Реальный анализ

Математика действительных чисел и действительных функций

В математике раздел действительного анализа изучает поведение действительных чисел , последовательностей и рядов действительных чисел, а также действительных функций . ^[1] Некоторые особые свойства действительных последовательностей и функций, которые изучает действительный анализ, включают сходимость , пределы , непрерывность , гладкость , дифференцируемость и интегрируемость .

Действительный анализ отличается от комплексного анализа , который занимается изучением комплексных чисел и их функций.

Объем

Построение действительных чисел

Теоремы действительного анализа опираются на свойства действительной числовой системы, которые должны быть установлены. Действительная числовая система состоит из несчетного множества ( ), вместе с двумя бинарными операциями, обозначаемыми + и ⋅ , и полным порядком, обозначаемым ≤ . Операции делают действительные числа полем , и, вместе с порядком, упорядоченным полем . Действительная числовая система является единственным полным упорядоченным полем , в том смысле, что любое другое полное упорядоченное поле изоморфно ему . Интуитивно, полнота означает, что в действительных числах нет «пробелов» (или «дыр»). Это свойство отличает действительные числа от других упорядоченных полей (например, рациональных чисел ) и имеет решающее значение для доказательства нескольких ключевых свойств функций действительных чисел. Полноту действительных чисел часто удобно выражать как свойство наименьшей верхней границы (см. ниже). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Упорядочить свойства действительных чисел

Действительные числа обладают различными решеточно-теоретическими свойствами, которые отсутствуют в комплексных числах. Кроме того, действительные числа образуют упорядоченное поле , в котором суммы и произведения положительных чисел также положительны. Более того, упорядочение действительных чисел является полным , и действительные числа обладают свойством наименьшей верхней границы :

Каждое непустое подмножество , имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу , которая также является действительным числом. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Эти теоретико-порядковые свойства приводят к ряду фундаментальных результатов в реальном анализе, таким как теорема о монотонной сходимости , теорема о промежуточном значении и теорема о среднем значении .

Однако, хотя результаты в реальном анализе излагаются для действительных чисел, многие из этих результатов могут быть обобщены на другие математические объекты. В частности, многие идеи в функциональном анализе и теории операторов обобщают свойства действительных чисел – такие обобщения включают теории пространств Рисса и положительных операторов . Также математики рассматривают действительные и мнимые части комплексных последовательностей или поточечную оценку последовательностей операторов . ^{[ необходимо разъяснение ]}

Топологические свойства действительных чисел

Многие теоремы вещественного анализа являются следствиями топологических свойств действительной числовой прямой. Свойства порядка вещественных чисел, описанные выше, тесно связаны с этими топологическими свойствами. Как топологическое пространство , вещественные числа имеют стандартную топологию , которая является топологией порядка, индуцированной порядком . В качестве альтернативы, путем определения метрической или дистанционной функции с использованием функции абсолютного значения как , вещественные числа становятся прототипическим примером метрического пространства . Топология, индуцированная метрикой, оказывается идентичной стандартной топологии, индуцированной порядком . Теоремы, подобные теореме о промежуточном значении, которые по сути являются топологическими по своей природе, часто могут быть доказаны в более общей обстановке метрических или топологических пространств, а не только в . Часто такие доказательства, как правило, короче или проще по сравнению с классическими доказательствами, которые применяют прямые методы. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Последовательности

Последовательность — это функция , областью определения которой является счетное , полностью упорядоченное множество. ^[2] Обычно областью определения считаются натуральные числа , ^[3] хотя иногда удобно также рассматривать двунаправленные последовательности, индексированные множеством всех целых чисел, включая отрицательные индексы.

