Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)

Обобщение ограниченности

В функциональном анализе и смежных областях математики множество в топологическом векторном пространстве называется ограниченным или ограниченным по фон Нейману , если каждая окрестность нулевого вектора может быть расширена так , чтобы включить множество. Множество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Ограниченные множества являются естественным способом определения локально выпуклых полярных топологий на векторных пространствах в двойственной паре , поскольку полярное множество ограниченного множества является абсолютно выпуклым и поглощающим множеством . Это понятие было впервые введено Джоном фон Нейманом и Андреем Колмогоровым в 1935 году .

Определение

Предположим, что есть топологическое векторное пространство (TVS) над полем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Подмножество называется ограниченным по фон Нейману или просто ограниченным в , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. Определение : Для каждой окрестности начала отсчета существует действительное число такое, что ^{[примечание 1]} для всех скаляров, удовлетворяющих ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq sV}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\geq r.}$
   • Это определение было введено Джоном фон Нейманом в 1935 году. ^[1]
2. ${\displaystyle B}$поглощается каждой окрестностью источника. ^[2 ]
3. Для каждой окрестности начала координат существует скаляр такой, что ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B\subseteq sV.}$
4. Для каждой окрестности начала координат существует действительное число такое, что для всех скаляров, удовлетворяющих ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle sB\subseteq V}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq r.}$
5. Для каждой окрестности начала координат существует действительное число такое, что для всех действительных чисел ^[3] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle tB\subseteq V}$ ${\displaystyle 0<t\leq r.}$
6. Любое из утверждений (1)–(5) выше, но со словом «окрестность» вместо одного из следующих: « сбалансированная окрестность», «открытая сбалансированная окрестность», «закрытая сбалансированная окрестность», «открытая окрестность», «закрытая окрестность».
   • например, утверждение (2) может быть следующим: ограничено тогда и только тогда, когда поглощается каждой сбалансированной окрестностью начала координат. ^[1] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
   • Если локально выпукло , то прилагательное «выпуклый» можно также добавить к любой из этих 5 замен. ${\displaystyle X}$
7. Для каждой последовательности скаляров , которая сходится к и каждая последовательность в последовательности сходится к в ^[1] ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
   • Это определение «ограниченного» использовал Андрей Колмогоров в 1934 году, что совпадает с определением, введенным Станиславом Мазуром и Владиславом Орличем в 1933 году для метризуемых TVS. Колмогоров использовал это определение, чтобы доказать, что TVS является полунормируемым тогда и только тогда, когда у него есть ограниченная выпуклая окрестность начала координат. ^[1]
8. Для каждой последовательности в последовательности сходится к в ^[4] ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
9. Каждое счетное подмножество ограничено (согласно любому определяющему условию, отличному от этого). ^[1] ${\displaystyle B}$

Если в качестве основы для начала координат выбран район , то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

10. Любое из утверждений (1)–(5) выше, но с районами, ограниченными теми, которые принадлежат ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
    • например, утверждение (3) может стать: для каждого существует скаляр такой, что ${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B\subseteq sV.}$

Если — локально выпуклое пространство, топология которого определяется семейством непрерывных полунорм , то этот список можно расширить, включив в него: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

11. ${\displaystyle p(B)}$ограничено для всех ^[1] ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$
12. Существует последовательность ненулевых скаляров, такая, что для каждой последовательности в последовательность ограничена (согласно любому определяющему условию, отличному от этого). ^[1] ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$
13. Поскольку все ограничено (согласно любому определяющему условию, отличному от этого) в полунормированном пространстве ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p).}$
14. B слабо ограничен, т.е. каждый непрерывный линейный функционал ограничен на B ^[5]

Если — нормированное пространство с нормой (или, в более общем смысле, если это полунормированное пространство и является просто полунормой ), ^{[примечание 2],} то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

14. ${\displaystyle B}$является ограниченным по норме подмножеством По определению это означает, что существует действительное число такое, что для всех ^[1] ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \|b\|\leq r}$ ${\displaystyle b\in B.}$
15. ${\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$
    • Таким образом, если — линейное отображение между двумя нормированными (или полунормированными) пространствами и если — замкнутый (альтернативно, открытый) единичный шар в с центром в начале координат, то — ограниченный линейный оператор (что, напомним, означает, что его операторная норма конечна) тогда и только тогда, когда образ этого шара под является ограниченным по норме подмножеством ${\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}$
16. ${\displaystyle B}$является подмножеством некоторого (открытого или закрытого) шара. ^{[примечание 3]}
    • Этот шар не обязательно должен быть центрирован в начале координат, но его радиус должен (как обычно) быть положительным и конечным.

