Максимальная функция Харди–Литтлвуда

В математике максимальный оператор Харди –Литтлвуда M является значимым нелинейным оператором, используемым в действительном анализе и гармоническом анализе .

Определение

Оператор берет локально интегрируемую функцию f  : R ^d → C и возвращает другую функцию Mf . Для любой точки x ∈ R ^d функция Mf возвращает максимум набора действительных чисел, а именно набора средних значений f для всех шаров B ( x , r ) любого радиуса r в точке x . Формально ,

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|\,dy}$

где | E | обозначает d -мерную меру Лебега подмножества E ⊂ R ^d .

Средние значения совместно непрерывны по x и r , поэтому максимальная функция Mf , будучи супремумом по r  > 0, измерима . Не очевидно, что Mf конечна почти всюду. Это следствие максимального неравенства Харди–Литтлвуда .

Максимальное неравенство Харди–Литтлвуда

Эта теорема GH Hardy и JE Littlewood утверждает, что M ограничен как сублинейный оператор из L p ⁽ R d ⁾ в себя при p > 1. То есть, если f ∈ L ^p ( R ^d ), то максимальная функция Mf слабо L ¹ -ограничена и Mf ∈ L ^p ( R ^d ). Прежде чем сформулировать теорему более точно, для простоты пусть { f > t } обозначает множество { x | f ( x ) > t }. Теперь мы имеем:

Теорема (Оценка слабого типа). Для d  ≥ 1 существует константа C _d  > 0 такая, что для всех λ > 0 и f  ∈  L ¹ ( R ^d ) имеем:

${\displaystyle \left|\{Mf>\lambda \}\right|<{\frac {C_{d}}{\lambda }}\Vert f\Vert _{L^{1}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

При наличии максимального неравенства Харди–Литтлвуда следующая оценка сильного типа является непосредственным следствием интерполяционной теоремы Марцинкевича :

Теорема (Оценка сильного типа). Для d  ≥ 1, 1 <  p  ≤ ∞ и f  ∈  L ^p ( R ^d ),

существует константа C _p,d  > 0 такая, что

${\displaystyle \Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.}$

В оценке сильного типа наилучшие границы для C _p,d неизвестны. ^[1] Однако впоследствии Элиас М. Штейн использовал метод вращений Кальдерона-Зигмунда, чтобы доказать следующее:

Теорема (Независимость от размерности). Для 1 <  p  ≤ ∞ можно выбрать C _p,d = C _p независимо от d . ^{[1] [2]}

Доказательство

Хотя существует несколько доказательств этой теоремы, ниже приведено общее: для p  = ∞ неравенство тривиально (поскольку среднее значение функции не больше ее существенного супремума ). Для 1 <  p  < ∞ сначала мы воспользуемся следующей версией леммы Витали о покрытии для доказательства оценки слабого типа. (См. статью для доказательства леммы.)

Лемма. Пусть X — сепарабельное метрическое пространство и семейство открытых шаров с ограниченным диаметром. Тогда имеет счетное подсемейство, состоящее из непересекающихся шаров, такое, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$

${\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subset \bigcup _{B\in {\mathcal {F'}}}5B}$

где 5 B — это B с радиусом в 5 раз больше.

Для каждого x такого, что Mf ( x ) > t , по определению, мы можем найти шар B _x с центром в точке x такой, что

${\displaystyle \int _{B_{x}}|f|dy>t|B_{x}|.}$

Таким образом, { Mf > t } является подмножеством объединения таких шаров, поскольку x изменяется по { Mf > t }. Это тривиально, поскольку x содержится в B _x . По лемме мы можем найти среди таких шаров последовательность непересекающихся шаров B _j такую, что объединение 5 B _j покрывает { Mf > t }. Из этого следует:

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq 5^{d}\sum _{j}|B_{j}|\leq {5^{d} \over t}\int |f|dy.}$

Это завершает доказательство оценки слабого типа. Далее мы выводим из этого границы L ^p . Определим b как b ( x ) = f ( x ), если | f ( x )| > t /2 и 0 в противном случае. По оценке слабого типа, примененной к b , имеем:

${\displaystyle |\{Mf>t\}|\leq {2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx,}$

при C = 5 ^д . Тогда

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}=\int \int _{0}^{Mf(x)}pt^{p-1}dtdx=p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}|\{Mf>t\}|dt}$

По приведённой выше оценке имеем:

${\displaystyle \|Mf\|_{p}^{p}\leq p\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\left({2C \over t}\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}|f|dx\right)dt=2Cp\int _{0}^{\infty }\int _{|f|>{\frac {t}{2}}}t^{p-2}|f|dxdt=C_{p}\|f\|_{p}^{p}}$

где константа C _p зависит только от p и d . Это завершает доказательство теоремы.

