Локально выпуклое топологическое векторное пространство

Вектор пространства с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.

В функциональном анализе и смежных областях математики локально выпуклые топологические векторные пространства ( LCTVS ) или локально выпуклые пространства являются примерами топологических векторных пространств (TVS), которые обобщают нормированные пространства . Их можно определить как топологические векторные пространства, топология которых генерируется переносами сбалансированных , поглощающих , выпуклых множеств . В качестве альтернативы их можно определить как векторное пространство с семейством полунорм , и топология может быть определена в терминах этого семейства. Хотя в общем случае такие пространства не обязательно нормируемы , существование выпуклой локальной базы для нулевого вектора достаточно сильно для того, чтобы теорема Хана–Банаха была верна, что дает достаточно богатую теорию непрерывных линейных функционалов .

Пространства Фреше — это локально выпуклые топологические векторные пространства, которые полностью метризуемы (с выбором полной метрики). Они являются обобщениями пространств Банаха , которые являются полными векторными пространствами относительно метрики, порожденной нормой .

История

Метризуемые топологии на векторных пространствах изучались с момента их введения в докторской диссертации Мориса Фреше 1902 года Sur quelques points du calcul fonctionnel (где впервые было введено понятие метрики ) . После того, как понятие общего топологического пространства было определено Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, ^[1] хотя локально выпуклые топологии неявно использовались некоторыми математиками, до 1934 года только Джон фон Нейман , по-видимому, явно определил слабую топологию на гильбертовых пространствах и сильную операторную топологию на операторах на гильбертовых пространствах. ^{[2] [3]} Наконец, в 1935 году фон Нейман ввел общее определение локально выпуклого пространства (названного им выпуклым пространством ). ^{[4] [5]}

Ярким примером результата, который должен был ждать разработки и распространения общих локально выпуклых пространств (среди других понятий и результатов, таких как сети , топология произведений и теорема Тихонова ), чтобы быть доказанным в полной общности, является теорема Банаха–Алаоглу , которую Стефан Банах впервые установил в 1932 году с помощью элементарного диагонального аргумента для случая сепарабельных нормированных пространств ^[6] (в этом случае единичный шар сопряженного пространства метризуем ).

Определение

Предположим, что — векторное пространство над подполем комплексных чисел ( обычно самим собой или ). Локально выпуклое пространство определяется либо в терминах выпуклых множеств, либо, что эквивалентно, в терминах полунорм. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение через выпуклые множества

Топологическое векторное пространство (TVS) называетсялокально выпуклым, если он имеетсоседний базис(то есть локальный базис) в начале координат, состоящий из сбалансированныхвыпуклых множеств.^[7]Терминлокально выпуклое топологическое векторное пространство иногда сокращается долокально выпуклое пространство илиLCTVS .

Подмножество в называется ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

1. Выпуклый, если для всех и Другими словами, содержит все отрезки между точками в ${\displaystyle x,y\in C,}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y\in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
2. Обведено , если для всех и скаляров, если то Если это означает, что равно его отражению относительно начала координат. Для это означает, что для любого содержит окружность через с центром в начале координат, в одномерном комплексном подпространстве, порожденном ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|=1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x.}$
3. Сбалансированный , если для всех и скаляров, если то Если это означает, что если то содержит отрезок прямой между и Для это означает, что для любого содержит диск с на своей границе, с центром в начале координат, в одномерном комплексном подпространстве, порожденном Эквивалентно, сбалансированный набор является "круговым конусом" ^{[ требуется ссылка ]} . Обратите внимание, что в TVS , принадлежит шару с центром в начале координат радиуса , но не принадлежит; действительно, C не является конусом , но сбалансирован . ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle x=(1,1)}$ ${\textstyle C=({}}$ ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {})}$ ${\textstyle 2x=(2,2)}$
4. Конус (когда основное поле упорядочено ) , если для всех и ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle t\geq 0,}$ ${\displaystyle tx\in C.}$
5. Поглощающий или поглощающий, если для каждого существует такое, что для всех удовлетворяющих Множество можно масштабировать на любое «большое» значение, чтобы поглотить каждую точку в пространстве. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in tC}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |t|>r.}$ ${\displaystyle C}$
   • В любой TVS каждая окрестность начала координат является поглощающей. ^[7]
6. Абсолютно выпуклый илидиск , если он одновременно сбалансирован и выпукл. Это эквивалентно тому, что он замкнут относительно линейных комбинаций, коэффициенты которых абсолютно в сумме равны; такой набор является поглощающим, если он охватывает все ${\displaystyle \leq 1}$ ${\displaystyle X.}$

