пространство Шварца

В математике пространство Шварца ${\mathcal {S}}$ — это функциональное пространство всех функций , производные которых быстро убывают. Это пространство обладает важным свойством, что преобразование Фурье является автоморфизмом на этом пространстве. Это свойство позволяет, по двойственности, определить преобразование Фурье для элементов в двойственном пространстве , то есть для умеренных распределений . Функция в пространстве Шварца иногда называется функцией Шварца . ${\mathcal {S}}^{*}$ ${\mathcal {S}}$

Пространство Шварца названо в честь французского математика Лорана Шварца .

Определение

Пусть — множество неотрицательных целых чисел , и для любого — n -кратное декартово произведение . $\mathbb {N}$ $n\in \mathbb {N}$ $\mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}$

Пространство Шварца или пространство быстро убывающих функций на — это функциональное пространство , где — функциональное пространство гладких функций из в , и Здесь обозначает супремум , и мы использовали многоиндексную запись , т.е. и . $\mathbb {R} ^{n}$ $S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},$ $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C}$ $\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.$ $\sup$ ${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$ $D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}$

Чтобы перевести это определение на общий язык, можно было бы рассматривать быстро убывающую функцию как по сути функцию $f (x)$ такую, что $f (x)$ , $f'(x)$ , $f''(x)$ , ... все существуют всюду на $R$ и стремятся к нулю при $x$ $\to \pm\infty$ быстрее, чем любая обратная степень $x$ . В частности, $S$ ( $R$ ^$n$ , $C$ ) является подпространством функционального пространства $C$ ^$\infty$ ( $R$ ^$n$ , $C$ ) гладких функций из $R n$ в $C$ .

Примеры функций в пространстве Шварца

Если — мультииндекс, а — положительное действительное число , то ${\boldsymbol {\alpha }}$
${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).$
Любая гладкая функция f с компактным носителем принадлежит S ( R ⁿ ). Это ясно, поскольку любая производная f непрерывна и носит носитель f , поэтому ( имеет максимум в R ⁿ по теореме об экстремальном значении . ${\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f$
Поскольку пространство Шварца является векторным пространством, любой многочлен можно умножить на множитель для действительной константы, чтобы получить элемент пространства Шварца. В частности, существует вложение многочленов внутрь пространства Шварца. $\phi ({\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }})$ $e^{-ax^{2}}$ $a>0$

Характеристики

Аналитические свойства

Из правила Лейбница следует, что $𝒮(R n)$ также замкнуто относительно поточечного умножения :
Если $f, g \in 𝒮(R n)$ , то произведение $fg \in 𝒮(R n)$ .

В частности, это означает, что $𝒮(R n)$ является $R$ -алгеброй. В более общем случае, если $f \in 𝒮(R)$ и $H$ является ограниченной гладкой функцией с ограниченными производными всех порядков, то $fH \in 𝒮(R)$ .

Преобразование Фурье представляет собой линейный изоморфизм $F:𝒮(R n) \to 𝒮(R n)$ .
Если $f \in 𝒮(R)$ , то $f$ равномерно непрерывна на $R$ .
$𝒮(R n)$ — выделенное локально выпуклое TVS Фреше- Шварца над комплексными числами .
И $𝒮(R n)$ , и его сильное двойственное пространство также являются:

полные хаусдорфовы локально выпуклые пространства,
ядерные пространства Монтеля ,

Известно, что в двойственном пространстве любого пространства Монтеля последовательность сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой* топологии , ^[1]

Связь пространств Шварца с другими топологическими векторными пространствами

Если $1 \leq p \leq \infty$ , то $𝒮(R n) \subset L p (R n)$ .
Если $1$ $\leq p < \infty$ , то $𝒮(R n)$ плотно в $L$ p $($ $R$ $n$ $)$ .
Пространство всех функций выпуклости , $C \infty с (R n)$ , входит в $𝒮(R n)$ .

Смотрите также

Ссылки

^ Тревес 2006, стр. 351–359.

Источники

Хермандер, Л. (1990). Анализ линейных частных дифференциальных операторов I, (Теория распределения и анализ Фурье) (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Функциональный анализ I (пересмотренное и дополненное издание). Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Анализ Фурье: Введение (Принстонские лекции по анализу I) . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11384-X.
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

В данной статье использованы материалы из раздела «Пространство быстро убывающих функций» на сайте PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .