Полное топологическое векторное пространство

TVS, в которой точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда будут сходиться в точку

В функциональном анализе и смежных областях математики полное топологическое векторное пространство — это топологическое векторное пространство (TVS) со свойством, что всякий раз, когда точки становятся все ближе друг к другу, то существует некоторая точка, к которой они все становятся ближе. Понятие «точки, которые становятся все ближе» становится строгим с помощью сетей Коши или фильтров Коши , которые являются обобщениями последовательностей Коши , в то время как «точка , к которой они все становятся ближе» означает, что эта сеть Коши или фильтр сходится к Понятие полноты для TVS использует теорию равномерных пространств в качестве основы для обобщения понятия полноты для метрических пространств . Но в отличие от метрической полноты, TVS-полнота не зависит ни от какой метрики и определяется для всех TVS, включая те, которые не являются метризуемыми или хаусдорфовыми . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Полнота — чрезвычайно важное свойство для топологического векторного пространства. Понятия полноты для нормированных пространств и метризуемых TVS , которые обычно определяются в терминах полноты конкретной нормы или метрики, могут быть сведены к этому понятию TVS-полноты — понятию, которое не зависит от какой-либо конкретной нормы или метрики. Метризуемое топологическое векторное пространство с метрикой, инвариантной относительно трансляции ^{[примечание 1],} является полным как TVS тогда и только тогда, когда является полным метрическим пространством , что по определению означает, что каждая - последовательность Коши сходится к некоторой точке в Известные примеры полных TVS, которые также являются метризуемыми, включают все F-пространства и, следовательно, также все пространства Фреше , банаховы пространства и гильбертовы пространства . Яркими примерами полных TVS, которые (обычно) не метризуемы, являются строгие LF-пространства , такие как пространство тестовых функций с его канонической LF-топологией, сильное сопряженное пространство любого ненормируемого пространства Фреше , а также многие другие полярные топологии на непрерывном сопряженном пространстве или другие топологии на пространствах линейных отображений . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Явно, топологическое векторное пространство (TVS) является полным , если каждая сеть или, что эквивалентно, каждый фильтр , который является Коши относительно канонической однородности пространства , обязательно сходится к некоторой точке. Иными словами, TVS является полным, если его каноническая однородность является полной однородностью . Каноническая однородность на TVS является уникальной ^{[примечание 2]} трансляционно-инвариантной однородностью , которая индуцирует на топологии Это понятие «полноты TVS» зависит только от вычитания векторов и топологии TVS; следовательно, его можно применять ко всем TVS, включая те, топологии которых не могут быть определены в терминах метрик или псевдометрик . TVS с первой счетностью является полным тогда и только тогда, когда каждая последовательность Коши (или, что эквивалентно, каждый элементарный фильтр Коши) сходится к некоторой точке. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Каждое топологическое векторное пространство, даже если оно не метризуемо или не хаусдорфово , имеет пополнение , которое по определению является полным TVS, в которое может быть TVS-вложено как плотное векторное подпространство . Более того, каждое хаусдорфово TVS имеет хаусдорфово пополнение, которое обязательно единственно с точностью до TVS-изоморфизма . Однако, как обсуждается ниже, все TVS имеют бесконечно много нехаусдорфовых пополнений, которые не TVS-изоморфны друг другу. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

Определения

В этом разделе суммируется определение полного топологического векторного пространства (TVS) в терминах как сетей , так и предварительных фильтров . Информацию о сходимости сетей и фильтров, такую ​​как определения и свойства, можно найти в статье о фильтрах в топологии .

Каждое топологическое векторное пространство (TVS) представляет собой коммутативную топологическую группу с тождеством относительно сложения, а каноническая однородность TVS определяется исключительно в терминах вычитания (и, следовательно, сложения); скалярное умножение не задействовано, и никакая дополнительная структура не требуется.

Каноническое единообразие

Диагональ — это множество ^[1] и для любого ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$$ ${\displaystyle N\subseteq X,}$канонический антураж /окрестность вокруг ${\displaystyle N}$- это множество , где еслитогдасодержит диагональ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle 0\in N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

Если — симметричное множество (то есть, если ), то — симметричное , что по определению означает, что выполняется , где и, кроме того, композиция этого симметричного множества с самим собой имеет вид: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N=N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$$

Если — любой базис соседства в начале координат в , то семейство подмножеств является предварительным фильтром на Если — фильтр соседства в начале координат в , то образует базу окружений для однородной структуры на , которая считается канонической. [ ^2] Явно, по определению, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\times X:}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ ${\displaystyle X}$каноническая однородность на ,индуцированная ${\displaystyle X}$ ^[2],являетсяфильтромна ,сгенерированным вышеуказанным предварительным фильтром: гдеобозначаетзамыканиевверхв Та же каноническая однородность была бы получена при использовании базиса соседства начала координат вместо фильтра всех окрестностей начала координат. Еслиявляется любым базисом соседства в начале координат в ,то фильтр на ,сгенерированный предварительным фильтром,равен канонической однородности, индуцированной ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ ${\displaystyle X\times X}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ and }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

сетка Коши

Общая теория равномерных пространств имеет свое определение "предфильтра Коши" и "сети Коши". Для канонической равномерности эти определения сводятся к приведенным ниже. ${\displaystyle X,}$

Предположим, что есть сеть в и есть сеть в Произведение становится направленным множеством, если объявить, что если и только если и Тогда обозначает ( декартово ) ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle i\leq i_{2}}$ ${\displaystyle j\leq j_{2}.}$ $${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$продукт сети , где в частности, еслитогда изображение этой сети под векторной картой сложенияобозначает ${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$сумма этих двух сетей:^[3] и аналогично их $${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$Разность определяется как изображение сети произведения при отображении вычитания векторов: В частности, обозначениеобозначает-индексированную сеть, а не-индексированную сеть,поскольку использование последнего в качестве определения сделало бы обозначение бесполезным. ${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$ $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$ ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$

Сеть в TVS называется сетью Коши ^[4] , если Явно это означает, что для каждой окрестности в существует некоторый индекс такой, что для всех индексов , удовлетворяющих и Достаточно проверить любое из этих определяющих условий для любого заданного базиса окрестности в Последовательность Коши — это последовательность, которая также является сетью Коши. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle i\geq i_{0}}$ ${\displaystyle j\geq i_{0}.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Если тогда в и поэтому непрерывность отображения вычитания векторов , которое определяется как гарантирует, что в где и Это доказывает, что каждая сходящаяся сеть является сетью Коши. По определению, пространство называется полным, если обратное также всегда верно. То есть является полным тогда и только тогда, когда выполняется следующее: ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle S:X\times X\to X,}$ ${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$ ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$ ${\displaystyle X}$

всякий раз, когда есть сеть в тогда сходится (к некоторой точке) в тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

Аналогичная характеристика полноты сохраняется, если вместо сетей используются фильтры и предварительные фильтры.

Серия называется ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$Ряд Коши (соответственно,сходящийся ряд ), если последовательностьчастичных сумм являетсяпоследовательностью Коши(соответственно,сходящейся последовательностью).^[5]Каждый сходящийся ряд обязательно является рядом Коши. В полной TVS каждый ряд Коши обязательно является сходящимся рядом. ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$

Фильтр Коши и предварительный фильтр Коши

Предварительный фильтр в топологическом векторном пространстве называется предварительным фильтром Коши ^[6], если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$в ${\displaystyle X.}$
   • Семья — это предварительный фильтр. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
   • Явно это означает, что для каждой окрестности начала координат существуют такие, что ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$в ${\displaystyle X.}$
   • Семейство является эквивалентом предварительного фильтра ( эквивалентность означает, что эти предварительные фильтры генерируют один и тот же фильтр ). ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
   • Явно это означает, что для каждой окрестности начала координат существует такая , что ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. Для каждой окрестности начала координат в содержится некоторое -малое множество (то есть существует такое, что ). ^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N}$
   • Подмножество называется -малым или ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle N}$малый порядка ${\displaystyle N}$ ^[6],если ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. Для каждой окрестности начала координат существуют некоторые и некоторые такие, что ^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$
   • Это утверждение остается верным, если заменить " " на " " ${\displaystyle B\subseteq x+N}$ ${\displaystyle x+B\subseteq N.}$
5. Каждая окрестность начала координат в содержит некоторое подмножество вида где и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x+B}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Достаточно проверить любое из вышеперечисленных условий для любого заданного базиса окрестности в Фильтр Коши — это предварительный фильтр Коши, который также является фильтром на ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

Если — предварительный фильтр на топологическом векторном пространстве , и если то в тогда и только тогда, когда и — Коши. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Полное подмножество

Для любого предварительный фильтр обязательно является подмножеством ; то есть, ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Подмножество TVS называется ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$полное подмножество , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Каждый предварительный фильтр Коши сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • Если является хаусдорфовым, то каждый предварительный фильтр на будет сходиться не более чем к одной точке Но если не является хаусдорфовым, то предварительный фильтр может сходиться к нескольким точкам в То же самое верно и для сетей. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Каждая сеть Коши в сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$является полным равномерным пространством (в соответствии с определением « полного равномерного пространства » в топологии точечной топологии ), когда наделено однородностью, индуцированной на нем канонической однородностью ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Подмножество называется ${\displaystyle S}$последовательно полное подмножество , если каждая последовательность Коши в(или, что эквивалентно, каждый элементарный фильтр Коши/предварительный фильтр в) сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Важно отметить, что сходимость к точкам вне не препятствует полноте множества ${\displaystyle S}$ : если оно не является хаусдорфовым и если каждый предварительный фильтр Коши на сходится к некоторой точке из , то множество будет полным, даже если некоторые или все предварительные фильтры Коши на также сходятся к точкам из Короче говоря, нет требования, чтобы эти предварительные фильтры Коши на сходились только к точкам из То же самое можно сказать и о сходимости сетей Коши в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$

Как следствие, если TVS не является хаусдорфовым, то каждое подмножество замыкания в является полным, поскольку оно компактно, а каждое компактное множество обязательно является полным. В частности, если является собственным подмножеством, таким как, например, то будет полным, даже если каждая сеть Коши в (а также каждый предварительный фильтр Коши в ) сходится к каждой точке в , включая те точки в , которые не принадлежат Этот пример также показывает, что полные подмножества (и, действительно, даже компактные подмножества) нехаусдорфового TVS могут оказаться не замкнутыми. Например, если то тогда и только тогда, когда замкнуто в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Полное топологическое векторное пространство

Топологическое векторное пространство называется ${\displaystyle X}$полное топологическое векторное пространство, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. ${\displaystyle X}$является полным однородным пространством, когда оно наделено своей канонической однородностью.
   • В общей теории равномерных пространств равномерное пространство называется полным равномерным пространством , если каждый фильтр Коши на сходится к некоторой точке в топологии, индуцированной равномерностью. Когда является TVS, топология, индуцированная канонической равномерностью, равна заданной топологии (поэтому сходимость в этой индуцированной топологии является просто обычной сходимостью в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$является полным подмножеством самого себя.
3. Существует окрестность начала координат , которая также является полным подмножеством ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Это означает, что каждое локально компактное TVS является полным (даже если TVS не является хаусдорфовым).
4. Каждый предварительный фильтр Коши сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Если является хаусдорфовым, то каждый предварительный фильтр на будет сходиться не более чем к одной точке Но если не является хаусдорфовым, то предварительный фильтр может сходиться к нескольким точкам в То же самое верно и для сетей. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. Каждый фильтр Коши сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
6. Каждая сеть Коши в сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

где если в дополнение является псевдометризуемым или метризуемым (например, нормированное пространство ), то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle X}$последовательно завершен.

Топологическое векторное пространство — это ${\displaystyle X}$последовательно завершено, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. ${\displaystyle X}$является последовательно полным подмножеством самого себя.
2. Каждая последовательность Коши в сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Каждый элементарный предварительный фильтр Коши сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. Каждый элементарный фильтр Коши сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Уникальность канонического единообразия

Существование канонической однородности было продемонстрировано выше путем ее определения. Теорема ниже устанавливает, что каноническая однородность любого TVS является единственной однородностью , которая является как (1) инвариантной относительно трансляции, так и (2) порождающей на топологии ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Теорема ^[7]  (Существование и единственность канонической однородности)  —  Топология любого TVS может быть выведена из единственной трансляционно-инвариантной однородности. Если — любая окрестность начала координат, то семейство является базой для этой однородности. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ ${\displaystyle \left\{\Delta (N):N\in {\mathcal {N}}(0)\right\}}$

Этот раздел посвящен объяснению точных значений терминов, используемых в этом заявлении об уникальности.

Равномерные пространства и трансляционно-инвариантные однородности

Для любых подмножеств пусть ^[1] и пусть Непустое семейство называется ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$ $${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$база окружения илифундаментальная система окружения, еслиявляетсяпредварительным фильтром,удовлетворяющим всем следующим условиям: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\times X}$

1. Каждый набор в содержит диагональ как подмножество; то есть, для каждого Саида по-разному, предварительный фильтр фиксируется на ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. Для каждого существует такое , что ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. Для каждого существует такое , что ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

Аоднородность илиравномерная структура наявляетсяфильтромна, который генерируется некоторой базой окружения,в этом случае мы говорим, чтоэтобаза окружения для ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Для коммутативной аддитивной группы a ${\displaystyle X,}$Трансляционно-инвариантная фундаментальная система окружений ^[7]— это фундаментальная система окружений,такая что для каждоготогда и только тогда, когдадля всехA однородностьназывается ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ ${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Переводно-инвариантная однородность ^[7],если она имеет базу окружения, которая является переводно-инвариантной. Каноническая однородность на любом TVS является переводно-инвариантной.^[7]

Бинарный оператор удовлетворяет всем следующим условиям: ${\displaystyle \;\circ \;}$

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• Если и тогда ${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$ ${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• Ассоциативность: ${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• Личность: ${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• Ноль: ${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