Фактически, каждое локально выпуклое TVS имеет окрестностный базис начала координат, состоящий изабсолютно выпуклые множества (то есть диски), где этот базис соседства может быть дополнительно выбран также состоящим полностью из открытых множеств или полностью из замкнутых множеств.^[8] Каждое TVS имеет базис соседства в начале координат, состоящий из сбалансированных множеств, но только локально выпуклое TVS имеет базис соседства в начале координат, состоящий из множеств, которые являются как сбалансированными, так ивыпуклыми. TVS может иметьнекоторыеокрестности начала координат, которые являются выпуклыми, и все же не быть локально выпуклым, потому что у него нет базиса соседства в начале координат, состоящего полностью из выпуклых множеств (то есть каждый базис соседства в начале координат содержит некоторое невыпуклое множество); например, каждое нелокально выпуклое TVSимеет себя (то есть) в качестве выпуклой окрестности начала координат. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Поскольку перенос непрерывен (по определению топологического векторного пространства ), все переносы являются гомеоморфизмами , поэтому каждая база для окрестностей начала координат может быть переведена в базу для окрестностей любого заданного вектора.

Определение через полунормы

Полунорма на — это отображение такое, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$является неотрицательным или положительно полуопределенным: ; ${\displaystyle p(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle p}$является положительно однородным или положительно масштабируемым: для каждого скаляра Так, в частности, ; ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle p(0)=0}$
3. ${\displaystyle p}$является субаддитивным. Он удовлетворяет неравенству треугольника: ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

Если удовлетворяет положительной определенности, которая гласит, что если то то является нормой . Хотя в общем случае полунормы не обязаны быть нормами, существует аналог этого критерия для семейств полунорм, разделенность, определяемая ниже. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle p}$

Если — векторное пространство и — семейство полунорм на , то подмножество называется базой полунорм для , если для всех существует и действительное число такое, что ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$

Определение (вторая версия): Локально выпуклое пространство определяется как векторное пространство вместе с семейством полунорм на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

Полунормальная топология

Предположим, что — векторное пространство над , где — либо действительные, либо комплексные числа. Семейство полунорм на векторном пространстве индуцирует каноническую топологию векторного пространства на , называемую исходной топологией, индуцированной полунормами, превращая его в топологическое векторное пространство (TVS). По определению, это самая грубая топология на , для которой все отображения в непрерывны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Локально выпуклая топология на пространстве может быть индуцирована семейством норм, но не быть нормируемой ( то есть ее топология может быть индуцирована одной нормой). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Базис и подбазы

Открытое множество в имеет вид , где — положительное действительное число. Семейство прообразов при пробегах по семейству полунорм и пробегах по положительным действительным числам является предбазой в начале координат для топологии, индуцированной . Эти множества являются выпуклыми, как следует из свойств 2 и 3 полунорм. Пересечения конечного числа таких множеств тогда также являются выпуклыми, и поскольку совокупность всех таких конечных пересечений является базой в начале координат, то следует, что топология локально выпукла в смысле первого определения, данного выше. ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle [0,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p^{-1}\left([0,r)\right)=\{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Напомним, что топология TVS инвариантна относительно трансляции, что означает, что если есть любое подмножество из , содержащее начало координат, то для любого есть окрестность начала координат тогда и только тогда, когда есть окрестность из ; таким образом, достаточно определить топологию в начале координат. База окрестностей из для этой топологии получается следующим образом: для каждого конечного подмножества из и каждого пусть ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\}.}$$

Базы полунорм и насыщенных семейств

Если — локально выпуклое пространство и если — набор непрерывных полунорм на , то называется базой непрерывных полунорм, если она является базой полунорм для набора всех непрерывных полунорм на . ^[9] Явно это означает, что для всех непрерывных полунорм на существует и вещественное число, такие что ^[9] Если — базой непрерывных полунорм для локально выпуклого TVS , то семейство всех множеств вида при меняется по и меняется по положительным вещественным числам, является базой окрестностей начала координат в (а не просто подбазой, поэтому нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств). ^{[9] [доказательство 1]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<r\}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$

Семейство полунорм на векторном пространстве называется насыщенным , если для любого и в полунорме, определяемой равенством , принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$

Если — насыщенное семейство непрерывных полунорм, которое индуцирует топологию на , то совокупность всех множеств вида , пробегающих и пробегающих все положительные действительные числа, образует базис окрестности в начале координат, состоящий из выпуклых открытых множеств; ^[9] Это образует базис в начале координат, а не просто подбазис, так что, в частности, нет необходимости брать конечные пересечения таких множеств. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$

