ряд Фурье

Разложение периодических функций на суммы более простых синусоидальных форм

Ряд Фурье ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) представляет собой разложение периодической функции в сумму тригонометрических функций . Ряд Фурье является примером тригонометрического ряда , но не все тригонометрические ряды являются рядами Фурье. ^[2] Выражая функцию в виде суммы синусов и косинусов, многие проблемы, связанные с функцией, становятся проще для анализа, поскольку тригонометрические функции хорошо поняты. Например, ряды Фурье были впервые использованы Жозефом Фурье для нахождения решений уравнения теплопроводности . Это применение возможно, поскольку производные тригонометрических функций укладываются в простые закономерности. Ряды Фурье нельзя использовать для аппроксимации произвольных функций, поскольку большинство функций имеют бесконечно много членов в своих рядах Фурье, и ряды не всегда сходятся . Хорошо ведущие себя функции, например гладкие функции, имеют ряды Фурье, которые сходятся к исходной функции. Коэффициенты ряда Фурье определяются интегралами функции, умноженной на тригонометрические функции, описанные ниже в разделе Общие формы ряда Фурье.

Изучение сходимости рядов Фурье фокусируется на поведении частичных сумм , что означает изучение поведения суммы по мере суммирования все большего числа членов ряда. Рисунки ниже иллюстрируют некоторые результаты частичных рядов Фурье для компонентов прямоугольной волны .

• 
  Прямоугольная волна (представленная синей точкой) аппроксимируется ее шестой частичной суммой (представленной фиолетовой точкой), образованной путем суммирования первых шести членов (представленных стрелками) ряда Фурье прямоугольной волны. Каждая стрелка начинается с вертикальной суммы всех стрелок слева от нее (т. е. предыдущей частичной суммы).
• 
  Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . По мере добавления большего количества гармоник частичные суммы сходятся (становятся все более и более похожими) на прямоугольную волну.
• 
  Функция (красного цвета) представляет собой сумму ряда Фурье 6 гармонически связанных синусоид (синего цвета). Ее преобразование Фурье представляет собой представление в частотной области, которое показывает амплитуды суммированных синусоид. ${\displaystyle s_{6}(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

Ряды Фурье тесно связаны с преобразованием Фурье , более общим инструментом, который может даже найти информацию о частоте для функций, которые не являются периодическими. Периодические функции можно отождествить с функциями на окружности; по этой причине ряды Фурье являются предметом анализа Фурье на окружности, обычно обозначаемого как или . Преобразование Фурье также является частью анализа Фурье , но определено для функций на . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Со времен Фурье было обнаружено много различных подходов к определению и пониманию концепции ряда Фурье, все из которых согласуются друг с другом, но каждый из которых подчеркивает различные аспекты темы. Некоторые из наиболее мощных и элегантных подходов основаны на математических идеях и инструментах, которые не были доступны во времена Фурье. Первоначально Фурье определил ряд Фурье для действительных функций действительных аргументов и использовал функции синуса и косинуса в разложении. С тех пор были определены многие другие преобразования, связанные с Фурье , что расширило его первоначальную идею на многие приложения и породило область математики, называемую анализом Фурье .

Общие формы ряда Фурье

Ряд Фурье — это непрерывная периодическая функция , созданная путем суммирования гармонически связанных синусоидальных функций. Он имеет несколько различных, но эквивалентных форм, показанных здесь как частичные суммы. Но в теории подстрочные символы, называемые коэффициентами , и период определяют функцию следующим образом : ${\displaystyle N\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$

Рис 1. Верхний график показывает непериодическую функцию s ( x ) синим цветом, определенную только на красном интервале от 0 до P . Функцию можно проанализировать на этом интервале, чтобы получить ряд Фурье на нижнем графике. Ряд Фурье всегда является периодической функцией, даже если исходная функция s ( x ) не является периодической.

Ряд Фурье, амплитудно-фазовая форма

Ряд Фурье, синусно-косинусная форма

Ряд Фурье, показательная форма

Гармоники индексируются целым числом, которое также является числом циклов, которые соответствующие синусоиды делают в интервале . Таким образом, синусоиды имеют : ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle P}$

• длина волны равна в тех же единицах, что и . ${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$ ${\displaystyle x}$
• частота равна в обратных единицах . ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle x}$

Очевидно, что эти ряды могут представлять функции, которые являются просто суммой одной или нескольких гармонических частот. Примечательно, что они также могут представлять промежуточные частоты и/или несинусоидальные функции из-за бесконечного числа членов. Амплитудно-фазовая форма особенно полезна для понимания обоснования коэффициентов ряда. (см. § Вывод) Экспоненциальная форма наиболее легко обобщается для комплекснозначных функций. (см. § Комплекснозначные функции)

Эквивалентность этих форм требует определенных соотношений между коэффициентами. Например, тригонометрическое тождество :

Эквивалентность полярных и прямоугольных форм

означает, что :

Следовательно , и являются прямоугольными координатами вектора с полярными координатами и ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}.}$

Коэффициенты могут быть заданы/предполагаемы, например, музыкальный синтезатор или временные выборки формы волны. В последнем случае экспоненциальная форма ряда Фурье синтезирует дискретное по времени преобразование Фурье , где переменная представляет частоту вместо времени. ${\displaystyle x}$

Но обычно коэффициенты определяются с помощью частотного/гармонического анализа заданной действительной функции и представляют время : ${\displaystyle s(x),}$ ${\displaystyle x}$

Анализ ряда Фурье

Цель состоит в том, чтобы добиться сходимости к большинству или ко всем значениям в интервале длины Для хорошо ведущих себя функций, типичных для физических процессов, обычно предполагается равенство, а условия Дирихле обеспечивают достаточные условия. ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

Обозначение представляет собой интегрирование по выбранному интервалу. Типичным выбором является и . Некоторые авторы определяют , потому что это упрощает аргументы синусоидальных функций за счет общности. А некоторые авторы предполагают, что также является -периодическим, в этом случае аппроксимирует всю функцию. Масштабный коэффициент объясняется, если взять простой случай : для сходимости необходим только член уравнения 2 , с и   Соответственно уравнение 5 обеспечивает : ${\displaystyle \int _{P}}$ ${\displaystyle [-P/2,P/2]}$ ${\displaystyle [0,P]}$ ${\displaystyle P\triangleq 2\pi }$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}$ ${\displaystyle n=k}$ ${\displaystyle A_{k}=1}$ ${\displaystyle B_{k}=0.}$

${\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,}$       по мере необходимости.

Коэффициенты экспоненциальной формы

Другим применимым тождеством является формула Эйлера :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}$

(Примечание : ∗ обозначает комплексное сопряжение .)

Подстановка этого в уравнение 1 и сравнение с уравнением 3 в конечном итоге показывает :

Коэффициенты экспоненциальной формы

Наоборот :

Обратные отношения

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=C_{0}&\\A_{n}&=C_{n}+C_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(C_{n}-C_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}$

Подстановка уравнения 5 в уравнение 6 также показывает : ^[3]

Анализ ряда Фурье

Комплекснозначные функции

Уравнение 7 и уравнение 3 также применимы, когда — комплекснозначная функция. ^[A] Это следует из выражения и как отдельных действительных рядов Фурье, и ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}$

Вывод

Коэффициенты и можно понять и вывести в терминах взаимной корреляции между и синусоидой на частоте . Для общей частоты и интервала анализа функция взаимной корреляции : ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P],}$

Рис 2. Синяя кривая — это кросс-корреляция прямоугольной волны и косинусоидальной функции, поскольку фазовая задержка косинуса изменяется в течение одного цикла. Амплитуда и фазовая задержка при максимальном значении являются полярными координатами одной гармоники в разложении прямоугольной волны в ряд Фурье. Соответствующие прямоугольные координаты можно определить, оценив кросс-корреляцию всего при двух фазовых задержках, разделенных 90º.

Вывод уравнения 1

по сути является согласованным фильтром с шаблоном . Максимум является мерой амплитуды частоты в функции , а значение в максимуме определяет фазу этой частоты. Рисунок 2 является примером, где представляет собой прямоугольную волну (не показана), а частота является гармоникой. Это также пример получения максимума всего из двух выборок вместо поиска по всей функции. Объединение уравнения 8 с уравнением 4 дает : ${\displaystyle \cos(2\pi fx)}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )}$ ${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\varphi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in [0,2\pi ]\\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}}$

Производная равна нулю в фазе максимальной корреляции. ${\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)}$

Следовательно, вычисление и согласно ур.5 создает фазу компонента максимальной корреляции. А амплитуда компонента равна : ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}}$

Другие общепринятые обозначения

Эта нотация неадекватна для обсуждения коэффициентов Фурье нескольких различных функций. Поэтому ее обычно заменяют модифицированной формой функции ( в данном случае), например , или , а функциональная нотация часто заменяет индексацию : ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$ ${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

В инженерии, особенно когда переменная представляет время, последовательность коэффициентов называется представлением частотной области . Квадратные скобки часто используются, чтобы подчеркнуть, что область этой функции представляет собой дискретный набор частот. ${\displaystyle x}$

Другое часто используемое представление в частотной области использует коэффициенты ряда Фурье для модуляции гребенки Дирака :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

где представляет собой непрерывную частотную область. Когда переменная имеет единицы измерения секунд, имеет единицы измерения герц . «Зубья» гребня расположены на расстоянии, кратном (т.е. гармоникам ) от , что называется основной частотой . может быть восстановлена ​​из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$ ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

Поэтому построенную функцию обычно называют преобразованием Фурье , даже несмотря на то, что интеграл Фурье периодической функции не сходится на гармонических частотах. ^[B] ${\displaystyle S(f)}$

Пример анализа

График пилообразной волны , периодического продолжения линейной функции на интервале ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Анимированный график первых пяти последовательных частичных рядов Фурье

Рассмотрим пилообразную функцию :

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

В этом случае коэффициенты Фурье определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Можно показать, что ряд Фурье сходится к в каждой точке , где дифференцируем, и, следовательно : ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

При , ряд Фурье сходится к 0, который является полусуммой левого и правого предела s при . Это частный случай теоремы Дирихле для рядов Фурье. ${\displaystyle x=\pi }$ ${\displaystyle x=\pi }$

Этот пример приводит к решению Базельской проблемы .

Конвергенция

Доказательство того, что ряд Фурье является допустимым представлением любой периодической функции (удовлетворяющей условиям Дирихле ), рассматривается в § Теорема Фурье, доказывающая сходимость рядов Фурье.

В инженерных приложениях ряд Фурье обычно предполагается сходящимся, за исключением скачков разрывов, поскольку функции, встречающиеся в инженерии, ведут себя лучше, чем функции, встречающиеся в других дисциплинах. В частности, если является непрерывным и производная (которая может существовать не везде) является квадратично интегрируемой, то ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно к . ^[4] Если функция является квадратично интегрируемой на интервале , то ряд Фурье сходится к функции при почти всюду . Можно определить коэффициенты Фурье для более общих функций или распределений, в этом случае поточечная сходимость часто не удается, и обычно изучается сходимость в норме или слабая сходимость . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• Четыре частичные суммы (ряды Фурье) длиной 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как улучшается приближение к прямоугольной волне по мере увеличения числа членов (анимация)
• Четыре частичные суммы (ряды Фурье) длиной 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к пилообразной волне улучшается по мере увеличения числа членов (анимация)
• 
  Пример сходимости к несколько произвольной функции. Обратите внимание на развитие "звона" ( явление Гиббса ) при переходах к/от вертикальных участков.