Обратите внимание, что константу в доказательстве можно улучшить до , используя внутреннюю регулярность меры Лебега и конечную версию леммы Витали о покрытии . Подробнее об оптимизации константы см. в разделе «Обсуждение» ниже. ${\displaystyle C=5^{d}}$ ${\displaystyle 3^{d}}$

Приложения

Некоторые приложения максимального неравенства Харди–Литтлвуда включают доказательство следующих результатов:

• Теорема дифференциации Лебега
• Теорема Радемахера о дифференцировании
• Теорема Фату о некасательной сходимости.
• Теорема дробного интегрирования

Здесь мы используем стандартный прием с использованием максимальной функции, чтобы дать быстрое доказательство теоремы дифференцирования Лебега. (Но помните, что в доказательстве максимальной теоремы мы использовали лемму Витали о покрытии.) Пусть f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) и

${\displaystyle \Omega f(x)=\limsup _{r\to 0}f_{r}(x)-\liminf _{r\to 0}f_{r}(x)}$

где

${\displaystyle f_{r}(x)={\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}f(y)dy.}$

Запишем f = h + g , где h непрерывен и имеет компактный носитель, а g ∈ L ¹ ( R ⁿ ) с нормой, которую можно сделать произвольно малой. Тогда

${\displaystyle \Omega f\leq \Omega g+\Omega h=\Omega g}$

по непрерывности. Теперь Ω g ≤ 2 Mg и поэтому по теореме имеем:

${\displaystyle \left|\{\Omega g>\varepsilon \}\right|\leq {\frac {2\,M}{\varepsilon }}\|g\|_{1}}$

Теперь мы можем положить и заключить, что Ω f = 0 почти всюду; то есть существует для почти всех x . Осталось показать, что предел на самом деле равен f ( x ). Но это легко: известно, что ( приближение тождества ) и, таким образом, существует подпоследовательность почти всюду. В силу единственности предела, f _r → f почти всюду тогда. ${\displaystyle \|g\|_{1}\to 0}$ ${\displaystyle \lim _{r\to 0}f_{r}(x)}$ ${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{1}\to 0}$ ${\displaystyle f_{r_{k}}\to f}$

Обсуждение

Пока неизвестно, каковы наименьшие константы C _p,d и C _d в приведенных выше неравенствах. Однако результат Элиаса Стайна о сферических максимальных функциях может быть использован для того, чтобы показать, что при 1 <  p  < ∞ мы можем устранить зависимость C _p,d от размерности, то есть C _p,d  =  C _p для некоторой константы C _p  > 0, зависящей только от p . Неизвестно, существует ли слабая граница, не зависящая от размерности.

Существует несколько распространенных вариантов максимального оператора Харди-Литтлвуда, которые заменяют средние значения по центрированным шарам на средние значения по различным семействам множеств. Например, можно определить нецентрированный максимальный оператор HL (используя обозначение Стейна-Шакарчи)

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{x\in B_{x}}{\frac {1}{|B_{x}|}}\int _{B_{x}}|f(y)|dy}$

где шары B _x должны просто содержать x, а не быть центрированными в x. Существует также диадический HL максимальный оператор

${\displaystyle M_{\Delta }f(x)=\sup _{x\in Q_{x}}{\frac {1}{|Q_{x}|}}\int _{Q_{x}}|f(y)|dy}$

где Q _x пробегает все двоичные кубы, содержащие точку x . Оба эти оператора удовлетворяют максимальному неравенству HL.

Смотрите также

• Лемма восходящего солнца

Ссылки

1. Tao, Terence. "Сферическая максимальная теорема Штейна". Что нового . Получено 22 мая 2011 г. .
2. Stein, EM (1982). «Развитие квадратных функций в работах А. Зигмунда». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 7 (2): 359–376. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15040-6 .

• Джон Б. Гарнетт , Ограниченные аналитические функции . Springer-Verlag, 2006
• Антониос Д. Мелас, Лучшая константа для центрированного максимального неравенства Харди–Литтлвуда , Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
• Рами Шакарчи и Элиас М. Штейн , Принстонские лекции по анализу III: Реальный анализ . Princeton University Press, 2005
• Элиас М. Стайн, Максимальные функции: сферические средние , Proc. Natl. Acad. Sci. USA 73 (1976), 2174–2175
• Элиас М. Стайн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций . Princeton University Press, 1971
• Джеральд Тешль , Темы действительного и функционального анализа (конспекты лекций)