Основа норм

Следующая теорема подразумевает, что если — локально выпуклое пространство, то топология может быть определена семейством непрерывных норм на ( норма — это полунорма , где подразумевает ) тогда и только тогда, когда существует по крайней мере одна непрерывная норма на . ^[10] Это происходит потому, что сумма нормы и полунормы является нормой, поэтому если локально выпуклое пространство определяется некоторым семейством полунорм (каждая из которых обязательно непрерывна), то семейство (также непрерывных) норм, полученное добавлением некоторой заданной непрерывной нормы к каждому элементу, обязательно будет семейством норм, которое определяет эту же локально выпуклую топологию. Если существует непрерывная норма на топологическом векторном пространстве, то обязательно является хаусдорфовым, но обратное, вообще говоря, неверно (даже для локально выпуклых пространств или пространств Фреше ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^[11]  —  Пусть — пространство Фреше над полем Тогда следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$не допускает непрерывной нормы (то есть любая непрерывная полунорма на не может быть нормой). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$содержит векторное подпространство, которое TVS-изоморфно ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$содержит дополненное векторное подпространство , которое TVS-изоморфно ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Сетки

Предположим, что топология локально выпуклого пространства индуцируется семейством непрерывных полунорм на . Если и если является сетью в , то в тогда и только тогда, когда для всех ^[12] Более того, если является сетью Коши в , то так же и для каждого ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}\to 0.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

Эквивалентность определений

Хотя определение в терминах базы соседства дает лучшую геометрическую картину, с определением в терминах полунорм легче работать на практике. Эквивалентность двух определений следует из конструкции, известной как функционал Минковского или калибровка Минковского. Ключевой особенностью полунорм, которая обеспечивает выпуклость их - шаров, является неравенство треугольника . ${\displaystyle \varepsilon }$

Для поглощающего множества такого, что если тогда и только тогда, когда определим функционал Минковского как ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle tx\in C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.}$$

Из этого определения следует, что является полунормой, если является сбалансированным и выпуклым (также поглощающим по предположению). Обратно, если задано семейство полунорм, множества образуют базу выпуклых поглощающих сбалансированных множеств. ${\displaystyle \mu _{C}}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}}$$

Способы определения локально выпуклой топологии

Теорема ^[7]  —  Предположим, что — (действительное или комплексное) векторное пространство, и пусть — база фильтров подмножеств, такая, что: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. Каждый из них выпуклый , сбалансированный и поглощающий ; ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. Для каждого существует некоторое действительное удовлетворяющее такое, что ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<r\leq 1/2}$ ${\displaystyle rB\in {\mathcal {B}}.}$

Тогда является базой соседства в 0 для локально выпуклой топологии TVS на ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема ^[7]  —  Предположим, что — (действительное или комплексное) векторное пространство, и пусть — непустой набор выпуклых, сбалансированных и поглощающих подмножеств Тогда множество всех положительных скалярных кратных конечных пересечений множеств в образует базу соседства в начале координат для локально выпуклой топологии TVS на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$

Пример: вспомогательные нормированные пространства

Если является выпуклым и поглощающим в , то симметричное множество будет выпуклым и сбалансированным (также известным как абсолютно выпуклое множество или диск ) в дополнение к тому, чтобы быть поглощающим в Это гарантирует, что функционал Минковского будет полунормой на , тем самым превращаясь в полунормированное пространство , которое несет свою каноническую псевдометризуемую топологию. Множество скалярных кратных как пробеги по (или по любому другому набору ненулевых скаляров, имеющих в качестве предельной точки) образует базис окрестностей поглощающих дисков в начале координат для этой локально выпуклой топологии. Если является топологическим векторным пространством и если это выпуклое поглощающее подмножество также является ограниченным подмножеством , то поглощающий диск также будет ограниченным, в этом случае будет нормой и будет образовывать то, что известно как вспомогательное нормированное пространство . Если это нормированное пространство является банаховым пространством , то называется банаховым диском . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Дополнительные определения

• Семейство полунорм называется полным или разделенным или, как говорят, разделяет точки, если всякий раз, когда выполняется для каждого , то обязательно Локально выпуклое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно имеет разделенное семейство полунорм. Многие авторы берут критерий Хаусдорфа в определении. ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0.}$
• Псевдометрика — это обобщение метрики, которое не удовлетворяет условию, что только когда локально выпуклое пространство псевдометризуемо, что означает, что его топология возникает из псевдометрики, тогда и только тогда, когда оно имеет счетное семейство полунорм. Действительно, псевдометрика, индуцирующая ту же самую топологию, тогда задается выражением ( где можно заменить любой положительной суммируемой последовательностью ). Эта псевдометрика является трансляционно-инвариантной, но не однородной, что означает и, следовательно, не определяет (псевдо)норму. Псевдометрика является честной метрикой тогда и только тогда, когда семейство полунорм разделено, поскольку это имеет место тогда и только тогда, когда пространство является хаусдорфовым. Если, кроме того, пространство является полным, то пространство называется пространством Фреше . ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$$ ${\displaystyle 1/2^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),}$
• Как и любое топологическое векторное пространство, локально выпуклое пространство также является равномерным пространством . Таким образом, можно говорить о равномерной непрерывности , равномерной сходимости и последовательностях Коши .
• Сеть Коши в локально выпуклом пространстве — это сеть , такая что для каждой полунормы существует некоторый индекс такой, что для всех индексов Другими словами, сеть должна быть Коши во всех полунормах одновременно. Определение полноты дано здесь в терминах сетей, а не более знакомых последовательностей , поскольку в отличие от пространств Фреше, которые метризуемы, общие пространства могут быть определены несчетным семейством псевдометрик . Последовательности, которые счетны по определению, не могут быть достаточными для характеристики сходимости в таких пространствах. Локально выпуклое пространство полно тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши сходится. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{\alpha },}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }\left(x_{a}-x_{b}\right)<r.}$
• Семейство полунорм становится предупорядоченным множеством при отношении тогда и только тогда, когда существует такое , что для всех Говорят, что это направленное семейство полунорм , если семейство является направленным множеством со сложением в качестве соединения , другими словами, если для каждого и существует такое , что Каждое семейство полунорм имеет эквивалентное направленное семейство, то есть такое, которое определяет ту же топологию. Действительно, если задано семейство, пусть будет множеством конечных подмножеств и тогда для каждого определить Можно проверить, что является эквивалентным направленным семейством. ${\displaystyle p_{\alpha }\leq p_{\beta }}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\gamma }.}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F\in \Phi }$ $${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.}$$ ${\displaystyle \left(q_{F}\right)_{F\in \Phi }}$
• Если топология пространства индуцируется из одной полунормы, то пространство полунормируемо . Любое локально выпуклое пространство с конечным семейством полунорм полунормируемо. Более того, если пространство хаусдорфово (семейство разделено), то пространство нормируемо, причем норма задается суммой полунорм. В терминах открытых множеств локально выпуклое топологическое векторное пространство полунормируемо тогда и только тогда, когда начало координат имеет ограниченную окрестность .

Достаточные условия

Свойство расширения Хана–Банаха

Пусть будет TVS. Говорят, что векторное подпространство из имеет свойство расширения , если любой непрерывный линейный функционал на может быть расширен до непрерывного линейного функционала на . ^[13] Говорят, что имеет свойство расширения Хана-Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство из имеет свойство расширения. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Хана-Банаха гарантирует, что каждое локально выпуклое пространство Хаусдорфа имеет HBEP. Для полных метризуемых TVS существует обратное:

Теорема ^[13]  (Калтон)  —  Каждое полное метризуемое TVS со свойством расширения Хана-Банаха локально выпукло.

Если векторное пространство имеет несчетную размерность и если мы наделяем его тончайшей векторной топологией , то это TVS с HBEP, которая не является ни локально выпуклой, ни метризуемой. ^[13] ${\displaystyle X}$

Характеристики

Везде есть семейство непрерывных полунорм, которые порождают топологию ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

Топологическое замыкание

Тогда и только тогда , когда для любого конечного набора существует такой , что ^[14] Замыкание в равно ^[15] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(x-s)<r.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$

Топология хаусдорфовых локально выпуклых пространств

Каждое локально выпуклое пространство Хаусдорфа гомеоморфно векторному подпространству произведения банаховых пространств . ^[16] Теорема Андерсона–Кадеца утверждает, что каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно пространству произведения счетного числа копий (этот гомеоморфизм не обязательно должен быть линейным отображением ). ^[17] ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Свойства выпуклых подмножеств

Алгебраические свойства выпуклых подмножеств

Подмножество является выпуклым тогда и только тогда, когда для всех ^[18] или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда для всех положительных действительных чисел ^[19], где поскольку всегда выполняется, знак равенства можно заменить на Если является выпуклым множеством, содержащим начало координат, то оно имеет форму звезды в начале координат и для всех неотрицательных действительных чисел ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle (s+t)C\subseteq sC+tC}$ ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,}$ ${\displaystyle (sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.}$

Сумма Минковского двух выпуклых множеств является выпуклой; более того, скалярное кратное выпуклого множества снова является выпуклым. ^[20]

