Феликс Хаусдорф ( / ˈ h aʊ s d ɔːr f / HOWS -dorf , / ˈ h aʊ z d ɔːr f / HOWZ -dorf ; [1] 8 ноября 1868 — 26 января 1942 [2] ) — немецкий математик , псевдоним Поль Монгре ( à mon gré (фр.) = «по моему вкусу»), [3] который считается одним из основоположников современной топологии и внес значительный вклад в теорию множеств , дескриптивную теорию множеств , теорию меры , и функциональный анализ .
Жизнь Хаусдорфа и его семьи стала трудной после Хрустальной ночи 1938 года. В следующем году он предпринял попытку эмигрировать в Соединенные Штаты, но не смог договориться о получении исследовательской стипендии. 26 января 1942 года Феликс Хаусдорф вместе со своей женой и невесткой покончил жизнь самоубийством, приняв передозировку веронала , вместо того, чтобы выполнить приказ немцев переехать в лагерь Эндених, и там понес вероятные последствия: относительно которого он не питал иллюзий.
Отец Хаусдорфа, еврейский купец Луи Хаусдорф (1843–1896), осенью 1870 года переехал со своей молодой семьей в Лейпциг и со временем работал на различных предприятиях, в том числе на фабрике льняных и хлопчатобумажных изделий. Он был образованным человеком и стал Морену в возрасте 14 лет. Он написал несколько трактатов, в том числе большую работу по арамейским переводам Библии с точки зрения талмудического закона.
Мать Хаусдорфа, Хедвиг (1848–1902), которую в различных документах также называют Йоханной, происходила из еврейской семьи Тиц. Из другой ветви этой семьи произошел Герман Титц , основатель первого универмага, а затем совладелец сети универмагов «Герман Титц». В период нацистской диктатуры имя было «арианизировано» до Херти .
С 1878 по 1887 год Феликс Хаусдорф посещал школу Николая в Лейпциге, учреждение, имевшее репутацию рассадника гуманистического образования. Он был отличником, много лет был классным руководителем и часто декламировал на школьных праздниках самостоятельно написанные латинские или немецкие стихи.
В последние годы обучения в средней школе Хаусдорфу было нелегко выбрать основной предмет обучения. Магда Диркесманн, которая часто бывала в гостях в доме Хаусдорфа в 1926–1932 годах, сообщила в 1967 году, что:
Его разносторонний музыкальный талант был настолько велик, что только настойчивость отца заставила его отказаться от плана заниматься музыкой и стать композитором.
Он решил изучать естественные науки и в выпускном классе 1887 года был единственным, кто получил высшую оценку.
С 1887 по 1891 год Хаусдорф изучал математику и астрономию , главным образом, в родном городе Лейпциге, прерываясь на один семестр во Фрайбурге (лето 1888 года) и Берлине (зима 1888/1889 года). Сохранившиеся свидетельства других студентов изображают его как чрезвычайно разностороннего и интересующегося молодого человека, который, помимо математических и астрономических лекций, посещал лекции по физике , химии и географии , а также лекции по философии и истории философии , а также по вопросы языка , литературы и социальных наук . В Лейпциге он посещал лекции по истории музыки музыковеда Оскара Пауля . Его ранняя любовь к музыке продлилась всю жизнь; Согласно показаниям свидетелей, сделанным различными участниками, в доме Хаусдорфа он проводил впечатляющие музыкальные вечера с домовладельцем за фортепиано. Еще будучи студентом в Лейпциге, он был поклонником и ценителем музыки Рихарда Вагнера .
В более поздние семестры своего обучения Хаусдорф был близок к Генриху Брунсу (1848–1919). Брунс был профессором астрономии и директором обсерватории Лейпцигского университета. Под его руководством Хаусдорф закончил учебу в 1891 году, написав работу по теории астрономического преломления света в атмосфере. Последовали две публикации на ту же тему, а в 1895 году за его хабилитацией последовала диссертация о поглощении света в атмосфере. Эти ранние астрономические работы Хаусдорфа, несмотря на их превосходную математическую формулировку, в конечном итоге не имели большого значения для научного сообщества. Во-первых, позже было показано, что лежащая в основе идея Брунса нежизнеспособна (существовала необходимость в наблюдениях рефракции вблизи астрономического горизонта, и, как покажет Юлиус Баушингер, это не могло быть получено с необходимой точностью). Более того, прогресс в прямых измерениях атмосферных данных (в результате подъемов метеозондов ) с тех пор сделал ненужной кропотливую точность этих данных из наблюдений рефракции. За время между защитой докторской степени и получением хабилитации Хаусдорф выполнил годичный военный призыв и два года проработал человеком- компьютером в обсерватории в Лейпциге.