История

Ряд Фурье назван в честь Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830), который внес важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана Лерона Д'Аламбера и Даниила Бернулли . ^[C] Фурье ввел ряд для решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первоначальные результаты в своем труде 1807 года Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( Трактат о распространении тепла в твердых телах ) и опубликовав свой труд Théorie analytique de la chaleur ( Аналитическая теория тепла ) в 1822 году. Mémoire ввел анализ Фурье, в частности ряды Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт, что произвольная (вначале непрерывная ^[5] , а затем обобщенная на любую кусочно -гладкую ^[6] ) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией . ^[7] Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций восходят к 3 веку до н. э., когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на деферентах и ​​эпициклах .

Уравнение теплопроводности является частным дифференциальным уравнением . До работы Фурье решение уравнения теплопроводности в общем случае было известно, хотя были известны частные решения, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была синусоидальная или косинусоидальная волна . Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями . Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию ) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений . Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения результаты Фурье несколько неформальны, ввиду отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежен Дирихле ^[8] и Бернхард Риман ^{[9] [10] [11]} выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя изначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, и особенно к тем, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами . Ряд Фурье имеет много таких приложений в электротехнике , анализе вибрации , акустике , оптике , обработке сигналов , обработке изображений , квантовой механике , эконометрике , ^[12] теории оболочек , ^[13] и т. д.

Начало

Жозеф Фурье писал: ^{[ сомнительный – обсудить ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Умножая обе части на , а затем интегрируя от до , получаем: ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

-  Жозеф Фурье, «Мемуар о распространении таланта в твердом корпусе» . (1807) ^{[14] [Д]}

Это немедленно дает любой коэффициент a _k тригонометрического ряда для φ( y ) для любой функции, которая имеет такое расширение. Это работает, потому что если φ имеет такое расширение, то (при подходящих предположениях о сходимости) интеграл можно вычислять почленно. Но все члены, включающие для j ≠ k, исчезают при интегрировании от −1 до 1, оставляя только член. $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

В этих нескольких строках, которые близки к современному формализму, используемому в рядах Фурье, Фурье произвел революцию как в математике, так и в физике. Хотя подобные тригонометрические ряды ранее использовались Эйлером , Д'Аламбером , Даниилом Бернулли и Гауссом , Фурье считал, что такие тригонометрические ряды могут представлять любую произвольную функцию. В каком смысле это на самом деле верно — довольно тонкий вопрос, и попытки на протяжении многих лет прояснить эту идею привели к важным открытиям в теориях сходимости , функциональных пространств и гармонического анализа .

Когда Фурье представил позднее конкурсное эссе в 1811 году, комитет (в который входили, среди прочих , Лагранж , Лаплас , Малюс и Лежандр ) пришел к выводу: ...способ, которым автор приходит к этим уравнениям, не свободен от трудностей, и ...его анализ по их интеграции все еще оставляет желать лучшего с точки зрения общности и даже строгости . ^{[ необходима ссылка ]}

Мотивация Фурье

Распределение тепла в металлической пластине с использованием метода Фурье

Разложение в ряд Фурье пилообразной функции (выше) выглядит сложнее, чем простая формула , поэтому не сразу становится ясно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя существует множество приложений, мотивацией Фурье было решение уравнения теплопроводности . Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата, стороны которого измеряются метрами, с координатами . Если внутри пластины нет источника тепла, и если три из четырех сторон поддерживаются при 0 градусах Цельсия, в то время как четвертая сторона, заданная , поддерживается при градиенте температуры градусов Цельсия, для в , то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла после истечения длительного периода времени) определяется выражением ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$ ${\displaystyle y=\pi }$ ${\displaystyle T(x,\pi )=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Здесь sinh — гиперболическая синусоидальная функция. Это решение уравнения теплопроводности получается путем умножения каждого члена уравнения 9 на . Хотя наша функция-пример, по-видимому, имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла нетривиально. Функцию нельзя записать в виде замкнутого выражения . Этот метод решения тепловой задачи стал возможным благодаря работе Фурье. ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle T(x,y)}$ ${\displaystyle T}$

Другие приложения

Другое применение — решение Базельской проблемы с использованием теоремы Парсеваля . Пример обобщается, и можно вычислить ζ (2 n ), для любого положительного целого числа n .