Топологические свойства выпуклых подмножеств

• Предположим, что — TVS (не обязательно локально выпуклый или хаусдорфов) над действительными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества — это в точности те, которые имеют вид для некоторого и некоторого положительного непрерывного сублинейного функционала на ^[21] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}}$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y.}$
• Внутренность и замыкание выпуклого подмножества TVS снова выпуклы. ^[20]
• Если — выпуклое множество с непустой внутренностью, то замыкание равно замыканию внутренности ; более того, внутренность равна внутренности замыкания ^{[20] [22]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
  • Таким образом, если внутренность выпуклого множества непуста, то оно является замкнутым (соответственно, открытым) множеством тогда и только тогда, когда оно является регулярным замкнутым (соответственно, регулярным открытым) множеством. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Если является выпуклым и тогда ^[23] Явно это означает, что если является выпуклым подмножеством TVS (не обязательно хаусдорфовым или локально выпуклым), принадлежит замыканию и принадлежит внутренней части , то открытый отрезок прямой, соединяющий и принадлежит внутренней части , то есть ^{[22] [24] [доказательство 2]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$
• Если — замкнутое векторное подпространство (не обязательно хаусдорфова) локально выпуклого пространства , то есть выпуклая окрестность начала координат в , а если — вектор не из , то существует выпуклая окрестность начала координат в , такая что и ^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=U\cap M}$ ${\displaystyle z\not \in U.}$
• Замыкание выпуклого подмножества локально выпуклого хаусдорфова пространства одинаково для всех локально выпуклых хаусдорфовых TVS-топологий на , совместимых с двойственностью между и его непрерывным двойственным пространством. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• В локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка полностью ограниченного множества полностью ограничены. ^[7]
• В полном локально выпуклом пространстве выпуклая оболочка и дисковая оболочка компактного множества являются компактными. ^[7]
  • В более общем случае, если — компактное подмножество локально выпуклого пространства, то выпуклая оболочка (соответственно, дисковая оболочка ) компактна тогда и только тогда, когда она полна. ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$
• В локально выпуклом пространстве выпуклые оболочки ограниченных множеств ограничены. Это неверно для TVS в общем случае. ^[26]
• В пространстве Фреше замкнутая выпуклая оболочка компактного множества является компактной. ^[27]
• В локально выпуклом пространстве любая линейная комбинация вполне ограниченных множеств вполне ограничена. ^[26]

Свойства выпуклых оболочек

Для любого подмножества TVS выпуклая оболочка (соответственно, замкнутая выпуклая оболочка , сбалансированная оболочка , выпуклая сбалансированная оболочка ), обозначенная (соответственно, ), является наименьшим выпуклым (соответственно, замкнутая выпуклая, сбалансированная, выпуклая сбалансированная) подмножеством, содержащим ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$

• Выпуклая оболочка компактного подмножества гильбертова пространства не обязательно замкнута и, следовательно, не обязательно компактна. Например, пусть будет сепарабельным гильбертовым пространством квадратично суммируемых последовательностей с обычной нормой и пусть будет стандартным ортонормированным базисом (то есть в -координате ). Замкнутое множество компактно, но его выпуклая оболочка не является замкнутым множеством, поскольку принадлежит замыканию в , но (так как каждая последовательность является конечной выпуклой комбинацией элементов из и, следовательно, обязательно во всех, кроме конечного числа координат, что неверно для ). ^[28] Однако, как и во всех полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах, замкнутая выпуклая оболочка этого компактного подмножества компактна. Вектор подпространства является предгильбертовым пространством , если наделено подструктурой, которую гильбертово пространство индуцирует на нем, но не является полным и (так как ). Замкнутая выпуклая оболочка в (здесь «замкнутая» означает относительно , ​​а не относительно , ​​как и раньше) равна , которая не является компактной (потому что не является полным подмножеством). Это показывает, что в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве, которое не является полным, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества может не быть компактной (хотя она будет предкомпактной/полностью ограниченной ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{n},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
• В хаусдорфовом локально выпуклом пространстве замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества не обязательно компактна, хотя она является предкомпактным (также называемым «полностью ограниченным») подмножеством, что означает, что ее замыкание, взятое в пополнении , будет компактным (здесь так, что тогда и только тогда, когда является полным); то есть будет компактным. Так, например, замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества предгильбертова пространства всегда является предкомпактным подмножеством , и поэтому замыкание в любом гильбертовом пространстве, содержащем (таком как хаусдорфово пополнение , например), будет компактным (это имеет место в предыдущем примере выше). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\subseteq {\widehat {X}},}$ ${\displaystyle X={\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• В квазиполном локально выпуклом TVS замыкание выпуклой оболочки компактного подмножества снова компактно.
• В хаусдорфовом локально выпуклом TVS выпуклая оболочка предкомпактного множества снова предкомпактна. ^[29] Следовательно, в полном хаусдорфовом локально выпуклом пространстве замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества снова компактна. ^[30]
• В любом TVS выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств является компактной (и выпуклой) ^{[7] .}
  • Это означает, что в любом хаусдорфовом TVS выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств замкнута ( в дополнение к тому, что она компактна ^[31] и выпукла); в частности, выпуклая оболочка такого объединения равна замкнутой выпуклой оболочке этого объединения.
  • В общем случае, замкнутая выпуклая оболочка компактного множества не обязательно является компактной. Однако каждое компактное подмножество (где ) имеет компактную выпуклую оболочку. ^[31] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$
  • В любом нехаусдорфовом TVS существуют подмножества, которые являются компактными (и, следовательно, полными), но не замкнутыми.
• Биполярная теорема утверждает, что биполяр (то есть поляр поля) подмножества локально выпуклого Хаусдорфова TVS равен замкнутой выпуклой сбалансированной оболочке этого множества. ^[32]
• Сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно является выпуклой.
• Если и являются выпуклыми подмножествами топологического векторного пространства и если то существуют и действительное число, удовлетворяющее такому условию, что ^[20] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} (C\cup D),}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle x=rc+(1-r)d.}$
• Если — векторное подпространство TVS, выпуклое подмножество и выпуклое подмножество такое, что тогда ^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\cap M\subseteq C,}$ ${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).}$
• Напомним, что наименьшее сбалансированное подмножество , содержащее множество , называется сбалансированной оболочкой и обозначается Для любого подмножества выпуклой сбалансированной оболочки , обозначаемого как , является наименьшим подмножеством , содержащим , которое является выпуклым и сбалансированным. ^[33] Выпуклая сбалансированная оболочка равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки (т.е. ), но выпуклая сбалансированная оболочка не обязательно равна сбалансированной оболочке выпуклой оболочки (т.е. не обязательно равна ). ^[33] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
• Если являются подмножествами TVS и если является скаляром, то ^[34] и Более того, если является компактом, то ^[35] Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно должна быть замкнутой; ^[34] например, множество замкнуто в , но его выпуклая оболочка является открытым множеством ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).}$ ${\displaystyle \left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .}$
• Если являются подмножествами TVS , замкнутые выпуклые оболочки которых компактны, то ^[35] ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).}$
• Если — выпуклое множество в комплексном векторном пространстве и существует такое , что тогда для всех действительных таких, что В частности, для всех скаляров таких, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$ ${\displaystyle rz+siz\in S}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|+|s|\leq 1.}$ ${\displaystyle az\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.}$
• Теорема Каратеодори : Если — некоторое подмножество (где ), то для каждого существует конечное подмножество , содержащее не более точек, выпуклая оболочка которых содержит (то есть и ). ^[36] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle F\subseteq S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |F|\leq n+1}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} F}$