После получения хабилитации Хаусдорф стал преподавателем в Лейпцигском университете, где начал обширное преподавание в различных математических областях. Помимо преподавания и исследований в области математики, он также занимался своими литературными и философскими наклонностями. Человек разнообразных интересов, он часто общался со многими известными писателями, художниками и издателями, такими как Герман Конради, Рихард Демель , Отто Эрих Хартлебен , Густав Кирштейн , Макс Клингер , Макс Регер и Франк Ведекинд . Годы с 1897 по 1904 год отмечают расцвет его литературного и философского творчества, за это время было опубликовано 18 из 22 его псевдонимных произведений, в том числе сборник стихов, пьеса, эпистемологическая книга и том афоризмов .
В 1899 году Хаусдорф женился на Шарлотте Гольдшмидт, дочери еврейского врача Зигизмунда Гольдшмидта. Ее мачехой была известная суфражистка и воспитательница дошкольных учреждений Генриетта Гольдшмидт . Единственный ребенок Хаусдорфа, его дочь Ленор (Нора), родилась в 1900 году; она пережила эпоху национал-социализма и прожила долгую жизнь, умерев в Бонне в 1991 году.
В декабре 1901 года Хаусдорф был назначен адъюнкт-профессором Лейпцигского университета. Часто повторяемый факт о том, что Хаусдорфу позвонили из Геттингена и он отклонил его, не может быть проверен и, скорее всего, неверен. Рассмотрев заявление Хаусдорфа в Лейпциг, декан Кирхнер счел необходимым сделать следующее дополнение к очень положительному голосованию своих коллег, написанному Генрихом Брунсом:
Факультет, однако, считает себя обязанным сообщить Королевскому министерству, что вышеуказанное заявление, рассмотренное 2 ноября с.г., когда состоялось собрание факультета, было принято не всеми, а 22 голосами против 7. Меньшинство было против, потому что д-р Хаусдорф придерживается Моисеевой веры. [4]
Эта цитата подчеркивает присутствующий неприкрытый антисемитизм , который особенно резко усилился по всему Германскому рейху после краха фондового рынка в 1873 году . Лейпциг был центром антисемитских настроений, особенно среди студентов, что вполне могло быть причиной того, что Хаусдорф не чувствовал себя в Лейпциге непринужденно. Еще одним фактором, способствовавшим этому, мог быть стресс, вызванный иерархической позицией лейпцигских профессоров.
После получения хабилитации Хаусдорф написал другие работы по оптике , неевклидовой геометрии и гиперкомплексным системам счисления , а также две статьи по теории вероятностей . Однако вскоре его основной областью работы стала теория множеств, особенно теория упорядоченных множеств . Первоначально только из философского интереса Хаусдорф начал изучать творчество Георга Кантора , начиная примерно с 1897 года, но уже в 1901 году Хаусдорф начал читать лекции по теории множеств. Это была одна из первых лекций по теории множеств; только лекции Эрнста Цермело в Геттингенском колледже зимой 1900/1901 года были раньше. В том же году он опубликовал свою первую статью о типах порядков, в которой исследовал обобщение хорошо упорядоченных порядков , называемое градуированными типами порядков, где линейный порядок считается градуированным, если никакие два его сегмента не имеют одного и того же типа порядков . Он обобщил теорему Кантора-Бернштейна , в которой говорилось, что совокупность счетных порядковых типов имеет мощность континуума , и показал, что совокупность всех градуированных типов идемпотентной мощности m имеет мощность 2 m . [5]
На летний семестр 1910 года Хаусдорф был назначен профессором Боннского университета . Там он начал серию лекций по теории множеств, которую существенно переработал и расширил к летнему семестру 1912 года.
Летом 1912 года он также начал работу над своим выдающимся произведением — книгой « Основы теории множеств» . Оно было завершено в Грайфсвальде , где Хаусдорф был назначен на летний семестр профессором в 1913 году и был освобожден в апреле 1914 года.
