Интеграл Даниэля

В математике интеграл Даниэля — это тип интегрирования, который обобщает концепцию более элементарных версий, таких как интеграл Римана , с которым студенты обычно впервые знакомятся. Одна из основных трудностей традиционной формулировки интеграла Лебега состоит в том, что она требует первоначальной разработки работоспособной теории меры, прежде чем можно будет получить какие-либо полезные результаты для интеграла. Однако доступен альтернативный подход, разработанный Перси Дж. Дэниэлом  (1918), который не страдает этим недостатком и имеет несколько существенных преимуществ по сравнению с традиционной формулировкой, особенно когда интеграл обобщается на пространства более высокой размерности и дальнейшие обобщения. например, интеграл Стилтьеса . Основная идея заключается в аксиоматизации интеграла.

Аксиомы

Мы начнем с выбора семейства ограниченных действительных функций (называемых элементарными функциями ), определенных на некотором множестве и удовлетворяющих этим двум аксиомам: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle H}$представляет собой линейное пространство с обычными операциями сложения и скалярного умножения.
• Если функция находится в , то же самое относится и к ее абсолютному значению . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |h|:x\mapsto |h(x)|}$

Кроме того, каждой функции h в H присваивается действительное число , которое называется элементарным интегралом от h и удовлетворяет этим трем аксиомам: ${\displaystyle Ih}$

Линейность

Если h и k оба принадлежат H и являются любыми двумя действительными числами, то . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik}$

Неотрицательность

Если для всех , то . ${\displaystyle h(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ih\geq 0}$

Непрерывность

Если - невозрастающая последовательность (т.е. ) функций из , которая сходится к 0 для всех из , то . ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle h_{1}\geq \cdots \geq h_{k}\geq \cdots }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Ih_{n}\to 0}$

или (чаще)

Если — возрастающая последовательность (т. е. ) функций из , сходящаяся к h для всех из , то . ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle h_{1}\leq \cdots \leq h_{k}\leq \cdots }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Ih_{n}\to Ih}$

То есть мы определяем непрерывный неотрицательный линейный функционал над пространством элементарных функций. ${\displaystyle I}$

Эти элементарные функции и их элементарные интегралы могут представлять собой любой набор функций и определений интегралов по этим функциям, которые удовлетворяют этим аксиомам. Семейство всех ступенчатых функций, очевидно, удовлетворяет указанным выше аксиомам для элементарных функций. Определение элементарного интеграла семейства ступенчатых функций как площади (со знаком) под ступенчатой ​​функцией, очевидно, удовлетворяет данным аксиомам для элементарного интеграла. Применение конструкции интеграла Даниэля, описанной ниже, с использованием ступенчатых функций в качестве элементарных функций, дает определение интеграла, эквивалентного интегралу Лебега. Использование семейства всех непрерывных функций в качестве элементарных функций и традиционного интеграла Римана в качестве элементарного интеграла также возможно, однако это даст интеграл, который также эквивалентен определению Лебега. Проделав то же самое, но используя интеграл Римана–Стилтьеса вместе с соответствующей функцией ограниченной вариации , вы получите определение интеграла, эквивалентное интегралу Лебега–Стилтьеса .

Множества нулевой меры можно определить через элементарные функции следующим образом. Множество , являющееся подмножеством, называется множеством меры нуль, если для любого существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций в H такая, что и на . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle h_{p}(x)}$ ${\displaystyle Ih_{p}<\varepsilon }$ ${\textstyle \sup _{p}h_{p}(x)\geq 1}$ ${\displaystyle Z}$

Множество называется множеством полной меры , если его дополнение относительно является множеством нулевой меры. Мы говорим, что если какое-то свойство выполняется в каждой точке множества полной меры (или, что то же самое, везде, кроме множества меры нуль), оно выполняется почти всюду . ${\displaystyle X}$

Определение

Хотя результат один и тот же, разные авторы строят интеграл по-разному. Обычный подход состоит в том, чтобы начать с определения более широкого класса функций на основе выбранных нами элементарных функций, класса , который представляет собой семейство всех функций, которые являются пределом неубывающей последовательности элементарных функций, таких, что набор интегралов равен ограничено. Интеграл от функции определяется как: ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle Ih_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{+}}$

${\displaystyle If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}}$

Можно показать, что это определение интеграла корректно определено, т. е. не зависит от выбора последовательности . ${\displaystyle h_{n}}$