Примеры и не примеры

Самая тонкая и самая грубая локально выпуклая топология

Грубейшая векторная топология

Любое векторное пространство, наделенное тривиальной топологией (также называемой недискретной топологией ), является локально выпуклым TVS (и, конечно, это самая грубая такая топология). Эта топология является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда Недискретная топология превращает любое векторное пространство в полный псевдометризуемый локально выпуклый TVS. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Напротив, дискретная топология образует векторную топологию тогда и только тогда, когда Это следует из того факта, что каждое топологическое векторное пространство является связным пространством . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Лучшая локально выпуклая топология

Если — действительное или комплексное векторное пространство и если — множество всех полунорм на , то локально выпуклая топология TVS, обозначаемая как , индуцирующая на , называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} },}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$Лучшая локально выпуклая топология на^[37] Эта топология может быть также описана как TVS-топология наимеющая в качестве соседней базы в начале координат множество всехпоглощающихдисковв^[37] Любая локально выпуклая TVS-топология наобязательно является подмножествомявляетсяхаусдорфовым.^[15] Каждое линейное отображение изв другое локально выпуклое TVS обязательно непрерывно.^[15]В частности, каждый линейный функционал нанепрерывен и каждое векторное подпространство иззамкнуто в;^[15] следовательно, еслибесконечномерно, тоне псевдометризуемо (и, следовательно, не метризуемо).^[37] Более того,являетсяединственнойхаусдорфовой локально выпуклой топологией насо свойством, что любое линейное отображение из него в любое хаусдорфово локально выпуклое пространство является непрерывным.^[38]Пространствоявляетсяборнологическим пространством.^[39] ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }.}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$

Примеры локально выпуклых пространств

Каждое нормированное пространство является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, и большая часть теории локально выпуклых пространств обобщает части теории нормированных пространств. Семейство полунорм можно считать единственной нормой. Каждое банахово пространство является полным хаусдорфовым локально выпуклым пространством, в частности, пространства с являются локально выпуклыми. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

В более общем смысле, каждое пространство Фреше локально выпукло. Пространство Фреше можно определить как полное локально выпуклое пространство с разделенным счетным семейством полунорм.

Пространство вещественнозначных последовательностей с семейством полунорм, заданным как , локально выпукло. Счетное семейство полунорм полно и сепарабельно, поэтому это пространство Фреше, которое не является нормируемым. Это также предельная топология пространств, вложенных в естественным образом, путем дополнения конечных последовательностей бесконечным числом ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ $${\displaystyle p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbb {N} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle 0.}$

Если задано любое векторное пространство и набор линейных функционалов на нем, можно сделать локально выпуклое топологическое векторное пространство, задав ему слабейшую топологию, сделав все линейные функционалы непрерывными . Это известно как слабая топология или начальная топология, определяемая набором может быть алгебраически сопряженным или любым другим набором. Семейство полунорм в этом случае задается как для всех в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{f}(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$