Представляющая интерес для вещественного анализа вещественная последовательность , здесь индексированная натуральными числами, является отображением . Каждый из них упоминается как член (или, реже, элемент ) последовательности. Последовательность редко обозначается явно как функция; вместо этого, по соглашению, она почти всегда обозначается так, как если бы она была упорядоченным ∞-кортежем, с отдельными членами или общим членом, заключенным в скобки: ^[4] Последовательность, которая стремится к пределу (т.е. существует), называется сходящейся ; в противном случае она является расходящейся . ( Подробнее см. в разделе о пределах и сходимости. ) Вещественная последовательность ограничена , если существует такое, что для всех . Вещественная последовательность монотонно возрастает или убывает , если или выполняется соответственно. Если выполняется любое из них, последовательность называется монотонной . Монотонность является строгой , если связанные неравенства по-прежнему выполняются с заменой на < или >. ${\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}}$ $${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).}$$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |a_{n}|<M}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (a_{n})}$ $${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$$ $${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \geq }$

Для данной последовательности другая последовательность является подпоследовательностью , если для всех положительных целых чисел и является строго возрастающей последовательностью натуральных чисел. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{k})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n_{k})}$

Пределы и конвергенция

Грубо говоря, предел — это значение, к которому «приближается» функция или последовательность , когда входные данные или индекс приближаются к некоторому значению. ^[5] (Это значение может включать символы при рассмотрении поведения функции или последовательности, когда переменная увеличивается или уменьшается без ограничений.) Идея предела является основополагающей для исчисления (и математического анализа в целом), и ее формальное определение используется, в свою очередь, для определения таких понятий, как непрерывность , производные и интегралы . (На самом деле, изучение предельного поведения использовалось как характеристика, которая отличает исчисление и математический анализ от других разделов математики.) ${\displaystyle \pm \infty }$

Понятие предела было неформально введено для функций Ньютоном и Лейбницем в конце 17-го века для построения исчисления бесконечно малых . Для последовательностей это понятие было введено Коши и сделано строгим в конце 19-го века Больцано и Вейерштрассом , которые дали современное определение ε-δ , которое приведено ниже.

Определение. Пусть будет вещественной функцией, определенной на . Мы говорим, что стремится к как стремится , или что предел как стремится равен , если для любого существует такое, что для всех , подразумевает, что . Мы записываем это символически как или как Интуитивно это определение можно представить следующим образом: Мы говорим, что как , когда, учитывая любое положительное число , каким бы малым оно ни было, мы всегда можем найти , такое, что мы можем гарантировать, что и меньше, чем друг от друга, пока (в области ) есть вещественное число, которое меньше, чем далеко от , но отлично от . Цель последнего условия, которое соответствует условию в определении, состоит в том, чтобы гарантировать, что не подразумевает ничего о значении самого себя. На самом деле, даже не обязательно находиться в области для того, чтобы существовать. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$ $${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0},}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L.}$$ ${\displaystyle f(x)\to L}$ ${\displaystyle x\to x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

В несколько ином, но связанном контексте понятие предела применяется к поведению последовательности, когда она становится большой. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle n}$

Определение. Пусть будет действительной последовательностью. Мы говорим, что сходится к , если для любого существует натуральное число такое, что подразумевает, что . Мы записываем это символически как или как если не сходится, мы говорим, что расходится . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |a-a_{n}|<\varepsilon }$ $${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty ,}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a;}$$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

Обобщая на вещественную функцию вещественной переменной, небольшая модификация этого определения (замена последовательности и члена на функцию и значение и натуральных чисел и на вещественные числа и , соответственно) дает определение предела при возрастании без границы , обозначенное . Обращение неравенства к дает соответствующее определение предела при убывании без границы , . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle x\geq M}$ ${\displaystyle x\leq M}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$

Иногда полезно сделать вывод, что последовательность сходится, даже если значение, к которому она сходится, неизвестно или не имеет значения. В этих случаях полезна концепция последовательности Коши.

Определение. Пусть — вещественная последовательность. Мы говорим, что это последовательность Коши , если для любого существует натуральное число, такое что влечет за собой . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n\geq N}$ ${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon }$

Можно показать, что последовательность с действительными значениями является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда она сходится. Это свойство действительных чисел выражается утверждением, что действительные числа, наделенные стандартной метрикой, являются полным метрическим пространством . Однако в общем метрическом пространстве последовательность Коши не обязана сходиться. ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$

Кроме того, для действительных последовательностей, которые являются монотонными, можно показать, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда она сходится.

