Борнологическое пространство

Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны

В математике , особенно в функциональном анализе , борнологическое пространство — это тип пространства, который в некотором смысле обладает минимальной структурой, необходимой для решения вопросов ограниченности множеств и линейных отображений , точно так же, как топологическое пространство обладает минимальный объем структуры, необходимый для решения вопросов преемственности . Борнологические пространства отличаются тем свойством, что линейное отображение борнологического пространства в любые локально выпуклые пространства непрерывно тогда и только тогда, когда оно является ограниченным линейным оператором .

Борнологические пространства впервые были изучены Джорджем Макки . ^{[ нужна цитация ]} Название было придумано Бурбаки ^{[ нужна цитация ]} после « борне » , французского слова, означающего « ограниченный ».

Борнологии и ограниченные карты

Борнология на множестве — это совокупность его подмножеств , удовлетворяющих всем следующим условиям: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$охватывает то есть, ; ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$устойчив относительно включений; то есть, если и тогда ; ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$устойчив при конечных объединениях; то есть если тогда ; ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

Элементы коллекции называются -ограниченными или просто ограниченными множествами, если это понятно. ^[1] Пара называется ограниченной структурой или борнологическим множеством . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$

Базовая или фундаментальная система борнологии - это подмножество такой , что каждый элемент является подмножеством некоторого элемента из. Учитывая совокупность подмножеств наименьшей содержащейся борнологии, называется борнологией, порожденной ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

Если и являются борнологическими множествами, то их произведение борнологии на является борнологией, имеющей в основе совокупность всех множеств вида где и ^[2] Подмножество ограничено в произведении борнологии тогда и только тогда, когда его образ при канонических проекциях на и оба ограничены. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle B\times C,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ограниченные карты

Если и являются борнологическими множествами, то функция называется локально ограниченным отображением или ограниченным отображением (относительно этих борнологических множеств), если она отображает -ограниченные подмножества в -ограниченные подмножества, то есть, если ^[2] Если, кроме того, есть биекция и также ограничена, тогда называется борнологическим изоморфизмом . ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\subseteq {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Векторные борнологии

Пусть - векторное пространство над полем , где имеет борнологию. Борнология на называется векторной борнологией, если она устойчива относительно сложения векторов, скалярного умножения и образования сбалансированных оболочек (т.е. если сумма двух ограниченных множеств ограничена, и т. д.). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Если это топологическое векторное пространство (TVS) и борнология, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является векторной борнологией;
2. Конечные суммы и сбалансированные оболочки -ограниченных множеств -ограничены; ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. Карта скалярного умножения , определенная, и карта сложения, определенная, являются ограниченными, когда их домены несут в себе свои произведения (т. е. они отображают ограниченные подмножества в ограниченные подмножества). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$

Векторная борнология называется выпуклой векторной борнологией , если она устойчива относительно образования выпуклых оболочек (т. е. выпуклая оболочка ограниченного множества ограничена), тогда И векторная борнология называется разделенной , если единственным ограниченным векторным подпространством в ней является 0- многомерное тривиальное пространство ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Обычно это либо действительные, либо комплексные числа, и в этом случае векторная борнология будет называться выпуклой векторной борнологией, если ее база состоит из выпуклых множеств. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Подмножества родоядных

Подмножество называется рожденоядным и рожденоядным, если оно поглощает каждое ограниченное множество. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

В векторной борнологии борнология является рожденоядной, если она поглощает каждое ограниченное сбалансированное множество, а в выпуклой векторной борнологии является рожденоядной, если она поглощает каждый ограниченный диск. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Две топологии TVS в одном и том же векторном пространстве имеют одни и те же ограниченные подмножества тогда и только тогда, когда у них одни и те же рожденоядные животные. ^[3]

Каждое рождённое подмножество локально выпуклого метризуемого топологического векторного пространства является окрестностью начала координат. ^[4]

Конвергенция Макки

Последовательность в TVS называется сходящейся по Макки к, если существует последовательность положительных действительных чисел, расходящаяся к такой, которая сходится к в ^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=(r_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle (r_{i}x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Борнология топологического векторного пространства

Каждое топологическое векторное пространство, по крайней мере, в поле с недискретными значениями дает борнологию, определяя подмножество , которое должно быть ограниченным (или ограниченным по фон Нейману), тогда и только тогда, когда для всех открытых множеств, содержащих ноль, существует a с If является локально выпуклым топологическое векторное пространство тогда ограничено тогда и только тогда, когда все непрерывные полунормы на ограничены на ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq rU.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B.}$

