Оценка (алгебра)

В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или алгебраической теории чисел ) оценка — это функция поля , которая дает меру размера или кратности элементов поля. Она обобщает на коммутативную алгебру понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля в комплексном анализе , степени делимости числа на простое число в теории чисел и геометрической концепции контакта между двумя алгебраическими или аналитическими многообразиями в алгебраической геометрии. Поле с оценкой на нем называется полем со значениями .

Определение

Начнем со следующих объектов:

поле $K$ и его ^{мультипликативная}группа K × ,
абелева полностью упорядоченная группа (Γ , $+, \geq)$ .

Упорядочение и групповой закон на $Γ$ распространяются на множество $Γ \cup {\infty$ } ^[a] по правилам

$\infty \geq α$ для всех $α$ ∈ $Γ$ ,
$\infty + α = α + \infty = \infty + \infty = \infty$ для всех $α$ ∈ $Γ$ .

Тогда оценка $K$ — это любая карта

v : K \to Γ \cup {\infty}

который удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :

$v (a) = \infty$ тогда и только тогда, когда $a = 0$ ,
$v (аб) = v (а) + v (б)$ ,
$v (a + b) \geq min(v (a), v (b))$ , с равенством, если v ( a ) ≠ v ( b ).

Оценка v тривиальна , если v ( a ) = 0 для всех a из K ^× , в противном случае она нетривиальна .

Второе свойство утверждает, что любая оценка является групповым гомоморфизмом на K ^× . Третье свойство является версией неравенства треугольника на метрических пространствах, адаптированной к произвольному Γ (см. Мультипликативную нотацию ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство подразумевает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок члена ведущего порядка . ^[b] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющемуся порядком большего члена, ^[c] если только два члена не имеют одинаковый порядок, в этом случае они могут сократиться, и сумма может иметь больший порядок.

Для многих приложений $Γ$ является аддитивной подгруппой действительных чисел ^[d] , в этом случае ∞ можно интерпретировать как +∞ в расширенных действительных числах ; обратите внимание, что для любого действительного числа a , и, таким образом, +∞ является единицей при бинарной операции минимума. Действительные числа (расширенные на +∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое тропическим полукольцом min , ^[e] , а оценка v является почти гомоморфизмом полуколец из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может нарушиться, когда два элемента с одинаковой оценкой складываются вместе. $\mathbb {R}$ $\min(a,+\infty) =\min(+\infty,a)=a$

Мультипликативная запись и абсолютные значения

Эта концепция была разработана Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра» , где группа записана в мультипликативной записи как $(Γ, \cdot, \geq)$ : ^[1]

Вместо ∞ мы присоединяем формальный символ O к Γ, причем порядок и групповой закон расширены правилами

$O \leq α$ для всех $α$ ∈ $Γ$ ,
$О \cdot α = α \cdot O = O$ для всех $α$ ∈ $Γ$ .

Тогда оценка K $—$ это любая карта

| \cdot | v : K \to Γ \cup {O}

удовлетворяющий следующим свойствам для всех a , b ∈ K :

$|a| v = O$ тогда и только тогда, когда $a = 0$ ,
$|ab| v = |a| v \cdot |b| v$ ,
$|a+b| v \leq max(|a| v, |b| v)$ , с равенством, если $|a| v \neq |b| v$ .

(Обратите внимание, что направления неравенств противоположны направлениям в аддитивной записи.)

Если $Γ$ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последнее условие является ультраметрическим неравенством, более сильной формой неравенства треугольника $|a+b| v \leq |a| v + |b| v$ , и $| \cdot | v$ является абсолютным значением . В этом случае мы можем перейти к аддитивной записи с группой значений , взяв $v$ $+$ $($ $a$ $) = -log$ $|a|$ $v$ . $\Гамма _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)$

Каждая оценка на $K$ определяет соответствующий линейный предпорядок : $a ≼ b \Leftrightarrow |a| v \leq |b| v$ . И наоборот, если задано " $≼$ ", удовлетворяющее требуемым свойствам, мы можем определить оценку $|a| v = {b : b ≼ a \land a ≼ b$ }, с умножением и упорядочением на основе $K$ и $≼$ .

Терминология

В этой статье мы используем термины, определенные выше, в аддитивной записи. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой» или «неархимедовым абсолютным значением» или «ультраметрическим абсолютным значением»;
наша «абсолютная величина» (удовлетворяющая неравенству треугольника) называется «оценкой» или «архимедовой абсолютной величиной».

