Ядро Дирихле

В математическом анализе ядро ​​Дирихле , названное в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле , представляет собой набор периодических функций, определяемых как

$${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}$$

nнеотрицательное целое число ${\displaystyle 2\pi }$

График ограничен одним периодом первых нескольких ядер Дирихле, показывающих их сходимость к одному из дельта- распределений Дирака гребенки Дирака . ${\displaystyle [-L,L],~L=\pi ,~}$

Важность ядра Дирихле обусловлена ​​его связью с рядом Фурье . Свертка D n ( x ) с любой функцией f периода 2 _π представляет собой аппроксимацию функции f рядом Фурье n -й степени, т . е. мы имеем

$${\displaystyle (D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=2\pi \sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}$$

$${\displaystyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx}$$

kf

График ограничен одним периодом первых нескольких ядер Дирихле (умноженным на ). ${\displaystyle 2\pi }$

L 1 норма ядерной функции

Особое значение имеет тот факт, что норма L 1 группы D _n on стремится к бесконечности при n → ∞ . Можно оценить, что ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

$${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).}$$

Используя аргумент суммы Римана для оценки вклада в наибольшей окрестности нуля, в которой он положителен, и неравенство Йенсена для оставшейся части, также можно показать, что: ${\displaystyle D_{n}}$

$${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatorname {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n.}$$

Отсутствие равномерной интегрируемости лежит в основе многих явлений расходимости ряда Фурье. Например, вместе с принципом равномерной ограниченности его можно использовать, чтобы показать, что ряд Фурье непрерывной функции может не сходиться поточечно, причем весьма драматическим образом. Дополнительную информацию см. в разделе «Сходимость рядов Фурье» .

Точное доказательство первого результата, которое дает ${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin[(2n+1)x]|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin(s)|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(s)}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}}$$

где мы использовали тождество ряда Тейлора , что и где – номера гармоник первого порядка . ${\displaystyle 2/x\leq 1/|\sin(x/2)|}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Связь с периодической дельта-функцией

Ядро Дирихле — это периодическая функция, которая в пределе становится гребенкой Дирака , т. е. периодической дельта-функцией.

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k/T)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k/T)~,}$

с угловой частотой . ${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$

Это можно вывести из свойства автосопряжения ядра Дирихле при прямом и обратном преобразовании Фурье :

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \mathrm {comb} _{n}(\xi )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\mathrm {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\mathrm {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {comb} _{n}(\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}d\xi =D_{n}(2\pi x),}$

и переходит к гребенке Дирака периода as , которая остается инвариантной относительно преобразования Фурье : . Таким образом , также должно было сойтись к as . ${\displaystyle \mathrm {comb} _{n}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle D_{n}(2\pi x)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

С другой стороны, рассмотрим ∆(x) как единичный элемент для свертки функций периода 2 π . Другими словами, мы имеем

$${\displaystyle f*(\Delta )=f}$$

fπ

$${\displaystyle \Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}$$

(Этот ряд Фурье почти нигде не сходится к функции.) Поэтому ядро ​​Дирихле, которое представляет собой не что иное, как последовательность частичных сумм этого ряда, можно рассматривать как приближенное тождество . Однако, абстрактно говоря, это не является приблизительным тождеством положительных элементов (отсюда и упомянутые выше неудачи в поточечном охвате).

Доказательство тригонометрического тождества

Тригонометрическое тождество

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$

геометрической прогрессии

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$$

В частности, у нас есть

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}$$

Умножив числитель и знаменатель на , получим ${\displaystyle r^{-1/2}}$

$${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$$

В случае мы имеем ${\displaystyle r=e^{ix}}$

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$

Альтернативное доказательство тригонометрического тождества

Начни с сериала

$${\displaystyle f(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx).}$$

Умножьте обе части и используйте тригонометрическое тождество. ${\textstyle \sin(x/2)}$

$${\displaystyle \cos(a)\sin(b)={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}}$$

$${\displaystyle \sin(x/2)f(x)=\sin(x/2)+\sum _{k=1}^{n}\sin((k+{\tfrac {1}{2}})x)-\sin((k-{\tfrac {1}{2}})x)}$$

Вариант идентичности

Если сумма рассчитывается только по неотрицательным целым числам (что может возникнуть при вычислении дискретного преобразования Фурье , которое не центрировано), то, используя аналогичные методы, мы можем показать следующее тождество:

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}}$$

^[1] ${\displaystyle D_{n}(x)-{\frac {1}{2}}\cos(nx)={\frac {\sin \left(nx\right)}{2\tan({\frac {x}{2}})}}}$ ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}$

Смотрите также

• Ядро Фейера

Рекомендации

1. Фэй, Темпл Х.; Клопперс, П. Хендрик (2001). «Феномен Гиббса». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 32 (1): 73–89. дои : 10.1080/00207390117151. S2CID  120595055.

Источники

• Эндрю М. Брукнер, Джудит Б. Брукнер, Брайан С. Томсон: реальный анализ . ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X , S.620 (онлайн-версия vollständige (Google Книги)) 
• Подкорытов А.Н. (1988), "Асимптотика ядра Дирихле сумм Фурье относительно многоугольника". Журнал советской математики , 42 (2): 1640–1646. дои: 10.1007/BF01665052
• Леви, Х. (1974), «Геометрическая конструкция ядра Дирихле». Труды Нью-Йоркской академии наук , 36: 640–643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x
• «Ядро Дирихле», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Дирихле-Кернел ^{[ постоянная неработающая ссылка ]} в PlanetMath ^{[ постоянная неработающая ссылка ]}