Если — векторное подпространство TVS , то этот список можно расширить, включив: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

17. ${\displaystyle B}$содержится в закрытии ^[1] ${\displaystyle \{0\}.}$
    • Другими словами, векторное подпространство ограничено тогда и только тогда, когда оно является подмножеством (векторного пространства) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$
    • Напомним, что является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда замкнуто в Поэтому единственным ограниченным векторным подпространством хаусдорфова TVS является ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Подмножество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Борнология и фундаментальные системы ограниченных множеств

Совокупность всех ограниченных множеств в топологическом векторном пространстве называется борнологией фон Неймана или ( канонической ) борнологией ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Базовая или фундаментальная система ограниченных множеств — это множество ограниченных подмножеств, такое, что каждое ограниченное подмножество является подмножеством некоторого ^[1]. Множество всех ограниченных подмножеств тривиально образует фундаментальную систему ограниченных множеств. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Примеры

В любом локально выпуклом TVS множество замкнутых и ограниченных дисков является базой ограниченного множества. ^[1]

Примеры и достаточные условия

Если не указано иное, топологическое векторное пространство (TVS) не обязательно должно быть хаусдорфовым или локально выпуклым .

• Конечные множества ограничены. ^[1]
• Каждое полностью ограниченное подмножество TVS ограничено. ^[1]
• Всякое относительно компактное множество в топологическом векторном пространстве ограничено. Если пространство снабжено слабой топологией, обратное также верно.
• Множество точек последовательности Коши ограничено, множество точек сети Коши не обязательно должно быть ограничено.
• Замыкание начала координат (относится к замыканию множества ) всегда является ограниченным замкнутым векторным подпространством. Это множество является единственным наибольшим (относительно включения множеств ) ограниченным векторным подпространством В частности, если является ограниченным подмножеством , то также является ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Неограниченные множества

Множество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Любое векторное подпространство TVS, которое не содержится в замыкании, неограничено. ${\displaystyle \{0\}}$

Существует пространство Фреше, имеющее ограниченное подмножество , а также плотное векторное подпространство, такое, что не содержится в замыкании (в ) никакого ограниченного подмножества ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M.}$

Свойства стабильности

• В любом TVS конечные объединения , конечные суммы Минковского , скалярные кратные, переносы, подмножества, замыкания , внутренности и сбалансированные оболочки ограниченных множеств снова ограничены. ^[1]
• В любом локально выпуклом TVS выпуклая оболочка ( также называемая выпуклой оболочкой ) ограниченного множества снова ограничена. ^[7] Однако это может быть ложным, если пространство не является локально выпуклым, поскольку (нелокально выпуклые) пространства Lp для не имеют нетривиальных открытых выпуклых подмножеств. ^[7] ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отображении является ограниченным подмножеством области значений. ^[1]
• Подмножество произвольного (декартова) произведения ТВС ограничено тогда и только тогда, когда его изображение при каждой координатной проекции ограничено.
• Если и является топологическим векторным подпространством, то ограничено в тогда и только тогда, когда ограничено в ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y.}$
  • Другими словами, подмножество ограничено в тогда и только тогда, когда оно ограничено в каждом (или, что эквивалентно, в некотором) топологическом векторном суперпространстве ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Характеристики

Локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет ограниченную окрестность нуля тогда и только тогда, когда его топология может быть определена одной полунормой .

Поляра ограниченного множества — это абсолютно выпуклое и поглощающее множество .

Условие счетности Макки ^[8]  — Если— счетная последовательность ограниченных подмножеств метризуемоголокальновыпуклого топологического векторного пространства, то существует ограниченное подмножествоипоследовательностьположительных действительных чисел такие, чтодля всех(или, что эквивалентно, такие, что). ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}B_{1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B}$

Используя определение равномерно ограниченных множеств, данное ниже, условие счетности Макки можно переформулировать следующим образом: если — ограниченные подмножества метризуемого локально выпуклого пространства , то существует последовательность положительных действительных чисел, которая равномерно ограничена. Другими словами, если задано любое счетное семейство ограниченных множеств в метризуемом локально выпуклом пространстве, то можно масштабировать каждое множество его собственным положительным действительным числом так, что они станут равномерно ограниченными. ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }$