Грайфсвальдский университет был самым маленьким из прусских университетов. Математический институт там тоже был небольшим; Летом 1916 года и зимой 1916/17 года Хаусдорф был единственным математиком в Грайфсвальде. Это означало, что он почти полностью был занят преподаванием базовых курсов. Таким образом, назначение Хаусдорфа в 1921 году в Бонн стало существенным улучшением его академической карьеры. Там он мог свободно преподавать более широкий круг тем и часто читал лекции по своим последним исследованиям. Особенно примечательную лекцию по теории вероятностей (Н. Л. Хаусдорф: Капсула 21: Фас 64) он прочитал в летнем семестре 1923 года, в которой обосновал теорию вероятностей на основе теоретико-мерной аксиоматической теории, за десять лет до выхода « Основных принципов» А. Н. Колмогорова . понятия теории вероятностей» (перепечатано полностью в собрании сочинений, том V). В Бонне Хаусдорф дружил и коллегой с Эдуардом Стюдом , а позже с Отто Тёплицем , которые оба были выдающимися математиками.
После прихода к власти Национал-социалистической партии антисемитизм стал государственной доктриной. Первоначально Хаусдорфа не беспокоил « Закон о восстановлении профессиональной государственной службы », принятый в 1933 году, поскольку он был немецким государственным служащим еще до 1914 года. Однако полностью его не пощадили, так как одна из его лекций была прервана. студенческими чиновниками-национал-социалистами. В зимнем семестре 1934/1935 года в Боннском университете прошла рабочая сессия Национал-социалистического немецкого студенческого союза (NSDStB), которая выбрала темой семестра «Раса и этническая принадлежность». Хаусдорф отменил свой курс «Исчисление III» в зимнем семестре 1934/1935 20 ноября, и предполагается, что выбор темы был связан с отменой занятий Хаусдорфа, поскольку за свою долгую карьеру преподавателя университета он всегда преподавал свои курсы до их конец.
31 марта 1935 года, после некоторых колебаний, Хаусдорф наконец получил почетный статус. Не было сказано слов благодарности за 40 лет успешной работы в системе высшего образования Германии.
Его академическое наследие показывает, что Хаусдорф все еще работал математически в эти все более трудные времена и продолжал следить за текущими интересами. Помимо расширенного издания своей работы по теории множеств, он написал семь работ по топологии и дескриптивной теории множеств. Они были опубликованы в польских журналах: один в Studia Mathematica , другие в Fundamenta Mathematicae . Его в это время поддержал Эрих Бессель-Хаген , верный друг семьи Хаусдорф, который получал книги и журналы из академической библиотеки, куда Хаусдорфу больше не разрешалось входить.
Об унижениях, которым особенно подверглись Хаусдорф и его семья после Хрустальной ночи 1938 года , известно немало. Источников много, в том числе письма Бессель-Хагена. [6]
В 1939 году Хаусдорф тщетно просил у математика Рихарда Куранта стипендию для проведения исследований, чтобы иметь возможность эмигрировать в США. В середине 1941 года боннских евреев начали депортировать в «Монастырь Вечного Поклонения» в Энденихе , Бонн , из которого были изгнаны монахини. Транспортировка в лагеря смерти на востоке произошла позже. После того, как Хаусдорфу, его жене и сестре его жены Эдит Паппенгейм (которая жила с ними) в январе 1942 года было приказано переехать в лагерь Эндених, все трое покончили жизнь самоубийством 26 января 1942 года, приняв передозировку веронала . [7] Их последнее пристанище находится на кладбище Поппельсдорф в Бонне. В период между их размещением во временных лагерях и своим самоубийством он передал свой рукописный Нахлас египтологу и пресвитеру Гансу Бонне, который спас как можно больше из них, даже несмотря на разрушение его дома бомбой.
Некоторые из его собратьев-евреев, возможно, питали иллюзии относительно лагеря Эндених, но не Хаусдорф. В поместье Бессель-Хаген Э. Нойеншвандер обнаружил прощальное письмо, которое Хаусдорф написал своему адвокату Гансу Вольштейну, который также был евреем. [8] [9] Вот начало и конец письма:
Дорогой друг Вольштейн!
Если вы получили эти строки, то мы (трое) решили проблему другим способом — тем способом, которым вы нас постоянно пытались отговорить. Чувство безопасности, которое вы предсказали нам, когда мы преодолеем трудности переезда, все еще ускользает от нас; напротив, Эндених, возможно, даже не конец!
То, что произошло в последние месяцы против евреев, вызывает обоснованные опасения, что они не дадут нам дожить до более терпимой ситуации.
Поблагодарив друзей и с большим спокойствием выразив свои последние пожелания относительно его похорон и своего завещания, Хаусдорф пишет:
Мне жаль, что мы причиняем вам еще больше усилий после смерти, и я убежден, что вы делаете то, что можете (что, возможно, не очень много). Простите нам наше дезертирство! Мы желаем вам и всем нашим друзьям пережить лучшие времена.
Ваш искренне преданный
Феликс Хаусдорф
К сожалению, это желание не было исполнено. Адвокат Хаусдорфа Вольштейн был убит в Освенциме .
Библиотеку Хаусдорфа продал его зять и единственный наследник Артур Кениг. Части «Начласса » Хаусдорфа , которые удалось спасти Гансу Бонне, сейчас находятся в университете и Государственной библиотеке Бонна. Nachlass внесен в каталог . [10]
Сборник афоризмов Хаусдорфа, опубликованный в 1897 году, был его первой работой, опубликованной под псевдонимом Поль Монгре. Она называется «Сант Иларио: Мысли о пейзаже Заратустры ». Подзаголовок в первую очередь подчеркивает тот факт, что Хаусдорф завершил свою книгу во время восстановительного пребывания на Лигурийском побережье в Генуе и что в этом же районе Фридрих Ницше написал первые две части « Так говорил Заратустра» ; он также намекает на свою духовную близость к Ницше. В статье о Сант-Иларио в еженедельной газете Die Zukunft Хаусдорф экспрессивно признал свой долг перед Ницше.
Хаусдорф не пытался копировать или даже превзойти Ницше. «От подражания Ницше нет и следа», — говорится в современной рецензии. Он следует за Ницше в попытке освободить индивидуальное мышление, взять на себя смелость подвергать сомнению устаревшие стандарты. Хаусдорф сохранял критическую дистанцию по отношению к поздним работам Ницше. В своем эссе по книге «Воля к власти», составленном на основе заметок, оставшихся в Архиве Ницше, он говорит:
В Ницше пылает фанатик. Его мораль воспитания, возведенная на наши нынешние биологические и физиологические основы знаний: это может стать всемирно-историческим скандалом, на фоне которого инквизиция и процессы над ведьмами исчезнут в безобидные отклонения.
Свой критический стандарт он взял у самого Ницше:
От доброго, скромного, понимающего Ницше и от свободного духа хладнокровного, свободного от догм, бессистемного скептика Ницше...
В 1898 году — также под псевдонимом Поль Монгре — Хаусдорф опубликовал эпистемологический эксперимент под названием « Хаос в космическом отборе ». Критика метафизики, изложенная в этой книге, имела своей отправной точкой конфронтацию Хаусдорфа с идеей Ницше о вечном возвращении. В конечном счете, речь идет об уничтожении любой метафизики. О самом мире, о трансцендентном ядре мира , как говорит Хаусдорф, мы ничего не знаем и ничего не можем знать. Мы должны принять «сам мир» как неопределенный и неопределимый, как простой хаос. Мир нашего опыта, наш космос — это результат выбора, который мы сделали и всегда будем инстинктивно делать в соответствии с нашей способностью к пониманию. Из этого хаоса можно представить себе все другие структуры, другой космос. То есть из мира нашего космоса нельзя сделать никаких выводов о трансцендентном мире.
В 1904 году в журнале «Новый Рундшау» появилась пьеса Хаусдорфа — одноактная пьеса « Доктор в его честь» . Это грубая сатира на дуэль и на традиционные понятия чести и благородства прусского офицерского корпуса, которые в развивающемся буржуазном обществе становились все более анахроничными. «Доктор в его честь» стал самым популярным литературным произведением Хаусдорфа. В 1914–1918 годах многочисленные выступления прошли более чем в тридцати городах. Позже Хаусдорф написал к пьесе эпилог, но тогда она не была поставлена. Только в 2006 году премьера этого эпилога состоялась на ежегодном собрании Немецкого математического общества в Бонне.
Помимо упомянутых выше работ, Хаусдорф также написал множество эссе, которые появились в некоторых ведущих литературных журналах того времени. Он также написал книгу стихов « Экстаз» (1900). Некоторые из его стихов были положены на музыку австрийским композитором Йозефом Марксом .
Вступление Хаусдорфа в тщательное изучение упорядоченных множеств было частично вызвано проблемой континуума Кантора: где в последовательности следует располагать кардинальное число ? В письме Гильберту от 29 сентября 1904 года он говорит об этой проблеме: «Она мучила меня почти как мономания ». [11] Хаусдорф увидел новую стратегию решения проблемы в наборе . Кантор подозревал , но смог лишь доказать это . Хотя есть «число» возможных правильных порядков счетного множества , теперь оно стало «числом» всех возможных порядков такой суммы. Поэтому было естественным изучать системы, более конкретные, чем порядки, но более общие, чем вполне упорядоченные. Хаусдорф сделал именно это в своем первом томе 1901 года, опубликовав теоретические исследования «градуированных множеств». Однако из результатов Курта Гёделя и Пола Коэна мы знаем , что эта стратегия решения проблемы континуума столь же неэффективна, как и стратегия Кантора, которая была направлена на обобщение принципа Кантора-Бендиксона с закрытых множеств на общие несчетные множества.
В 1904 году Хаусдорф опубликовал названную в его честь рекурсию, в которой утверждалось, что для каждого неограниченного порядкового номера имеем
Эта формула вместе с более поздним понятием конфинальности, введенным Хаусдорфом, стала основой для всех дальнейших результатов по возведению Алефа в степень . Прекрасное знание Хаусдорфом рекуррентных формул такого рода также позволило ему обнаружить ошибку в лекции Юлиуса Кенига на Международном конгрессе математиков в 1904 году в Гейдельберге . Там Кениг утверждал, что континуум не может быть хорошо упорядочен, поэтому его мощность вовсе не является Алефом, и это вызвало большой переполох. Тот факт, что именно Хаусдорф разъяснил ошибку, имеет особое значение, поскольку ложное впечатление о событиях в Гейдельберге сохранялось более 50 лет. [12]
В 1906–1909 годах Хаусдорф выполнил свою новаторскую и фундаментальную работу по упорядоченным множествам. Фундаментальное значение для всей теории имеет понятие конфинальности , введенное Хаусдорфом. Порядковый номер называется регулярным, если он конфинален с любым меньшим порядковым номером; в противном случае его называют сингулярным. Вопрос Хаусдорфа о том, существуют ли регулярные числа, индексирующие предельный ординал, стал отправной точкой для теории недоступных кардиналов. Хаусдорф уже заметил, что такие цифры, если они существуют, должны быть «непомерными». [13]
Фундаментальное значение имеет также следующая теорема Хаусдорфа: для каждого неограниченного и упорядоченного плотного множества существует два однозначно определенных регулярных начальных числа , так что оно конфинально с и коначально с (где * обозначает обратный порядок). Эта теорема обеспечивает, например, метод характеристики элементов и пробелов в упорядоченных множествах.
Если — заранее определенный набор символов (символов элемента и пробела), возникает вопрос, существуют ли упорядоченные наборы, набор символов которых равен точно . Нетрудно найти необходимое условие для , но Хаусдорфу удалось также показать, что это условие является достаточным. Для этого нужен богатый резервуар упорядоченных множеств, который Хаусдорф также смог создать с помощью своей теории общих произведений и степеней. [14] В этом резервуаре можно найти интересные структуры, такие как нормальные типы Хаусдорфа, в связи с которыми Хаусдорф впервые сформулировал гипотезу обобщенного континуума . -множества Хаусдорфа послужили отправной точкой для изучения важной модельной теории насыщенной структуры . [15]
Общие произведения и степени мощности Хаусдорфа побудили его изучить концепцию частично упорядоченного множества. На вопрос о том, содержится ли какое-либо упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества в максимальном упорядоченном подмножестве, Хаусдорф дал положительный ответ, используя теорему о хорошем порядке. Это принцип максимума Хаусдорфа , который следует либо из теоремы о хорошем порядке, либо из аксиомы выбора и, как оказалось, также эквивалентен аксиоме выбора. [16]
В 1908 году Артур Мориц Шенфлис в своем отчете о теории множеств обнаружил, что новая теория упорядоченных множеств (то есть та, которая возникла после расширений Кантора) почти исключительно возникла благодаря Хаусдорфу. [17]
Согласно прежним представлениям, теория множеств включала не только общую теорию множеств и теорию множеств точек, но также теорию размерности и меры. Учебник Хаусдорфа был первым, в котором вся теория множеств была представлена в этом широком смысле, систематически и с полными доказательствами. Хаусдорф осознавал, как легко человеческий разум может ошибаться, одновременно стремясь к строгости и истине, поэтому в предисловии к своей работе он обещает:
… максимально экономно относиться к человеческой привилегии ошибаться.
Эта книга вышла далеко за рамки мастерского изображения уже известных концепций. Он также содержал ряд важных оригинальных статей автора.
Первые несколько глав посвящены основным понятиям общей теории множеств. Вначале Хаусдорф предоставляет подробную алгебру множеств с некоторыми новаторскими концепциями (цепь разностей, кольца множеств и поля множеств, - и -системы). Вводные параграфы, посвященные множествам и их связям, включали, например, современное теоретико-множественное понятие функций. В главах с 3 по 5 обсуждается классическая теория кардинальных чисел, типов порядка и ординалов, а в шестой главе «Отношения между упорядоченными и вполне упорядоченными множествами» Хаусдорф представляет, среди прочего, важнейшие результаты своих собственных исследований упорядоченных множеств. .
В главах о «множествах точек» — топологических главах — Хаусдорф впервые разработал на основе известных аксиом окрестностей систематическую теорию топологических пространств, куда, кроме того, добавил аксиому разделения, позже названную его именем. Эта теория возникает в результате всестороннего синтеза более ранних подходов других математиков и собственных размышлений Хаусдорфа о проблеме пространства. Понятия и теоремы классической теории множеств точек , насколько это возможно, переносятся на общий случай и, таким образом, становятся частью вновь созданной общей или теоретико-множественной топологии. Но Хаусдорф не только выполнил эту «работу по переводу», но и разработал основные методы построения топологии, такие как образование ядра (открытое ядро, самоплотное ядро ) и образование оболочки ( замыкание ), а также прорабатывает фундаментальную важность концепции открытого множества (названного им «площадью») и понятия компактности, введенного Фреше. Он также основал и развил теорию связного множества, в частности, путем введения терминов «компонент» и «квазикомпонент».
Благодаря первой аксиоме счетности Хаусдорфа, а затем и второй, рассматриваемые пространства постепенно специализировались. Большой класс пространств, удовлетворяющих счетной первой аксиоме, — это метрические пространства . Они были введены в 1906 году Фреше под названием «классы (Е)». Термин «метрическое пространство» принадлежит Хаусдорфу. В «Принципах» он развил теорию метрических пространств и систематически обогащал ее рядом новых понятий: метрика Хаусдорфа , полнота , тотальная ограниченность , -связность, приводимые множества. Работы Фреше не особенно известны; только благодаря Принципам Хаусдорфа метрические пространства стали общеизвестными для математиков.
Глава с иллюстрациями и заключительная глава « Основ теории меры и интеграции» обогащены общностью материала и оригинальностью изложения. Упоминание Хаусдорфом о важности теории меры для вероятности имело большой исторический эффект, несмотря на его лаконическую краткость. В этой главе можно найти первое правильное доказательство усиленного закона больших чисел Эмиля Бореля . Наконец, в приложении содержится единственный наиболее впечатляющий результат всей книги, а именно теорема Хаусдорфа о том, что невозможно определить объем для всех ограниченных подмножеств for . Доказательство основано на парадоксальном шаровом разложении Хаусдорфа , для получения которого требуется аксиома выбора. [18]
В ХХ веке стало стандартом строить математические теории на основе аксиоматической теории множеств. Создание аксиоматически обоснованных обобщенных теорий, таких как общая топология, способствовало, среди прочего, выделению общего структурного ядра для различных частных случаев или областей и затем созданию абстрактной теории, содержавшей все эти части как частные случаи. Это принесло большой успех в виде упрощения и гармонизации и в конечном итоге принесло с собой экономию мысли. Сам Хаусдорф выделил этот аспект в «Принципах» . В топологической главе основные концепции представляют собой новаторскую работу с методологической точки зрения и проложили путь для развития современной математики.