Таблица общих рядов Фурье

Некоторые распространённые пары периодических функций и их коэффициенты ряда Фурье показаны в таблице ниже.

• ${\displaystyle s(x)}$обозначает периодическую функцию с периодом . ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}$обозначим коэффициенты ряда Фурье (синусно-косинусная форма) периодической функции . ${\displaystyle s(x)}$

Таблица основных свойств

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующий эффект в коэффициентах ряда Фурье. Обозначение:

• Комплексное сопряжение обозначается звездочкой.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$обозначают -периодические функции или функции, определенные только для ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$обозначим коэффициенты ряда Фурье (показательная форма) и ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r.}$

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части комплексной функции разлагаются на четную и нечетную части , есть четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. И есть взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной временной функции и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования: ^[17]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Отсюда видны различные соотношения, например:

• Преобразование действительной функции ( s _RE + s _RO ) является четно-симметричной функцией S _RE + i S _IO . Наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
• Преобразование мнимозначной функции ( i s _IE + i s _IO ) является нечетной симметричной функцией S _RO + i S _IE , и обратное верно.
• Преобразование четно-симметричной функции ( s _RE + i s _IO ) представляет собой действительную функцию S _RE + S _RO , и обратное утверждение верно.
• Преобразование нечетно-симметричной функции ( s _RO + i s _IE ) представляет собой мнимозначную функцию i S _IE + i S _IO , и обратное верно.

Другие свойства

Лемма Римана–Лебега

Если интегрируемо , и Этот результат известен как лемма Римана – Лебега . ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

Теорема Парсеваля

Если принадлежит (периодическому на интервале длины ), то : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

Теорема Планшереля

Если — коэффициенты и тогда существует единственная функция такая, что для каждого . ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ ${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$ ${\displaystyle S[n]=c_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Теоремы свертки

Даны -периодические функции, и с коэффициентами ряда Фурье и ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle r_{_{P}}}$ ${\displaystyle S[n]}$ ${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• Точечное произведение : также является -периодическим, а его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной сверткой последовательностей и : $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• Периодическая свертка : также является -периодической, с коэффициентами ряда Фурье : $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Дважды бесконечная последовательность в является последовательностью коэффициентов Фурье функции в тогда и только тогда , когда она является сверткой двух последовательностей в . См. ^[18] ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$ ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

Производное свойство

Будем говорить, что принадлежит , если — 2 π -периодическая функция, на которой дифференцируема по времени, а ее производная непрерывна. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

• Если , то коэффициенты Фурье производной можно выразить через коэффициенты Фурье функции , по формуле . ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]}$
• Если , то . В частности, поскольку для фиксированного имеем при , то отсюда следует, что стремится к нулю, а это значит, что коэффициенты Фурье сходятся к нулю быстрее, чем k -я степень n для любого . ${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

Компактные группы

Одно из интересных свойств преобразования Фурье, о котором мы упомянули, заключается в том, что оно переносит свертки в поточечные произведения. Если это свойство мы стремимся сохранить, то можно производить ряды Фурье на любой компактной группе . Типичные примеры включают те классические группы , которые являются компактными. Это обобщает преобразование Фурье на все пространства вида L ² ( G ), где G — компактная группа, таким образом, что преобразование Фурье переносит свертки в поточечные произведения. Ряд Фурье существует и сходится аналогично случаю [− π , π ] .

Альтернативным расширением для компактных групп является теорема Петера–Вейля , которая доказывает результаты о представлениях компактных групп, аналогичные результатам о конечных группах.

