В математике лемма Кальдерона -Зигмунда является фундаментальным результатом анализа Фурье , гармонического анализа и сингулярных интегралов . Он назван в честь математиков Альберто Кальдерона и Антони Зигмунда .
Учитывая интегрируемую функцию f : R d → C , где R d обозначает евклидово пространство , а C обозначает комплексные числа , лемма дает точный способ разделения R d на два множества : одно, где f существенно мало; другой - счетный набор кубов, где f существенно велико, но сохраняется некоторый контроль над функцией.
Это приводит к соответствующему разложению Кальдерона-Зигмунда f , где f записывается как сумма «хороших» и «плохих» функций с использованием вышеуказанных наборов.
Пусть f : R d → C интегрируемо и α — положительная константа. Тогда существует открытое множество Ω такое, что:
- (1) Ω — непересекающееся объединение открытых кубов, Ω = ∪ k Q k , такое, что для каждого Q k ,
- (2) | ж ( Икс )| ≤ α почти всюду в дополнении F к Ω .
Здесь обозначает меру множества .
Учитывая f, как указано выше, мы можем записать f как сумму «хорошей» функции g и «плохой» функции b , f = g + b . Для этого определим
и пусть б знак равно ж - г. Следовательно, мы имеем, что
для каждого куба Q j .
Таким образом, функция b поддерживается на наборе кубов, где f может быть «большим», но имеет то полезное свойство, что ее среднее значение равно нулю в каждом из этих кубов. Между тем, | г ( Икс )| ≤ α для почти каждого x в F и на каждом кубе в Ω g равно среднему значению f по этому кубу, которое при выбранном покрытии не превышает 2 d α .
{{citation}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )