в $X$ вида $(u, v)$ с $| v - y | \leq | u | \leq 1/ n$ для положительного целого числа $n$ . Это пространство $X$ локально компактно. Мера $m$ задается, если позволить оси $y$ иметь меру $0$ и позволить точке $(1/ n, m / n 2)$ иметь меру $1/ n 3$ . Эта мера является внутренней регулярной и локально конечной, но не является внешней регулярной, поскольку любое открытое множество, содержащее ось $y$ , имеет меру бесконечности. В частности, ось $y$ имеет $m$ -меру $0,$ но $M$ -меру бесконечности.

Радоновые пространства

Топологическое пространство называется радоновским , если каждая конечная борелевская мера является радоновской мерой, и сильно радоновским, если каждая локально конечная борелевская мера является радоновской мерой. Любое суслинское пространство является сильно радоновским, и, более того, каждая радоновская мера является модерируемой.

Двойственность

На локально компактном хаусдорфовом пространстве меры Радона соответствуют положительным линейным функционалам на пространстве непрерывных функций с компактным носителем. Это неудивительно, поскольку это свойство является основной мотивацией для определения меры Радона.

Структура метрического пространства

Заостренный конус $M + (X)$ всех (положительных) мер Радона на $X$ может быть представлен в виде структуры полного метрического пространства путем определения расстояния Радона между двумя мерами $m 1, m 2 \in M + (X)$ как $\rho (m_{1},m_{2})=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)(m_{1}-m_{2})(dx)\ \right|\mathrm {непрерывно\,} f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.$

Эта метрика имеет некоторые ограничения. Например, пространство вероятностных мер Радона на $X$ не является последовательно компактным относительно метрики Радона: т. е. не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, сходящуюся относительно метрики Радона, что представляет трудности в некоторых приложениях. С другой стороны, если X $является$ компактным метрическим пространством, то метрика Вассерштейна превращает $P$ $($ $X$ $)$ в компактное метрическое пространство. ${\mathcal {P}}(X)=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\},$

Сходимость в метрике Радона подразумевает слабую сходимость мер : но обратное утверждение в общем случае ложно. Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью , в отличие от слабой сходимостью. $\rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,$

Смотрите также

Ссылки

^ Фолланд 1999, стр. 212
^ Бурбаки 2004a
^ Бурбаки 2004b; Хьюитт и Стромберг, 1965; Дьедонне 1970.
^ Шварц 1974, стр. 45
^ Конт, Рама и Питер Танков. Финансовое моделирование с использованием скачкообразных процессов. Chapman & Hall, 2004.
^ Бурбаки 2004a, Упражнение 5 раздела 1

Библиография

Бурбаки, Николя (2004a), Интеграция I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1Функционально-аналитическое развитие теории меры и интеграла Радона на локально компактных пространствах.
Бурбаки, Николя (2004b), Интеграция II , Springer Verlag , ISBN 3-540-20585-3Мера Хаара; Меры Радона на общих хаусдорфовых пространствах и эквивалентность определений в терминах линейных функционалов и локально конечных внутренних регулярных мер на сигма-алгебре Бореля.
Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе , том. 2, Академическая Пресса. Содержит упрощенную версию подхода Бурбаки, специализированную для мер, определенных на сепарабельных метризуемых пространствах.
Фолланд, Джеральд (1999), Реальный анализ: Современные методы и их применение , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 212, ISBN 0-471-31716-0
Хьюитт, Эдвин; Штромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag
Кёниг, Хайнц (1997), Измерение и интеграция: продвинутый курс по основным процедурам и приложениям , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-61858-9
Шварц, Лоран (1974), Радоновские меры на произвольных топологических пространствах и цилиндрические меры , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Внешние ссылки

RA Minlos (2001) [1994], "Мера Радона", Энциклопедия математики , EMS Press