Рациональная функция

Соотношение полиномиальных функций

В математике рациональная функция — это любая функция , которая может быть определена рациональной дробью , которая является алгебраической дробью, такой, что и числитель , и знаменатель являются многочленами . Коэффициенты многочленов не обязательно должны быть рациональными числами ; они могут быть взяты в любом поле K. В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной дроби над K. Значения переменных могут быть взяты в любом поле L, содержащем K. Тогда область определения функции — это множество значений переменных, для которых знаменатель не равен нулю, а область значений — L.

Множество рациональных функций над полем K — это поле, поле дробей кольца полиномиальных функций над K.

Определения

Функция называется рациональной, если ее можно записать в виде ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

где и являются полиномиальными функциями от и не является нулевой функцией . Область определения представляет собой множество всех значений , для которых знаменатель не равен нулю. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$

Однако, если и имеют непостоянный полиномиальный наибольший общий делитель , то задание и дает рациональную функцию ${\displaystyle \textstyle P}$ ${\displaystyle \textstyle Q}$ ${\displaystyle \textstyle R}$ ${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$ ${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

которая может иметь большую область определения, чем , и равна в области определения Это обычное использование для идентификации и , то есть для расширения «по непрерывности» области определения до области определения Действительно, можно определить рациональную дробь как класс эквивалентности дробей многочленов, где две дроби и считаются эквивалентными, если . В этом случае эквивалентно ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}.}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$ ${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.}$

Правильная рациональная функция — это рациональная функция, в которой степень меньше степени и оба являются действительными многочленами , названными по аналогии с правильной дробью в ^[1] ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Степень

Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции.

Чаще всего степень рациональной функции равна максимальной из степеней ее составляющих полиномов P и Q , когда дробь сводится к наименьшим членам . Если степень f равна d , то уравнение

${\displaystyle f(z)=w\,}$

имеет d различных решений относительно z, за исключением определенных значений w , называемых критическими значениями , где два или более решений совпадают или где некоторое решение отвергается на бесконечности (то есть когда степень уравнения уменьшается после очистки знаменателя ).

В случае комплексных коэффициентов рациональная функция степени один является преобразованием Мёбиуса .

Степень графика рациональной функции — это не степень , как определено выше: это максимум из степени числителя и единицы плюс степень знаменателя.

В некоторых контекстах, например, в асимптотическом анализе , степень рациональной функции — это разность степеней числителя и знаменателя. ^{[2] : §13.6.1  [3] : Глава IV}

В сетевом синтезе и сетевом анализе рациональную функцию второй степени (то есть отношение двух полиномов степени не выше второй) часто называютбиквадратная функция .^[4]

Примеры

Примеры рациональных функций

Рациональная функция

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

не определено в

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

Это асимптотически как ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ ${\displaystyle x\to \infty .}$

Рациональная функция

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

определено для всех действительных чисел , но не для всех комплексных чисел , поскольку если бы x был квадратным корнем (т.е. мнимой единицей или ее отрицательным числом), то формальная оценка привела бы к делению на ноль: ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

что не определено.

Постоянная функция, такая как f ( x ) = π, является рациональной функцией, поскольку константы являются полиномами. Сама функция является рациональной, хотя значение f ( x ) иррационально для всех x .

Каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с функцией, которая не может быть записана в этой форме, например, не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональный» обычно не используется для функций. ${\displaystyle f(x)=P(x)}$ ${\displaystyle Q(x)=1.}$ ${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$

Каждый многочлен Лорана можно записать в виде рациональной функции, в то время как обратное не обязательно верно, то есть кольцо многочленов Лорана является подкольцом рациональных функций.

Рациональная функция равна 1 для всех x, кроме 0, где есть устранимая особенность . Сумма, произведение или частное (за исключением деления на нулевой многочлен) двух рациональных функций сама по себе является рациональной функцией. Однако процесс приведения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если не принять меры предосторожности. Использование определения рациональных функций как классов эквивалентности позволяет обойти это, поскольку x / x эквивалентно 1/1. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$

ряд Тейлора

Коэффициенты ряда Тейлора любой рациональной функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению , которое можно найти, приравняв рациональную функцию к ряду Тейлора с неопределенными коэффициентами и собрав подобные члены после очистки знаменателя.

Например,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Умножая на знаменатель и распределяя,

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

После корректировки индексов сумм для получения тех же степеней x , получаем

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Объединение подобных членов дает

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

Поскольку это справедливо для всех x в радиусе сходимости исходного ряда Тейлора, мы можем вычислить следующим образом. Поскольку постоянный член слева должен быть равен постоянному члену справа, следует, что

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

Тогда, поскольку слева нет степеней x , все коэффициенты справа должны быть равны нулю, из чего следует, что

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

Наоборот, любая последовательность, которая удовлетворяет линейной рекуррентности, определяет рациональную функцию при использовании в качестве коэффициентов ряда Тейлора. Это полезно при решении таких рекуррентностей, поскольку, используя разложение на части дроби , мы можем записать любую правильную рациональную функцию как сумму множителей вида 1 / ( ax + b ) и разложить их в геометрические ряды , давая явную формулу для коэффициентов Тейлора; это метод генерации функций .

