Лемма Кальдерона – Зигмунда.

В математике лемма Кальдерона -Зигмунда является фундаментальным результатом анализа Фурье , гармонического анализа и сингулярных интегралов . Он назван в честь математиков Альберто Кальдерона и Антони Зигмунда .

Учитывая интегрируемую функцию f   : R ^d → C , где R ^d обозначает евклидово пространство , а C обозначает комплексные числа , лемма дает точный способ разделения R ^d на два множества : одно, где f существенно мало; другой - счетный набор кубов, где f существенно велико, но сохраняется некоторый контроль над функцией.      

Это приводит к соответствующему разложению Кальдерона-Зигмунда f , где f записывается как сумма «хороших» и «плохих» функций с использованием вышеуказанных наборов.    

Лемма о покрытии

Пусть f   : R ^d → C интегрируемо и α — положительная константа. Тогда существует открытое множество Ω такое, что: 

(1) Ω — непересекающееся объединение открытых кубов, Ω = ∪ _k Q _k , такое, что для каждого Q _k ,

${\displaystyle \alpha \leq {\frac {1}{m(Q_{k})}}\int _{Q_{k}}|f(x)|\,dx\leq 2^{d}\alpha .}$

(2) |  ж  ( Икс )| ≤ α почти всюду в дополнении F к Ω .

Здесь обозначает меру множества . ${\displaystyle m(Q_{k})}$ ${\displaystyle Q_{k}}$

Разложение Кальдерона – Зигмунда

Учитывая f, как указано выше, мы можем записать f как сумму «хорошей» функции g и «плохой» функции b , f   = g + b . Для этого определим     

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x),&x\in F,\\{\frac {1}{m(Q_{j})}}\int _{Q_{j}}f(t)\,dt,&x\in Q_{j},\end{cases}}}$

и пусть б знак равно   ж   - г. Следовательно, мы имеем, что

${\displaystyle b(x)=0,\ x\in F}$

${\displaystyle {\frac {1}{m(Q_{j})}}\int _{Q_{j}}b(x)\,dx=0}$

для каждого куба Q _j .

Таким образом, функция b поддерживается на наборе кубов, где f может быть «большим», но имеет то полезное свойство, что ее среднее значение равно нулю в каждом из этих кубов. Между тем, | г ( Икс )| ≤ α для почти каждого x в F и на каждом кубе в Ω g равно среднему значению f по этому кубу, которое при выбранном покрытии не превышает 2 ^d α .    

Смотрите также

• Сингулярные интегральные операторы типа свертки для доказательства и применения леммы в одном измерении.
• Лемма о восходящем солнце

Рекомендации

• Кальдерон А.П., Зигмунд А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Math , 88 : 85–139, doi : 10.1007/BF02392130 , S2CID  121580197{{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-Х
• Штейн, Элиас (1970). «Главы I – II». Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691080796.