Обобщения

Равномерно ограниченные множества

Семейство множеств подмножеств топологического векторного пространства называется ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$равномерно ограничено в ,если существует некоторое ограниченное подмножествоиз ,такое что это происходит тогда и только тогда, когда его объединение является ограниченным подмножеством В случаенормированного(илиполунормированного) пространства семействоравномерно ограничено тогда и только тогда, когда его объединениеограниченопо норме, что означает, что существует некоторое действительное числотакое, чтодля любогоили, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},}$$ $${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle M\geq 0}$ ${\textstyle \|b\|\leq M}$ ${\displaystyle b\in \cup {\mathcal {B}},}$ ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}$

Набор карт от до называется ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$равномерно ограничено на заданном множестве , если семействоравномерно ограничено в, что по определению означает, что существует некоторое ограниченное подмножествоизтакое, чтоили, что эквивалентно, тогда и только тогда, когдаявляется ограниченным подмножеством из Множестволинейных отображений между двумя нормированными (или полунормированными) пространствамииравномерно ограничено на некотором (или, что эквивалентно, на каждом) открытом шаре (и/или невырожденном замкнутом шаре) в ,если и только тогда, когда ихоператорные нормыравномерно ограничены; то есть тогда и только тогда, когда ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle H(C):=\{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}$ ${\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}$

Предложение ^[9]  —  Пусть — множество непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами и , и пусть — любое ограниченное подмножество Тогда является равномерно ограниченным на (то есть семейство равномерно ограничено в ), если выполняется любое из следующих условий: ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle H}$является равностепенно непрерывным .
2. ${\displaystyle C}$является выпуклым компактным хаусдорфовым подпространством и для каждого орбита является ограниченным подмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y.}$

Поскольку каждое одноэлементное подмножество также является ограниченным подмножеством, то отсюда следует, что если — равностепенно непрерывное множество непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами и (не обязательно хаусдорфовыми или локально выпуклыми), то орбита каждого является ограниченным подмножеством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle Y.}$

Ограниченные подмножества топологических модулей

Определение ограниченных множеств можно обобщить на топологические модули . Подмножество топологического модуля над топологическим кольцом ограничено, если для любой окрестности существует окрестность такая , что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle wA\subseteq B.}$

Смотрите также

• Борнологическое пространство  – пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Множество  , которое может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченная функция  – математическая функция, множество значений которой ограничено.
• Ограниченный оператор  – Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами
• Граница точки  – математическая концепция, связанная с подмножествами векторных пространств.
• Компактное пространство  – Тип математического пространства
• Критерий нормируемости Колмогорова  – Характеристика нормируемых пространств
• Локальная ограниченность
• Полностью ограниченное пространство  – Обобщение компактности

Ссылки

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 156–175.
2. Шефер 1970, стр. 25.
3. Рудин 1991, стр. 8.
4. Вилански 2013, стр. 47.
5. Наричи Бекенштейн (2011). Топологические векторные пространства (2-е изд.). С. 253, Теорема 8.8.7. ISBN 978-1-58488-866-6.
6. Вилански 2013, стр. 57.
7. Narici & Beckenstein 2011, стр. 162.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 174.
9. Rudin 1991, стр. 42−47.
10. Рудин 1991, стр. 46−47.

Примечания

1. Для любого множества и скаляра обозначение обозначает множество ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle sA}$ ${\displaystyle sA:=\{sa:a\in A\}.}$
2. Это означает, что топология на равна топологии, индуцированной на ней Обратите внимание, что каждое нормированное пространство является полунормированным пространством, а каждая норма является полунормой. Определение топологии, индуцированной полунормой, идентично определению топологии, индуцированной нормой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|.}$
3. Если — нормированное или полунормированное пространство , то открытые и замкнутые шары радиуса (где — действительное число) с центром в точке — это, соответственно, множества и Любое такое множество называется (невырожденным) шаром . ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle B_{<r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}}$ ${\textstyle B_{\leq r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.}$

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• Берберян, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Graduate Texts in Mathematics. Том 15. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод: Чалджуб, Орландо. Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Робертсон, А. П.; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Cambridge University Press . С. 44–46.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 53. Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Шефер, ХХ (1970). Топологические векторные пространства . GTM . Том 3. Springer-Verlag . С. 25–26. ISBN 0-387-05380-8.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.