Поглощающий набор

Набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.

В функциональном анализе и смежных областях математики поглощающее множество в векторном пространстве — это множество , которое можно «раздуть» или «масштабировать», чтобы в конечном итоге всегда включать в себя любую заданную точку векторного пространства. Альтернативные термины — радиальный или абсорбирующий набор . Каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве является поглощающим подмножеством. ${\displaystyle S}$

Определение

Обозначения скаляров

Предположим, что это векторное пространство над полем действительных или комплексных чисел и для любого пусть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle -\infty \leq r\leq \infty ,}$

$${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\quad {\text{ and }}\quad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}}$$

открытый шарзакрытый шар ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle KA=\{ka:k\in K,a\in A\},}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Kx=\{kx:k\in K\}.}$

Предварительные сведения

Сбалансированное ядро ​​и сбалансированный корпус

Говорят, что подмножество ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$сбалансировано, еслидля всехи всех скаляров,удовлетворяющихэтому условию, можно записать более кратко каки оно выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle as\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|\leq 1;}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S,}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S=S.}$

Для данного набора наименьшее сбалансированное множество , содержащее обозначение, называется ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} T,}$сбалансированная оболочка ,а самый большой сбалансированный набор, содержащийся внутри,обозначается ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$сбалансированное ядро ​​этих множеств задается формулами ${\displaystyle T.}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} T~=~{\textstyle \bigcup \limits _{|c|\leq 1}}c\,T=B_{\leq 1}T}$$

$${\displaystyle \operatorname {balcore} T~=~{\begin{cases}{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq 1}}c\,T&{\text{ if }}0\in T\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in T,\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {balcore} T}$ ${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

Если есть какой-либо скаляр, то ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,T)=c\,\operatorname {bal} T=|c|\,\operatorname {bal} T}$$

${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle 0\in T}$

$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,T)=c\,\operatorname {balcore} T=|c|\,\operatorname {balcore} T.}$$

Один набор поглощает другой

Если и являются подмножествами то, говорят, что ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$поглощать , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle S}$

1. Определение : существует такая реальность, что для каждого скаляра, удовлетворяющего или, выражаясь более кратко, для некоторого ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle S\,\subseteq \,c\,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \;{\textstyle \bigcap \limits _{|c|\geq r}}c\,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Если скалярное поле интуитивно « поглощает », это означает, что если оно постоянно «масштабируется» или «раздувается» (имеется в виду как ), то в конечном итоге (для всех положительных достаточно больших) все будет содержать и, аналогично, должно также в конечном итоге содержать для все отрицательные достаточно велики по величине. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle tA}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t<0}$
   • Это определение зависит от канонической нормы основного скалярного поля (то есть от абсолютного значения ), что, таким образом, связывает это определение с обычной евклидовой топологией скалярного поля. Следовательно, определение поглощающего множества (данное ниже) также привязано к этой топологии. ${\displaystyle |\cdot |}$
2. Существует такое вещественное число, что для каждого ненулевого ^{[примечание 1]} скаляра , удовлетворяющего Или, выражаясь более кратко, для некоторого ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|\leq r}}c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Поскольку это объединение равно тому, где находится закрытый шар с удаленным началом координат, это условие можно переформулировать как: для некоторых ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S,}$ ${\displaystyle B_{\leq r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|\leq r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{\leq r}\setminus \{0\}\right)S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Нестрогое неравенство можно заменить строгим неравенством , которое является следующей характеристикой. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,,}$
3. Существует такое вещественное число, что для каждого ненулевого ^{[примечание 1]} скаляра , удовлетворяющего Или, выражаясь более кратко, для некоторого ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\subseteq \,A}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Вот открытый шар с удаленным началом координат и ${\displaystyle B_{r}\setminus \{0\}=\{c\in \mathbb {K} :0<|c|<r\}}$ ${\displaystyle \left(B_{r}\setminus \{0\}\right)S\,=\,{\textstyle \bigcup \limits _{0<|c|<r}}c\,S.}$

Если это сбалансированный набор , то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle A}$

4. Существует ненулевой скаляр такой, что ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle S\;\subseteq \,c\,A.}$
   • В этом случае требование может быть снято. ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$
5. Существует ненулевой ^{[примечание 1]} скаляр такой, что ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,A.}$

Если (необходимое условие для того, чтобы быть поглощающим множеством или быть окрестностью начала координат в топологии), то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$

6. Существует такое, что для каждого скаляра, удовлетворяющего Или, выражаясь более кратко, ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|<r.}$ ${\displaystyle B_{r}\;S\,\subseteq \,A.}$
7. Существует такое, что для каждого скаляра, удовлетворяющего Или, выражаясь более кратко, ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle c\,S\;\subseteq \,A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$ ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A.}$
   • Включение эквивалентно (поскольку ). Потому что это можно переписать, что даст следующее утверждение. ${\displaystyle B_{\leq r}S\,\subseteq \,A}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A}$ ${\displaystyle B_{\leq r}=r\,B_{\leq 1}}$ ${\displaystyle B_{\leq 1}S\,=\,\operatorname {bal} \,S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,{\tfrac {1}{r}}A,}$
8. Существует такое, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,r\,A.}$
9. Существует такое, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
10. Существует такое, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (r\,A).}$
    • Следующие характеристики следуют из приведенных выше и того факта, что для каждого скаляра сбалансированная оболочка удовлетворяет и (поскольку ) его сбалансированное ядро ​​удовлетворяет ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {bal} (c\,A)=c\,\operatorname {bal} A=|c|\,\operatorname {bal} A\,}$ ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle \,\operatorname {balcore} (c\,A)=c\,\operatorname {balcore} A=|c|\,\operatorname {balcore} A.}$
11. Существует такое, что Говоря словами, множество поглощается, если оно содержится в некотором положительном скалярном кратном сбалансированному ядру ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \;\;\,S\,\subseteq \,r\,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
12. Существует такое, что ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\,S\subseteq \,\;\;\;\;\operatorname {balcore} A.}$
13. Существует ненулевой ^{[примечание 1]} скаляр такой, что, словами, сбалансированное ядро ​​содержит некоторый ненулевой скаляр, кратный ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle c\,S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
14. Существует скаляр , такой , что словами его можно масштабировать, чтобы он содержал сбалансированную оболочку ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
15. Существует скаляр такой, что ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$
16. Существует скаляр , такой , что словами можно масштабировать так, что его сбалансированное ядро ​​содержит ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,\operatorname {balcore} (c\,A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
17. Существует скаляр такой, что ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;\;\;\;\;\;S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} A.}$
18. Существует такой скаляр, что , словами, сбалансированное ядро ​​можно масштабировать так, чтобы оно содержало сбалансированную оболочку ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S\,\subseteq \,c\,\operatorname {balcore} (A).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S.}$
19. Сбалансированное ядро ​​поглощает сбалансированный корпус (в соответствии с любым определяющим условием «поглощения», отличным от этого). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$

Если или тогда этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

20. ${\displaystyle A\cup \{0\}}$поглощает (в соответствии с любым определяющим условием «поглощает», кроме этого). ${\displaystyle S}$
    • Другими словами, в приведенных выше характеристиках можно заменить на if (или, тривиально, if ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ ${\displaystyle 0\not \in S}$ ${\displaystyle 0\in A}$

Множество, поглощающее точку

Говорят, что наборпоглощать точку , если она поглощаетодноэлементное множество.Наборпоглощает начало координат тогда и только тогда, когда оно содержит начало координат; то есть тогда и только тогда, когда, как подробно описано ниже, набор называется поглощающим,если он поглощает каждую точку ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in A.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Это понятие одного множества, поглощающего другое, также используется в других определениях: подмножество топологического векторного пространства называется ограниченным, если оно поглощается каждой окрестностью начала координат. Множество называется рожденоядным , если оно поглощает все ограниченные подмножества. ${\displaystyle X}$

Первые примеры

Каждое множество поглощает пустое множество, но пустое множество не поглощает непустое множество. Одноэлементное множество, содержащее начало координат, является единственным одноэлементным подмножеством, которое поглощает само себя. ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$

Предположим, что равно либо или. Если — единичный круг (с центром в начале координат ) вместе с началом координат, то это единственное непустое множество, которое поглощает. Более того, не существует непустого подмножества , которое поглощается единичным кругом. Напротив, каждая окрестность начала координат поглощает каждое ограниченное подмножество ( и, в частности, поглощает каждое одноэлементное подмножество/точку). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A:=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}.}$ ${\displaystyle X}$

Поглощающий набор

Подмножество векторного пространства над полем называется ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$поглощающее (или поглощающее ) подмножество иназывается ${\displaystyle X}$поглощает, ${\displaystyle X}$ если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий (здесь они упорядочены так, что каждое условие является простым следствием предыдущего, начиная с определения):

1. Определение : поглощает каждую точку того, что есть, ибо каждое поглощает ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x\}.}$
   • Так, в частности, не может быть поглощающим, если каждое поглощающее множество должно содержать начало координат. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\not \in A.}$
2. ${\displaystyle A}$поглощает каждое конечное подмножество ${\displaystyle X.}$
3. Для каждого существует такое вещественное число , что для любого скаляра, удовлетворяющего ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\geq r.}$
4. Для каждого существует такое вещественное число , что для любого скаляра, удовлетворяющего ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle cx\in A}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |c|\leq r.}$
5. Для каждого существует такое реальное, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A.}$
   • Вот открытый шар радиуса в скалярном поле с центром в начале координат и ${\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<r\}.}$
   • Закрытый шар можно использовать вместо открытого.
   • Потому что включение справедливо тогда и только тогда, когда это доказывает следующее утверждение. ${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\},}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$
6. Для каждого существует такое реальное, что где ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.}$
   • Связь с топологией : если дана обычная евклидова топология Хаусдорфа , то множество является окрестностью начала координат, таким образом, существует такое вещественное число, что тогда и только тогда, когда является окрестностью начала координат в. Следовательно, удовлетворяет этому условию тогда и только тогда, когда ибо каждое является окрестностью in , когда задана евклидова топология. Это дает следующую характеристику. ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle B_{r}x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x;}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}}$
   • Единственными TVS-топологиями ^{[примечание 2]} в одномерном векторном пространстве являются (нехаусдорфова) тривиальная топология и хаусдорфова евклидова топология. Каждое одномерное векторное подпространство имеет вид для некоторого ненулевого значения , и если это одномерное пространство наделено (уникальным) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} x}$векторной топологией Хаусдорфа , то отображение, определяемоеобязательно, является TVS-изоморфизмом (где, как обычно,наделено своей стандартной евклидовой топологией, индуцированной евклидовой метрикой ). ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
7. ${\displaystyle A}$содержит начало координат и для каждого одномерного векторного подпространства является окрестностью начала координат, когда задана его уникальная векторная топология Хаусдорфа (т. е. евклидова топология ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • Причина, по которой в этой характеристике выделяется евклидова топология, в конечном итоге вытекает из определяющего требования к топологиям TVS ^{[примечание 2],} что скалярное умножение должно быть непрерывным, когда скалярному полю задана эта (евклидова) топология. ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$
   • ${\displaystyle 0}$- Окрестности поглощают : это условие дает представление о том, почему каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве (TVS) обязательно является поглощающей: если это окрестность начала координат в TVS , то для каждого одномерного векторного подпространства является окрестностью. начала координат в, когда наделена топологией подпространства, индуцированной на нем Эта топология подпространства всегда является векторной топологией ^{[примечание 2]} и, поскольку она одномерна, единственными векторными топологиями на ней являются евклидова топология Хаусдорфа и тривиальная топология , которое является подмножеством евклидовой топологии. Таким образом, независимо от того, какая из этих векторных топологий находится на множестве, она будет окрестностью начала координат относительно своей уникальной векторной топологии Хаусдорфа (евклидовой топологии). ^{[примечание 3]} Таким образом, это захватывает. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$
8. ${\displaystyle A}$содержит начало координат и для каждого одномерного векторного подпространства поглощает (в соответствии с любым определяющим условием «поглощения» , отличным от этого). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$
   • Эта характеристика показывает, что свойство поглощать зависит только от того, как ведет себя по отношению к одномерным (или 0) векторным подпространствам. Напротив, если конечномерное векторное подпространство имеет размерность и наделено своей уникальной TVS-топологией Хаусдорфа, тогда поглощения в уже недостаточно, чтобы гарантировать, что это является окрестностью начала координат (хотя это все равно будет необходимым условием). Для того чтобы это произошло, достаточно, чтобы поглощающее множество было также выпуклым, уравновешенным и замкнутым в (такое множество называется бочонком и будет окрестностью начала координат в, поскольку всякое конечномерное евклидово пространство, в том числе и это бочкообразное пространство ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A\cap Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z,}$