Равномерная и поточечная сходимость для последовательностей функций

В дополнение к последовательностям чисел можно также говорить о последовательностях функций на , то есть бесконечных, упорядоченных семействах функций , обозначаемых , и их свойствах сходимости. Однако в случае последовательностей функций существуют два вида сходимости, известные как поточечная сходимость и равномерная сходимость , которые необходимо различать. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Грубо говоря, поточечная сходимость функций к предельной функции , обозначаемая , просто означает, что при любом , как . Напротив, равномерная сходимость является более сильным типом сходимости, в том смысле, что равномерно сходящаяся последовательность функций также сходится поточечно, но не наоборот. Равномерная сходимость требует, чтобы члены семейства функций , попадали в некоторую погрешность для каждого значения , всякий раз , когда , для некоторого целого числа . Для равномерной сходимости семейства функций, иногда обозначаемой , такое значение должно существовать для любого заданного значения, независимо от того, насколько оно мало. Интуитивно мы можем визуализировать эту ситуацию, представив, что для достаточно большого , все функции заключены в «трубу» шириной около (то есть между и ) для каждого значения в их области определения . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-\varepsilon }$ ${\displaystyle f+\varepsilon }$ ${\displaystyle E}$

Различие между точечной и равномерной сходимостью важно, когда требуется поменять порядок двух предельных операций (например, взятие предела, производной или интеграла): для того, чтобы обмен был корректным, многие теоремы действительного анализа требуют равномерной сходимости. Например, последовательность непрерывных функций (см. ниже) гарантированно сходится к непрерывной предельной функции, если сходимость равномерная, в то время как предельная функция может не быть непрерывной, если сходимость только поточечная. Карлу Вейерштрассу обычно приписывают четкое определение концепции равномерной сходимости и полное исследование ее последствий.

Компактность

Компактность — это понятие из общей топологии , которое играет важную роль во многих теоремах вещественного анализа. Свойство компактности является обобщением понятия замкнутости и ограниченности множества . (В контексте вещественного анализа эти понятия эквивалентны: множество в евклидовом пространстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.) Кратко, замкнутое множество содержит все свои граничные точки , в то время как множество ограничено , если существует действительное число, такое что расстояние между любыми двумя точками множества меньше этого числа. В множества, которые замкнуты и ограничены, а следовательно, компактны, включают пустое множество, любое конечное число точек, замкнутые интервалы и их конечные объединения. Однако этот список не является исчерпывающим; например, множество является компактным множеством; канторово тернарное множество является другим примером компактного множества. С другой стороны, множество не является компактным, потому что оно ограничено, но не замкнуто, так как граничная точка 0 не является членом множества. Множество также не является компактным, поскольку оно замкнуто, но не ограничено. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$ ${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Для подмножеств действительных чисел существует несколько эквивалентных определений компактности.

Определение. Множество компактно, если оно замкнуто и ограничено. ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$

Это определение справедливо также для евклидова пространства любой конечной размерности, , но оно недействительно для метрических пространств в целом. Эквивалентность определения с определением компактности, основанным на подпокрытиях, приведенным далее в этом разделе, известна как теорема Гейне-Бореля . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Более общее определение, применимое ко всем метрическим пространствам, использует понятие подпоследовательности (см. выше).