Принципы теории множеств появились в апреле 1914 г., накануне Первой мировой войны, резко повлиявшей на научную жизнь Европы. В этих обстоятельствах влияние книги Хаусдорфа на математическое мышление не будет заметно в течение пяти-шести лет после ее появления. После войны новое поколение молодых исследователей приступило к расширению многочисленных предложений, включенных в эту работу. Несомненно, топология была в центре внимания. Особую роль в рецепции идей Хаусдорфа сыграл журнал Fundamenta Mathematicae , основанный в Польше в 1920. Это был один из первых математических журналов, в котором особое внимание уделялось теории множеств, топологии, теории действительных функций, теории меры и интегрирования, функциональному анализу, логике и основам математики. Во всем этом спектре особое внимание уделялось топологии. Принципы Хаусдорфа были процитированы в самом первом томе Fundamenta Mathematicae , и благодаря подсчету цитирований их влияние продолжалось с поразительной скоростью. Из 558 работ (не считая трех собственных работ Хаусдорфа), появившихся в первых двадцати томах Fundamenta Mathematicae с 1920 по 1933 год, 88 из них цитируют « Принципы» . Необходимо также принять во внимание тот факт, что по мере того, как идеи Хаусдорфа становились все более распространенными, они также использовались в ряде работ, в которых они не цитировались явно.
Русская топологическая школа, основанная Паулем Александровым и Паулем Урысоном , во многом основывалась на принципах Хаусдорфа . Об этом свидетельствует сохранившаяся переписка в « Накласе » Хаусдорфа с Урысоном, и особенно в «Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes» Александрова и Урысона , [19] работа размером с книгу, в которой Урысон разработал теорию размерности и « Принципы» , цитируется не менее 60 раз. .
После Второй мировой войны книга Хаусдорфа пользовалась большим спросом, и в Челси было три переиздания в 1949, 1965 и 1978 годах.
В 1916 году Александров и Хаусдорф независимо решили [20] проблему континуума для борелевских множеств: каждое борелевское множество в полном сепарабельном метрическом пространстве либо счетно, либо имеет мощность континуума. Этот результат обобщает теорему Кантора–Бендиксона о том, что такое утверждение справедливо для замкнутых множеств . Для линейных множеств Уильям Генри Янг доказал этот результат в 1903 году, [21] для множеств Хаусдорф получил соответствующий результат в 1914 году в «Принципах» . Теорема Александрова и Хаусдорфа дала мощный импульс дальнейшему развитию дескриптивной теории множеств. [22]
Среди публикаций Хаусдорфа во время его пребывания в Грайфсвальде особенно выделяется работа « Измерение и внешняя мера» 1919 года. В этой работе были введены понятия, которые сейчас известны как мера Хаусдорфа и размерность Хаусдорфа . Она оставалась весьма актуальной и в последующие годы стала одной из наиболее цитируемых математических работ за десятилетие с 1910 по 1920 год.
Концепция размерности Хаусдорфа полезна для характеристики и сравнения «высоко жестких величин». Концепции размерности и внешней меры получили применение и дальнейшее развитие во многих областях, таких как теория динамических систем, геометрическая теория меры, теория самоподобных множеств и фракталов, теория случайных процессов, гармонический анализ, теория потенциала. и теория чисел. [23]
Значительная аналитическая работа Хаусдорфа произошла во время его второго пребывания в Бонне. В книге «Методы суммирования и моментные последовательности» I в 1921 году он разработал целый класс методов суммирования расходящихся рядов, которые сегодня называются методами Хаусдорфа. В классической книге «Дивергентная серия» Харди целая глава посвящена методу Хаусдорфа. Классические методы Гельдера и Чезаро оказались частными случаями метода Хаусдорфа. Каждый метод Хаусдорфа задается последовательностью моментов; в этом контексте Хаусдорф дал изящное решение проблемы моментов для конечного интервала, минуя теорию цепных дробей. В своей статье «Проблемы моментов для конечного интервала » 1923 года он рассматривал более специальные проблемы моментов, например, с определенными ограничениями на плотность генерации . Критерии разрешимости и разрешимости моментных задач занимали Хаусдорфа на протяжении многих лет, о чем свидетельствуют сотни страниц рукописных заметок в его Накласе . [24]
Значительным вкладом в развивающуюся область функционального анализа в 1920-х годах стало распространение Хаусдорфом теоремы Рисса-Фишера на пространства в его работе 1923 года « Распространение теоремы Парсеваля о рядах Фурье ». Он доказал неравенства, теперь названные в честь него и У.Г. Янга. Неравенства Хаусдорфа-Янга стали отправной точкой новых крупных разработок. [25]
Книга Хаусдорфа «Теория множеств» появилась в 1927 году. Она была объявлена вторым изданием « Принципов» , но на самом деле это была совершенно новая книга. Поскольку масштаб был значительно уменьшен из-за его появления в учебной библиотеке Гошена, большие части теории упорядоченных множеств и мер и теории интегрирования были удалены. В предисловии Хаусдорф пишет: «Возможно, даже больше, чем эти удаления, читатель пожалеет больше всего о том, что в целях дальнейшей экономии места в теории множеств точек я отказался от топологической точки зрения, благодаря которой первое издание, по-видимому, приобрело много друзей. и сосредоточился на более простой теории метрических пространств».
Фактически, это было явным сожалением некоторых рецензентов работы. В качестве компенсации Хаусдорф впервые показал нынешнее состояние дескриптивной теории множеств. Этот факт обеспечил книге почти такой же интенсивный прием, как и «Принципы» , особенно в Fundamenta Mathematicae. Как учебник он пользовался большой популярностью. В 1935 году было опубликовано расширенное издание, которое было переиздано Дувром в 1944 году. Английский перевод появился в 1957 году с переизданиями в 1962 и 1967 годах.
Существовало и русское издание (1937 г.), хотя оно было лишь частично точным переводом, а частично переработкой Александрова и Колмогорова . В этом переводе топологическая точка зрения вновь вышла на первый план. В 1928 году обзор « Теории множеств» написал Ганс Хан, который, возможно, думая об опасности немецкого антисемитизма, завершил дискуссию следующим предложением:
Образцовое во всех отношениях изображение трудной и тернистой области, работа, равная тем, которые прославили немецкую науку во всем мире, и такая, которой могут гордиться все немецкие математики. [26]
В 1938 году последняя работа Хаусдорфа «Расширение непрерывного отображения» показала, что непрерывная функция из замкнутого подмножества метрического пространства может быть расширена на все (хотя, возможно, потребуется расширить изображение). В частном случае всякий гомеоморфизм из можно продолжить до гомеоморфизма из . Эта работа продолжила исследования предыдущих лет. В 1919 году в работе «О полунепрерывных функциях и их обобщении » Хаусдорф, среди прочего, дал еще одно доказательство теоремы о продолжении Титце . В 1930 году в книге «Расширение гомеоморфизма» он показал следующее: Пусть — метрическое пространство, замкнутое подмножество. Если задана новая метрика без изменения топологии, то эту метрику можно распространить на все пространство без изменения топологии. Работа «Градуированные пространства» появилась в 1935 году, где Хаусдорф обсуждал пространства, удовлетворяющие аксиомам замыкания Куратовского вплоть до аксиомы идемпотентности. Эти пространства часто также называют пространствами замыкания, и Хаусдорф использовал их для изучения отношений между предельными пространствами Фреше и топологическими пространствами .
Имя Хаусдорфа встречается во всей математике. Среди прочего, эти понятия были названы в его честь:
В университетах Бонна и Грайфсвальда в его честь были названы следующие вещи:
Помимо этого, в Бонне есть Хаусдорфштрассе (Хаусдорф-стрит), где он впервые жил. (Дом-№ 61). В Грайфсвальде есть улица Феликс-Хаусдорф-Штрассе, где, среди прочего, расположены Институты биохимии и физики. С 2011 года в центре Лейпцигерского Ортштайла Голиса находится «Hausdorffweg» (Hausdorff-Way). [27]
В его честь был назван астероид 24947 Хаусдорф .
Здесь показаны только избранные эссе, появившиеся в тексте.
Хаусдорф об упорядоченных множествах . Пер. и редактор: Джейкоб М. Плоткин, Американское математическое общество, 2005.
«Hausdorff-Edition» под редакцией Э. Брискорна (†), Ф. Хирцебруха (†), В. Пуркерта (весь Бонн), Р. Реммерта (†) (Мюнстер) и Э. Шольца (Вупперталь) при сотрудничестве с участием более двадцати математиков, историков, философов и ученых - это действующий проект Северо-Рейнско-Вестфальской академии наук, гуманитарных наук и искусств, целью которого является представление работ Хаусдорфа с комментариями и большим количеством дополнительных материалов. Тома были опубликованы издательством Springer-Verlag , Гейдельберг. Было опубликовано девять томов, причем том I разделен на том IA и том IB. Для получения дополнительной информации посетите веб-сайт проекта Hausdorff Project Hausdorff Edition (на немецком языке). Объемы:
Полный текст Abschiedsbrief Феликса Хаусдорфа в Wikisource
![{\displaystyle \varphi (x)\in L^{p}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fcbe40081da0691fa1121ce0009593bb15ac9d)
