Равномерное пространство

Топологическое пространство с понятием однородных свойств

В математической области топологии равномерное пространство — это множество с дополнительной структурой , которое используется для определения равномерных свойств , таких как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость . Равномерные пространства обобщают метрические пространства и топологические группы , но эта концепция разработана для формулирования самых слабых аксиом, необходимых для большинства доказательств в анализе .

В дополнение к обычным свойствам топологической структуры, в однородном пространстве формализуются понятия относительной близости и близости точек. Другими словами, такие идеи, как « x ближе к a, чем y к b », имеют смысл в однородных пространствах. Для сравнения, в общем топологическом пространстве, если заданы множества A, B, имеет смысл сказать, что точка x находится произвольно близко к A (т. е. в замыкании A ) , или, возможно, что A является меньшей окрестностью x , чем B , но понятия близости точек и относительной близости не описываются хорошо одной только топологической структурой.

Определение

Существует три эквивалентных определения однородного пространства. Все они представляют собой пространство, оснащенное однородной структурой.

Определение антуража

Это определение адаптирует представление топологического пространства в терминах систем соседства . Непустая коллекция подмножеств — это ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X}$равномерная структура (илиоднородность ), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Если тогда где находится диагональ на ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta \subseteq U,}$ ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X.}$
2. Если и тогда ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$ ${\displaystyle V\in \Phi .}$
3. Если и тогда ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V\in \Phi }$ ${\displaystyle U\cap V\in \Phi .}$
4. Если тогда есть некоторый такой, что , где обозначает композицию с собой. Композиция двух подмножеств и определяется как ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V\in \Phi }$ ${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\circ V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\times X}$ $${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{ there exists }}y\in X\,{\text{ such that }}\,(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\,\}.}$$
5. Если тогда где находится обратная величина ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle U^{-1}\in \Phi ,}$ ${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$ ${\displaystyle U.}$

Непустота, взятая вместе с (2) и (3), утверждает, что является фильтром на Если последнее свойство опущено, мы называем пространство ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X.}$квазиоднородный .Элементназывается ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Phi }$близость илиАнтураж — отфранцузскогослова, означающего«окружение».

Обычно пишут, где — вертикальное сечение, а — каноническая проекция на вторую координату. На графике типичное окружение рисуется как пятно, окружающее диагональ « »; все различные ' образуют вертикальные сечения. Если тогда говорят, что и являются ${\displaystyle U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),}$ ${\displaystyle U\cap (\{x\}\times X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{2}}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle U[x]}$ ${\displaystyle (x,y)\in U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$-close . Аналогично, если все пары точек в подмножествеявляются-close(то есть, еслисодержится в),называется-small. Окружение- это ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$симметрично, еслиименно тогда, когдаПервая аксиома утверждает, что каждая точка-близка к себе для каждого окруженияТретья аксиома гарантирует, что быть "и-близко, и-близко" также является отношением близости в однородности. Четвертая аксиома утверждает, что для каждого окружениясуществует окружение, которое "не более чем вдвое меньше". Наконец, последняя аксиома утверждает, что свойство "близость" относительно однородной структуры симметрично ви ${\displaystyle (x,y)\in U}$ ${\displaystyle (y,x)\in U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Абаза окружения илифундаментальная система окружений (илиокрестностей) однородности— это любой наборокружений из ,такой, что каждый окружение изсодержит набор, принадлежащийТаким образом, по свойству 2 выше фундаментальной системы окруженийдостаточно, чтобыоднозначно задать однородность:— это набор подмножеств из, которые содержат набор изКаждое однородное пространство имеет фундаментальную систему окружений, состоящую из симметричных окружений. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Интуиция о равномерностях дается на примере метрических пространств : если — метрическое пространство, множества образуют фундаментальную систему окружений для стандартной равномерной структуры Тогда и являются -близкими именно тогда, когда расстояние между и не превышает ${\displaystyle (X,d)}$ $${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a.}$

Однородность считается более тонкой , чем другая однородность на том же множестве, если в этом случае говорят, что она грубее, чем ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi \supseteq \Psi ;}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi .}$

Определение псевдометрики

Равномерные пространства могут быть определены альтернативно и эквивалентно с использованием систем псевдометрик , подход, который особенно полезен в функциональном анализе (с псевдометриками, предоставляемыми полунормами ). Точнее, пусть будет псевдометрикой на множестве Можно показать, что обратные образы для образуют фундаментальную систему окружений однородности. Равномерность, порожденная является однородностью, определяемой единственной псевдометрикой Некоторые авторы называют пространства, топология которых определяется в терминах псевдометрики калибровочных пространств . ${\displaystyle f:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle f.}$

Для семейства псевдометрик на однородной структуре, определяемой семейством, есть точная верхняя граница однородных структур, определяемых отдельными псевдометриками. Фундаментальная система окружений этой однородности задается множеством конечных пересечений окружений однородностей, определяемых отдельными псевдометриками. Если семейство псевдометрик конечно , то можно видеть, что та же самая однородная структура определяется одной псевдометрикой , а именно верхней огибающей семейства. ${\displaystyle \left(f_{i}\right)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle \sup _{}f_{i}}$

Менее тривиально, можно показать, что однородная структура, которая допускает счетную фундаментальную систему окружений (следовательно, в частности, однородность, определяемую счетным семейством псевдометрик), может быть определена одной псевдометрикой. Следствием этого является то, что любая однородная структура может быть определена, как указано выше, (возможно, несчетным) семейством псевдометрик (см. Бурбаки: Общая топология Глава IX §1 № 4).

Определение единого покрытия

Равномерное пространство — это множество, снабженное выделенным семейством покрытий, называемых «равномерными покрытиями», взятыми из множества покрытий , которые образуют фильтр при упорядочении по звёздному уточнению. Говорят, что покрытие является звёздным уточнением покрытия, записанного , если для каждого существует такое , что если то Аксиоматически условие быть фильтром сводится к: ${\displaystyle (X,\Theta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Theta ,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} ,}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle U\in \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle B\subseteq U.}$

1. ${\displaystyle \{X\}}$представляет собой равномерное покрытие (то есть ). ${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$
2. Если с равномерным покрытием и покрытием то также равномерным покрытием. ${\displaystyle \mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$
3. Если и являются равномерными покрытиями, то существует равномерное покрытие , которое звездообразно очищает и и ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

При наличии точки и равномерного покрытия можно рассматривать объединение членов, содержащихся в ней, как типичную окрестность «размера» , и эта интуитивная мера применяется равномерно по всему пространству. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,}$

Если задано однородное пространство в смысле окружения, определим покрытие как однородное, если существует некоторое окружение , такое что для каждого существует такое , что Эти однородные покрытия образуют однородное пространство, как во втором определении. Наоборот, если задано однородное пространство в смысле однородного покрытия, надмножества как пробегают по однородным покрытиям, являются окружениями для однородного пространства, как в первом определении. Более того, эти два преобразования являются обратными друг другу. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {P} }$ ${\displaystyle U[x]\subseteq A.}$ ${\displaystyle \bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Топология равномерных пространств

Каждое равномерное пространство становится топологическим пространством, если определить подмножество как открытое тогда и только тогда, когда для каждого существует окружение такое, что является подмножеством В этой топологии фильтр соседства точки равен Это можно доказать с помощью рекурсивного использования существования окружения «половинного размера». По сравнению с общим топологическим пространством существование равномерной структуры делает возможным сравнение размеров окрестностей: и считаются «одного размера». ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in O}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{V[x]:V\in \Phi \}.}$ ${\displaystyle V[x]}$ ${\displaystyle V[y]}$

Топология, определяемая однородной структурой, называетсяиндуцированная однородностью . Однородная структура на топологическом пространствесовместимас топологией, если топология, определяемая однородной структурой, совпадает с исходной топологией. В общем случае несколько различных однородных структур могут быть совместимы с заданной топологией на ${\displaystyle X.}$

Униформизируемые пространства

Топологическое пространство называетсяуниформизуема , если существует однородная структура, совместимая с топологией.

Каждое униформизуемое пространство является полностью регулярным топологическим пространством. Более того, для униформизуемого пространства следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$является пространством Колмогорова
• ${\displaystyle X}$является хаусдорфовым пространством
• ${\displaystyle X}$является тихоновским пространством
• для любой совместимой однородной структуры пересечение всех окружений является диагональю ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}.}$

Некоторые авторы (например, Энгелькинг) добавляют это последнее условие непосредственно в определение униформизуемого пространства.

Топология униформизуемого пространства всегда является симметричной топологией , то есть пространство является R ₀ -пространством .

Наоборот, каждое вполне регулярное пространство униформизуемо. Равномерность, совместимая с топологией вполне регулярного пространства, может быть определена как самая грубая однородность, которая делает все непрерывные действительные функции на равномерно непрерывными. Фундаментальная система окружений для этой однородности задается всеми конечными пересечениями множеств , где — непрерывная действительная функция на , а — окружение равномерного пространства Эта однородность определяет топологию, которая явно грубее исходной топологии , что она также тоньше исходной топологии (следовательно, совпадает с ней) — простое следствие полной регулярности: для любого и окрестности существует непрерывная действительная функция с и равная 1 в дополнении к ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle V}$

В частности, компактное хаусдорфово пространство униформизуемо. Фактически, для компактного хаусдорфова пространства множество всех окрестностей диагонали в образуют единственную однородность, совместимую с топологией. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$

Хаусдорфово равномерное пространство метризуемо , если его равномерность может быть определена счетным семейством псевдометрик. Действительно, как обсуждалось выше, такая равномерность может быть определена одной псевдометрикой , которая обязательно является метрикой, если пространство хаусдорфово. В частности, если топология векторного пространства хаусдорфова и определяется счетным семейством полунорм , оно метризуемо.

Равномерная непрерывность

Аналогично непрерывным функциям между топологическими пространствами , которые сохраняют топологические свойства , существуют равномерно непрерывные функции между однородными пространствами, которые сохраняют однородные свойства.

Равномерно непрерывная функция определяется как функция, где прообразы окружений снова являются окружениями, или, что эквивалентно, как функция, где прообразы равномерных покрытий снова являются равномерными покрытиями. Явно функция между равномерными пространствами называется ${\displaystyle f:X\to Y}$равномерно непрерывным, если для каждого окружениявсуществует окружениевтакое, что еслитоили, другими словами, всякий раз, когдаесть окружение втоесть окружение в, гдеопределяется как ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)\in U}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (f\times f)^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\times f:X\times X\to Y\times Y}$ ${\displaystyle (f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).}$

Все равномерно непрерывные функции непрерывны относительно индуцированных топологий.

Равномерные пространства с равномерными отображениями образуют категорию . Изоморфизм между равномерными пространствами называетсяравномерный изоморфизм ; явно, это равномерно непрерывнаябиекцияобратнаякоторойтакже равномерно непрерывна.равномерное вложение — это инъективное равномерно непрерывное отображениемежду равномерными пространствами, обратное которомутакже равномерно непрерывно, где изображениеимеет равномерность подпространства, унаследованную от ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle i^{-1}:i(X)\to X}$ ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle Y.}$

Полнота

Обобщая понятие полного метрического пространства , можно также определить полноту для равномерных пространств. Вместо работы с последовательностями Коши , работают с фильтрами Коши (или сетями Коши ).

АФильтр Коши (соответственно,Предфильтр Коши )на равномерном пространстве— этофильтр(соответственно,предфильтр), такой что для любого окружениясуществуетсДругими словами, фильтр является Коши, если он содержит «произвольно малые» множества. Из определений следует, что каждый фильтр, который сходится (относительно топологии, определяемой равномерной структурой), является фильтром Коши. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A\in F}$ ${\displaystyle A\times A\subseteq U.}$Минимальный фильтр Коши — это фильтр Коши, который не содержит более мелких (то есть более грубых) фильтров Коши (кроме себя самого). Можно показать, что каждый фильтр Коши содержит уникальныйминимальный фильтр Коши. Фильтр окрестностей каждой точки (фильтр, состоящий из всех окрестностей точки) — это минимальный фильтр Коши.

Наоборот, однородное пространство называетсяполное , если сходится каждый фильтр Коши. Любое компактное хаусдорфово пространство является полным равномерным пространством относительно единственной равномерности, совместимой с топологией.

Полные равномерные пространства обладают следующим важным свойством: если — равномерно непрерывная функция из плотного подмножества равномерного пространства в полное равномерное пространство , то ее можно продолжить (единственным образом) до равномерно непрерывных функций на всех ${\displaystyle f:A\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Топологическое пространство, которое можно превратить в полное однородное пространство, однородность которого индуцирует исходную топологию, называется полностью униформизуемым пространством .

АПополнение равномерного пространства — это пара,состоящая из полного равномерного пространстваи равномерного вложения, образ которогоявляетсяплотнымподмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (i,C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i:X\to C}$ ${\displaystyle i(C)}$ ${\displaystyle C.}$

Хаусдорфово пополнение однородного пространства

Как и в случае с метрическими пространствами, каждое равномерное пространство имеет ${\displaystyle X}$Хаусдорфово пополнение : то есть существует полное хаусдорфово равномерное пространствои равномерно непрерывное отображение(если— хаусдорфово равномерное пространство, то—топологическое вложение) со следующим свойством: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$

для любого равномерно непрерывного отображения в полное равномерное хаусдорфово пространство существует единственное равномерно непрерывное отображение такое, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle f=gi.}$

Хаусдорфово пополнение единственно с точностью до изоморфизма. Как множество, можно взять состоящим из минимальных фильтров Коши на Поскольку фильтр соседства каждой точки в является минимальным фильтром Коши, отображение можно определить отображением в Отображение , определенное таким образом, в общем случае не является инъективным; на самом деле, график отношения эквивалентности является пересечением всех окружений и, таким образом, инъективен именно тогда, когда является Хаусдорфовым. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (x).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i(x)=i(x')}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$

Равномерная структура определяется следующим образом: для каждого ${\displaystyle Y}$симметричное окружение (то есть такое, чтоподразумевает), пустьбудет множеством всех парминимальных фильтров Коши, которые имеют в общем по крайней мере один-малый набор. Можно показать, что множестваобразуют фундаментальную систему окружений;снабжено однородной структурой, определенной таким образом. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (x,y)\in V}$ ${\displaystyle (y,x)\in V}$ ${\displaystyle C(V)}$ ${\displaystyle (F,G)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C(V)}$ ${\displaystyle Y}$

Тогда множество является плотным подмножеством Если является хаусдорфовым, то является изоморфизмом на и, таким образом, может быть отождествлено с плотным подмножеством своего завершения. Более того, всегда является хаусдорфовым; это называется ${\displaystyle i(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i(X)}$Равномерное пространство Хаусдорфа, связанное с ${\displaystyle X.}$ Еслиобозначает отношение эквивалентности, то факторпространствогомеоморфно ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i(x)=i(x'),}$ ${\displaystyle X/R}$ ${\displaystyle i(X).}$

Примеры

1. Каждое метрическое пространство можно рассматривать как однородное пространство. Действительно, поскольку метрика a fortiori является псевдометрикой, псевдометрическое определение обеспечивает однородную структуру. Фундаментальная система окружений этой однородности обеспечивается множествами ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$

   ${\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.}$

   Эта равномерная структура на порождает обычную топологию метрического пространства на Однако различные метрические пространства могут иметь одну и ту же равномерную структуру (тривиальный пример — константа, кратная метрике). Эта равномерная структура порождает также эквивалентные определения равномерной непрерывности и полноты для метрических пространств . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M.}$
2. Используя метрики, можно построить простой пример различных однородных структур с совпадающими топологиями. Например, пусть будет обычной метрикой на и пусть Тогда обе метрики индуцируют обычную топологию на , но однородные структуры различны, так как является окружением в однородной структуре для , но не для Неформально этот пример можно рассматривать как взятие обычной однородности и ее искажение посредством действия непрерывной, но не равномерно непрерывной функции. ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle d_{2}(x,y).}$
3. Каждая топологическая группа (в частности, каждое топологическое векторное пространство ) становится равномерным пространством, если мы определяем подмножество как окружение тогда и только тогда, когда оно содержит множество для некоторой окрестности единичного элемента Эта равномерная структура на называется правой равномерностью на, потому что для каждого правое умножение равномерно непрерывно относительно этой равномерной структуры. Можно также определить левую равномерность на эти две не обязательно должны совпадать, но они оба порождают заданную топологию на ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V\subseteq G\times G}$ ${\displaystyle \{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle x\to x\cdot a}$ ${\displaystyle G;}$ ${\displaystyle G.}$
4. Для каждой топологической группы и ее подгруппы множество левых смежных классов является равномерным пространством относительно равномерности, определяемой следующим образом. Множества , где пробегает окрестности единицы в , образуют фундаментальную систему окружений для равномерности. Соответствующая индуцированная топология на равна фактор-топологии, определяемой естественным отображением ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle g\to G/H.}$
5. Тривиальная топология принадлежит однородному пространству, в котором все декартово произведение является единственным окружением . ${\displaystyle X\times X}$

История

До того, как Андре Вейль дал первое явное определение однородной структуры в 1937 году, однородные концепции, такие как полнота, обсуждались с использованием метрических пространств . Николя Бурбаки дал определение однородной структуры в терминах окружения в книге Topologie Générale , а Джон Тьюки дал определение однородного покрытия. Вейль также охарактеризовал однородные пространства в терминах семейства псевдометрик.

Смотрите также

• Грубая структура  – ​​семейство множеств в геометрии и топологии для измерения крупномасштабных свойств пространства.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Полное метрическое пространство  – Метрическая геометрия
• Полное топологическое векторное пространство  – TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся в точку
• Полностью униформизируемое пространство
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Начальная однородная структура  – ​​грубейшая топология, делающая некоторые функции непрерывнымиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство близости  – структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.
• Пространство (математика)  – математическое множество с некоторой добавленной структурой.
• Топология равномерной сходимости
• Равномерная непрерывность  – Равномерное ограничение изменения функций
• Равномерный изоморфизм  – Равномерно непрерывный гомеоморфизм
• Равномерное свойство  – Объект исследования в категории равномерных топологических пространств
• Равномерно связанное пространство  – Тип однородного пространства

Ссылки

1. "IsarMathLib.org" . Получено 2021-10-02 .

• Николя Бурбаки , Общая топология ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (гл. 1–4), ISBN 0-387-19372-3 (гл. 5–10): Глава II представляет собой всеобъемлющий справочник по однородным структурам, Глава IX § 1 охватывает псевдометрику, а Глава III § 3 охватывает однородные структуры на топологических группах.  
• Рышард Энгелькинг , Общая топология. Переработанное и дополненное издание , Берлин 1989.
• Джон Р. Исбелл , Uniform Spaces ISBN 0-8218-1512-1 
• IM James , Введение в равномерные пространства ISBN 0-521-38620-9 
• IM James , Топологические и однородные пространства ISBN 0-387-96466-5 
• Джон Тьюки , Сходимость и однородность в топологии ; ISBN 0-691-09568-X 
• Андре Вейль , «О пространствах единой структуры и общей топологии» , Закон. наук. Индиана 551 , Париж, 1937 г.