Симметричные антураж

Назовем подмножество симметричным, если что эквивалентно Эта эквивалентность следует из тождества и того факта, что если , то тогда и только тогда, когда Например, множество всегда симметрично для каждого И, потому что если и симметричны, то также ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$ ${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$ ${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$ ${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi \cap \Psi .}$

Топология, созданная однородностью

Родственники

Пусть будут произвольными и пусть — канонические проекции на первую и вторую координаты соответственно. ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$

Для любого определяемого , где (соответственно, ) называется множеством левых (соответственно, правых ) -относительных (точек в ) Обозначим особый случай, где является одноэлементным множеством для некоторого , как: Если то Более того, право распределяется как по объединениям, так и по пересечениям, что означает, что если то и ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$$ $${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ ${\displaystyle \Phi \cdot S}$ ${\displaystyle S\cdot \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S=\{p\}}$ ${\displaystyle p\in X}$ $${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$$ $${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$ ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$ ${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

Районы и открытые пространства

Две точки и являются -близкими , если и подмножество называется -малым, если ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

Пусть будет база окружения на ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$ ${\displaystyle X.}$Предварительный фильтр соседства в точкеи, соответственно, на подмножестве— этосемейства множеств: и фильтры,которые каждый из них генерирует, известны как ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle X}$Фильтр соседства (соответственно, из). Назначьте каждомупредварительный фильтр соседства и используйтеопределение соседства "открытого множества", чтобы получитьтопологиюна ,называемуютопологией, индуцированнойили ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$индуцированная топология . Явно, подмножествооткрыто в этой топологии тогда и только тогда, когда для каждогосуществует такое, чтото есть,открыто тогда и только тогда, когда для каждогосуществует такое, что ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$ ${\displaystyle N\subseteq U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

Замыкание подмножества в этой топологии: ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

Предварительные фильтры Коши и полная однородность

Предварительный фильтр на однородном пространстве с однородностью называется предварительным фильтром Коши , если для каждого окружения существует такой , что ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

Равномерное пространство называется ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$полное равномерное пространство (соответственно,последовательно полное равномерное пространство ), если каждый предварительный фильтр Коши (соответственно, каждый элементарный предварительный фильтр Коши) насходится по крайней мере к одной точке ,когданаделено топологией, индуцированной ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Случай топологического векторного пространства

Если — топологическое векторное пространство , то для любых и топология, индуцированная канонической однородностью, совпадает с топологией, с которой начиналось (то есть, это ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

Равномерная непрерывность

Пусть и будут TVS, а будет отображением. Тогда равномерно непрерывно, если для каждой окрестности начала координат в существует окрестность начала координат в такая, что для всех , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x,y\in D,}$ ${\displaystyle y-x\in U}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Предположим, что равномерно непрерывно. Если является сетью Коши в , то является сетью Коши в Если является предфильтром Коши в (то есть является семейством подмножеств , которое является Коши в ), то является предфильтром Коши в Однако, если является фильтром Коши в , то хотя будет предфильтром Коши , он будет фильтром Коши в , если и только если является сюръективным. ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$

Полнота TVS против полноты (псевдо)метрик

Предварительные сведения: Полные псевдометрические пространства

Мы рассмотрим основные понятия, связанные с общей теорией полных псевдометрических пространств. Напомним, что каждая метрика является псевдометрикой , а псевдометрика является метрикой тогда и только тогда, когда подразумевает Таким образом, каждое метрическое пространство является псевдометрическим пространством , а псевдометрическое пространство является метрическим пространством тогда и только тогда, когда является метрикой. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$

Если является подмножеством псевдометрического пространства , то диаметр определяется как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

Предварительный фильтр на псевдометрическом пространстве называется предварительным фильтром Коши или просто предварительным фильтром Коши, если для каждого действительного числа существует такой , что диаметр меньше ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r.}$

Предположим, что это псевдометрическое пространство. Сеть в называется -сетью Коши или просто сетью Коши , если является предварительным фильтром Коши, что происходит тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$

для каждого есть некоторые такие, что если с и тогда ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j,k\in I}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle k\geq i}$ ${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда в Это аналогично следующей характеристике сходимости к точке: если тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Последовательность Коши — это последовательность, которая также является сетью Коши. ^{[примечание 3]}

Каждая псевдометрика на множестве индуцирует обычную каноническую топологию , на которой мы обозначим через ; она также индуцирует каноническую однородность , на которой мы обозначим через Топология на , индуцированная однородностью, равна Сеть в является Коши относительно тогда и только тогда, когда она является Коши относительно однородности Псевдометрическое пространство является полным (соответственно, последовательно полным) псевдометрическим пространством тогда и только тогда, когда является полным (соответственно, последовательно полным) однородным пространством. Более того, псевдометрическое пространство (соответственно, однородное пространство ) является полным тогда и только тогда, когда оно является последовательно полным. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$ ${\displaystyle \tau _{p}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$

Псевдометрическое пространство (например, метрическое пространство ) называется полным и называется полной псевдометрикой, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

1. Каждый предварительный фильтр Коши сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Вышеприведенное утверждение, но с заменой слова «предварительный фильтр» на «фильтр».
3. Каждая сеть Коши в сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Если является метрикой на , то любая предельная точка обязательно уникальна, и то же самое верно для пределов предварительных фильтров Коши на ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. Каждая последовательность Коши в сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Таким образом, чтобы доказать полноту, достаточно рассмотреть только последовательности Коши в (и нет необходимости рассматривать более общие сети Коши). ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$
5. Каноническая однородность, индуцированная псевдометрикой, является полной однородностью. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

И если сложение является метрикой, то мы можем добавить к этому списку: ${\displaystyle d}$

6. Каждая убывающая последовательность замкнутых шаров, диаметры которых уменьшаются до , имеет непустое пересечение. ^[8] ${\displaystyle 0}$

Полная псевдометрика и полная TVS

Каждое F-пространство , а значит, и каждое пространство Фреше , банахово пространство и гильбертово пространство является полным TVS. Обратите внимание, что каждое F -пространство является пространством Бэра, но существуют нормированные пространства, которые являются пространствами Бэра, но не банаховы. ^[9]

Псевдометрика на векторном пространстве называется ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$Псевдометрический инвариант трансляции, еслидля всех векторов ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$

Предположим, что является псевдометризуемым TVS (например, метризуемым TVS) и что является любой псевдометрикой на такой, что топология на , индуцированная с помощью , равна Если является трансляционно-инвариантным, то является полным TVS тогда и только тогда, когда является полным псевдометрическим пространством. ^[10] Если не является трансляционно-инвариантным, то может быть возможным для быть полным TVS, но не быть полным псевдометрическим пространством ^[10] (см. эту сноску ^{[примечание 4]} для примера). ^[10] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,p)}$

Теорема ^{[11] [12]}  (Кли)  —  Пусть будет любой ^{[примечание 5]} метрикой на векторном пространстве, такой, что топология, индуцированная на , делает топологическое векторное пространство. Если — полное метрическое пространство, то — полное TVS. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Полные нормы и эквивалентные нормы

Две нормы на векторном пространстве называются эквивалентными тогда и только тогда, когда они индуцируют одну и ту же топологию. ^[13] Если и являются двумя эквивалентными нормами на векторном пространстве , то нормированное пространство является банаховым пространством тогда и только тогда, когда является банаховым пространством. См. эту сноску для примера непрерывной нормы на банаховом пространстве, которая не эквивалентна заданной норме этого банахова пространства. ^{[примечание 6] [13]} Все нормы на конечномерном векторном пространстве эквивалентны, и каждое конечномерное нормированное пространство является банаховым пространством. ^[14] Каждое банахово пространство является полным TVS. Нормированное пространство является банаховым пространством (то есть его каноническая норма-индуцированная метрика является полной) тогда и только тогда, когда оно является полным как топологическое векторное пространство. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$

Завершения

Пополнение ^[15] TVS — это полное TVS, которое содержит плотное векторное подпространство, которое TVS-изоморфно Другими словами, это полное TVS, в которое может быть TVS-вложено как плотное векторное подпространство . Каждое TVS-вложение является равномерным вложением . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

Каждое топологическое векторное пространство имеет пополнение. Более того, каждое хаусдорфово TVS имеет хаусдорфово пополнение, которое обязательно единственно с точностью до TVS-изоморфизма . Однако все TVS, даже те, которые являются хаусдорфовыми, (уже) полными и/или метризуемыми, имеют бесконечно много нехаусдорфовых пополнений, которые не TVS-изоморфны друг другу.

Примеры доработок

Например, векторное пространство, состоящее из простых скалярных функций , для которых (где эта полунорма определяется обычным способом в терминах интегрирования Лебега ), становится полунормированным пространством, если наделить его этой полунормой, что, в свою очередь, превращает его как в псевдометрическое пространство , так и в нехаусдорфово неполное TVS; любое пополнение этого пространства является нехаусдорфовым полным полунормированным пространством, которое при факторизации по замыканию его начала (так, чтобы получить хаусдорфово TVS ) дает (пространство, линейно изометрически изоморфное ) обычному полному Хаусдорфову -пространству (наделенному обычной полной нормой ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|_{p}<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

В качестве другого примера, демонстрирующего полезность пополнений, пополнения топологических тензорных произведений , таких как проективные тензорные произведения или инъективные тензорные произведения , банахова пространства с полным хаусдорфовым локально выпуклым TVS приводят к полному TVS, которое TVS-изоморфно "обобщенному" -пространству, состоящему из -значных функций на (где это "обобщенное" TVS определяется аналогично исходному пространству скалярнозначных функций на ). Аналогично, пополнение инъективного тензорного произведения пространства скалярнозначных -тестовых функций с таким TVS TVS-изоморфно аналогично определенному TVS -значных тестовых функций. ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(S;Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Неуникальность всех завершений

Как показывает пример ниже, независимо от того, является ли пространство хаусдорфовым или уже полным, каждое топологическое векторное пространство (TVS) имеет бесконечно много неизоморфных пополнений. ^[16]

Однако каждое хаусдорфово TVS имеет хаусдорфово пополнение, которое является единственным с точностью до TVS-изоморфизма. ^[16] Но тем не менее каждое хаусдорфово TVS все еще имеет бесконечно много неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.

Пример ( Неединственность пополнений ): ^[15] Пусть обозначает любое полное TVS, а пусть обозначает любое TVS, наделенное недискретной топологией , что, напомним, превращает в полное TVS. Поскольку и являются полными TVS, то и их произведением является Если и являются непустыми открытыми подмножествами и соответственно, то и что показывает, что является плотным подпространством Таким образом, по определению «пополнения», является пополнением (неважно, что уже является полным). Таким образом, отождествляя с , если является плотным векторным подпространством , то имеет и как пополнения. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle U=I}$ ${\displaystyle (U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle I\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C}$

Хаусдорфовы дополнения

Каждое хаусдорфово TVS имеет хаусдорфово пополнение, которое является единственным с точностью до TVS-изоморфизма. ^[16] Но тем не менее, как показано выше, каждое хаусдорфово TVS все еще имеет бесконечно много неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.

Свойства хаусдорфовых пополнений ^[17]  —  Предположим, что и являются хаусдорфовыми TVS с полным. Предположим, что является TVS-вложением на плотное векторное подпространство Тогда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E:X\to C}$ ${\displaystyle C.}$

Универсальное свойство : для каждого непрерывного линейного отображения в полное хаусдорфово TVS существует единственное непрерывное линейное отображение такое, что ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle F:C\to Z}$ ${\displaystyle f=F\circ E.}$

Если — вложение TVS в плотное векторное подпространство полного Хаусдорфова TVS, обладающее указанным выше универсальным свойством, то существует единственный (биективный) TVS-изоморфизм такой, что ${\displaystyle E_{2}:X\to C_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle I:C\to C_{2}}$ ${\displaystyle E_{2}=I\circ E.}$

Следствие ^[17]  —  Предположим, что есть полное хаусдорфово TVS и — плотное векторное подпространство Тогда каждое непрерывное линейное отображение в полное хаусдорфово TVS имеет единственное непрерывное линейное расширение до отображения ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C\to Z.}$

Существование Хаусдорфовых дополнений

Фильтр Коши на TVS называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$минимальный фильтр Коши ^[17],еслинесуществует фильтра Коши на, который строго грубее, чем(то есть «строго грубее, чем» означает содержащийся как собственное подмножество). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Если является фильтром Коши на , то фильтр, сгенерированный следующим предварительным фильтром: является единственным минимальным фильтром Коши на , который содержится как подмножество ^[17] В частности, для любого фильтра окрестности в является минимальным фильтром Коши. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left\{B+N~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$

Пусть будет множеством всех минимальных фильтров Коши на , а пусть будет отображением, определенным путем отправки в соседний фильтр в Наделить следующей структурой векторного пространства: Даны и скаляр пусть (соответственно ) обозначают уникальный минимальный фильтр Коши, содержащийся в фильтре, сгенерированном (соответственно ). ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}+{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left\{B+C:B\in {\mathcal {B}},C\in {\mathcal {C}}\right\}}$ ${\displaystyle \{sB:B\in {\mathcal {B}}\}}$

Для каждой сбалансированной окрестности начала координат в пусть ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \mathbb {U} (N)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {M} ~:~{\text{ there exist }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and a neighborhood }}V{\text{ of the origin in }}X{\text{ such that }}B+V\subseteq N\right\}}$$

Если является хаусдорфовым, то совокупность всех множеств как диапазонов по всем сбалансированным окрестностям начала в образует векторную топологию при превращении в полный хаусдорфов TVS. Более того, отображение является TVS-вложением на плотное векторное подпространство ^[17] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {U} (N),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} .}$

Если — метризуемое TVS , то хаусдорфово пополнение может быть построено с использованием классов эквивалентности последовательностей Коши вместо минимальных фильтров Коши. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Нехаусдорфовы завершения