Пространства дифференцируемых функций дают другие ненормируемые примеры. Рассмотрим пространство гладких функций, такое что где и являются мультииндексами . Семейство полунорм, определяемое посредством , является разделимым и счетным, а пространство является полным, поэтому это метризуемое пространство является пространством Фреше. Оно известно как пространство Шварца или пространство функций быстрого убывания, а его двойственное пространство является пространством умеренных распределений . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|}$

Важным функциональным пространством в функциональном анализе является пространство гладких функций с компактным носителем в Для топологии этого пространства требуется более детальное построение, поскольку пространство не является полным в равномерной норме. Топология на определяется следующим образом: для любого фиксированного компактного множества пространство функций с является пространством Фреше со счетным семейством полунорм (это на самом деле нормы, а пополнение пространства с нормой является банаховым пространством ). Дана любая совокупность компактных множеств, направленная включением и такая, что их объединение равно форме прямой системы , и определяется как предел этой системы. Такой предел пространств Фреше известен как пространство LF . Более конкретно, это объединение всех с сильнейшей локально выпуклой топологией, которая делает каждое отображение включения непрерывным. Это пространство локально выпукло и полно. Однако оно не метризуемо, и поэтому оно не является пространством Фреше. Двойственное пространство для является пространством распределений на ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K}$ ${\displaystyle \|f\|_{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left|D^{k}f(x)\right|}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{m}}$ ${\displaystyle D^{m}(K)}$ ${\displaystyle \left(K_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)}$ ${\displaystyle D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Более абстрактно, если задано топологическое пространство непрерывных (не обязательно ограниченных) функций на , можно задать топологию равномерной сходимости на компактных множествах. Эта топология определяется полунормами (как варьируется по направленному множеству всех компактных подмножеств ). Когда является локально компактным (например, открытое множество в ), применяется теорема Стоуна–Вейерштрасса — в случае вещественнозначных функций любая подалгебра , которая разделяет точки и содержит постоянные функции (например, подалгебра многочленов), является плотной . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C(X)}$

Примеры пространств, не имеющих локальной выпуклости

Многие топологические векторные пространства локально выпуклы. Примеры пространств, не обладающих локальной выпуклостью, включают следующее:

• Пространства для снабжены F - ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$нормой Они не являются локально выпуклыми, поскольку единственной выпуклой окрестностью нуля является все пространство. В более общем случае пространства с безатомной, конечной мерой и не являются локально выпуклыми. ${\displaystyle 0<p<1}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.}$$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• Пространство измеримых функций на единичном интервале (где мы отождествляем две функции, которые равны почти всюду ) имеет топологию векторного пространства, определяемую трансляционно-инвариантной метрикой (которая индуцирует сходимость по мере измеримых функций; для случайных величин сходимость по мере является сходимостью по вероятности ): Это пространство часто обозначается ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx.}$$ ${\displaystyle L_{0}.}$

Оба примера обладают тем свойством, что любое непрерывное линейное отображение в действительные числа является В частности, их двойственное пространство тривиально, то есть содержит только нулевой функционал. ${\displaystyle 0.}$

• Пространство последовательностей не является локально выпуклым. ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$

Непрерывные отображения

Теорема ^[40]  —  Пусть — линейный оператор между TVS, где локально выпуклый (заметим, что не обязательно локально выпуклый). Тогда непрерывен тогда и только тогда, когда для каждой непрерывной полунормы на существует непрерывная полунорма на такая, что ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ T\leq p.}$

Поскольку локально выпуклые пространства являются топологическими пространствами, а также векторными пространствами, естественными функциями для рассмотрения между двумя локально выпуклыми пространствами являются непрерывные линейные отображения . Используя полунормы, можно дать необходимый и достаточный критерий непрерывности линейного отображения, который очень похож на более знакомое условие ограниченности, найденное для банаховых пространств.

Для локально выпуклых пространств и с семействами полунорм и соответственно линейное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого существуют и такие, что для всех ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left(q_{\beta }\right)_{\beta }}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle v\in X,}$ $${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right).}$$

Другими словами, каждая полунорма из области ограничена сверху некоторой конечной суммой полунорм в области . Если семейство является направленным семейством, и его всегда можно выбрать направленным, как объяснено выше, то формула становится еще проще и привычнее: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ $${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).}$$

Класс всех локально выпуклых топологических векторных пространств образует категорию с непрерывными линейными отображениями в качестве морфизмов .

