Прямоугольная функция

Функция, график которой равен 0, затем 1, затем снова 0, почти всюду непрерывным образом

Прямоугольная функция с a = 1

Прямоугольная функция (также известная как функция прямоугольника , функция прямоугольника , функция Пи , функция Пи Хевисайда , ^[1] функция вентиля , единичный импульс или нормализованная функция товарного вагона ) определяется как ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.}$$

Альтернативные определения функции определяют как 0, ^[3] 1, ^{[4] [5]} или неопределенное значение. ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

Ее периодическая версия называется прямоугольной волной .

История

Функция rect была введена Вудвордом [ ^6] в ^[7] как идеальный оператор вырезания вместе с функцией sinc ^{[8] [9]} как идеальный оператор интерполяции и их счетными операциями, которые представляют собой выборку ( оператор гребенки ) и репликация ( оператор Rep ) соответственно.

Связь с функцией товарного вагона

Прямоугольная функция является частным случаем более общей функции товарного вагона :

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=H(t-(X-Y/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(t-X-Y/2)}$$

где – ступенчатая функция Хевисайда ; функция центрирована и имеет продолжительность от до ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X-Y/2}$ ${\displaystyle X+Y/2.}$

Преобразование Фурье прямоугольной функции

График нормализованной функции (т.е. ) с ее спектрально-частотными компонентами. ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\pi x)}$

Унитарные преобразования Фурье прямоугольной функции имеют вид ^[2]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$

f^[10]sinc ${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$

sinc ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$

Для его преобразование Фурье равно ${\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

Связь с треугольной функцией

Мы можем определить треугольную функцию как свертку двух прямоугольных функций:

$${\displaystyle \operatorname {tri} =\operatorname {rect} *\operatorname {rect} .\,}$$

Использование по вероятности

Если рассматривать прямоугольную функцию как функцию плотности вероятности , то это частный случай непрерывного равномерного распределения с характеристической функцией : ${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

а его производящая момент функция равна

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

где – гиперболический синус . ${\displaystyle \sinh(t)}$

Рациональное приближение

Импульсную функцию можно также выразить как предел рациональной функции :

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

Демонстрация действительности

Сначала мы рассмотрим случай, когда Обратите внимание, что этот член всегда положителен для целых чисел . Однако и, следовательно , приближается к нулю для больших ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t<1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

Следует, что:

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.}$$

Во-вторых, мы рассматриваем случай, когда Обратите внимание, что член всегда положителен для целого числа . Однако и, следовательно , становится очень большим для больших ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t>1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

Следует, что:

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.}$$

В-третьих, мы рассмотрим случай, когда мы можем просто подставить в наше уравнение: ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Мы видим, что оно удовлетворяет определению импульсной функции. Поэтому,

$${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}$$

Дельта-функция Дирака

Функция прямоугольника может использоваться для представления дельта-функции Дирака . ^[11] В частности, ${\displaystyle \delta (x)}$

$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$

${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$

${\displaystyle g(0)}$

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

$${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$

${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$

функция sinc ${\displaystyle f=1/a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$

Смотрите также

• преобразование Фурье
• Прямоугольная волна
• Ступенчатая функция
• Цилиндрический фильтр
• Функция товарного вагона

Рекомендации

1. Исследования Вольфрама (2008). «HeavisidePi, функция Wolfram Language» . Проверено 11 октября 2022 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Функция прямоугольника». Математический мир .
3. Ван, Руйе (2012). Введение в ортогональные преобразования: с приложениями в обработке и анализе данных. Издательство Кембриджского университета. стр. 135–136. ISBN 9780521516884.
4. Тан, КТ (2007). Математические методы для инженеров и ученых: анализ Фурье, уравнения в частных производных и вариационные модели. Спрингер. п. 85. ИСБН 9783540446958.
5. Кумар, А. Ананд (2011). Сигналы и системы. PHI Learning Pvt. ООО, стр. 258–260. ISBN 9788120343108.
6. Клаудер, Джон Р. (1960). «Теория и конструкция чирповых радаров». Технический журнал Bell System . 39 (4): 745–808. doi :10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x.
7. Вудворд, Филипп М (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Пергамон Пресс. п. 29.
8. Хиггинс, Джон Роуленд (1996). Теория выборки в Фурье и анализе сигналов: основы . Oxford University Press Inc. с. 4. ISBN 0198596995.
9. Заид, Ахмед I (1996). Справочник по преобразованиям функций и обобщенных функций . ЦРК Пресс. п. 507. ИСБН 9780849380761.
10. Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
11. Харе, Кедар; Бутола, манси; Раджора, Сунаина (2023). «Глава 2.4. Выборка путем усреднения, распределения и дельта-функции». Оптика Фурье и вычислительная визуализация (2-е изд.). Спрингер. стр. 15–16. дои : 10.1007/978-3-031-18353-9. ISBN 978-3-031-18353-9.