В этом подразделе подробно описывается, как каждый нехаусдорфов TVS может быть TVS-вложен в плотное векторное подпространство полного TVS. Доказательство того, что каждый хаусдорфов TVS имеет хаусдорфово пополнение, широко доступно, и поэтому этот факт будет использоваться (без доказательства), чтобы показать, что каждый нехаусдорфов TVS также имеет пополнение. Эти подробности иногда полезны для распространения результатов с хаусдорфовых TVS на нехаусдорфовы TVS. ${\displaystyle X}$

Пусть обозначает замыкание начала координат в , где наделено своей топологией подпространства, индуцированной (так что имеет недискретную топологию ). Поскольку имеет тривиальную топологию, легко показать, что каждое векторное подпространство из , которое является алгебраическим дополнением к в , обязательно является топологическим дополнением к в ^{[18] [19]} Пусть обозначает любое топологическое дополнение к в , которое обязательно является хаусдорфовым TVS (так как оно TVS-изоморфно фактор-TVS ^{[примечание 7]} ). Поскольку является топологической прямой суммой и ( что означает, что в категории TVS), каноническое отображение является TVS-изоморфизмом. ^[19] Пусть обозначает обратное к этому каноническому отображению. (В качестве побочного примечания следует, что каждое открытое и каждое замкнутое подмножество удовлетворяет [ ^{доказательство 1]} ) ${\displaystyle I=\operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X=I\oplus H}$ $${\displaystyle I\times H\to I\oplus H=X\quad {\text{ given by }}\quad (x,y)\mapsto x+y}$$ ${\displaystyle A~:~X=I\oplus H~\to ~I\times H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=I+U.}$

Хаусдорфово TVS может быть TVS-вложено, скажем, посредством отображения на плотное векторное подпространство его завершения Поскольку и являются полными, то их произведение также является полным. Обозначим тождественное отображение и заметим, что отображение произведения является TVS-вложением, образ которого плотен в Определим отображение ^{[примечание 8],} которое является TVS-вложением на плотное векторное подпространство полного TVS. Более того, заметим, что замыкание начала координат в равно и что и являются топологическими дополнениями в ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:H\to C,}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}:I\to I}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}:I\times H\to I\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ $${\displaystyle B:X=I\oplus H\to I\times C\quad {\text{ by }}\quad B~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}\right)\circ A}$$ ${\displaystyle X=I\oplus H}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle I\times C}$ ${\displaystyle I\times \{0\},}$ ${\displaystyle I\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$

Подводя итог, ^[19] дано любое алгебраическое (и, следовательно, топологическое) дополнение в и задано любое пополнение хаусдорфовой TVS такое, что естественное включение ^[20] является хорошо определенным TVS-вложением в плотное векторное подпространство полной TVS, где , кроме того, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\subseteq C,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:X=I\oplus H\to I\oplus C}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\oplus C}$ $${\displaystyle X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.}$$

Топология завершения

Теорема ^{[7] [21]}  (Топология пополнения)  —  Пусть будет полным TVS и пусть будет плотным векторным подпространством в Если — любая окрестность начала координат в , то множество является окрестностью начала координат в пополнении ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}_{X}(0)\right\}}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$

Если локально выпукло и является семейством непрерывных полунорм на , которые порождают топологию , то семейство всех непрерывных расширений на всех членов является порождающим семейством полунорм для ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C.}$

Другими словами, если является пополнением TVS с и если является базой окрестности начала координат в , то семейство множеств является базой окрестности в начале координат в ^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$ ${\displaystyle C.}$

Теорема ^[22]  (Пополнения факторов)  —  Пусть — метризуемое топологическое векторное пространство и — замкнутое векторное подпространство в Предположим, что — пополнение Тогда пополнение TVS-изоморфно Если, кроме того, — нормированное пространство, то этот TVS-изоморфизм также является изометрией. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle C/\operatorname {cl} _{C}N.}$ ${\displaystyle M}$

Теорема Гротендика о полноте

Пусть обозначает ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$равностепенно непрерывная компактология на непрерывном сопряженном пространстве, которое по определению состоит из всехравностепенно непрерывныхслабо-* замкнутыхи слабо-*ограниченныхабсолютно выпуклых подмножеств^[23](которые обязательно являются слабо-* компактными подмножествами). Предположим, что каждоенаделенослабо-* топологией.Фильтрнаназывается ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$сходится непрерывно к ,если существует некотороесодержащее(то есть), такое, что следнакотором является семейством,сходится кв(то есть еслив заданной слабой-* топологии).^[24] Фильтрсходится непрерывно ктогда и только тогда, когдасходится непрерывно к началу координат, что происходит тогда и только тогда, когда для каждогофильтрав скалярном поле (которое естьили), гдеобозначает любой базис окрестности в начале координат вобозначаетсопряжение двойственностииобозначает фильтр, сгенерированный^[24] Отображениев топологическое пространство (такое какили) называется ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}\cap {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in E^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle E^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{B\cap E^{\prime }:B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}\to x^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-x^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle \to \langle x^{\prime },x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle }$ ${\displaystyle \{\langle B,x+N\rangle ~:~B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}\}.}$ ${\displaystyle f:X^{\prime }\to T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$-непрерывно , если всякий раз, когдафильтрнепрерывно сходится к ,то^[24] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f\left(x^{\prime }\right).}$

Теорема Гротендика о полноте ^[24]  — Если— хаусдорфово топологическое векторное пространство, то его пополнение линейно изоморфно множеству всех γ {\displaystyle \gamma } -непрерывных линейных функций на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Свойства, сохраненные в результате завершения работ

Если TVS обладает любым из следующих свойств, то и его завершение также обладает такими свойствами: ${\displaystyle X}$

• Хаусдорф
• Локально выпуклый
• Псевдометризуемый ^[16]
• Метризуемый ^[16]
• Полунормируемый
• Нормируемый
  • Более того, если — нормированное пространство, то пополнение можно выбрать таким образом, чтобы оно было банаховым пространством , при этом TVS-вложение в будет изометрией. ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (B,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (B,q)}$
• Хаусдорф до Гильберта . То есть, TVS, индуцированный внутренним произведением . ^[25]
• Ядерный ^[26]
• Стволовой ^[27]
• Макки ^[28]
• DF-пространство ^[29]

Пополнения гильбертовых пространств

Каждое пространство скалярного произведения имеет пополнение , которое является гильбертовым пространством, где скалярное произведение является единственным непрерывным расширением до исходного скалярного произведения. Норма, индуцированная с помощью, также является единственным непрерывным расширением до нормы, индуцированной с помощью ^{[25] [21]} ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$ ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$

Другие сохранившиеся объекты недвижимости

Если — хаусдорфово TVS, то непрерывное сопряженное пространство идентично непрерывному сопряженному пространству пополнения ^[30] Пополнение локально выпуклого борнологического пространства — это бочкообразное пространство . ^[27] Если и — DF-пространства , то проективное тензорное произведение , а также его пополнение этих пространств — это DF-пространство. ^[31] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Пополнение проективного тензорного произведения двух ядерных пространств является ядерным. ^[26] Пополнение ядерного пространства является TVS-изоморфным с проективным пределом гильбертовых пространств . ^[26]