Определение. Множество в метрическом пространстве называется компактным, если каждая последовательность в нем имеет сходящуюся подпоследовательность. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Это особое свойство известно как консеквентальная компактность . В , множество консеквентально компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что делает это определение эквивалентным данному выше. Консеквентальная компактность эквивалентна определению компактности, основанному на подпокрытиях для метрических пространств, но не для топологических пространств в целом. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Наиболее общее определение компактности основано на понятии открытых покрытий и подпокрытий , которое применимо к топологическим пространствам (и, следовательно, к метрическим пространствам и как к частным случаям). Короче говоря, набор открытых множеств называется открытым покрытием множества , если объединение этих множеств является надмножеством . Говорят, что это открытое покрытие имеет конечное подпокрытие , если можно найти конечный поднабор из , который также покрывает . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Определение. Множество в топологическом пространстве компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Компактные множества ведут себя хорошо в отношении таких свойств, как сходимость и непрерывность. Например, любая последовательность Коши в компактном метрическом пространстве является сходящейся. В качестве другого примера, образ компактного метрического пространства при непрерывном отображении также является компактным.

Непрерывность

Функцию из множества действительных чисел в действительные числа можно представить графиком в декартовой плоскости ; такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну непрерывную кривую без «дыр» или «скачков».

Есть несколько способов сделать эту интуицию математически строгой. Можно дать несколько определений различной степени общности. В случаях, когда применимы два или более определений, легко показать, что они эквивалентны друг другу, поэтому наиболее удобное определение можно использовать для определения того, является ли данная функция непрерывной или нет. В первом определении, данном ниже, — это функция, определенная на невырожденном интервале множества действительных чисел в качестве своей области определения. Некоторые возможности включают , весь набор действительных чисел, открытый интервал или замкнутый интервал Здесь и — различные действительные числа, и мы исключаем случай, когда они пусты или состоят только из одной точки, в частности. ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}$ ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$

Определение. Если — невырожденный интервал, то говорят, что он непрерывен в , если . Говорят, что — непрерывное отображение , если он непрерывен в каждом . ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in I}$ ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in I}$

В отличие от требований для иметь предел в точке , которые не ограничивают поведение в самой себе, следующие два условия, в дополнение к существованию , также должны выполняться для того, чтобы быть непрерывным в : (i) должно быть определено в , т. е. находиться в области ; и (ii) как . Определение выше фактически применимо к любой области , которая не содержит изолированной точки , или, что эквивалентно, где каждая является предельной точкой . Более общее определение, применяемое к с общей областью, следующее: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$ ${\displaystyle x\to p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p\in E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$

Определение. Если — произвольное подмножество , то говорят, что оно непрерывно в , если для любого существует такое, что для всех , следует, что . Мы говорим, что — непрерывное отображение, если оно непрерывно в каждом . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle |x-p|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(p)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$

Следствием этого определения является то, что является тривиально непрерывным в любой изолированной точке . Эта несколько неинтуитивная трактовка изолированных точек необходима для того, чтобы гарантировать, что наше определение непрерывности для функций на вещественной прямой согласуется с наиболее общим определением непрерывности для отображений между топологическими пространствами (включая метрические пространства и, в частности, как особые случаи). Это определение, выходящее за рамки нашего обсуждения вещественного анализа, приводится ниже для полноты. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение. Если и являются топологическими пространствами, то говорят, что является непрерывным в , если является окрестностью в для каждой окрестности в . Говорят , что является непрерывным отображением , если является открытым в для каждого открытого в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$

(Здесь имеется в виду прообраз ниже . ) ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S\subset Y}$ ${\displaystyle f}$

Равномерная непрерывность

Определение. Если — подмножество действительных чисел , то говорят, что функция равномерно непрерывна на , если для любого существует такое, что для всех , следует, что . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$

Явно, когда функция равномерно непрерывна на , выбор , необходимый для выполнения определения, должен работать для всех для заданного . Напротив, когда функция непрерывна в каждой точке (или считается непрерывной на ), выбор может зависеть как от , так и от . В отличие от простой непрерывности, равномерная непрерывность — это свойство функции, которое имеет смысл только с указанной областью; говорить о равномерной непрерывности в одной точке бессмысленно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

На компактном множестве легко показать, что все непрерывные функции равномерно непрерывны. Если — ограниченное некомпактное подмножество , то существует , которое непрерывно, но не равномерно непрерывно. В качестве простого примера рассмотрим определяемое . Выбирая точки, близкие к 0, мы всегда можем сделать для любого одного выбора , для заданного . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|>\varepsilon }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Абсолютная непрерывность

