Ступенчатая функция

Линейная комбинация индикаторных функций реальных интервалов

В математике функция от действительных чисел называется ступенчатой ​​функцией , если ее можно записать в виде конечной линейной комбинации индикаторных функций интервалов . Неформально говоря , ступенчатая функция — это кусочно- постоянная функция, имеющая лишь конечное число частей.

Пример ступенчатых функций (красный график). В этой функции каждая постоянная подфункция со значением функции α _i ( i = 0, 1, 2, ...) определяется интервалом A _i , а интервалы различаются точками x _j ( j = 1, 2, ...). Эта конкретная ступенчатая функция непрерывна справа .

Определение и первые последствия

Функция называется ступенчатой, если ее можно записать в виде ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$, для всех действительных чисел ${\displaystyle x}$

где , — действительные числа, — интервалы, а — индикаторная функция : ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{A}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}}$

В этом определении можно предположить, что интервалы обладают следующими двумя свойствами: ${\displaystyle A_{i}}$

1. Интервалы попарно не пересекаются : для ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$
2. Объединение интервалов представляет собой всю действительную прямую : ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

Действительно, если это не так с самого начала, можно выбрать другой набор интервалов, для которых эти предположения выполняются. Например, ступенчатая функция

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

можно записать как

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

Вариации определения

Иногда требуется, чтобы интервалы были право-открытыми ^[1] или им разрешено быть одиночными. ^[2] Условие, что набор интервалов должен быть конечным, часто опускается, особенно в школьной математике, ^{[3] [4] [5]} хотя он все равно должен быть локально конечным , что приводит к определению кусочно-постоянных функций.

Примеры

Ступенчатая функция Хевисайда — часто используемая ступенчатая функция.

• Постоянная функция — это тривиальный пример ступенчатой ​​функции. Тогда есть только один интервал, ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• Функция знака sgn( x ) , равная −1 для отрицательных чисел и +1 для положительных чисел, является простейшей непостоянной ступенчатой ​​функцией.
• Функция Хевисайда H ( x ) , равная 0 для отрицательных чисел и 1 для положительных чисел, эквивалентна знаковой функции с точностью до сдвига и масштаба диапазона ( ). Это математическая концепция, лежащая в основе некоторых тестовых сигналов , например, используемых для определения реакции динамической системы на скачок . ${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$

Прямоугольная функция — следующая по простоте ступенчатая функция.

• Прямоугольная функция , нормализованная функция прямоугольного ряда , используется для моделирования единичного импульса.

Не примеры

• Функция целой части не является ступенчатой ​​функцией согласно определению этой статьи, поскольку она имеет бесконечное число интервалов. Однако некоторые авторы ^[6] также определяют ступенчатые функции с бесконечным числом интервалов. ^[6]

Характеристики

• Сумма и произведение двух ступенчатых функций снова являются ступенчатой ​​функцией. Произведение ступенчатой ​​функции с числом также является ступенчатой ​​функцией. Таким образом, ступенчатые функции образуют алгебру над действительными числами.
• Ступенчатая функция принимает только конечное число значений. Если интервалы для в приведенном выше определении ступенчатой ​​функции не пересекаются и их объединение является действительной линией, то для всех ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ ${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• Определенный интеграл ступенчатой ​​функции является кусочно-линейной функцией .
• Интеграл Лебега ступенчатой ​​функции равен , где — длина интервала , и здесь предполагается, что все интервалы имеют конечную длину. Фактически, это равенство (рассматриваемое как определение) может быть первым шагом в построении интеграла Лебега. ^[7] ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$ ${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$ ${\displaystyle \ell (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$
• Дискретная случайная величина иногда определяется как случайная величина, кумулятивная функция распределения которой является кусочно-постоянной. ^[8] В этом случае она локально является ступенчатой ​​функцией (глобально она может иметь бесконечное число шагов). Обычно, однако, любая случайная величина с только счетным числом возможных значений называется дискретной случайной величиной, в этом случае ее кумулятивная функция распределения не обязательно локально является ступенчатой ​​функцией, поскольку бесконечно много интервалов могут накапливаться в конечной области.

Смотрите также

• Функция Кренель
• Кусочно
• Сигмовидная функция
• Простая функция
• Обнаружение шага
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Кусочно-постоянная оценка

Ссылки

1. «Ступенчатая функция».
2. «Ступенчатые функции - Mathonline».
3. «Mathwords: Ступенчатая функция».
4. https://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html ^{[ пустой URL-адрес ]}
5. «Ступенчатая функция».
6. Bachman, Narici, Beckenstein (5 апреля 2002 г.). "Пример 7.2.2". Анализ Фурье и вейвлет . Springer, Нью-Йорк, 2000. ISBN 0-387-98899-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Weir, Alan J (10 мая 1973 г.). "3". Интеграция Лебега и мера . Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.
8. Берцекас, Дмитрий П. (2002). Введение в вероятность . Цициклис, Джон Н. , Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Бельмонт, Массачусетс: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC  51441829.