Абстрактная алгебра и геометрические понятия

В абстрактной алгебре понятие многочлена расширено, чтобы включить формальные выражения, в которых коэффициенты многочлена могут быть взяты из любого поля . В этой ситуации, если задано поле F и некоторая неопределенность X , рациональное выражение (также известное как рациональная дробь или, в алгебраической геометрии , рациональная функция ) является любым элементом поля дробей кольца многочленов F [ X ] . Любое рациональное выражение можно записать как частное двух многочленов P / Q с Q ≠ 0, хотя это представление не является единственным. P / Q эквивалентно R / S для многочленов P , Q , R и S , когда PS = QR . Однако, поскольку F [ X ] является уникальной областью факторизации , существует единственное представление для любого рационального выражения P / Q с многочленами P и Q наименьшей степени и Q , выбранным как моническое . Это похоже на то, как дробь целых чисел всегда можно записать однозначно в наименьших выражениях, отбрасывая общие множители.

Поле рациональных выражений обозначается F ( X ). Говорят, что это поле порождается (как поле) над F ( трансцендентным элементом ) X , поскольку F ( X ) не содержит никакого собственного подполя, содержащего как F , так и элемент X .

Комплексные рациональные функции

• Джулия устанавливает рациональные карты
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}}$

В комплексном анализе рациональная функция

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

представляет собой отношение двух многочленов с комплексными коэффициентами, где Q не является нулевым многочленом, а P и Q не имеют общих множителей (это позволяет избежать принятия f неопределенного значения 0/0).

Область определения функции f — это множество комплексных чисел, таких что . Любая рациональная функция может быть естественным образом расширена до функции, областью определения и областью определения которой является вся сфера Римана ( комплексная проективная прямая ). ${\displaystyle Q(z)\neq 0}$

Рациональные функции являются типичными примерами мероморфных функций .

Итерация рациональных функций (отображений) ^[5] на сфере Римана создает дискретные динамические системы .

Понятие рациональной функции на алгебраическом многообразии

Подобно многочленам , рациональные выражения также можно обобщить до n неизвестных X ₁ ,..., X _n , взяв поле дробей F [ X ₁ ,..., X _n ], которое обозначается как F ( X ₁ ,..., X _n ).

Расширенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Там функциональное поле алгебраического многообразия V формируется как поле дробей координатного кольца V (точнее, плотного по Зарискому аффинного открытого множества в V ). Его элементы f рассматриваются как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых множествах U , а также могут рассматриваться как морфизмы на проективную прямую .

Приложения

Рациональные функции используются в численном анализе для интерполяции и аппроксимации функций, например, аппроксимации Паде, введенные Анри Паде . Аппроксимации в терминах рациональных функций хорошо подходят для систем компьютерной алгебры и другого численного программного обеспечения . Как и полиномы, их можно оценить напрямую, и в то же время они выражают более разнообразное поведение, чем полиномы.

Рациональные функции используются для аппроксимации или моделирования более сложных уравнений в науке и технике, включая поля и силы в физике, спектроскопию в аналитической химии, кинетику ферментов в биохимии, электронные схемы, аэродинамику, концентрацию лекарств in vivo, волновые функции для атомов и молекул, оптику и фотографию для улучшения разрешения изображений, а также акустику и звук. ^{[ необходима ссылка ]}

В обработке сигналов преобразование Лапласа ( для непрерывных систем) или z-преобразование (для дискретных систем) импульсной характеристики обычно используемых линейных стационарных систем (фильтров) с бесконечной импульсной характеристикой являются рациональными функциями над комплексными числами.

Смотрите также

• Поле дробей
• Разложение дробной части
• Простейшие дроби в интегрировании
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Алгебраические дроби  — обобщение рациональных функций, позволяющее извлекать целые корни.

Ссылки

1. • Corless, Martin J.; Frazho, Art (2003). Линейные системы и управление . CRC Press. стр. 163. ISBN 0203911377.
   • Pownall, Malcolm W. (1983). Функции и графики: подготовительная математика исчисления . Prentice-Hall. стр. 203. ISBN 0133323048.
2. Бурлес, Анри (2010). Линейные системы. Wiley. стр. 515. doi :10.1002/9781118619988. ISBN 978-1-84821-162-9. Получено 5 ноября 2022 г. .
3. Бурбаки, Н. (1990). Алгебра II . Спрингер. п. А.IV.20. ISBN 3-540-19375-8.
4. Глиссон, Тилдон Х. (2011). Введение в анализ и проектирование схем . Springer. ISBN 9048194431.
5. Камарена, Омар Антолин. «Итерация рациональных функций» (PDF) .

• «Рациональная функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 3.4. Интерполяция и экстраполяция рациональных функций», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки

• Динамическая визуализация рациональных функций с помощью JSXGraph