Определение. Пусть будет интервалом на действительной прямой . Функция называется абсолютно непрерывной на , если для каждого положительного числа существует положительное число такое, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подынтервалов удовлетворяет ^[6] ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

затем

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Абсолютно непрерывные функции непрерывны: рассмотрим случай n = 1 в этом определении. Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на I обозначается AC( I ). Абсолютная непрерывность является фундаментальным понятием в теории интегрирования Лебега, позволяющим сформулировать обобщенную версию фундаментальной теоремы исчисления, которая применяется к интегралу Лебега.

Дифференциация

Понятие производной функции или дифференцируемости берет начало из концепции приближения функции вблизи заданной точки с помощью «наилучшего» линейного приближения. Это приближение, если оно существует, является единственным и задается линией, касательной к функции в заданной точке , а наклон линии является производной функции в . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Функция дифференцируема в точке , если предел ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

существует. Этот предел известен как производная от при ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ , а функция , возможно определенная только на подмножестве , является производной (или производной функцией ) от . Если производная существует всюду, функция называется дифференцируемой . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

Как простое следствие определения, непрерывна в , если она дифференцируема там. Дифференцируемость, таким образом, является более сильным условием регулярности (условием, описывающим «гладкость» функции), чем непрерывность, и функция может быть непрерывной на всей вещественной прямой, но не дифференцируемой нигде (см. нигде не дифференцируемую непрерывную функцию Вейерштрасса ). Можно также обсудить существование производных более высокого порядка, найдя производную производной функции и т. д. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Можно классифицировать функции по их классу дифференцируемости . Класс (иногда для указания интервала применимости) состоит из всех непрерывных функций. Класс состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция — это в точности функция, производная которой существует и принадлежит классу . В общем случае классы можно определить рекурсивно , объявив множеством всех непрерывных функций и объявив для любого положительного целого числа множеством всех дифференцируемых функций, производная которых принадлежит . В частности, содержится в для каждого , и есть примеры, показывающие, что это включение является строгим. Класс является пересечением множеств, поскольку изменяется по неотрицательным целым числам, а члены этого класса известны как гладкие функции . Класс состоит из всех аналитических функций и строго содержится в (см. функцию выпуклости для гладкой функции, которая не является аналитической). ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{0}([a,b])}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Ряд

Ряд формализует неточное понятие взятия суммы бесконечной последовательности чисел. Идея о том, что взятие суммы «бесконечного» числа членов может привести к конечному результату, была контринтуитивной для древних греков и привела к формулировке ряда парадоксов Зеноном и другими философами. Современное понятие присвоения значения ряду избегает работы с плохо определенным понятием сложения «бесконечного» числа членов. Вместо этого рассматривается конечная сумма первых членов последовательности, известная как частичная сумма, и понятие предела применяется к последовательности частичных сумм по мере ее неограниченного роста. Ряду присваивается значение этого предела, если он существует. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

При наличии (бесконечной) последовательности мы можем определить ассоциированный ряд как формальный математический объект , иногда просто записываемый как . Частичные суммы ряда — это числа . Ряд называется сходящимся, если последовательность, состоящая из его частичных сумм, , является сходящейся; в противном случае он является расходящимся . Сумма сходящегося ряда определяется как число . ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle (s_{n})}$ ${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$

Слово «сумма» используется здесь в метафорическом смысле как сокращение для взятия предела последовательности частичных сумм и не должно толковаться как простое «добавление» бесконечного числа членов. Например, в отличие от поведения конечных сумм, перестановка членов бесконечного ряда может привести к сходимости к другому числу (см. статью о теореме о перестановке Римана для дальнейшего обсуждения).