Множество всех ограниченных подмножеств топологического векторного пространства называется борнологией или борнологией фон Неймана. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Если — локально выпуклое топологическое векторное пространство , то поглощающий диск в рожденоядном (соответственно инфрарожденном) тогда и только тогда, когда его функционал Минковского локально ограничен (соответственно инфраограничен). ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

Индуцированная топология

Если это выпуклая векторная борнология в векторном пространстве , то совокупность всех ее выпуклых сбалансированных подмножеств, которые являются рожденоядными, образует базис окрестности в начале координат для локально выпуклой топологии на, называемой топологией, индуцированной . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {B}}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Если это TVS, то борнологическое пространство, связанное с ним, представляет собой векторное пространство, наделенное локально выпуклой топологией, индуцированной борнологией фон Неймана из ^[4] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Теорема ^[4]  —  Пусть и локально выпуклая TVS, и пусть обозначает наделенную топологией, индуцированной борнологией фон Неймана Определить аналогично. Тогда линейное отображение является ограниченным линейным оператором тогда и только тогда, когда оно непрерывно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{b}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y_{b}}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X_{b}\to Y}$

Более того, если борнологическое, является Хаусдорфовым и является непрерывным линейным отображением, то таковым является и ультраборнологическое отображение. Если, кроме того, оно также ультраборнологическое, то из непрерывности следует непрерывность ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{b}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y_{ub},}$ ${\displaystyle Y_{ub}}$ ${\displaystyle Y.}$

Квазиборнологические пространства

Квазиборнологические пространства были введены С. Ияхеном в 1968 г. ^[6]

Топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством называется квазиборнологическим пространством ^[6], если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. Каждый ограниченный линейный оператор перехода в другую ТВС непрерывен . ^[6] ${\displaystyle X}$
2. Всякий ограниченный линейный оператор из полной метризуемой ТВС непрерывен. ^{[6] [7]} ${\displaystyle X}$
3. Каждый узел в рожденоядной струне является окрестностью начала координат. ^[6]

Всякая псевдометризуемая TVS квазиборнологична. ^[6] TVS , в котором каждое рожденоядное множество является окрестностью начала координат, является квазиборнологическим пространством. ^[8] Если это квазиборнологическое TVS, то тончайшая локально выпуклая топология на нем грубее, чем превращающая его в локально выпуклое борнологическое пространство. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Борнологическое пространство

В функциональном анализе локально выпуклое топологическое векторное пространство является борнологическим пространством, если его топология может быть восстановлена ​​​​из его борнологии естественным путем.

Всякое локально-выпуклое квазиборнологическое пространство является борнологическим, но существуют борнологические пространства, не являющиеся квазиборнологическими. ^[6]

Топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством называется борнологическим пространством, если оно локально выпукло и выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

1. Каждое выпуклое, сбалансированное и рожденоядное множество в является окрестностью нуля. ^[4] ${\displaystyle X}$
2. Всякий ограниченный линейный оператор из локально выпуклой ТВС непрерывен . ^[4] ${\displaystyle X}$
   • Напомним, что линейное отображение ограничено тогда и только тогда, когда оно отображает любую последовательность, сходящую к в области определения, в ограниченное подмножество кодомена. ^[4] В частности, любое линейное отображение, секвенциально непрерывное в начале координат, ограничено. ${\displaystyle 0}$
3. Всякий ограниченный линейный оператор из полунормированного пространства непрерывен. ^[4] ${\displaystyle X}$
4. Всякий ограниченный линейный оператор из банахова пространства непрерывен. ^[4] ${\displaystyle X}$

Если — хаусдорфово локально выпуклое пространство , то к этому списку можно добавить: ^[7] ${\displaystyle X}$