Однако класс, вообще говоря, не замкнут относительно вычитания и скалярного умножения на отрицательные числа; необходимо далее расширить его, определив более широкий класс функций с этими свойствами. ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle L}$

Метод Дэниела (1918), описанный в книге Ройдена, сводится к определению верхнего интеграла общей функции по формуле ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle I^{+}\phi =\inf _{f\geq \phi }If.}$

Нижний интеграл определяется аналогичным образом или, короче, как . Наконец, состоит из тех функций, верхний и нижний интегралы которых конечны и совпадают, и ${\displaystyle I^{-}\phi =-I^{+}(-\phi )}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=I^{+}\phi =I^{-}\phi .}$

Альтернативный путь, основанный на открытии Фредерика Рисса, изложен в книге Шилова и Гуревича и в статье в «Энциклопедии математики». Сюда входят те функции , которые могут быть представлены на множестве полной меры (определенном в предыдущем разделе) как разность , для некоторых функций и в классе . Тогда интеграл функции можно определить как: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi =f-g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \int _{X}\phi (x)dx=If-Ig\,}$

Опять же, можно показать, что этот интеграл корректно определен, т. е. он не зависит от разложения на и . Это оказывается эквивалентным исходному интегралу Дэниела. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Характеристики

Почти все важные теоремы традиционной теории интеграла Лебега, такие как теорема Лебега о доминируемой сходимости , теорема Рисса-Фишера , лемма Фату и теорема Фубини, также могут быть легко доказаны с использованием этой конструкции. Его свойства идентичны традиционному интегралу Лебега.

Измерение

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями интеграл Даниэля также можно использовать для построения теории меры . Если мы возьмем характеристическую функцию некоторого множества, то ее интеграл можно принять за меру множества. Можно показать, что это определение меры, основанное на интеграле Даниэля, эквивалентно традиционной мере Лебега . ${\displaystyle \chi (x)}$

Преимущества перед традиционным составом

Этот метод построения общего интеграла имеет ряд преимуществ перед традиционным методом Лебега, особенно в области функционального анализа . Конструкции Лебега и Даниэля, как указывалось выше, эквивалентны, если в качестве элементарных функций выбрать обычные конечнозначные ступенчатые функции. Однако, когда кто-то пытается расширить определение интеграла на более сложные области (например, пытаясь определить интеграл от линейного функционала ), мы сталкиваемся с практическими трудностями при использовании конструкции Лебега, которые устраняются с помощью подхода Даниэля.

Польский математик Ян Микусинский предложил альтернативную и более естественную формулировку интегрирования Даниэля, используя понятие абсолютно сходящегося ряда. Его формулировка работает для интеграла Бохнера (интеграла Лебега для отображений, принимающих значения в банаховых пространствах ). Лемма Микусинского позволяет определить интеграл, не упоминая нулевые множества . Он также доказал теорему о замене переменных для кратных интегралов Бохнера и теорему Фубини для интегралов Бохнера с использованием интегрирования Даниэля. В книге Асплунда и Бунгарта наглядно трактуется этот подход для вещественнозначных функций. Он также предлагает доказательство абстрактной теоремы Радона–Никодима с использованием подхода Даниэля–Микусинского.

Смотрите также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Римана
• Интеграция Лебега – Стилтьеса

Рекомендации

• Эш, Роберт Б. (1972). «Взаимодействие между теорией меры и топологией». Реальный анализ и вероятность . Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. 168–200. ISBN 0-12-065201-3.
• Дэниел, П.Дж. (1918). «Общая форма интеграла». Анналы математики . Вторая серия. 19 (4): 279–294. дои : 10.2307/1967495. JSTOR  1967495.
• Хаберман, Шелби Дж. (1996). «Построение интегралов Даниэля». Расширенная статистика . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 199–263. ISBN 0-387-94717-5.
• Ройден, Х.Л. (1988). «Интеграл Дэниела». Реальный анализ (3-е изд.). Энглвуд Клиффс: Прентис Холл. стр. 419–434. ISBN 0-02-404151-3.
• Лумис, Линн Х. (1953), «Глава III: Интеграция», Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, стр. 29–47, hdl : 2027/uc1.b4250788
• Шилов, Г.Е.; Гуревич, Б.Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Перевод Сильвермана, Ричарда А. Довера. ISBN 0-486-63519-8.
• Асплунд, Эдгар; Бунгарт, Лутц (1966). Первый курс интеграции . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Интеграл Дэниела», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Тейлор, А.Е. (1985) [1965]. Общая теория функций и интегрирование . Дувр. ISBN 0-486-64988-1.