Если (что означает, что отображение сложения является TVS-изоморфизмом) имеет хаусдорфово пополнение , то Если в дополнение есть пространство внутреннего произведения и и являются ортогональными дополнениями друг друга в (то есть ), то и являются ортогональными дополнениями в гильбертовом пространстве ${\displaystyle X=Y\oplus Z}$ ${\displaystyle Y\times Z\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} _{C}Y\right)+\left(\operatorname {cl} _{C}Z\right)=C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle Y,Z\rangle =\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Z}$ ${\displaystyle C.}$

Свойства карт, сохраняемые расширениями до завершения

Если — ядерный линейный оператор между двумя локально выпуклыми пространствами и если — пополнение , то имеет единственное непрерывное линейное расширение до ядерного линейного оператора ^[26] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to Y.}$

Пусть и будут двумя хаусдорфовыми TVS с полным. Пусть будет пополнением Пусть обозначим векторное пространство непрерывных линейных операторов, а обозначим отображение, которое отправляет каждое в его единственное непрерывное линейное расширение на Тогда является (сюръективным) изоморфизмом векторных пространств. Более того, отображает семейства равностепенно непрерывных подмножеств друг на друга. Предположим, что наделено G {\displaystyle {\mathcal {G}}} -топологией и что обозначает замыкания в множеств в Тогда отображение также является TVS-изоморфизмом. ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle f\in L(X;Y)}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle I:L_{\mathcal {G}}(X;Y)\to L_{\mathcal {H}}(C;Y)}$

Примеры и достаточные условия для полного TVS

Теорема  —  ^[11] Пусть — любая (не предполагающаяся инвариантной относительно трансляции) метрика на векторном пространстве, такая, что топология, индуцированная на , делает топологическое векторное пространство. Если — полное метрическое пространство, то — полное TVS. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

• Любое TVS, наделенное тривиальной топологией, является полным, и каждое из его подмножеств является полным. Более того, каждое TVS с тривиальной топологией является компактным и, следовательно, локально компактным. Таким образом, полное полунормируемое локально выпуклое и локально компактное TVS не обязательно должно быть конечномерным, если оно не является хаусдорфовым.
• Произвольное произведение полных (соответственно, последовательно полных, квазиполных) TVS обладает тем же свойством. Если все пространства являются хаусдорфовыми, то обратные утверждения также верны. ^[32] Произведение хаусдорфовых пополнений семейства (хаусдорфовых) TVS является хаусдорфовым пополнением их произведения TVS. ^[32] В более общем смысле, произвольное произведение полных подмножеств семейства TVS является полным подмножеством произведения TVS. ^[33]
• Проективный предел проективной системы Хаусдорфовых полных (соответственно, последовательно полных, квазиполных) TVS обладает тем же свойством. ^[32] Проективный предел Хаусдорфовых пополнений обратной системы (Хаусдорфовых) TVS является Хаусдорфовым пополнением их проективного предела. ^[32]
• Если — замкнутое векторное подпространство полного псевдометризуемого TVS , то факторпространство является полным. ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• Предположим, что — полное векторное подпространство метризуемого TVS. Если фактор-пространство полно, то и оно полно ^{[3] [34]} Однако существует полное TVS, имеющее замкнутое векторное подпространство, такое, что фактор-TVS не является полным. ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$
• Каждое F-пространство , пространство Фреше , банахово пространство и гильбертово пространство является полным TVS.
• Строгие LF-пространства и строгие LB-пространства являются полными. ^[35]
• Предположим, что является плотным подмножеством TVS. Если каждый фильтр Коши на сходится к некоторой точке в, то является полным. ^[34] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Пространство Шварца гладких функций полно.
• Пространства распределений и тестовых функций полны.
• Предположим, что и являются локально выпуклыми TVS, и что пространство непрерывных линейных отображений наделено топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах Если является борнологическим пространством и если является полным, то является полным TVS. ^[35] В частности, сильное сопряженное пространство борнологического пространства является полным. ^[35] Однако оно не обязательно должно быть борнологическим. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
• Каждое квазиполное DF-пространство является полным. ^[29]
• Пусть и будут топологиями TVS Хаусдорфа на векторном пространстве такими, что Если существует предфильтр такой, что является базисом окрестности в начале координат для и такой, что каждое является полным подмножеством, то является полным TVS. ^[6] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \subseteq \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\omega ),}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Характеристики

Полные TVS

Каждое TVS имеет пополнение , и каждое Хаусдорфово TVS имеет пополнение Хаусдорфа. ^[36] Каждое полное TVS является квазиполным пространством и последовательно полным . ^[37] Однако, обратные утверждения вышеприведенных импликаций, как правило, ложны. ^[37] Существует последовательно полное локально выпуклое TVS, которое не является квазиполным . ^[29]

Если TVS имеет полную окрестность начала координат, то оно является полным. ^[38] Каждое полное псевдометризуемое TVS является бочкообразным пространством и пространством Бэра (и, таким образом, не является тощим). ^[39] Размерность полного метризуемого TVS либо конечна, либо несчетна. ^[19]

Сети Коши и предварительные фильтры

Любая окрестность любой точки в TVS является предварительным фильтром Коши.

Каждая сходящаяся сеть (соответственно, предварительный фильтр) в TVS обязательно является сетью Коши (соответственно, предварительным фильтром Коши). ^[6] Любой предварительный фильтр, который подчинен (то есть тоньше) предфильтра Коши, обязательно также является предварительным фильтром Коши ^[6] и любой предварительный фильтр, более тонкий, чем предварительный фильтр Коши, также является предварительным фильтром Коши. Фильтр, связанный с последовательностью в TVS, является фильтром Коши тогда и только тогда, когда последовательность является последовательностью Коши. Каждый сходящийся предварительный фильтр является предварительным фильтром Коши.

Если — TVS, а если — точка кластера сети Коши (соответственно, предфильтра Коши), то эта сеть Коши (соответственно, предфильтра Коши) сходится к в ^[3] Если фильтр Коши в TVS имеет точку накопления , то он сходится к ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Равномерно непрерывные отображения переводят сети Коши в сети Коши. ^[3] Последовательность Коши в хаусдорфовом TVS , рассматриваемая как множество, не обязательно является относительно компактной (то есть ее замыкание в не обязательно компактно ^{[примечание 9]} ), хотя она предкомпактна (то есть ее замыкание в завершении компактно). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Каждая последовательность Коши является ограниченным подмножеством , но это не обязательно верно для сети Коши. Например, пусть имеет обычный порядок, пусть обозначает любой предпорядок на не- индискретном TVS (то есть не имеет тривиальной топологии ; также предполагается, что ) и расширяет эти два предпорядка до объединения, объявляя, что выполняется для каждого и Пусть определяется как , если и в противном случае (то есть, если ), что является сетью в , поскольку предупорядоченное множество направлено (этот предпорядок на также является частичным порядком (соответственно, полным порядком ), если это верно для ). Эта сеть является сетью Коши в , поскольку она сходится к началу координат, но множество не является ограниченным подмножеством (потому что не имеет тривиальной топологии). ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\cap \mathbb {N} =\varnothing }$ ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\cup \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\leq n}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle f(i)=i}$ ${\displaystyle i\in X}$ ${\displaystyle f(i)=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f(i):i\in I\}=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Предположим, что есть семейство TVS и что обозначает произведение этих TVS. Предположим, что для каждого индекса есть предварительный фильтр на Тогда произведение этого семейства предварительных фильтров является фильтром Коши на тогда и только тогда, когда каждый из них является фильтром Коши на ^[17] ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Карты

