Множитель (анализ Фурье)

В анализе Фурье оператор множителя является разновидностью линейного оператора или преобразования функций . Эти операторы воздействуют на функцию, изменяя ее преобразование Фурье . В частности, они умножают преобразование Фурье функции на заданную функцию, известную как множитель или символ . Иногда сам термин «оператор множителя» сокращается до «множитель» . ^[1] Проще говоря, множитель изменяет форму частот, участвующих в любой функции. Этот класс операторов оказывается широким: общая теория показывает, что трансляционно-инвариантный оператор в группе , подчиняющийся некоторым (очень мягким) условиям регулярности, может быть выражен как оператор-множитель, и наоборот. ^[2] Многие знакомые операторы, такие как сдвиг и дифференцирование , являются операторами умножения, хотя существует множество более сложных примеров, таких как преобразование Гильберта .

В обработке сигналов оператор умножения называется « фильтром », а множитель — это частотная характеристика фильтра (или передаточная функция ).

В более широком контексте операторы-множители представляют собой частные случаи операторов-спектральных множителей, которые возникают в результате функционального исчисления оператора (или семейства коммутирующих операторов). Они также являются частными случаями псевдодифференциальных операторов и, в более общем смысле, интегральных операторов Фурье . В этой области до сих пор остаются открытыми естественные вопросы, например, о характеристике операторов ограниченного мультипликатора L ^p (см. ниже).

Операторы умножения не связаны с множителями Лагранжа , за исключением того, что они оба включают операцию умножения.

Необходимую информацию о преобразовании Фурье см. на этой странице. Дополнительную важную информацию можно найти на страницах «Оператор норма» и «Пространство L p» .

Примеры

В случае периодических функций , определенных на единичной окружности , преобразование Фурье функции представляет собой просто последовательность ее коэффициентов Фурье . Чтобы увидеть, что дифференцирование можно реализовать как множитель, рассмотрим ряд Фурье для производной периодической функции. После использования интегрирования по частям в определении коэффициента Фурье мы имеем, что ${\displaystyle f(t).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$.

Итак, формально отсюда следует, что ряд Фурье для производной — это просто ряд Фурье для умноженного на множитель . Это то же самое, что сказать, что дифференцирование — это оператор множителя с multiplier . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle in}$

Примером оператора умножения, действующего на функции на действительной прямой, является преобразование Гильберта . Можно показать, что преобразование Гильберта является оператором мультипликатора, множитель которого определяется как , где Signum - функция Signum . ${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$

Наконец, еще одним важным примером множителя является характеристическая функция единичного куба, которая возникает при изучении «частичных сумм» преобразования Фурье (см. Сходимость рядов Фурье ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Определение

Операторы-мультипликаторы могут быть определены на любой группе G , для которой также определено преобразование Фурье (в частности, на любой локально компактной абелевой группе ). Общее определение следующее. Если – достаточно регулярная функция , то обозначим ее преобразование Фурье (где – двойственное к G Понтрягину ). Обозначим еще одну функцию, которую назовем множителем . Тогда оператор множителя , связанный с этим символом m , определяется по формуле ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$

Другими словами, преобразование Фурье Tf на частоте ξ определяется преобразованием Фурье f на этой частоте, умноженным на значение множителя на этой частоте. Это объясняет терминологию «множитель».

Обратите внимание, что приведенное выше определение определяет Tf только неявно; чтобы восстановить Tf в явном виде, необходимо инвертировать преобразование Фурье. Это легко сделать, если и f , и m достаточно гладкие и интегрируемые. Одна из основных проблем в этой теме состоит в том, чтобы определить для любого заданного множителя m , продолжает ли соответствующий оператор множителя Фурье быть четко определенным, когда f имеет очень низкую регулярность, например, если предполагается, что он находится в L ^p космос. См. обсуждение «проблемы ограниченности» ниже. Как минимум, обычно требуется, чтобы множитель m был ограниченным и измеримым ; этого достаточно, чтобы установить ограниченность в других пространствах, но, вообще говоря, недостаточно сильно, чтобы установить ограниченность в других пространствах. ${\displaystyle L^{2}}$

Оператор-умножитель T можно рассматривать как композицию трех операторов, а именно преобразования Фурье, операции поточечного умножения на m и затем обратного преобразования Фурье. Эквивалентно, T представляет собой сопряжение оператора поточечного умножения преобразованием Фурье. Таким образом, операторы-множители можно рассматривать как операторы, которые диагонализуются преобразованием Фурье.

Операторы множителя в общих группах

Теперь мы специализируем приведенное выше общее определение на конкретных группах G . Сначала рассмотрим функции единичного круга на G , поэтому их можно рассматривать как 2π-периодические функции на действительной прямой. В этой группе двойственным Понтрягину является группа целых чисел. Преобразование Фурье (для достаточно регулярных функций f ) имеет вид ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;}$ ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

а обратное преобразование Фурье имеет вид

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

Множитель в этом случае представляет собой просто последовательность чисел, а оператор, связанный с этим множителем, затем задается формулой ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},}$

по крайней мере, при достаточно грамотном выборе множителя и функции f . ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$

Пусть теперь G — евклидово пространство . Здесь двойственная группа также является евклидовой, а преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье задаются формулами ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}}$

Множитель в этом параметре является функцией , а связанный с ним оператор множителя определяется выражением ${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,}$

снова при условии достаточно сильных предположений регулярности и ограниченности множителя и функции.

В смысле распределений нет никакой разницы между операторами множителя и операторами свертки ; каждый множитель T также может быть выражен в форме Tf = f ∗ K для некоторого распределения K , известного как ядро ​​свертки T . С этой точки зрения перевод на величину x ₀ представляет собой свертку с дельта-функцией Дирака δ(· −  x ₀ ), дифференцирование представляет собой свертку с δ'. Дополнительные примеры приведены в таблице ниже.

Диаграммы

Дальнейшие примеры

На единичном круге

В следующей таблице показаны некоторые распространенные примеры операторов множителя на единичном круге. ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

В евклидовом пространстве

В следующей таблице показаны некоторые распространенные примеры операторов множителя в евклидовом пространстве . ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$

Общие Соображения

Отображение является гомоморфизмом С *-алгебр . Это следует из того, что сумма двух операторов-умножителей и является оператором-умножителем с множителем , композиция этих двух операторов-умножителей представляет собой оператор-умножитель с множителем, а сопряженным оператором-умножителем является другой оператор-умножитель с множителем . ${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle T_{m'}}$ ${\displaystyle m+m'}$ ${\displaystyle mm',}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle {\overline {m}}}$

В частности, мы видим, что любые два оператора-множителя коммутируют друг с другом. Известно, что операторы умножения трансляционно-инвариантны. Обратно, можно показать, что любой трансляционно-инвариантный линейный оператор, ограниченный в L ² ( G ), является оператором-мультипликатором.

Проблема ограниченности L p

Проблема ограниченности L ^p (для любого конкретного p ) для данной группы G состоит в том, чтобы идентифицировать мультипликаторы m такие, что соответствующий оператор мультипликатора ограничен от L ^p ( G ) до L ^p ( G ). Такие множители обычно называют просто « множителями L ^p ». Обратите внимание: поскольку операторы-множители всегда линейны, такие операторы ограничены тогда и только тогда, когда они непрерывны . В целом эта проблема считается чрезвычайно сложной, но многие частные случаи можно решить. Проблема сильно зависит от p , хотя существует соотношение двойственности : если и 1 ⩽ p , q ∞, то оператор-мультипликатор ограничен на L ^p тогда и только тогда, когда он ограничен на L ^q . ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

Теорема Рисса-Торина показывает, что если мультипликатор ограничен в двух разных ^{пространствах} Lp , то он также ограничен во всех промежуточных пространствах. Следовательно, мы получаем, что пространство множителей наименьшее для L ¹ и L ^∞ и растет по мере приближения к L ² , которое имеет самое большое пространство множителей.

Ограниченность на L 2

Это самый простой случай. Теорема Парсеваля позволяет полностью решить эту проблему и получить ^, что функция m является множителем L2 ( G ) тогда и только тогда, когда она ограничена и измерима.

Ограниченность на L 1 или L ∞

Этот случай сложнее, чем гильбертовский ( L ² ), но полностью разрешимый. Верно следующее:

Теорема : В евклидовом пространстве функция является мультипликатором L ¹ (что эквивалентно мультипликатору L ^∞ ) тогда и только тогда, когда существует конечная борелевская мера µ такая, что m является преобразованием Фурье меры µ. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m(\xi )}$

(Часть «если» представляет собой простой расчет. Часть «только если» здесь более сложна.)

Ограниченность на L p при 1 < p < ∞

В этом общем случае не установлены необходимые и достаточные условия ограниченности даже для евклидова пространства или единичного круга. Однако известны несколько необходимых и несколько достаточных условий. Например, известно, что для того, чтобы оператор мультипликатора был ограничен даже в одном ^{пространстве} Lp , мультипликатор должен быть ограниченным и измеримым ( ^это следует из приведенной выше характеристики мультипликаторов L2 и свойства включения). Однако этого недостаточно, за исключением случаев, когда p = 2.

Результаты, дающие достаточные условия ограниченности, известны как теоремы о множителях . Ниже приведены три таких результата.

Теорема о множителе Марцинкевича

Пусть — ограниченная функция, которая непрерывно дифференцируема на каждом множестве вида ^{[ необходимы пояснения ]} для и имеет производную такую, что ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .}$

Тогда m — мультипликатор L ^p для всех 1 < p < ∞.

Теорема Михлина о множителе

Пусть m — ограниченная функция , гладкая, за исключением, возможно, начала координат, и такая, что функция ограничена для всех целых чисел : тогда m — множитель L ^p для всех 1 < p < ∞ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$ ${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$

Это частный случай теоремы Хёрмандера-Михлина о множителях.

Доказательства этих двух теорем довольно сложны и включают методы теории Кальдерона–Зигмунда и интерполяционную теорему Марцинкевича : оригинальное доказательство см. в Михлине (1956) или Михлине (1965, стр. 225–240).

Радиальные множители

Для радиальных множителей известно необходимое и достаточное условие ограниченности для некоторого частичного диапазона значений . Пусть и . Предположим, что это радиальный множитель, компактно поддерживаемый вдали от начала координат. Тогда является множителем тогда и только тогда, когда преобразование Фурье принадлежит . ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

Это теорема Хео, Назарова и Зегера . ^[3] Они также предоставили необходимое и достаточное условие, которое справедливо без предположения компактного носителя на . ${\displaystyle m}$

Примеры

Трансляции — это ограниченные операторы на любом L ^p . Дифференцирование не ограничено ни на ^каком Lp . Преобразование Гильберта ограничено только для p строго между 1 и ∞. Тот факт, что она неограничена на L∞ ^, прост, поскольку хорошо известно, что преобразование Гильберта ступенчатой ​​функции неограничено. Двойственность дает то же самое для p = 1 . Однако обе теоремы о множителях Марцинкевича и Михлина показывают, что преобразование Гильберта ограничено в L ^p для всех 1 < p < ∞ .

Еще один интересный случай с единичным кругом — это когда последовательность , предлагаемая в качестве множителя, постоянна для n в каждом из наборов. Из теоремы о множителе Марцинкевича (адаптированной к контексту единичного круга) мы видим, что любая такая последовательность ( также предполагается ограниченным, конечно) ^{[ необходимы пояснения ]} является множителем для каждого 1 < p < ∞ . ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}}$ ${\displaystyle \left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.}$

В одном измерении оператор дискового множителя (см. таблицу выше) ограничен на L ^p для каждого 1 < p < ∞ . Однако в 1972 году Чарльз Фефферман показал удивительный результат: в двух и более измерениях оператор дискового множителя неограничен на L ^p для любого p ≠ 2 . Соответствующая задача для множителей Бохнера–Рисса решена лишь частично; см. также гипотезу Бохнера – Рисса . ${\displaystyle S_{R}^{0}}$ ${\displaystyle S_{R}^{0}}$

Смотрите также

• Лемма Кальдерона – Зигмунда.
• Теорема Марцинкевича
• Сингулярные интегралы
• Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Примечания

1. Duoandikoetxea 2001, раздел 3.5.
2. Штейн 1970, Глава II.
3. Хо, Ярён; Назаров, Федор; Сигер, Андреас. Радиальные множители Фурье в больших размерностях. Акта Математика. 206 (2011), вып. 1, 55--92. doi:10.1007/s11511-011-0059-x. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892528

Цитируемые работы

• Дуоандикоэчеа, Хавьер (2001), Анализ Фурье , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2172-5
• Стейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press

Общие ссылки

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
• Хёрмандер, Ларс (1960), «Оценки трансляционно-инвариантных операторов в пространствах Lp», ^Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007/bf02547187
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-Х
• Михлин, Соломон Г. (1956), «О мультипликаторах интегралов Фурье», Доклады Академии наук СССР , 109 : 701–703, Збл  0073.08402(на русском ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, том. 83, Пергамон Пресс , Збл  0129.07701. Он содержит подробный обзор всех результатов, известных на момент публикации, включая краткий обзор истории.
• Рудин, Уолтер (1962), Анализ Фурье групп , Interscience
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе , Дувр, ISBN 0-486-43508-3