Если то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

9. Алгебраическая внутренность содержит начало координат (т. е. ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in {}^{i}A}$

Если сбалансировано , то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle A}$

10. Для каждого существует скаляр такой, что ^[1] (или, что то же самое, такой, что ). ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle x\in cA}$ ${\displaystyle cx\in A}$
11. Для каждого существует скаляр такой, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\in cA.}$

Если выпукло или сбалансировано , то к этому списку можно добавить: ${\displaystyle A}$

12. Для каждого существует положительная реальность такая, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rx\in A.}$
    • Доказательство того, что сбалансированное множество , удовлетворяющее этому условию, обязательно является поглощающим, следует непосредственно из условия (10) выше и того факта, что для всех скаляров (где действительно). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle cA=|c|A}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle r:=|c|>0}$
    • Доказательство того, что выпуклое множество , удовлетворяющее этому условию, обязательно является поглощающим, менее тривиально (но несложно). Подробное доказательство приведено в этой сноске ^{[доказательство 1]} , а краткое изложение приведено ниже. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
      • Краткое изложение доказательства : По предположению, для любого ненулевого числа можно выбрать положительное вещественное число и такое, что и так, что выпуклое множество содержит открытый подинтервал , который содержит начало координат ( называемый интервалом , поскольку мы отождествляем себя с каждым ненулевым числом). -пустое выпуклое подмножество является интервалом). Дайте его уникальную векторную топологию Хаусдорфа, чтобы осталось показать, что это окрестность начала координат в Если тогда мы закончили, поэтому предположим, что Множество представляет собой объединение двух интервалов, каждый из которых содержит открытый подинтервал, содержащий начало координат. ; причем пересечение этих двух интервалов и есть начало координат. Таким образом, выпуклая оболочка четырехугольной формы , содержащаяся в выпуклом множестве, явно содержит открытый шар вокруг начала координат. ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle r(-y)\in A}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle (-r,R)y\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} y.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {C} y,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
13. Для каждого существует положительная реальность такая, что ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in rA.}$
    • Это условие эквивалентно следующему: каждое принадлежит множеству. Это происходит тогда и только тогда, когда которое дает следующую характеристику. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{0<r<\infty }}rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.}$ ${\displaystyle X=(0,\infty )A,}$
14. ${\displaystyle (0,\infty )A=X.}$
    • Можно показать, что для любого подмножества тогда и только тогда, когда для каждого где ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )T=X}$ ${\displaystyle T\cap (0,\infty )x\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (0,\infty )x\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{rx:0<r<\infty \}.}$
15. Для каждого ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing .}$

Если (что необходимо для того, чтобы быть поглощающим), то достаточно проверить любое из приведенных выше условий для всех ненулевых, а не для всех ${\displaystyle 0\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Примеры и достаточные условия

Чтобы один набор поглотил другой

Пусть – линейное отображение векторных пространств и пусть и – сбалансированные множества. Тогда поглощает тогда и только тогда, когда поглощает ^[2] ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(B)}$ ${\displaystyle F^{-1}(C)}$ ${\displaystyle B.}$

Если набор поглощает другой набор , то любое надмножество также поглощает. Множество поглощает начало координат тогда и только тогда, когда начало координат является элементом ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Множество поглощает конечное объединение множеств тогда и только тогда, когда оно поглощает индивидуальность каждого множества (то есть тогда и только тогда, когда поглощает для каждого ). В частности, множество является поглощающим подмножеством тогда и только тогда, когда оно поглощает каждое конечное подмножество множества. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Чтобы набор был захватывающим

Единичный шар любого нормированного векторного пространства (или полунормированного векторного пространства ) является поглощающим. В более общем смысле, если это топологическое векторное пространство (TVS), то любая окрестность начала координат в является поглощающей. Этот факт является одной из основных причин для определения свойства «поглощающая ». ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

Каждый суперсет поглощающего набора является поглощающим. Следовательно, объединение любого семейства (одного или нескольких) поглощающих множеств является поглощающим. Пересечение конечного числа поглощающих подмножеств снова является поглощающим подмножеством. Однако все открытые шары радиуса поглощают, хотя их пересечение не поглощает. ${\displaystyle (-r_{n},-r_{n})}$ ${\displaystyle r_{n}=1,1/2,1/3,\ldots }$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)=\{0\}}$

Если - диск (выпуклое и сбалансированное подмножество), то и поэтому, в частности, диск всегда является поглощающим подмножеством в ^[3]. Таким образом, если - диск в, то поглощает в том и только в том случае, если этот вывод не гарантируется, если множество сбалансирован, но не выпуклый; например, объединение осей и в представляет собой невыпуклое сбалансированное множество, не поглощающее в ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nD;}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$ ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D=\mathbb {R} ^{2}.}$

Образ поглощающего множества под действием сюръективного линейного оператора снова является поглощающим. Прообраз поглощающего подмножества (кообласти) под действием линейного оператора снова является поглощающим (в области определения). Если поглощающее, то то же самое справедливо и для симметричного множества ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uA\subseteq A.}$

Вспомогательные нормированные пространства

Если является выпуклым и поглощающим, то симметричное множество будет выпуклым и сбалансированным (также известным как абсолютно выпуклое множество или диск ) в дополнение к поглощающему. Это гарантирует, что функционал Минковского будет полунормой , тем самым превращаясь в полунормированное пространство , несущее свою каноническую псевдометризуемую топологию. Набор скалярных кратных в виде диапазонов (или любого другого набора ненулевых скаляров, имеющих предельную точку) образует базис окрестности поглощающих дисков в начале координат для этой локально выпуклой топологии. Если — топологическое векторное пространство и если это выпуклое поглощающее подмножество является также ограниченным подмножеством , то все это будет справедливо и для поглощающего диска, если к тому же не содержит никаких нетривиальных векторных подпространств, то оно будет нормой и будет образовывать то, что известно как вспомогательное нормированное пространство . ^[4] Если это нормированное пространство является банаховым пространством , то оно называется банаховым диском . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Характеристики

Каждое поглощающее множество содержит начало координат. Если – поглощающий диск в векторном пространстве , то существует поглощающий диск в таком, что ^[5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E+E\subseteq D.}$

If является поглощающим подмножеством then и, в более общем смысле, для любой последовательности скаляров такой, что Следовательно, если топологическое векторное пространство является нетощим подмножеством самого себя (или, что то же самое, для TVS, если это пространство Бэра ) и if является замкнутое поглощающее подмножество обязательно содержит непустое открытое подмножество (другими словами, топологическая внутренность ' не будет пустой), что гарантирует, что это окрестность начала координат в ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}nA}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }}s_{n}A}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \left|s_{n}\right|\to \infty .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-A}$ ${\displaystyle X.}$

Каждое поглощающее множество является полным множеством , а это означает, что каждое поглощающее подпространство плотно .

Смотрите также

• Алгебраический интерьер  - Обобщение топологического интерьера.
• Абсолютно выпуклое множество  – выпуклое и сбалансированное множество.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Сбалансированный набор  - Конструкт в функциональном анализе
• Набор Bornivorous  - набор, который может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)  - Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество  - в геометрии множество, пересечение которого с каждой линией представляет собой один отрезок линии.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Радиальный набор
• Звездная область  - свойство множеств точек в евклидовых пространствах.
• Симметричное множество  - Свойство групповых подмножеств (математика)
• Топологическое векторное пространство  - векторное пространство с понятием близости.

Примечания

1. Требование, чтобы скаляр был ненулевым, нельзя исключить из этой характеристики. ${\displaystyle c}$
2. Топология в векторном пространстве называется векторной топологией или TVS-топологией, если она делает сложение векторов и скалярное умножение непрерывными, когда скалярному полю задана его обычная евклидова топология , индуцированная нормой (эта норма является абсолютным значением ). Поскольку ограничения непрерывных функций непрерывны, если - векторное подпространство TVS, то операции сложения векторов и скалярного умножения также будут непрерывными. Таким образом, топология подпространства , которую любое векторное подпространство наследует от TVS, снова будет векторной топологией. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\times Y\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \times Y\to Y}$
3. Если это окрестность начала координат в TVS , то было бы патологией, если бы существовало какое-либо одномерное векторное подпространство, в котором не было окрестностей начала координат хотя бы в некоторой топологии TVS. Единственные топологии TVS - это евклидова Хаусдорфа. топология и тривиальная топология , которая является подмножеством евклидовой топологии. Следовательно, эта патология не возникает тогда и только тогда, когда она является окрестностью в евклидовой топологии для всех одномерных векторных подпространств , что и является условием, которое является поглощающим в Тот факт, что все окрестности начала координат во всех TVS обязательно поглощающие означает, что такого патологического поведения не происходит. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Доказательства

1. Доказательство : Пусть векторное пространство над полем имеет или и наделяет поле его обычной нормированной евклидовой топологией . Пусть это выпуклое множество такое, что для каждого существует положительное вещественное число такое, что Потому что если тогда доказательство завершено, то предположим. Ясно, что каждое непустое выпуклое подмножество действительной прямой является интервалом (возможно, открытым, замкнутым или полузамкнутым). ; возможно, вырожденное (то есть одноэлементное множество ), возможно, ограниченное или неограниченное. Напомним, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым, так что для каждого множества и являются выпуклыми, причем теперь выпуклость (которая содержит начало координат и содержится в прямой ) означает, что это интервал, содержащийся в прямой. Лемма : Если тогда интервал содержит открытый подинтервал, содержащий начало координат. Доказательство леммы : По предположению, поскольку мы можем выбрать такие , что и (потому что ) мы также можем выбрать такие, что где и (поскольку ). Потому что он выпуклый и содержит различные точки , а также выпуклую оболочку точек , которая (в частности) содержит открытый подинтервал , где этот открытый подинтервал содержит начало координат (чтобы понять, почему, выберите то, что удовлетворяет ), что доказывает лемма. Теперь зафиксируйте пусть. Поскольку было произвольно, чтобы доказать, что является поглощающим в, необходимо и достаточно показать, что является окрестностью начала координат в, когда задана его обычная евклидова хаусдорфова топология, где напомним, что эта топология превращает отображение, определенное в TVS -изоморфизм. Если тогда тот факт, что интервал содержит открытый подинтервал вокруг начала координат, означает именно то, что это окрестность начала координат, в которой завершается доказательство. Итак, предположим, что Write so that и (наивно, это « -ось» и « -ось» ). Множество содержится в выпуклом множестве , так что выпуклая оболочка содержится в По лемме каждое из и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rz\in A.}$ ${\displaystyle 0\in A,}$ ${\displaystyle X=\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} X\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0\neq y\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} y=\{ry:-\infty <r<\infty \}.}$ ${\displaystyle 0\neq y\in X}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle Ry\in A}$ ${\displaystyle -y\in X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r(-y)\in A,}$ ${\displaystyle r(-y)=(-r)y}$ ${\displaystyle -ry\neq Ry}$ ${\displaystyle y\neq 0}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} y}$ ${\displaystyle -ry}$ ${\displaystyle Ry,}$ ${\displaystyle \{-ry,Ry\},}$ ${\displaystyle (-r,R)y=\{ty:-r<t<R,t\in \mathbb {R} \},}$ ${\displaystyle (-r,R)y}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle -r<t=0<R}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle 0\neq x\in X,}$ ${\displaystyle Y:=\operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x.}$ ${\displaystyle 0\neq x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} \to \mathbb {K} x}$ ${\displaystyle c\mapsto cx}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\cap Y=A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} x,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}},}$ ${\displaystyle ix\in Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x=(\mathbb {R} x)+(\mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} (ix)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (ix)}$ ${\displaystyle S:=(A\cap \mathbb {R} x)\cup (A\cap \mathbb {R} (ix))}$ ${\displaystyle A\cap Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle A\cap \mathbb {R} (ix)}$являются отрезками линий (интервалами), каждый из которых содержит начало координат в открытом подинтервале; при этом они явно пересекаются в начале координат. Выберите вещественное число такое, что и Обозначим выпуклую оболочку которого содержится в выпуклой оболочке и, таким образом, также содержится в выпуклом множестве. Чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что это окрестность in Рассматривается как подмножество комплекса Плоскость имеет форму открытого квадрата с четырьмя углами на положительной и отрицательной и -осях (то есть в и ). Таким образом, легко проверить, что он содержит открытый шар радиуса с центром в начале координат. Таким образом, это окрестность начала координат в, как и хотелось. ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle (-d,d)x=\{tx:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} x}$ ${\displaystyle (-d,d)ix=\{tix:-d<t<d,t\in \mathbb {R} \}\subseteq A\cap \mathbb {R} (ix).}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [(-d,d)x]\cup [(-d,d)ix],}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A\cap Y.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cong Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (0,\infty )x,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)x,}$ ${\displaystyle (0,\infty )ix,}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)ix}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{d/2}x:=\{cx:c\in \mathbb {K} {\text{ and }}|c|<d/2\}}$ ${\displaystyle d/2}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x.}$ ${\displaystyle A\cap Y}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {C} x,}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Цитаты

1. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 107–110.
2. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 441–457.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 67–113.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 115–154.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 149–153.

Рекомендации

• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. ОСЛК  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. ОСЛК  17499190.
• Николя, Бурбаки (2003). Топологические векторные пространства Глава 1-5 (английский перевод) . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. И.7. ISBN 3-540-42338-9.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. ОСЛК  21195908.
• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: новый взгляд на резюме Гротендика . Том. 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 9781470424831. ОСЛК  185095773.
• Динин, Шон (1981). Комплексный анализ в локально выпуклых пространствах . Математические исследования Северной Голландии. Том. 57. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Co., научный паб Elsevier. ISBN компании 978-0-08-087168-4. ОСЛК  16549589.
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. ОСЛК  18412261.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. ОСЛК  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чальджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. ОСЛК  886098.
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0. МР  0500064. OCLC  316549583.
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9. ОСЛК  316564345.
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. ОСЛК  4493665.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Келлер, Ганс (1974). Дифференциальное исчисление в локально выпуклых пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 417. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-06962-1. ОСЛК  1103033.
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. ОСЛК  8588370.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. ОСЛК  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. МР  0248498. OCLC  840293704.
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. ОСЛК  180577972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. ОСЛК  539541.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. ОСЛК  589250.
• Робертсон, AP; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . п. 4.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Томпсон, Энтони К. (1996). Геометрия Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-40472-Х.
• Шефер, Гельмут Х. (1971). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. п. 11. ISBN 0-387-98726-6.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шефер, Х.Х. (1999). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2. ОСЛК  5126158.