Атомные орбитали химии частично описываются сферическими гармониками , которые можно использовать для построения рядов Фурье на сфере .

Римановы многообразия

Если область не является группой, то нет внутренне определенной свертки. Однако, если — компактное риманово многообразие , оно имеет оператор Лапласа–Бельтрами . Оператор Лапласа–Бельтрами — это дифференциальный оператор, который соответствует оператору Лапласа для риманова многообразия . Тогда, по аналогии, можно рассмотреть уравнения теплопроводности на . Поскольку Фурье пришел к своему базису, пытаясь решить уравнение теплопроводности, естественным обобщением является использование собственных решений оператора Лапласа–Бельтрами в качестве базиса. Это обобщает ряд Фурье на пространства типа , где — риманово многообразие. Ряд Фурье сходится способами, аналогичными случаю . Типичным примером является взятие сферы с обычной метрикой, в этом случае базис Фурье состоит из сферических гармоник . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle X}$

Локально компактные абелевы группы

Обобщение на компактные группы, обсуждавшееся выше, не распространяется на некомпактные, неабелевы группы . Однако существует прямое обобщение на локально компактные абелевы группы (LCA) .

Это обобщает преобразование Фурье до или , где — группа LCA. Если компактно, то также получается ряд Фурье, который сходится аналогично случаю , но если некомпактно, то вместо этого получается интеграл Фурье . Это обобщение дает обычное преобразование Фурье , когда базовая локально компактная абелева группа — . ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Расширения

Ряд Фурье по квадрату

Мы также можем определить ряд Фурье для функций двух переменных и в квадрате : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Помимо того, что ряды Фурье на квадрате полезны для решения уравнений с частными производными, таких как уравнение теплопроводности, одно из заметных применений рядов Фурье на квадрате — сжатие изображений . В частности, стандарт сжатия изображений JPEG использует двумерное дискретное косинусное преобразование , дискретную форму косинусного преобразования Фурье , которая использует только косинус в качестве базисной функции.

Для двумерных массивов с шахматным расположением половина коэффициентов ряда Фурье исчезает из-за дополнительной симметрии. ^[19]

Ряд Фурье решётки Браве-периодической-функции

Трехмерная решетка Бравэ определяется как набор векторов вида: где — целые числа, а — три линейно независимых вектора. Предполагая, что у нас есть некоторая функция, , такая, что она подчиняется условию периодичности для любого вектора решетки Бравэ , , мы могли бы составить ряд Фурье для нее. Такого рода функцией может быть, например, эффективный потенциал, который один электрон «чувствует» внутри периодического кристалла. Полезно составить ряд Фурье для потенциала при применении теоремы Блоха . Во-первых, мы можем записать любой произвольный вектор положения в системе координат решетки: где значение , которое определяется как величина , поэтому единичный вектор направлен вдоль . $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$ ${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

Таким образом, мы можем определить новую функцию, $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Эта новая функция, , теперь является функцией трех переменных, каждая из которых имеет периодичность , , и соответственно: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

Это позволяет нам построить набор коэффициентов Фурье, каждый из которых индексируется тремя независимыми целыми числами . В дальнейшем мы используем нотацию функций для обозначения этих коэффициентов, тогда как ранее мы использовали индексы. Если мы запишем ряд для на интервале для , мы можем определить следующее: ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

И тогда мы можем написать: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

Дальнейшее определение: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$

Мы можем записать еще раз так: ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$$

Наконец, применяя то же самое к третьей координате, определяем: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$$

Мы пишем так: ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$$

Перестановка: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$

Теперь каждый вектор обратной решетки может быть записан (но это не означает, что это единственный способ записи) как , где — целые числа, а — векторы обратной решетки, удовлетворяющие ( для и для ). Тогда для любого произвольного вектора обратной решетки и произвольного вектора положения в исходном пространстве решетки Браве их скалярное произведение равно: ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Итак, очевидно, что в нашем разложении сумма фактически идет по векторам обратной решетки: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$$