Связанные объекты

Существует несколько объектов, определенных из данной оценки $v : K \to Γ \cup {\infty}$ ;

группа значений или группа оценок $Γ v$ = v ( K ^× ), подгруппа $Γ$ (хотя v обычно сюръективна, так что $Γ v$ = $Γ$ );
кольцо оценки R _v — это множество a ∈ $K$ с v ( a ) ≥ 0,
простой идеал m _v — это множество a ∈ K с v ( a ) > 0 (фактически это максимальный идеал R _v ),
поле вычетов k _v = R _v / m _v ,
место K , связанное с $v$ , класс v при эквивалентности, определенной ниже .

Основные свойства

Эквивалентность оценок

Две оценки v ₁ и v ₂ из $K$ с группами оценок Γ ₁ и Γ ₂ соответственно называются эквивалентными , если существует сохраняющий порядок групповой изоморфизм $φ : Γ 1 \to Γ 2$ такой, что v ₂ ( a ) = φ( v ₁ ( a )) для всех a из K ^× . Это отношение эквивалентности .

Две оценки K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо оценки.

Класс эквивалентности оценок поля называется местом . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел это как раз классы эквивалентности оценок для p - адических пополнений $\mathbb {Q} :$ $\mathbb {Q} .$

Расширение оценок

Пусть v — оценка поля $K$ , а L — расширение поля K. Расширение поля v (до L ) — это оценка поля w поля $L$ , такая, что ограничение поля w до $K$ равно v . Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления оценок .

Пусть L / K — конечное расширение , а w — расширение v до L. Индекс Γ _v в Γ _w , e( w / v ) = [Γ _w : Γ _v ], называется приведенным индексом ветвления w над v . Он удовлетворяет e( w / v ) ≤ [ L : K ] ( степень расширения L / K ). Относительная степень w над v определяется как f ( w / v ) = [ R _w / m _w : R _v / m _v ] ( степень расширения полей вычетов). Она также меньше или равна степени L / K . Когда L / K отделимо , индекс ветвления w над v определяется как e( w / v ) p i ^, где p ⁱ — неотделимая степень расширения R _w / m _w над R _v / m _v .

Заполните поля с оценками

Когда упорядоченная абелева группа $Γ$ является аддитивной группой целых чисел , связанная оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, индуцирует метрику на поле $K.$ Если $K$ полно относительно этой метрики, то оно называется полнозначным полем . Если K неполно , можно использовать оценку для построения его завершения , как в примерах ниже, и различные оценки могут определять различные поля завершения.

В общем случае оценка индуцирует равномерную структуру на $K$ , и $K$ называется полным полем значений, если оно полно как равномерное пространство. Существует связанное свойство, известное как сферическая полнота : оно эквивалентно полноте, если , но сильнее в общем случае. $\Gamma =\mathbb {Z},$

Примеры

p-адическая оценка

Самый простой пример — это $p$ -адическая оценка ν _{p ,} связанная с простым целым числом p , на рациональных числах с кольцом оценки , где — локализация в простом идеале . Группа оценки — это аддитивные целые числа Для целого числа оценка ν _p ( a ) измеряет делимость a на степени p : $K=\mathbb {Q} ,$ $R=\mathbb {Z} _{(p)},$ $\mathbb {Z} _{(p)}$ $\mathbb {Z}$ $(п)$ $\Gamma =\mathbb {Z} .$ $a\in R=\mathbb {Z} ,$

\nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ делит }}a\};

а для дроби ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) - ν _p ( b ).

Записывая это мультипликативно, получаем $p$ -адическое абсолютное значение , которое традиционно имеет в качестве основания , поэтому . $1/p=p^{-1}$ $|a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}$

Пополнение относительно ν _p представляет собой поле p-адических чисел . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} _{p}$

Порядок исчезновения

Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X = F ¹ , и возьмем точку a ∈ X. Для полинома с , определим v _a ( f ) = k, порядок исчезновения при x = a ; и v _a ( f / g ) = v _a ( f ) − v _a ( g ). Тогда кольцо нормирования R состоит из рациональных функций без полюса при x = a , а пополнение является формальным кольцом рядов Лорана F (( x − a )). Это можно обобщить на поле рядов Пюизё K {{ t }} (дробные степени), поле Леви-Чивиты (его пополнение Коши) и поле рядов Хана , причем нормирование во всех случаях возвращает наименьший показатель степени t, появляющийся в ряде. $f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}$ $a_{k}\neq 0$

π-адическая оценка

Обобщая предыдущие примеры, пусть $R$ — область главных идеалов , $K$ — ее поле дробей , а $π$ — неприводимый элемент R. Поскольку каждая область главных идеалов является уникальной областью факторизации , каждый ненулевой элемент a из $R$ может быть записан (по сути) однозначно $как$

a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}

где e's — неотрицательные целые числа, а p _i — неприводимые элементы $R$ , которые не являются ассоциированными с $π$ . В частности, целое число e _a однозначно определяется a .

Тогда π -адическая оценка K задается как

$v_{\pi }(0)=\infty$
$v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ для }}a,b\in R,a,b\neq 0.$

Если π' — другой неприводимый элемент $R,$ такой что (π') = (π) (то есть они порождают один и тот же идеал в R ), то π-адическая оценка и π'-адическая оценка равны. Таким образом, π-адическая оценка может быть названа P -адической оценкой, где P = (π).

П-адическая оценка на Дедекиндовом домене

Предыдущий пример можно обобщить на области Дедекинда . Пусть $R$ — область Дедекинда, $K —$ ее поле дробей, и пусть P — ненулевой простой идеал $R.$ Тогда локализация R в точке P , обозначаемая R _P , является областью главных идеалов, поле дробей которой равно $K.$ Конструкция предыдущего раздела, примененная к простому идеалу PR _P области R _P , дает $P$ -адическую $оценку$ $K.$

Векторные пространства над полями оценки

Предположим, что $Γ$ ∪ {0} — множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретна, если ее диапазон (группа оценки) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим, что X — векторное пространство над K , а A и B — подмножества X. Тогда мы говорим, что A поглощает B, если существует α ∈ K, такое что λ ∈ K и |λ| ≥ |α| влечет, что B ⊆ λ A. A называется радиальным или поглощающим , если A поглощает каждое конечное подмножество X. Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Кроме того, A называется окружённым , если λ из K и |λ| ≥ |α| влечет, что λ A ⊆ A. Множество окружённых подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. Окружённая оболочка A — это пересечение всех окружённых подмножеств X , содержащих A.

Предположим, что X и Y — векторные пространства над недискретным полем оценки K , пусть A ⊆ X , B ⊆ Y , и пусть f : X → Y — линейное отображение. Если B окружён или радиален, то так же будет и . Если A окружён, то так же будет и f(A), но если A радиален, то f(A) будет радиальным при дополнительном условии, что f сюръективно. $f^{-1}(Б)$

Смотрите также

Примечания

^ Символ ∞ обозначает элемент, не входящий в $Γ$ , без какого-либо другого значения. Его свойства просто определяются данными аксиомами .
^ При использовании минимального соглашения оценка скорее интерпретируется как отрицательная величина порядка ведущего члена порядка, но при использовании максимального соглашения ее можно интерпретировать как порядок.
^ Опять же, поменялось местами, поскольку использовалось минимальное соглашение.
^ Каждая архимедова группа изоморфна подгруппе действительных чисел по сложению, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедова упорядоченного поля .
^ В тропическом полукольце минимизация и сложение действительных чисел считаются тропическим сложением и тропическим умножением ; это операции полукольца.

Ссылки

^ Эмиль Артин Геометрическая алгебра, страницы 47–49, через Интернет-архив

Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и теория Милнора K , Математические обзоры и монографии, т. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-4041-X, ЗБЛ 1103.12002
Якобсон, Натан (1989) [1980], «Оценки: параграф 6 главы 9», Основы алгебры II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company , ISBN 0-7167-1933-9, ЗБЛ 0694.16001. Шедевр по алгебре, написанный одним из ведущих авторов.
Глава VI Зарисского, Оскара ; Сэмюэл, Пьер (1976) [1960], Коммутативная алгебра, Том II , Graduate Texts in Mathematics , т. 29, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, ЗБЛ 0322.13001
Шефер, Хельмут Х.; Вольф, М. П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 3. Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 10–11. ISBN 9780387987262.

Внешние ссылки

Данилов, В.И. (2001) [1994], «Оценка», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
Дискретная оценка в PlanetMath .
Оценка в PlanetMath .
Вайсштейн, Эрик В. «Оценка». MathWorld .