Линейные функционалы

Теорема ^[40]  —  Если — TVS (не обязательно локально выпуклый) и если — линейный функционал на , то является непрерывным тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма на такая, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Если — действительное или комплексное векторное пространство, — линейный функционал на , а — полунорма на , то тогда и только тогда, когда ^[41] Если — ненулевой линейный функционал на действительном векторном пространстве и если — полунорма на , то тогда и только тогда, когда ^[15] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Мультилинейные карты

Пусть будет целым числом, будет TVS (не обязательно локально выпуклым), пусть будет локально выпуклым TVS, топология которого определяется семейством непрерывных полунорм, и пусть будет полилинейным оператором , линейным по каждой из своих координат. Следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y}$ ${\displaystyle n}$

1. ${\displaystyle M}$является непрерывным.
2. Для каждого существуют непрерывные полунормы на соответственно, такие, что для всех ^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ ${\displaystyle q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.}$
3. Для каждого существует некоторая окрестность начала координат в , на которой ограничено. ^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle q\circ M}$

Смотрите также

• Выпуклое метрическое пространство  – метрическое пространство, обладающее свойством: любой отрезок, соединяющий две точки в этом пространстве, имеет в нем и другие точки, кроме конечных точек.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема Крейна–Мильмана  – О том, когда пространство равно замкнутой выпуклой оболочке своих крайних точек
• Линейная форма  – Линейное отображение из векторного пространства в его поле скаляров.
• Локально выпуклая векторная решетка
• Функционал Минковского  – Функция, созданная из множества
• Полунорма  – неотрицательно-действительная функция на действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сублинейный функционал  – Тип функции в линейной алгебреPages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологическая группа  – группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости
• Векторные пространства  – Алгебраическая структура в линейной алгебре

Примечания

1. Хаусдорф, Ф. Grundzüge der Mengenlehre (1914)
2. фон Нейман, Дж. Собрание сочинений . Том II. С. 94–104
3. Дьедонне, Ж. История функционального анализа Глава VIII. Раздел 1.
4. фон Нейман, Дж. Собрание сочинений . Том II. С. 508–527
5. Дьедонне, Ж. История функционального анализа Глава VIII. Раздел 2.
6. Банах, С. Теория линейных операций , стр. 75. Гл. VIII. Раздел 3. Теорема 4., перевод из Theorie des operations lineaires (1932)
7. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 83.
9. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 122.
10. Ярхов 1981, стр. 130.
11. Jarchow 1981, стр. 129–130.
12. Narici & Beckenstein 2011, стр. 126.
13. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
14. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 149.
15. Narici & Beckenstein 2011, стр. 149–153.
16. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
17. Бессага и Пелчинский 1975, с. 189
18. Рудин 1991, стр. 6.
19. Рудин 1991, стр. 38.
20. Тревес 2006, с. 126.
21. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 177–220.
22. Schaefer & Wolff 1999, стр. 38.
23. Jarchow 1981, стр. 101–104.
24. Конвей 1990, стр. 102.
25. Трев 2006, стр. 370.
26. Narici & Beckenstein 2011, стр. 155–176.
27. Рудин 1991, стр. 7.
28. Алипрантис и Бордер 2006, с. 185.
29. Трев 2006, стр. 67.
30. Трев 2006, стр. 145.
31. Rudin 1991, стр. 72–73.
32. Трев 2006, стр. 362.
33. Trèves 2006, стр. 68.
34. Narici & Beckenstein 2011, стр. 108.
35. Данфорд 1988, стр. 415.
36. Рудин 1991, стр. 73–74.
37. Narici & Beckenstein 2011, стр. 125–126.
38. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 476.
39. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 446.
40. Narici & Beckenstein 2011, стр. 126–128.
41. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 126–128.

1. Пусть будет открытым единичным шаром, связанным с полунормой , и заметим, что если является действительным, то и поэтому Таким образом, базовая открытая окрестность начала отсчета, индуцированная является конечным пересечением вида , где и являются положительными действительными числами. Пусть , которое является непрерывной полунормой и, более того, Pick и такой, что где это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда Таким образом, как и требовалось. ${\displaystyle V_{p}=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rV_{p}=\{rx\in X:p(x)<1\}=\{z\in X:p(z)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}=V_{(1/r)p}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{p}=V_{rp}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ ${\displaystyle p:=\max \left\{r_{1}p_{1},\ldots ,r_{n}p_{n}\right\},}$ ${\displaystyle V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}.}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\leq rq,}$ ${\displaystyle V_{rq}\subseteq V_{p}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{q}=V_{rq}\subseteq V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}},}$
2. Исправим так, что осталось показать, что принадлежит Заменяя на при необходимости, мы можем предположить без потери общности, что и так, что осталось показать, что является окрестностью начала отсчета. Пусть так, что Так как скалярное умножение на является линейным гомеоморфизмом Так как и следует, что где так как является открытым, существует некоторый , который удовлетворяет Определим по который является гомеоморфизмом, так как Таким образом, множество является открытым подмножеством , которое, кроме того, содержит Если то так как является выпуклым, и что доказывает, что Таким образом, является открытым подмножеством , которое содержит начало отсчета и содержится в QED ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

Ссылки

• Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC  262692874.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бессага, К.; Пелчинский, А. (1975), Избранные темы бесконечномерной топологии , Monografie Matematyczne, Варшава: Panstwowe wyd. науке.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Interscience Publishers. ISBN 0-471-60848-3. OCLC  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.