Примером сходящегося ряда является геометрический ряд , который лежит в основе одного из знаменитых парадоксов Зенона :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1.}$

Напротив, гармонический ряд был известен еще со времен Средневековья как расходящийся ряд:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty .}$

(Здесь « » — это просто условное обозначение, указывающее, что частичные суммы ряда растут неограниченно.) ${\displaystyle =\infty }$

Ряд считается абсолютно сходящимся, если является сходящимся. Сходящийся ряд, для которого расходится, называется не абсолютно сходящимся . ^[7] Легко показать, что абсолютная сходимость ряда влечет его сходимость. С другой стороны, примером ряда, который сходится не абсолютно, является ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2.}$

ряд Тейлора

Ряд Тейлора действительной или комплексной функции ƒ ( x ), которая бесконечно дифференцируема по действительному или комплексному числу a, называется степенным рядом

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

что можно записать в более компактной сигма-нотации как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

где n ! обозначает факториал n , а ƒ  ^{( n )} ( a ) обозначает n -ю производную ƒ , вычисленную в точке a . Производная нулевого порядка ƒ определяется как сама ƒ , а ( x − a ) ⁰ и 0! оба определяются как 1. В случае, когда a = 0 , ряд также называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора функции f относительно точки a может расходиться, сходиться только в точке a , сходиться для всех x таких, что (наибольшее такое R , для которого сходимость гарантирована, называется радиусом сходимости ), или сходиться на всей действительной прямой. Даже сходящийся ряд Тейлора может сходиться к значению, отличному от значения функции в этой точке. Если ряд Тейлора в точке имеет ненулевой радиус сходимости , и суммируется с функцией в круге сходимости , то функция является аналитической . Аналитические функции обладают многими фундаментальными свойствами. В частности, аналитическая функция действительной переменной естественным образом расширяется до функции комплексной переменной. Именно таким образом экспоненциальная функция , логарифм , тригонометрические функции и их обратные расширяются до функций комплексной переменной. ${\displaystyle |x-a|<R}$

ряд Фурье

Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . Ряды Фурье являются важным инструментом в реальном анализе.

Ряд Фурье разлагает периодические функции или периодические сигналы на сумму (возможно бесконечного) набора простых осциллирующих функций, а именно синусов и косинусов (или комплексных экспонент ). Изучение рядов Фурье обычно происходит и осуществляется в рамках раздела математика > математический анализ > анализ Фурье .

Интеграция

Интеграция — это формализация задачи нахождения площади, ограниченной кривой, и связанных с ней задач определения длины кривой или объема, ограниченного поверхностью. Основная стратегия решения задач такого типа была известна древним грекам и китайцам и называлась методом исчерпания . Вообще говоря, искомая площадь ограничивается сверху и снизу, соответственно, все более точными описывающими и вписывающими многоугольными приближениями, точные площади которых могут быть вычислены. Рассматривая приближения, состоящие из все большего и большего («бесконечного») числа все меньших и меньших («бесконечно малых») частей, можно вывести площадь, ограниченную кривой, поскольку верхняя и нижняя границы, определяемые приближениями, сходятся вокруг общего значения.

Дух этой базовой стратегии можно легко увидеть в определении интеграла Римана, в котором говорится, что интеграл существует, если верхняя и нижняя суммы Римана (или Дарбу) сходятся к общему значению при рассмотрении все более тонких прямоугольных срезов («уточнений»). Хотя техника, используемая для его определения, гораздо более сложна по сравнению с интегралом Римана, интеграл Лебега был определен с учетом схожих основных идей. По сравнению с интегралом Римана, более сложный интеграл Лебега позволяет определять и вычислять площадь (или длину, объем и т. д.; в общем случае называемую «мерой») для гораздо более сложных и нерегулярных подмножеств евклидова пространства, хотя все еще существуют «неизмеримые» подмножества, для которых площадь не может быть назначена.