5. Локально выпуклая топология, индуцированная борнологией фон Неймана, совпадает с заданной топологией. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle X}$
6. Любая ограниченная полунорма на непрерывна. ^[4] ${\displaystyle X}$
7. Любая другая топология хаусдорфова локально выпуклого топологического векторного пространства, имеющая ту же (фон Неймановскую) борнологию, что и обязательно более грубая, чем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$
8. ${\displaystyle X}$— индуктивный предел нормированных пространств. ^[4]
9. ${\displaystyle X}$— индуктивный предел нормированных пространств , изменяющийся по замкнутым и ограниченным дискам (или изменяющийся по ограниченным дискам ). ^[4] ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$
10. ${\displaystyle X}$несет топологию Макки , и все ограниченные линейные функционалы на непрерывны. ^[4] ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}$ ${\displaystyle X}$
11. ${\displaystyle X}$имеет оба следующих свойства:
    • ${\displaystyle X}$является выпукло-секвенциальным или C-секвенциальным , что означает, что каждое выпуклое секвенциально открытое подмножество открыто, ${\displaystyle X}$
    • ${\displaystyle X}$является секвенциально борнологическим или S-борнологическим , что означает, что каждое выпуклое и рожденоядное подмножество последовательно открыто. ${\displaystyle X}$
    где подмножество называется последовательно открытым, если каждая последовательность, сходящаяся к в конечном счете, принадлежит ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A.}$

Всякий секвенциально-непрерывный линейный оператор из локально-выпуклого борнологического пространства в локально-выпуклое TVS непрерывен, ^[4] причем, напомним, линейный оператор секвенциально непрерывен тогда и только тогда, когда он секвенциально непрерывен в начале координат. Таким образом, для линейных отображений борнологического пространства в локально выпуклое пространство непрерывность эквивалентна секвенциальной непрерывности в начале координат. В более общем плане у нас даже есть следующее:

• Любое линейное отображение локально выпуклого борнологического пространства в локально выпуклое пространство, которое отображает нулевые последовательности в ограниченные подмножества , обязательно непрерывно. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Достаточные условия

Теорема Макки–Улама ^[9]  —  Произведение совокупности локально выпуклых борнологических пространств является борнологическим тогда и только тогда, когда не допускает меры Улама . ${\displaystyle X_{\bullet }=(X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$

Как следствие теоремы Макки-Улама, «для всех практических целей произведение борнологических пространств является борнологическим». ^[9]

Все следующие топологические векторные пространства являются борнологическими:

• Любая локально выпуклая псевдометризуемая TVS борнологична. ^{[4] [10]}
  • Таким образом, каждое нормированное пространство и пространство Фреше борнологичны.
• Любой строгий индуктивный предел борнологических пространств, в частности любое строгое LF -пространство , является борнологическим.
  • Это показывает, что существуют борнологические пространства, которые не метризуемы.
• Счетное произведение локально выпуклых борнологических пространств является борнологическим. ^{[11] [10]}
• Факторы хаусдорфовых локально-выпуклых борнологических пространств являются борнологическими. ^[10]
• Прямая сумма и индуктивный предел хаусдорфовых локально выпуклых борнологических пространств являются борнологическими. ^[10]
• Пространства Фреше -Монтеля имеют борнологические сильные двойственные пространства .
• Сильный двойник всякого рефлексивного пространства Фреше является борнологическим. ^[12]
• Если сильное двойственное метризуемому локально выпуклому пространству сепарабельно , то оно борнологическое. ^[12]
• Векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого борнологического пространства , имеющее конечную коразмерность в, является борнологическим. ^{[4] [10]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Наилучшая локально выпуклая топология векторного пространства является борнологической. ^[4]

Контрпримеры

Существует борнологическое LB-пространство , сильный бидуал которого не является борнологическим. ^[13]

Замкнутое векторное подпространство локально выпуклого борнологического пространства не обязательно является борнологическим. ^{[4] [14]} Существует замкнутое векторное подпространство локально выпуклого борнологического пространства, которое является полным (и, следовательно, секвенциально полным), но не является ни бочоночным, ни борнологическим. ^[4]

Борнологические пространства не обязательно должны быть бочоночными , а бочоночные пространства не обязательно должны быть борнологическими. ^[4] Поскольку каждое локально выпуклое ультраборнологическое пространство является бочоночным, ^[4] отсюда следует, что борнологическое пространство не обязательно является ультраборнологическим.

Характеристики

• Сильное двойственное пространство локально выпуклому борнологическому пространству полно . ^[4]
• Всякое локально-выпуклое борнологическое пространство является инфрабаррельным . ^[4]
• Всякая хаусдорфова последовательно полная борнологическая ТВС является ультраборнологической . ^[4]
  • Таким образом, любое полное хаусдорфово борнологическое пространство является ультраборнологическим.
  • В частности, каждое пространство Фреше является ультраборнологическим. ^[4]
• Конечное произведение локально выпуклых ультраборнологических пространств является ультраборнологическим. ^[4]
• Каждое хаусдорфово борнологическое пространство является квазибочоночным . ^[15]
• Для борнологического пространства с непрерывным двойственным топология совпадает с топологией Макки. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau (X,X^{\prime }).}$
  • В частности, борнологические пространства — это пространства Макки .
• Каждое квазиполное (т.е. все замкнутые и ограниченные подмножества полны) борнологическое пространство является бочоночным . Однако существуют борнологические пространства, которые не имеют цилиндрической формы.
• Каждое борнологическое пространство является индуктивным пределом нормированных пространств (и банаховых пространств, если пространство также квазиполно).
• Пусть — метризуемое локально выпуклое пространство с непрерывным двойственным. Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
  1. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$является борнологическим.
  2. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$является квазиствольным .
  3. ${\displaystyle \beta (X^{\prime },X)}$является бочковым .
  4. ${\displaystyle X}$это выдающееся пространство .
• Если — линейное отображение локально выпуклых пространств и если оно борнологическое, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$
  1. ${\displaystyle L:X\to Y}$является непрерывным.
  2. ${\displaystyle L:X\to Y}$является последовательно непрерывным. ^[4]
  3. Ибо каждое ограниченное множество ограничено. ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(B)}$
  4. Если это нулевая последовательность, то это нулевая последовательность в ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
  5. Если — сходящаяся нулевая последовательность Макки, то — ограниченное подмножество ${\displaystyle x_{\bullet }=(x_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\circ x_{\bullet }=(L(x_{i}))_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y.}$
• Предположим, что и — локально выпуклые ТВС и что пространство непрерывных линейных отображений наделено топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах . Если — борнологическое пространство, а если полно , то — полная ТВС. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • В частности, сильный двойник локально выпуклого борнологического пространства является полным. ^[4] Однако оно не обязательно должно быть борнологическим.

Подмножества

• В локально выпуклом борнологическом пространстве каждое выпуклое борноядное множество является окрестностью ( не обязательно должно быть диском). ^[4] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$
• Каждое рождённое подмножество локально выпуклого метризуемого топологического векторного пространства является окрестностью начала координат. ^[4]
• Замкнутые векторные подпространства борнологического пространства не обязательно должны быть борнологическими. ^[4]

Ультраборнологические пространства

Диск в топологическом векторном пространстве называется инфроядным, если он поглощает все банаховы диски . ${\displaystyle X}$

Если локально выпукл и хаусдорфов, то диск инфрарожденен тогда и только тогда, когда он поглощает все компакт-диски. ${\displaystyle X}$

Локально выпуклое пространство называется ультраборнологическим, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Каждый диск инфрарожденных является окрестностью начала координат.
2. ${\displaystyle X}$- индуктивный предел пространств , изменяющийся по всем компактным дискам в ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$
3. Полунорма , ограниченная на каждом банаховом диске, обязательно непрерывна . ${\displaystyle X}$
4. Для всякого локально выпуклого пространства и всякого линейного отображения если оно ограничено на каждом банаховом диске, то непрерывно. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$
5. Для любого банахова пространства и любого линейного отображения если оно ограничено на каждом банаховом диске, то непрерывно. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Характеристики

Конечное произведение ультраборнологических пространств является ультраборнологическим. Индуктивные пределы ультраборнологических пространств являются ультраборнологическими.

Смотрите также

• Борнология  - математическое обобщение ограниченности.
• Набор Bornivorous  - набор, который может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  - Обобщение ограниченности
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство линейных карт
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.
• Векторная борнология

Рекомендации

1. Narici & Beckenstein 2011, с. 168.
2. Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.
3. Вилански 2013, с. 50.
4. Narici & Beckenstein 2011, стр. 441–457.
5. Шварц 1992, стр. 15–16.
6. Narici & Beckenstein 2011, стр. 453–454.
7. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 60–61.
8. Вилански 2013, с. 48.
9. Narici & Beckenstein 2011, с. 450.
10. Adasch, Ernst & Keim 1978, стр. 60–65.
11. Наричи и Бекенштейн 2011, с. 453.
12. Schaefer & Wolff 1999, стр. 144.
13. Халилулла 1982, стр. 28–63.
14. Шефер и Вольф 1999, стр. 103–110.
15. Адаш, Эрнст и Кейм 1978, стр. 70–73.

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. ОСЛК  297140003.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. ОСЛК  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чальджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ . Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. xii+144. ISBN 0-7204-0712-5. МР  0500064.
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. МР  0500064. OCLC  316549583.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Кригль, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество . ISBN 9780821807804.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.