Момент (математика)

В математике — количественная мера формы набора точек.

В математике моменты функции — это определенные количественные меры , связанные с формой графика функции . Если функция представляет плотность массы, то нулевой момент — это полная масса, первый момент (нормированный на полную массу) — это центр массы , а второй момент — это момент инерции . Если функция представляет собой распределение вероятностей , то первый момент — это ожидаемое значение , второй центральный момент — это дисперсия , третий стандартизированный момент — это асимметрия , а четвертый стандартизированный момент — это эксцесс . Математическое понятие тесно связано с понятием момента в физике.

Для распределения массы или вероятности на ограниченном интервале совокупность всех моментов (всех порядков от 0 до ∞ ) однозначно определяет распределение ( проблема моментов Хаусдорфа ). То же самое неверно на неограниченных интервалах ( проблема моментов Гамбургера ).

В середине XIX века Пафнутий Чебышев стал первым человеком, который систематически мыслил в терминах моментов случайных величин . ^[1]

Значимость моментов

n -ый необработанный момент (т.е. момент около нуля) случайной величины с функцией плотности определяется формулой ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle \mu '_{n}=\langle X^{n}\rangle {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\begin{cases}\sum _{i}x_{i}^{n}f(x_{i}),&{\text{discrete distribution}}\\\int x^{n}f(x)dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}}$$

-непрерывнойинтеграл ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Моменты для случайных величин можно определить более общим способом, чем моменты для вещественнозначных функций — см. моменты в метрических пространствах. Момент функции без дальнейших пояснений обычно относится к приведенному выше выражению с . Для второго и более высоких моментов обычно используется центральный момент (моменты около среднего значения, где c — среднее значение), а не моменты около нуля, поскольку они предоставляют более четкую информацию о форме распределения. ${\displaystyle c=0}$

Могут быть определены и другие моменты. Например, n- й обратный момент относительно нуля равен , а n -й логарифмический момент относительно нуля равен ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{-n}\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].}$

n - й момент около нуля функции плотности вероятности является ожидаемым значением и называется необработанным моментом или грубым моментом . ^[3] Моменты около его среднего значения называются центральными моментами ; они описывают форму функции независимо от перевода . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$

Если – функция плотности вероятности , то значение приведенного выше интеграла называется n -м моментом распределения вероятностей . В более общем смысле, если F — кумулятивная функция распределения вероятностей любого распределения вероятностей, которое может не иметь функции плотности, то n -й момент распределения вероятностей определяется интегралом Римана – Стилтьеса. ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)}$$

Xслучайная величинаFEоператор ожидания

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty }$$

n( n - 1)функции плотности вероятностифункцией плотности вероятности

Стандартизированные моменты

Нормализованный n -й центральный момент или стандартизированный момент представляет собой n -й центральный момент, разделенный на σ ⁿ ; нормированный n -й центральный момент случайной величины X равен

$${\displaystyle {\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}.}$$

Эти нормированные центральные моменты представляют собой безразмерные величины , которые представляют распределение независимо от любого линейного изменения масштаба.

Примечательные моменты

Иметь в виду

Первый необработанный момент — это среднее значение , обычно обозначаемое ${\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E} [X].}$

Дисперсия

Второй центральный момент – это дисперсия . Положительный квадратный корень дисперсии представляет собой стандартное отклонение. ${\displaystyle \sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.}$

асимметрия

Третий центральный момент — это мера однобокости распределения; любое симметричное распределение будет иметь третий центральный момент, если он определен, равный нулю. Нормированный третий центральный момент называется асимметрией , часто γ . Распределение, смещенное влево (хвост распределения длиннее слева), будет иметь отрицательную асимметрию. Распределение, смещенное вправо (хвост распределения длиннее справа), будет иметь положительную асимметрию.

Для распределений, которые не слишком отличаются от нормального распределения , медиана будет где-то около µ − γσ /6 ; мода около µ − γσ / 2 .

Куртозис

Четвертый центральный момент является мерой тяжести хвоста распределения. Поскольку это ожидание четвертой степени, четвертый центральный момент, если он определен, всегда неотрицательен; и за исключением точечного распределения , оно всегда строго положительно. Четвертый центральный момент нормального распределения равен 3 σ ⁴ .

Эксцесс κ определяется как стандартизированный четвертый центральный момент . (Точно так же, как и в следующем разделе, избыточный эксцесс — это четвертый кумулянт , разделенный на квадрат второго кумулянта .) ^{[4] [5]} Если распределение имеет тяжелые хвосты, эксцесс будет высоким (иногда его называют лептокуртическим); и наоборот, распределения с легким хвостом (например, ограниченные распределения, такие как равномерное) имеют низкий эксцесс (иногда называемый платикуртическим).

Эксцесс может быть неограниченно положительным, но κ должно быть больше или равно γ ² + 1 ; равенство справедливо только для двоичных распределений . Для неограниченных асимметричных распределений, не слишком далеких от нормального, κ имеет тенденцию находиться где-то в области γ ² и 2 γ ² .

Неравенство можно доказать, рассмотрев

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]}$$

Т знак равно ( Икс - μ )/ σaмногочленaдискриминант

Высшие моменты

Моменты высокого порядка — это моменты, выходящие за пределы моментов 4-го порядка.

Как и в случае с дисперсией, асимметрией и эксцессом, это статистика более высокого порядка , включающая нелинейные комбинации данных, и ее можно использовать для описания или оценки дальнейших параметров формы . Чем выше момент, тем сложнее его оценить, в том смысле, что для получения оценок аналогичного качества требуются более крупные выборки. Это связано с избыточными степенями свободы , потребляемыми высшими порядками. Кроме того, их может быть сложно интерпретировать, и зачастую их легче всего понять с точки зрения моментов более низкого порядка — сравните производные более высокого порядка от рывка и толчка в физике . Например, точно так же, как момент 4-го порядка (эксцесс) можно интерпретировать как «относительную важность хвостов по сравнению с плечами во вкладе в дисперсию» (при заданной величине дисперсии более высокий эксцесс соответствует более толстым хвостам, а меньший эксцесс соответствует к более широким плечам), момент 5-го порядка можно интерпретировать как измерение «относительной важности хвостов по сравнению с центром ( моды и плеч) в вкладе в асимметрию» (для заданной величины асимметрии более высокий 5-й момент соответствует большей асимметрии в хвостовой части и небольшой асимметрии моды, тогда как меньший 5-й момент соответствует большей асимметрии в плечах).

Смешанные моменты

Смешанные моменты — это моменты, включающие несколько переменных.

Величина называется моментом порядка (моменты также определены для нецелых ). Аналогично определяются моменты совместного распределения случайных величин . Для любых целых чисел математическое ожидание называется смешанным моментом порядка (где ), а центральным смешанным моментом порядка . Смешанный момент называется ковариацией и является одной из основных характеристик зависимости между случайными величинами. ${\displaystyle E[X^{k}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$ ${\displaystyle k_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=k_{1}+...+k_{n}}$ ${\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]}$

Некоторыми примерами являются ковариация , совместная асимметрия и кокуртозис . Несмотря на уникальную ковариацию, существует множество совместных асимметрий и кокуртосов.

Свойства моментов

Трансформация центра

С

$${\displaystyle (x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}}$$

биномиальный коэффициентba ${\textstyle {\binom {n}{i}}}$

$${\displaystyle E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}.}$$

Момент свертки функции

Необработанный момент свертки читается ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$

$${\displaystyle \mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]}$$

дифференцирования ${\displaystyle \mu _{n}[\,\cdot \,]}$ ${\displaystyle n}$

Кумулянты

Первый необработанный момент, а также второй и третий ненормированные центральные моменты аддитивны в том смысле, что если X и Y являются независимыми случайными величинами, то

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}}$$

(Они также могут выполняться для переменных, которые удовлетворяют более слабым условиям, чем независимость. Первое всегда выполняется; если выполняется второе, переменные называются некоррелированными ).

Фактически, это первые три кумулянта, и все кумулянты обладают этим свойством аддитивности.

Примеры моментов

Для всех k k - й исходный момент совокупности можно оценить, используя k -й исходный момент выборки.

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$$

X ₁ , ..., X _n,

Можно показать, что ожидаемое значение момента исходной выборки равно k -му исходному моменту совокупности, если этот момент существует, для любого размера выборки n . Таким образом, это несмещенная оценка. Это контрастирует с ситуацией с центральными моментами, при вычислении которых используется определенная степень свободы с использованием выборочного среднего. Так, например, несмещенная оценка дисперсии совокупности (второй центральный момент) определяется выражением

$${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$$

nn - 1 ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n-1}},}$

Проблема моментов

Задачи определения распределения вероятностей по его последовательности моментов называются задачами моментов . Впервые такие проблемы были обсуждены П. Л. Чебышевым (1874 г.) ^[6] в связи с исследованиями по предельным теоремам. Для того чтобы распределение вероятностей случайной величины однозначно определялось ее моментами, достаточно, например, выполнения условия Карлемана: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{k}=EX^{k}}$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty }$$

моментовf, ${\displaystyle {{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }}$ ${\displaystyle \alpha _{k}(n)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

$${\displaystyle \alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,}$$

${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle {\mu _{n}}'}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mu _{n}}'}$ ${\displaystyle \mu }$

Частичные моменты

Частичные моменты иногда называют «односторонними моментами». Нижний и верхний частичные моменты n -го порядка относительно опорной точки r можно выразить как

$${\displaystyle \mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,}$$

$${\displaystyle \mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Если интегральная функция не сходится, то парциальный момент не существует.

Частичные моменты нормализуются возведением в степень 1/ n . Отношение восходящего потенциала может быть выражено как отношение верхнего парциального момента первого порядка к нормализованному нижнему парциальному моменту второго порядка. Они использовались при определении некоторых финансовых показателей, таких как коэффициент Сортино , поскольку они ориентированы исключительно на положительные или отрицательные стороны.

Центральные моменты в метрических пространствах

Пусть ( M , d ) — метрическое пространство , и пусть B( M ) — борелевская σ -алгебра на M , σ -алгебра , порожденная d - открытыми подмножествами M. (По техническим причинам также удобно считать, что M — сепарабельное пространство относительно метрики d .) Пусть 1 ⩽ p ⩽ ∞ .

p -й центральный момент меры µ на ​​измеримом пространстве ( M , B( M )) относительно данной точки x ₀ ∈ M определяется как

$${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

Говорят, что µ имеет конечный p - й _{центральный} момент _, если p -й центральный момент µ относительно x0 конечен для некоторого x0 ∈ M.

Эта терминология мер переносится на случайные величины обычным способом: если (Ω, Σ, P ) — вероятностное пространство и X  : Ω → M — случайная величина, то p -й центральный момент X относительно x ₀ ∈ М определяется как

$${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],}$$

Xконечный p_{центральный} момент _,pXx0x0 ∈ M.

Смотрите также

• Энергия (обработка сигналов)
• Факториальный момент
• Обобщенное среднее
• Момент изображения
• L-момент
• Метод моментов (теория вероятностей)
• Метод моментов (статистика)
• Функция генерации момента
• Измерение момента
• Метод второго момента
• Стандартизированный момент
• Проблема моментов Стилтьеса
• Разложения Тейлора для моментов функций случайных величин

Рекомендации

• Текст был скопирован из Moment at the Encyclopedia of Mathematics, которая выпущена под лицензией Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 (Unported) (CC-BY-SA 3.0) и лицензией свободной документации GNU .

1. Джордж Макки (июль 1980 г.). «ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КАК ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ – ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 3 (1): 549.
2. Папулис, А. (1984). Вероятность, случайные величины и случайные процессы, 2-е изд . Нью-Йорк: МакГроу Хилл . стр. 145–149.
3. "Raw Moment - из Wolfram MathWorld" . Архивировано из оригинала 28 мая 2009 г. Проверено 24 июня 2009 г.Raw Moments в Math-world
4. Казелла, Джордж ; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (2-е изд.). Пасифик Гроув: Даксбери. ISBN 0-534-24312-6.
5. Балланда, Кевин П.; МакГилливрей, HL (1988). «Куртосис: критический обзор». Американский статистик . Американская статистическая ассоциация. 42 (2): 111–119. дои : 10.2307/2684482. JSTOR  2684482.
6. Феллер, В. (1957-1971). Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. 419 с.

дальнейшее чтение

• Спанос, Арис (1999). Теория вероятностей и статистический вывод . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 109–130. ISBN 0-521-42408-9.
• Уокер, Хелен М. (1929). Исследования по истории статистического метода с особым упором на некоторые проблемы образования. Балтимор, Williams & Wilkins Co. p. 71.

Внешние ссылки

• «Момент», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Моменты в Mathworld