Интеграция Римана

Интеграл Римана определяется в терминах сумм Римана функций относительно помеченных разбиений интервала. Пусть будет замкнутым интервалом действительной прямой; тогда помеченное разбиение будет конечной последовательностью ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Это разбивает интервал на подинтервалы, индексированные по , каждый из которых «помечен» выделенной точкой . Для функции, ограниченной на , мы определяем сумму Римана относительно помеченного разбиения как ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i},}$

где — ширина подынтервала . Таким образом, каждый член суммы — это площадь прямоугольника с высотой, равной значению функции в выделенной точке данного подынтервала, и шириной, равной ширине подынтервала. Сетка такого помеченного разбиения — это ширина наибольшего подынтервала, образованного разбиением, . Мы говорим, что интеграл Римана от равен , если для любого существует такое, что для любого помеченного разбиения с сеткой имеем ${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \|\Delta _{i}\|=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$ ${\displaystyle \|\Delta _{i}\|<\delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

Иногда это обозначается . Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно, минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана известна как верхняя (соответственно, нижняя) сумма Дарбу . Функция интегрируема по Дарбу , если верхнюю и нижнюю суммы Дарбу можно сделать произвольно близкими друг к другу для достаточно малой сетки. Хотя это определение придает интегралу Дарбу видимость частного случая интеграла Римана, на самом деле они эквивалентны в том смысле, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, и значения интегралов равны. Фактически, учебники по исчислению и реальному анализу часто объединяют эти два понятия, вводя определение интеграла Дарбу как определение интеграла Римана из-за немного более простого в применении определения первого. ${\textstyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$

Основная теорема исчисления утверждает, что интегрирование и дифференцирование являются в определенном смысле обратными операциями.

Интеграция и мера Лебега

Интеграция Лебега — это математическая конструкция, которая расширяет интеграл на более широкий класс функций; она также расширяет области , на которых эти функции могут быть определены. Понятие меры , абстракция длины, площади или объема, является центральным в теории вероятностей интеграла Лебега .

Распределения

Распределения (или обобщенные функции ) — это объекты, обобщающие функции . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет распределительную производную.

Отношение к комплексному анализу

Действительный анализ — это область анализа , которая изучает такие понятия, как последовательности и их пределы, непрерывность, дифференциация , интегрирование и последовательности функций. По определению, действительный анализ фокусируется на действительных числах , часто включая положительную и отрицательную бесконечность для формирования расширенной действительной линии . Действительный анализ тесно связан с комплексным анализом , который изучает в целом те же свойства комплексных чисел . В комплексном анализе естественно определять дифференциацию через голоморфные функции , которые обладают рядом полезных свойств, таких как повторная дифференцируемость, выразимость в виде степенного ряда и удовлетворение интегральной формуле Коши .

В реальном анализе обычно более естественно рассматривать дифференцируемые , гладкие или гармонические функции , которые более широко применимы, но могут не обладать некоторыми более мощными свойствами голоморфных функций. Однако такие результаты, как фундаментальная теорема алгебры, проще, когда выражаются в терминах комплексных чисел.

Методы теории аналитических функций комплексной переменной часто используются в действительном анализе, например, при вычислении действительных интегралов с помощью исчисления вычетов .

Важные результаты

Важные результаты включают теоремы Больцано–Вейерштрасса и Гейне–Бореля , теорему о промежуточном значении и теорему о среднем значении , теорему Тейлора , основную теорему исчисления , теорему Арцела–Асколи , теорему Стоуна–Вейерштрасса , лемму Фату , а также теоремы о монотонной сходимости и доминирующей сходимости .

Обобщения и смежные области математики

Различные идеи из действительного анализа могут быть обобщены с действительной прямой на более широкие или более абстрактные контексты. Эти обобщения связывают действительный анализ с другими дисциплинами и поддисциплинами. Например, обобщение таких идей, как непрерывные функции и компактность, из действительного анализа на метрические пространства и топологические пространства связывает действительный анализ с областью общей топологии , в то время как обобщение конечномерных евклидовых пространств на бесконечномерные аналоги привело к концепциям банаховых пространств и гильбертовых пространств и, в более общем плане, к функциональному анализу . Исследования Георгом Кантором множеств и последовательностей действительных чисел, отображений между ними и основополагающих вопросов действительного анализа породили наивную теорию множеств . Изучение вопросов сходимости последовательностей функций в конечном итоге привело к анализу Фурье как к поддисциплине математического анализа. Исследование последствий обобщения дифференцируемости с функций действительной переменной на функции комплексной переменной привело к концепции голоморфных функций и возникновению комплексного анализа как еще одной отдельной поддисциплины анализа. С другой стороны, обобщение интегрирования от Римана до Лебега привело к формулировке концепции абстрактных мерных пространств , фундаментальной концепции в теории меры . Наконец, обобщение интегрирования от действительной прямой до кривых и поверхностей в многомерном пространстве привело к изучению векторного исчисления , дальнейшее обобщение и формализация которого сыграли важную роль в развитии концепций дифференциальных форм и гладких (дифференцируемых) многообразий в дифференциальной геометрии и других тесно связанных областях геометрии и топологии .

Смотрите также

• Список реальных тем анализа
• Исчисление шкалы времени – объединение действительного анализа с исчислением конечных разностей
• Действительная многомерная функция
• Реальное координатное пространство
• Комплексный анализ

Ссылки

1. Тао, Теренс (2003). "Конспект лекций по MATH 131AH" (PDF) . Веб-сайт курса MATH 131AH, математический факультет, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе .
2. "Введение в последовательности". khanacademy.org .
3. Гоган, Эдвард (2009). "1.1 Последовательности и конвергенция". Введение в анализ . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
4. Некоторые авторы (например, Рудин 1976) используют фигурные скобки и пишут . Однако эта запись противоречит обычной записи для множества , которое, в отличие от последовательности, игнорирует порядок и кратность своих элементов. ${\displaystyle \{a_{n}\}}$
5. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентали (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
6. Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128, 129. Интервал I предполагается ограниченным и замкнутым в первых двух книгах, но не в последней.
7. Термин безусловная сходимость относится к рядам, сумма которых не зависит от порядка членов (т. е. любая перестановка дает ту же сумму). В противном случае сходимость называется условной . Для рядов в можно показать, что абсолютная сходимость и безусловная сходимость эквивалентны. Поэтому термин «условная сходимость» часто используется для обозначения неабсолютной сходимости. Однако в общем случае банаховых пространств члены не совпадают, и существуют безусловно сходящиеся ряды, которые не сходятся абсолютно. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Источники

• Атрея, Кришна Б.; Лахири, Сумендра Н. (2006), Теория меры и теория вероятностей , Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Нильсен, Оле А. (1997), Введение в теорию интеграции и меры , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Ройден, HL (1988), Реальный анализ (третье изд.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Библиография

• Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Бакалаврские тексты по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Aliprantis, Charalambos D. ; Burkinshaw, Owen (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Брессо, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: Введение . Бакалаврские тексты по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Карозерс, Нил Л. (2000). Real Analysis. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0521497565.
• Данжелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Колмогоров, АН ; Фомин, СВ (1975). Вводный вещественный анализ. Перевод Ричарда А. Сильвермана. Dover Publications. ISBN 0486612260. Получено 2 апреля 2013 г.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Спивак, Майкл (1994). Calculus (3-е изд.). Хьюстон , Техас: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X.

Внешние ссылки

• Как мы пришли оттуда сюда: история реального анализа Роберта Роджерса и Юджина Бомана
• Первый курс анализа Дональда Яу
• Анализ WebNotes Джона Линдсея Орра
• Интерактивный реальный анализ Берта Г. Ваксмута
• Первый курс анализа Джона О'Коннора
• Математический анализ I Элиаса Закона
• Математический анализ II Элиаса Закона
• Тренч, Уильям Ф. (2003). Введение в реальный анализ (PDF) . Prentice Hall . ISBN 978-0-13-045786-8.
• Самые ранние известные применения некоторых слов из области математики: исчисление и анализ
• Базовый анализ: Введение в реальный анализ Иржи Лебла
• Темы действительного и функционального анализа Джеральда Тешля , Венский университет.