Если — инъективный топологический гомоморфизм из полного TVS в хаусдорфово TVS, то образ (то есть ) является замкнутым подпространством ^[34] Если — топологический гомоморфизм из полного метризуемого TVS в хаусдорфово TVS, то область значений является замкнутым подпространством ^[34] Если — равномерно непрерывное отображение между двумя хаусдорфовыми TVS, то образ под вполне ограниченным подмножеством является вполне ограниченным подмножеством ^[40] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Равномерно непрерывные расширения

Предположим, что — равномерно непрерывное отображение из плотного подмножества TVS в полное Хаусдорфово TVS Тогда имеет единственное равномерно непрерывное расширение на все ^[3] Если, кроме того, — гомоморфизм, то его единственное равномерно непрерывное расширение также является гомоморфизмом. ^[3] Это остается верным, если «TVS» заменить на «коммутативную топологическую группу». ^[3] Отображение не обязательно должно быть линейным отображением, и оно не обязательно должно быть векторным подпространством ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

Равномерно непрерывные линейные расширения

Предположим, что — непрерывный линейный оператор между двумя хаусдорфовыми TVS. Если — плотное векторное подпространство и если ограничение на — топологический гомоморфизм , то — также топологический гомоморфизм. ^[41] Таким образом, если и — хаусдорфовы пополнения и соответственно, и если — топологический гомоморфизм, то единственное непрерывное линейное расширение — топологический гомоморфизм. (Заметим, что для может быть сюръективным, но для не может быть инъективным.) ^[41] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{M}:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle F:C\to D}$

Предположим, что и являются хаусдорфовыми TVS, — плотное векторное подпространство и — плотное векторное подпространство Если и — топологически изоморфные аддитивные подгруппы посредством топологического гомоморфизма , то то же самое верно для и посредством единственного равномерно непрерывного расширения (которое также является гомеоморфизмом). ^[42] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Подмножества

Полные подмножества

Каждое полное подмножество TVS является последовательно полным . Полное подмножество хаусдорфового TVS является замкнутым подмножеством ^{[3] [38]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Каждое компактное подмножество TVS является полным (даже если TVS не является хаусдорфовым или не полным). ^{[3] [38]} Замкнутые подмножества полного TVS являются полными; однако, если TVS не является полным, то является замкнутым подмножеством , которое не является полным. Пустое множество является полным подмножеством каждого TVS. Если является полным подмножеством TVS (TVS не обязательно является хаусдорфовым или полным), то любое подмножество , которое замкнуто в является полным. ^[38] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Топологические дополнения

Если — ненормируемое пространство Фреше , на котором существует непрерывная норма, то содержит замкнутое векторное подпространство, не имеющее топологического дополнения . ^[29] Если — полное TVS и — замкнутое векторное подпространство такого, что не является полным, то не имеет топологического дополнения в ^[29] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X.}$

Подмножества завершений

Пусть — сепарабельное локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство и пусть — его пополнение. Если — ограниченное подмножество , то существует ограниченное подмножество , такое что ^[29] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$

Отношение к компактным подмножествам

Подмножество TVS ( не предполагается, что оно является хаусдорфовым или полным) компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . ^{[43] [доказательство 2]} Таким образом, замкнутое и вполне ограниченное подмножество полного TVS компактно. ^{[44] [3]}

В локально выпуклом хаусдорфовом TVS выпуклая оболочка предкомпактного множества снова предкомпактна. ^[45] Следовательно, в полном локально выпуклом хаусдорфовом TVS замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества снова компактна. ^[46]

Выпуклая оболочка компактного подмножества гильбертова пространства не обязательно замкнута и, следовательно, не обязательно компактна. Например, пусть будет сепарабельным гильбертовым пространством квадратично суммируемых последовательностей с обычной нормой и пусть будет стандартным ортонормированным базисом (то есть в -координате ). Замкнутое множество компактно, но его выпуклая оболочка не является замкнутым множеством, поскольку принадлежит замыканию в , но (так как каждая последовательность является конечной выпуклой комбинацией элементов из и, следовательно, обязательно во всех, кроме конечного числа координат, что неверно для ). ^[47] Однако, как и во всех полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка этого компактного подмножества компактна. ^[46] Вектор подпространства является предгильбертовым пространством , если оно снабжено подструктурой, которую гильбертово пространство индуцирует на нем, но не является полным и (так как ). Замкнутая выпуклая оболочка в (здесь «замкнутая» означает относительно , ​​а не относительно , ​​как и раньше) равна , которая не является компактной (потому что не является полным подмножеством). Это показывает, что в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве, которое не является полным, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества может не быть компактной (хотя она будет предкомпактной/полностью ограниченной ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$

Каждое полное вполне ограниченное множество относительно компактно. ^[3] Если — любое TVS, то фактор-отображение является замкнутым отображением ^[48] и, таким образом, подмножество TVS полностью ограничено тогда и только тогда, когда его образ при каноническом фактор-отображении полностью ограничен. ^[19] Таким образом , полностью ограничено тогда и только тогда, когда полностью ограничено. В любом TVS замыкание вполне ограниченного подмножества снова полностью ограничено. ^[3] В локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка вполне ограниченного множества полностью ограничены. ^[36] Если — подмножество TVS, такое, что каждая последовательность в имеет точку кластера в , то полностью ограничено. ^[19] Подмножество хаусдорфова TVS полностью ограничено тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на является фильтром Коши, что происходит тогда и только тогда, когда оно предкомпактно (то есть его замыкание в завершении компактно). ^[40] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Если компактно, то и это множество компактно. Таким образом, замыкание компактного множества компактно ^{[примечание 10]} (то есть все компактные множества относительно компактны ). ^[49] Таким образом, замыкание компактного множества компактно. Каждое относительно компактное подмножество хаусдорфова TVS полностью ограничено. ^[40] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

В полном локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка компактного множества являются компактными. ^[36] В более общем случае, если — компактное подмножество локально выпуклого пространства, то выпуклая оболочка (соответственно дисковая оболочка ) компактна тогда и только тогда, когда она полна. ^[36] Каждое подмножество компактно и, следовательно, полно. ^{[доказательство 3]} В частности, если не является хаусдорфовым, то существуют компактные полные множества, которые не замкнуты. ^[3] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Полное метрическое пространство  – Метрическая геометрия
• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Метризуемое топологическое векторное пространство  – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Псевдометрическое пространство  – Обобщение метрических пространств в математике
• Квазиполное пространство  — топологическое векторное пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное подмножество является полным.
• Последовательно завершено
• Топологическая группа  – группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Равномерное пространство  – топологическое пространство с понятием равномерных свойств.

Примечания

1. Метрика на векторном пространстве называется инвариантной относительно трансляции, если для всех векторов метрика, индуцируемая нормой, всегда инвариантна относительно трансляции. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$
2. Полнота нормированных пространств и метризуемых TVS определяется в терминах норм и метрик . В общем случае для определения полноты такого пространства можно использовать множество различных норм (например, эквивалентных норм ) и метрик. Это контрастирует с уникальностью этой трансляционно-инвариантной канонической однородности.
3. Каждая последовательность также является сетью.
4. Нормированное пространство — это банахово пространство, где абсолютное значение является нормой, которая индуцирует обычную евклидову топологию на Определим метрику на с помощью для всех , где можно показать, что индуцирует обычную евклидову топологию на Однако не является полной метрикой, поскольку последовательность, определяемая с помощью, является -последовательностью Коши, которая не сходится в ни к какой точке Обратите также внимание, что эта -последовательность Коши не является последовательностью Коши в (то есть она не является последовательностью Коши относительно нормы ). ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$
5. Не предполагается, что он инвариантен к трансляции.
6. Пусть обозначает банахово пространство непрерывных функций с супремум-нормой, пусть где задана топология, индуцированная и обозначает ограничение L 1 -нормы на Тогда можно показать, что так что норма является непрерывной функцией. Однако не эквивалентна норме и, в частности, не является банаховым пространством. ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle X=C([0,1])}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty },}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}\leq \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right)}$
7. Это конкретное факторное отображение на самом деле также является закрытым отображением. ${\displaystyle q:X\to X/I}$
8. Явно это отображение определяется следующим образом: для каждого пусть и так, что Тогда выполняется для всех и ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (i,h)=A(x)}$ ${\displaystyle B(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right).}$ ${\displaystyle B(i+h)=\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h\in H.}$
9. Если — нормируемое TVS, такое, что для любой последовательности Коши замыкание в компактно (и, таким образом, секвенциально компактно ), то это гарантирует, что всегда существует некоторое такое, что в Таким образом, любое нормированное пространство с этим свойством обязательно секвенциально полно. Поскольку не все нормированные пространства полны, замыкание последовательности Коши не обязательно компактно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x_{1},x_{2},\ldots ,\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$
10. В общей топологии замыкание компактного подмножества нехаусдорфова пространства может не быть компактным (например, частная точечная топология на бесконечном множестве). Этот результат показывает, что этого не происходит в нехаусдорфовых TVS. Доказательство использует тот факт, что является компактным (но, возможно, не замкнутым) и является как замкнутым, так и компактным, так что то, что является образом компактного множества при отображении непрерывного сложения, также является компактным. Напомним также, что сумма компактного множества (то есть ) и замкнутого множества замкнута, поэтому замкнута в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot +\cdot :X\times X\to X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательства

1. Пусть будет окрестностью начала координат в Поскольку является окрестностью в , то существует открытая (соотв. замкнутая) окрестность в такая , что является окрестностью начала координат. Очевидно, является открытым (соотв. замкнутым) тогда и только тогда, когда является открытым (соотв. замкнутым). Пусть так, что где является открытым (соотв. замкнутым) тогда и только тогда, когда является открытым (соотв. замкнутым). ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A(W)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I\times H,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I\times V\subseteq A(W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I\times V}$ ${\displaystyle U=I+V}$ ${\displaystyle A(U)=I\times V\subseteq A(W)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$
2. Предположим, что является компактным в и пусть будет фильтром Коши на Пусть так, что является фильтром Коши замкнутых множеств. Так как имеет свойство конечного пересечения, то существует некоторое такое, что для всех so { (то есть является точкой накопления ). Так как является Коши, в Таким образом , является полным. То, что также полностью ограничено, следует непосредственно из компактности ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{\operatorname {cl} _{S}C~:~C\in {\mathcal {C}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\operatorname {cl} _{S}C}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s\in \operatorname {cl} {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. При наличии любого открытого покрытия выберите любое открытое множество из этого покрытия, которое содержит начало координат. Поскольку является окрестностью начала координат, содержит и, таким образом, содержит ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S.}$

Цитаты

1. Schaefer & Wolff 1999, стр. 1–11.
2. Эдвардс 1995, стр. 61.
3. Narici & Beckenstein 2011, стр. 47–66.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 48.
5. Залинеску 2002, стр. 1–23.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 48–51.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 12–19.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 64–66.
9. Вилански 2013, стр. 29.
10. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–51.
11. Schaefer & Wolff 1999, стр. 35.
12. Клее, В. Л. (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
13. Conrad, Keith. "Эквивалентность норм" (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Получено 7 сентября 2020 г. .
14. Следствие 1.4.18, стр. 32 в Megginson (1998).
15. Narici & Beckenstein 2011, стр. 60–61.
16. Narici & Beckenstein 2011, стр. 93–113.
17. Хорват 1966, стр. 139–141.
18. Вилански 2013, стр. 63.
19. Шефер и Вольф 1999, стр. 12–35.
20. где для всех и ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h\in H,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}(i+h)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~i+h.}$
21. Schaefer & Wolff 1999, стр. 36–72.
22. Шефер и Вольф 1999, стр. 73−121.
23. Jarchow 1981, стр. 151, 157.
24. Jarchow 1981, стр. 175−178.
25. Treves 2006, стр. 112–125.
26. Schaefer & Wolff 1999, стр. 73–121.
27. Schaefer & Wolff 1999, стр. 68–72.
28. Шефер и Вольф 1999, стр. 122–202.
29. Шефер и Вольф 1999, стр. 190–202.
30. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
31. Шефер и Вольф 1999, стр. 199–202.
32. Jarchow 1981, стр. 56–73.
33. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 57.
34. Horváth 1966, стр. 129–141.
35. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 441–457.
36. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.
37. Narici & Beckenstein 2011, стр. 155–176.
38. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
39. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 371–423.
40. Horváth 1966, стр. 145–149.
41. Schaefer & Wolff 1999, стр. 116.
42. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 59.
43. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 55–56.
44. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 55–66.
45. Трев 2006, стр. 67.
46. Trèves 2006, стр. 145.
47. Алипрантис и Бордер 2006, с. 185.
48. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–112.
49. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 156.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• Архангельский, Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Т. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Богачев, Владимир И; Смолянов, Олег Г. (2017). Топологические векторные пространства и их приложения . Springer Monographs in Mathematics. Хам, Швейцария: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-57117-1. OCLC  987790956.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для студентов по математике. Перевод Бербериана, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли в математике. Том 1. Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Хусайн, Такдир; Халилулла, SM (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Джоши, К. Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750.
• Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Graduate Texts in Mathematics, т. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN 0-387-98431-3
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Osborne, Mason Scott (2013). Локально выпуклые пространства . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 269. Cham Heidelberg New York Dordrecht London: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-02045-7. OCLC  865578438.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Voigt, Jürgen (2020). Курс по топологическим векторным пространствам . Компактные учебники по математике. Cham: Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.
• Zălinescu, Constantin (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .