Теорема об операторной интерполяции
В математике теорема Рисса -Торина , часто называемая интерполяционной теоремой Рисса-Торина или теоремой выпуклости Рисса-Торина , является результатом интерполяции операторов . Он назван в честь Марселя Рисса и его ученика Г. Улофа Торина .
Эта теорема ограничивает нормы линейных отображений, действующих между пространствами Lp . Его полезность связана с тем, что некоторые из этих пространств имеют более простую структуру, чем другие. Обычно это относится к L2 , которое является гильбертовым пространством , или к L1 и L∞ . Поэтому можно доказать теоремы о более сложных случаях, доказав их в двух простых случаях, а затем используя теорему Рисса – Торина для перехода от простых случаев к сложным. Теорема Марцинкевича аналогична , но применима и к классу нелинейных отображений.
Мотивация
Сначала нам понадобится следующее определение:
- Определение. Пусть p0 , p1 — два числа такие, что 0 < p0 < p1 ≤ ∞ . Тогда для 0 < θ < 1 определим p θ по формуле: 1/п θ = 1 - θ/п 0 + θ/п 1 .
Разбивая функцию f в L p θ на произведение | ж | = | ж | 1- θ | ж | θ и применяя неравенство Гёльдера к его степени p θ , мы получаем следующий результат, основополагающий при изучении L p -пространств:
Утверждение (логарифм-выпуклость L p -норм) — Каждый f ∈ L p 0 ∩ L p 1 удовлетворяет:
Этот результат, название которого происходит от выпуклости отображения 1 ⁄ p ↦ log || ж || p на [0, ∞] означает, что L p 0 ∩ L p 1 ⊂ L p θ .
С другой стороны, если мы возьмем разложение слоеного пирога f = f 1 {| ж |>1} + ж 1 {| f |≤1} , то мы видим, что f 1 {| f |>1} ∈ L p 0 и f 1 {| f |可1} ∈ L p 1 , откуда получаем следующий результат:
Утверждение . Каждую f в Lp θ можно записать в виде суммы: f = g + h , где g ∈ Lp 0 и h ∈ L p 1 .
В частности, из приведенного выше результата следует, что L p θ включена в L p 0 + L p 1 , сумму L p 0 и L p 1 в пространстве всех измеримых функций. Таким образом, мы имеем следующую цепочку включений:
Следствие — L п 0 ∩ L п 1 ⊂ L п θ ⊂ L п 0 + L п 1 .
На практике мы часто сталкиваемся с операторами , определенными на сумме L p 0 + L p 1 . Например, лемма Римана–Лебега показывает, что преобразование Фурье отображает L 1 ( R d ) ограниченно в L ∞ ( R d ) , а теорема Планшереля показывает, что преобразование Фурье отображает L 2 ( R d ) ограниченно в себя, следовательно, Преобразование Фурье распространяется на ( L 1 + L 2 ) ( R d ) путем установки
для всех f 1 ∈ L 1 ( R d ) и f 2 ∈ L 2 ( R d ) . Поэтому естественно исследовать поведение таких операторов на промежуточных подпространствах L p θ .![{\displaystyle {\mathcal {F}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для этого вернемся к нашему примеру и отметим, что преобразование Фурье на сумме L 1 + L 2 было получено путем взятия суммы двух экземпляров одного и того же оператора, а именно![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}:L^{1}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{\infty }(\mathbf {R} ^ {д}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}:L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{ г}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
На самом деле это один и тот же оператор в том смысле, что они согласованы в подпространстве ( L 1 ∩ L 2 ) ( R d ) . Поскольку пересечение содержит простые функции , оно плотно как в L1 ( Rd ) , так и в L2 ( Rd ) . Плотно определенные непрерывные операторы допускают уникальные расширения, поэтому мы имеем право считать и одинаковыми .![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поэтому задача изучения операторов на сумме L p 0 + L p 1 по существу сводится к изучению операторов, отображающих два естественных доменных пространства L p 0 и L p 1 ограниченно в два целевых пространства: L q 0 и L q 1 соответственно. Поскольку такие операторы отображают пространство сумм L p 0 + L p 1 в L q 0 + L q 1 , естественно ожидать, что эти операторы отображают промежуточное пространство L p θ в соответствующее промежуточное пространство L q θ .
Формулировка теоремы
Есть несколько способов сформулировать интерполяционную теорему Рисса – Торина; В [1] для соответствия обозначениям предыдущего раздела мы будем использовать формулировку суммы.
Интерполяционная теорема Рисса–Торина . Пусть (Ω 1 , Σ 1 , µ 1 ) и ( Ω 2 , Σ 2 , µ 2 ) являются σ -конечными пространствами с мерой. Предположим , 1 ≤ p 0 , q 0 , p 1 , q 1 ≤ ∞ , и пусть T : L p 0 ( µ 1 ) + L p 1 ( µ 1 ) → L q 0 ( µ 2 ) + L q 1 ( µ 2 ) — линейный оператор , который ограниченно отображает L p 0 ( µ 1 ) в L q 0 ( µ 2 ) и L p 1 ( µ 1 ) в L q 1 ( µ 2 ) . Для 0 < θ < 1 пусть p θ , q θ определены, как указано выше. Тогда T ограниченно отображает L p θ ( µ 1 ) в L q θ ( µ 2 ) и удовлетворяет оценке операторной нормы
Другими словами, если T одновременно имеет тип ( p 0 , q 0 ) и тип ( p 1 , q 1 ) , то T имеет тип ( p θ , q θ ) для всех 0 < θ < 1 . Таким образом, интерполяционная теорема поддается графическому описанию. Действительно, диаграмма Рисса T представляет собой совокупность всех точек ( 1/п , 1/д ) в единичном квадрате [0, 1] × [0, 1] такой, что T имеет тип ( p , q ) . Теорема об интерполяции утверждает, что диаграмма Рисса T представляет собой выпуклое множество: учитывая две точки на диаграмме Рисса, отрезок, соединяющий их, также будет на диаграмме.
Интерполяционная теорема была первоначально сформулирована и доказана Марселем Риссом в 1927 году. [2] В статье 1927 года теорема устанавливается только для нижнего треугольника диаграммы Рисса, а именно, с ограничением, что p 0 ⩽ q 0 и p 1 ⩽ q 1 . Олоф Торин распространил теорему интерполяции на весь квадрат, убрав ограничение нижнего треугольника. Доказательство Торина было первоначально опубликовано в 1938 году и впоследствии было расширено в его диссертации 1948 года. [3]
Доказательство
Сначала мы докажем результат для простых функций, а затем покажем, как аргумент можно распространить по плотности на все измеримые функции.
Простые функции
Предположим в силу симметрии (случай тривиально следует из ( 1 )). Пусть – простая функция , то есть для некоторого конечного , и , . Аналогично обозначим простую функцию , а именно для некоторых конечных , и , .![{\textstyle p_{0}<p_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle p_{0}=p_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f=\sum _{j=1}^{m}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle м \ в \ mathbb {N} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle a_{j}=\left\vert a_{j}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\in \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle A_{j}\in \Sigma _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle j = 1,2, \ точки, м}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \Omega _{2}\to \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g=\sum _{k=1}^{n}b_{k}\mathbf {1} _{B_{k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle n \ in \ mathbb {N} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle b_{k}=\left\vert b_{k}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\in \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle B_{k}\in \Sigma _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle k = 1,2, \ точки, n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что, поскольку мы предполагаем , что и -конечные метрические пространства, и для всех . Тогда, путем надлежащей нормализации, мы можем принять и , с и с , как определено в утверждении теоремы.![{\textstyle \Омега _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \Омега _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle f\in L^{r}(\mu _{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle г\in L^{r}(\mu _{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle г \ в [1, \ infty]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle q_{\theta }'=q_{\theta }(q_{\theta }-1)^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle p_ {\ theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle q_ {\ theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Далее мы определяем две комплексные функции. Обратите внимание, что для , и . Затем мы расширяем и зависеть от комплексного параметра следующим образом: так что и . Здесь мы неявно исключаем случай , который дает : В этом случае можно просто взять , независимо от , и следующий аргумент потребует лишь незначительных изменений.![{\displaystyle {\begin{aligned}u:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} &v:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\z&\mapsto u(z)={ \frac {1-z}{p_{0}}}+{\frac {z}{p_{1}}}&z&\mapsto v(z)={\frac {1-z}{q_{0}} }+{\frac {z}{q_{1}}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle z = \ тета }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle u(\theta)=p_{\theta }^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle v(\theta)=q_{\theta }^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{z} &=\sum _{j=1}^{m}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)} u(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\mathbf {1} _{A_{j}}\\g_{z}&=\sum _{ k=1}^{n}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\mathrm {e} ^{\ mathrm {i} \beta _{k}}\mathbf {1} _{B_{k}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle f_{\theta }=f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle g_ {\ theta } = g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle q_{0}=q_{1}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle v\equiv 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle g_{z}=g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Введем теперь функцию где константы не зависят от . Мы легко видим, что это целая функция, ограниченная на полосе . Тогда, чтобы доказать ( 2 ), нам нужно лишь показать, что![{\displaystyle \Phi (z)=\int _{\Omega _{2}}(Tf_{z})g_{z}\,\mathrm {d} \mu _{2}=\sum _{j= 1}^{m}\sum _{k=1}^{n}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\left \vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\gamma _{j,k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \gamma _{j,k}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha _{j}+\beta _{k})}\int _{\Omega _{2} }(T\mathbf {1} _{A_{j}})\mathbf {1} _{B_{k}}\,\mathrm {d} \mu _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ Фи (z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle 0\leq \operatorname {\mathbb {R} e} z\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для всех и как построено выше. Действительно, если ( 3 ) выполняется по теореме Адамара о трех прямых для всех и . Это означает, фиксируя , что где верхняя грань берется по отношению ко всем простым функциям с . Левую часть можно переписать с помощью следующей леммы. [4]![{\textstyle f_ {z}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle g_ {z}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\vert \Phi (\theta +\mathrm {i} 0)\right\vert = {\biggl \vert }\int _ {\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta } \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sup _{g}{\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\ leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\ в L^{q_{1}}}^{\theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В нашем случае из приведенной выше леммы следует, что для всех простых функций с . Эквивалентно, для общей простой функции:![{\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательства (3)
Докажем теперь, что наше утверждение ( 3 ) действительно достоверно. Последовательность состоит из непересекающихся подмножеств в и, таким образом, каждое принадлежит (не более) одному из них, скажем . Тогда для , откуда следует, что . При параллельном аргументе каждый принадлежит (не более) к одному из наборов, поддерживающих , скажем , и![{\textstyle (A_{j})_{j=1}^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \Сигма _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \xi \in \Omega _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle A_ {\ шляпа {\ jmath }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle z=\mathrm {i} y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert f_ {\mathrm {i} y}(\xi)\right\vert &=\left\vert a_ {\hat {\jmath }}\right\vert ^ {\frac {u(\mathrm {i} y)}{u(\theta )}}\\&=\exp {\biggl (}\log \left\vert a_ {\hat {\jmath }}\right \vert {\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}{\biggr )}\exp {\biggl (}-\mathrm {i} y\log \left\vert a_{\hat {\ jmath }}\right\vert p_{\theta }{\biggl (}{\frac {1}{p_{0}}}-{\frac {1}{p_{1}}}{\biggr )}{ \biggr )}\\&=\left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\\&=\left\ vert f(\xi)\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\leq \lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }} р_{0}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \zeta \in \Omega _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle г}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle B_ {\ шляпа {k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\vert g_ {\mathrm {i} y}(\zeta)\right\vert =\left\vert b_ {\hat {k}}\right\vert ^{\frac {1-1/ q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/ q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\implies \lVert g_{\mathrm { i} y}\rVert _{q_{0}'}\leq \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь мы можем оценить : Применяя неравенство Гёльдера с сопряженными показателями и , мы имеем![{\ textstyle \ Фи (\ mathrm {i} y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle q_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle q_{0}'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert \Phi (\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \lVert Tf_ {\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}} \lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0} }}\lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&=\|T \|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{ 0}}}\lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\\&=\|T\|_{L ^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы можем повторить тот же процесс для , чтобы получить и, наконец,![{\textstyle z=1+\mathrm {i} y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \left\vert f_{1+\mathrm {i} y}(\xi)\right\vert =\left\vert f(\xi)\right\vert ^{p_{\theta }/p_{ 1}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \left\vert g_{1+\mathrm {i} y}(\zeta)\right\vert =\left\vert g(\zeta)\right\vert ^{q_{\theta }'/q_ {1}'}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\vert \Phi (1+\mathrm {i} y)\right\vert \leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}} }\lVert f_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{p_{1}}\lVert g_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{q_{1}'}=\|T \|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Распространение на все измеримые функции вL п θ
На данный момент мы доказали, что
когда — простая функция. Как уже говорилось, неравенство справедливо для всех по плотности простых функций в .![{\текстовый стиль е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Формально, пусть и пусть — последовательность простых функций такая, что , для всех и поточечно. Пусть и определим , , и . Обратите внимание, что, поскольку мы предполагаем , и, что эквивалентно, и .![{\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle (f_{n})_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ left \ vert f_ {n} \ right \ vert \ leq \ left \ vert f \ right \ vert }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle f_ {n} \ to f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle E=\{x\in \Omega _{1}:\left\vert f(x)\right\vert >1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle g=f\mathbf {1} _{E}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle g_{n}=f_{n}\mathbf {1} _{E}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle h=fg=f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle h_{n}=f_{n}-g_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle p_{0}\leq p_{\theta }\leq p_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right \vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\ theta }}\mathbf {1} _{E}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{ E}\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert g\right\vert ^{p_ {0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert g\rVert _{p_{0}}^{p_{0}}\\\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _ {1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }} \,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\right \vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert h\right\vert ^{p_{1}} \,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert h\rVert _{p_{1}}^{p_{1}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle г\in L^{p_{0}}(\Omega _{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle h\in L^{p_{1}}(\Omega _{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Посмотрим, что произойдет в пределе для . Поскольку , и , по теореме о доминируемой сходимости легко получить Аналогично , и подразумеваем и , в силу линейности как оператора типов и (мы еще не доказали, что он имеет тип для общего типа )![{\ textstyle n \ to \ infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ left \ vert f_ {n} \ right \ vert \ leq \ left \ vert f \ right \ vert }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ left \ vert g_ {n} \ right \ vert \ leq \ left \ vert g \ right \ vert }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ left \ vert h_ {n} \ right \ vert \ leq \ left \ vert h \ right \ vert }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }} &\to \lVert f\rVert _{p_{\theta }} &\lVert g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to \lVert g\rVert _{p_{0}}&\lVert h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to \lVert h\rVert _{p_{ 1}}.\end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ left \ vert f-f_ {n} \ right \ vert \ leq 2 \ left \ vert f \ right \ vert }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ left \ vert g-g_ {n} \ right \ vert \ leq 2 \ left \ vert g \ right \ vert }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ left \ vert hh_ {n} \ right \ vert \ leq 2 \ left \ vert h \ right \ vert }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert ff_{n}\rVert _{p_{\theta }} &\to 0&\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}&\ до 0&\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to 0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль Т}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle (p_{0},q_{0})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle (p_{1},q_{1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle (p_ {\ theta }, q_ {\ theta })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{p_{0}} &\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_ {0}}}\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}\to 0&\lVert Th-Th_{n}\rVert _{p_{1}}&\leq \|T\| _{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}\to 0.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь легко доказать это и в мере: для любого неравенство Чебышева дает результат и аналогично для . Тогда и ae для некоторой подпоследовательности и, в свою очередь, ae Тогда по лемме Фату и напоминая, что ( 4 ) справедливо для простых функций,![{\textstyle Tg_{n}\to Tg}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle Th_{n}\to Th}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \эпсилон >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu _{2}(y\in \Omega _{2}:\left\vert Tg-Tg_{n}\right\vert >\epsilon)\leq {\frac {\lVert Tg-Tg_{ n}\rVert _{q_{0}}^{q_{0}}}{\epsilon ^{q_{0}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle Th-Th_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle Tg_{n}\to Tg}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle Th_{n}\to Th}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle Tf_{n}\to Tf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ lVert Tf \ rVert _ {q_ {\ theta }} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ lVert Tf_ {n} \ rVert _ {q_ {\ theta }} \ leq \| T \ |_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\liminf _{n\to \infty }\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }} =\|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Интерполяция аналитических семейств операторов
Схема доказательства, представленная в предыдущем разделе, легко обобщается на случай, когда оператор T может изменяться аналитически. Фактически, аналогичное доказательство можно провести, чтобы установить оценку целой функции,
из чего мы получаем следующую теорему Элиаса Штейна , опубликованную в его диссертации 1956 года: [5]![{\ displaystyle \ varphi (z) = \ int (T_ {z} f_ {z}) g_ {z} \, d \ mu _ {2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Интерполяционная теорема Стейна . Пусть (Ω 1 , Σ 1 , µ 1 ) и ( Ω 2 , Σ 2 , µ 2 ) являются σ -конечными пространствами с мерой. Предположим, что 1 ≤ p0 , p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 , q1 ≤ ∞ , и определим :
- S знак равно { z ∈ C : 0 <Re( z ) < 1} ,
- S знак равно { z ∈ C : 0 ≤ Re( z ) ≤ 1}.
Возьмем совокупность линейных операторов { T z : z ∈ S } в пространстве простых функций из L 1 ( µ 1 ) в пространство всех µ 2 -измеримых функций на Ω 2 . Мы предполагаем следующие дополнительные свойства этого набора линейных операторов:
- Отображение непрерывно на S и голоморфно на S для всех простых функций f и g .
- Для некоторой константы k < π операторы удовлетворяют равномерной границе:
![{\displaystyle \sup _{z\in S}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left|\int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}\right|<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- T z отображает L p 0 ( µ 1 ) ограниченно в L q 0 ( µ 2 ) всякий раз, когда Re( z ) = 0 .
- T z отображает L p 1 ( µ 1 ) ограниченно в L q 1 ( µ 2 ) всякий раз, когда Re( z ) = 1 .
- Нормы оператора удовлетворяют равномерной оценке для некоторой константы k < π .
![{\displaystyle \sup _ {{\text{Re}}(z)=0,1}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left\|T_{z} \right\|<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда для каждого 0 < θ < 1 оператор T θ отображает L p θ ( µ 1 ) ограниченно в L q θ ( µ 2 ) .
Теория вещественных пространств Харди и пространства ограниченных средних колебаний позволяет использовать аргумент интерполяционной теоремы Штейна при работе с операторами в пространстве Харди H 1 ( R d ) и пространстве BMO ограниченных средних колебаний; это результат Чарльза Феффермана и Элиаса Стайна . [6]
Приложения
Неравенство Хаусдорфа – Янга
В первом разделе было показано, что преобразование Фурье отображает L 1 ( R d ) ограниченно в L ∞ ( R d ) и L 2 ( R d ) в себя. Аналогичный аргумент показывает, что оператор ряда Фурье , который преобразует периодические функции f : T → C в функции , значениями которых являются коэффициенты Фурье,
отображает L 1 ( T ) ограниченно в ℓ ∞ ( Z ) и L 2 ( T ) в ℓ 2 ( З ) . Из интерполяционной теоремы Рисса–Торина теперь следует следующее:
где 1 ≤ p ≤ 2 и
![{\displaystyle {\hat {f}}:\mathbf {Z} \to \mathbf {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\ ,дх,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
1/п + 1/д знак равно 1 . Это неравенство Хаусдорфа–Юнга .
Неравенство Хаусдорфа–Юнга можно также установить для преобразования Фурье на локально компактных абелевых группах . Нормальная оценка 1 не является оптимальной. Ссылки смотрите в основной статье .
Операторы свертки
Пусть f — фиксированная интегрируемая функция и T — оператор свертки с f , т.е. для каждой функции g имеем Tg = f ∗ g .
Хорошо известно, что T ограничено от L 1 до L 1 , и тривиально, что оно ограничено от L ∞ до L ∞ (обе границы равны || f || 1 ). Поэтому теорема Рисса–Торина дает![{\displaystyle \|f*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы берем это неравенство и меняем роли оператора и операнда, или, другими словами, мы думаем о S как об операторе свертки с g и получаем, что S ограничено от L 1 до L p . Далее, поскольку g находится в L p , мы получаем, ввиду неравенства Гёльдера, что S ограничено от L q до L ∞ , где снова 1/п + 1/д знак равно 1 . Таким образом, интерполируя, мы получаем
, где связь между p , r и s равна![{\displaystyle \|f*g\|_{s}\leq \|f\|_{r}\|g\|_{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{s}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Преобразование Гильберта
Преобразование Гильберта f : R → C определяется выражением, где
pv указывает главное значение Коши интеграла. Преобразование Гильберта — это оператор множителя Фурье с особенно простым множителем: ![{\displaystyle {\mathcal {H}}f(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {pv} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac { f(xt)}{t}}\,dt=\left({\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {pv} {\frac {1}{t}}\ast f\right) (Икс),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {H}}f}}(\xi)=-i\,\operatorname {sgn}(\xi){\hat {f}}(\xi).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Из теоремы Планшереля следует , что преобразование Гильберта отображает L 2 ( R ) ограниченно в себя.
Тем не менее преобразование Гильберта не ограничено на L1 ( R ) или L∞ ( R ) , и поэтому мы не можем напрямую использовать интерполяционную теорему Рисса–Торина. Чтобы понять, почему у нас нет этих границ конечных точек, достаточно вычислить преобразование Гильберта простых функций 1 (−1,1) ( x ) и 1 (0,1) ( x ) − 1 (0,1) ( - Икс ) . Однако мы можем показать, что
для всех функций Шварца f : R → C , и это тождество можно использовать в сочетании с неравенством Коши–Шварца, чтобы показать, что преобразование Гильберта отображает L 2 n ( R d ) ограниченно в себя для всех п ≥ 2 . Интерполяция теперь устанавливает границу
для всех 2 ⩽ p < ∞ , и самосопряженность преобразования Гильберта можно использовать для переноса этих границ на случай 1 < p ⩽ 2 .
![{\displaystyle \|{\mathcal {H}}f\|_{p}\leq A_{p}\|f\|_{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сравнение с реальным методом интерполяции
Хотя интерполяционная теорема Рисса–Торина и ее варианты являются мощными инструментами, позволяющими получить точную оценку интерполируемых операторных норм, они страдают многочисленными дефектами: некоторые незначительными, некоторые более серьезными. Прежде всего отметим, что комплексно-аналитический характер доказательства интерполяционной теоремы Рисса–Торина вынуждает скалярное поле быть C . Для функций с расширенным действительным знаком это ограничение можно обойти, переопределив функцию так, чтобы она была конечной всюду - возможно, поскольку каждая интегрируемая функция должна быть конечной почти всюду. Более серьезным недостатком является то, что на практике многие операторы, такие как максимальный оператор Харди–Литтлвуда и операторы Кальдерона–Зигмунда , не имеют хороших оценок конечной точки. [7] В случае преобразования Гильберта в предыдущем разделе мы смогли обойти эту проблему, явно вычислив оценки нормы в нескольких промежуточных точках. Это громоздко и часто невозможно в более общих сценариях. Поскольку многие такие операторы удовлетворяют оценкам слабого типа, для них лучше подходят
реальные интерполяционные теоремы, такие как интерполяционная теорема Марцинкевича . Более того, большое количество важных операторов, таких как максимальный оператор Харди-Литтлвуда , являются только сублинейными . Это не является помехой для применения реальных методов интерполяции, однако сложные методы интерполяции плохо приспособлены для работы с нелинейными операторами. С другой стороны, реальные методы интерполяции по сравнению со сложными методами интерполяции имеют тенденцию давать худшие оценки норм промежуточных операторов и не так хорошо ведут себя за пределами диагонали диаграммы Рисса. Недиагональные версии интерполяционной теоремы Марцинкевича требуют формализма пространств Лоренца и не обязательно дают оценки нормы в L p -пространствах.![{\displaystyle \mu \left(\{x:Tf(x)>\alpha \}\right)\leq \left({\frac {C_{p,q}\|f\|_{p}} \alpha }}\right)^{q},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теорема Митягина
Б. Митягин расширил теорему Рисса–Торина; это расширение формулируется здесь для частного случая пространств последовательностей с безусловными базисами (см. ниже).
Предполагать:![{\displaystyle \|A\|_{\ell _{1}\to \ell _{1}},\|A\|_{\ell _{\infty }\to \ell _{\infty }} \leq М.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Затем![{\displaystyle \|A\|_{X\to X}\leq M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для любого безусловного банахова пространства последовательностей X , т. е. для любого и любого , .![{\displaystyle (x_{i})\in X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\varepsilon _{i})\in \{-1,1\}^{\infty }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|(\varepsilon _{i}x_{i})\|_{X}=\|(x_{i})\|_{X}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Доказательство основано на теореме Крейна–Мильмана .
Смотрите также
Примечания
- ^ Штейн и Вайс (1971) и Графакос (2010) используют операторы для простых функций, а Мускалу и Шлаг (2013) используют операторы для типичных плотных подмножеств пересечения L p 0 ∩ L p 1 . Напротив, Duoanddikoetxea (2001), Tao (2010), а также Stein и Shakarchi (2011) используют формулировку суммы, которую мы принимаем в этом разделе.
- ^ Рисс (1927). В доказательстве используются результаты о выпуклости теории билинейных форм. По этой причине во многих классических источниках, таких как Штейн и Вайс (1971), интерполяционная теорема Рисса – Торина называется теоремой выпуклости Рисса .
- ^ Торин (1948)
- ^ Бернар, Калиста. «Интерполяционные теоремы и приложения» (PDF) .
- ^ Штейн (1956). Как отмечает Чарльз Фефферман в своем эссе в Fefferman, Fefferman, Wainger (1995), доказательство интерполяционной теоремы Штейна по сути является доказательством теоремы Рисса-Торина с добавленной к оператору буквой z . Чтобы компенсировать это, для установления желаемых границ используется более сильная версия теоремы Адамара о трёх прямых , принадлежащая Исидору Исааку Хиршману-младшему . Подробное доказательство см. в Stein and Weiss (1971), а в блоге Тао — подробное изложение теоремы.
- ^ Фефферман и Штейн (1972)
- ^ Цитируется слова Элиаса Штейна о том, что интересные операторы в гармоническом анализе редко ограничены на L 1 и L ∞ .
Рекомендации
- Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, части I и II , Wiley-Interscience.
- Фефферман, Чарльз; Штейн, Элиас М. (1972), « Пространства нескольких переменных», Acta Mathematica , 129 : 137–193, doi : 10.1007/bf02392215
![{\displaystyle H^{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Глазман, И.М.; Любич, Ю.И. (1974), Конечномерный линейный анализ: систематическое представление в форме задачи , Кембридж, Массачусетс: MIT Press.. Перевод с русского и под редакцией Г. П. Баркера и Г. Куэрти.
- Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, МР 0717035.
- Митягин [Митягин], Б.С. (1965), "Интерполяционная теорема для модулярных пространств (рус.)", Матем. Сб. , Новая серия, 66 (108): 473–482..
- Торин, Г.О. (1948), "Теоремы выпуклости, обобщающие теоремы М. Рисса и Адамара с некоторыми приложениями", Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мат. сем.] , 9 : 1–58, МР 0025529
- Рис, Марсель (1927), «Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires», Acta Mathematica , 49 (3–4): 465–497, doi : 10.1007/bf02564121
- Штейн, Элиас М. (1956), «Интерполяция линейных операторов», Пер. амер. Математика. Соц. , 83 (2): 482–492, doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0082586-0
- Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2011), Функциональный анализ: введение в дальнейшие темы анализа , Princeton University Press
- Штейн, Элиас М.; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press
Внешние ссылки