где $${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$$

Предполагая, что мы можем решить эту систему из трех линейных уравнений относительно , ​​, и в терминах , и для того, чтобы вычислить элемент объема в исходной прямоугольной системе координат. Как только у нас есть , , и в терминах , и , мы можем вычислить определитель Якоби : который после некоторых вычислений и применения некоторых нетривиальных тождеств перекрестного произведения может быть показан равным: $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}$$

(может быть выгодно для упрощения вычислений работать в такой прямоугольной системе координат, в которой так уж получается, что параллельна оси x , лежит в плоскости xy и имеет компоненты всех трех осей). Знаменатель — это в точности объем примитивной элементарной ячейки, которая заключена между тремя примитивными векторами , и . В частности, теперь мы знаем, что ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ $${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}$$

Теперь мы можем записать как интеграл с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки, вместо переменных , и : записывая для элемента объема ; и где — примитивная элементарная ячейка, таким образом, — объем примитивной элементарной ячейки. ${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ $${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle dx\,dy\,dz}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$

Интерпретация пространства Гильберта

На языке гильбертовых пространств множество функций является ортонормированным базисом для пространства квадратично-интегрируемых функций на . Это пространство на самом деле является гильбертовым пространством со скалярным произведением , заданным для любых двух элементов и следующим образом: ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$где комплексно сопряженное число ${\displaystyle g^{*}(x)}$ ${\displaystyle g(x).}$

Основной результат ряда Фурье для гильбертовых пространств можно записать как

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$

Синусы и косинусы образуют ортогональный набор, как показано выше. Интеграл синуса, косинуса и их произведения равен нулю (зеленая и красная области равны и сокращаются), когда , или функции различны, и π только тогда, когда и равны, а используемая функция одинакова. Они образовали бы ортонормированный набор, если бы интеграл был равен 1 (то есть каждую функцию нужно было бы масштабировать на ). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}}$

Это в точности соответствует комплексной экспоненциальной формулировке, приведенной выше. Версия с синусами и косинусами также оправдана с помощью интерпретации гильбертова пространства. Действительно, синусы и косинусы образуют ортогональный набор : (где δ _mn — символ Кронекера ), и, кроме того, синусы и косинусы ортогональны постоянной функции . Ортонормированный базис для , состоящий из действительных функций, образован функциями и , при n = 1,2,.... Плотность их охвата является следствием теоремы Стоуна–Вейерштрасса , но также следует из свойств классических ядер, таких как ядро ​​Фейера . $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}$

Теорема Фурье, доказывающая сходимость рядов Фурье

Эти теоремы и их неформальные вариации, не определяющие условия сходимости, иногда в общем виде называются теоремой Фурье или теоремой Фурье . ^{[20] [21] [22] [23]}

Предыдущее уравнение 3 :

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

— тригонометрический полином степени , который в общем случае можно выразить как : ${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

Свойство наименьших квадратов

Теорема Парсеваля подразумевает, что:

Теорема  —  Тригонометрический полином является единственным наилучшим тригонометрическим полиномом степени , приближающим , в том смысле, что для любого тригонометрического полинома степени , мы имеем: где норма гильбертова пространства определяется как: ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p_{_{N}}\neq s_{_{N}}}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},}$$ $${\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.}$$

Теоремы сходимости

Благодаря свойству наименьших квадратов и полноте базиса Фурье мы получаем элементарный результат сходимости.

Теорема  —  Если принадлежит (интервалу длины ), то сходится к в , то есть  сходится к 0 при . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

Мы уже упоминали, что если непрерывно дифференцируема, то — коэффициент Фурье производной . Поскольку производная непрерывна и, следовательно, ограничена, она квадратично интегрируема , а ее коэффициенты Фурье квадратично суммируемы . Тогда, по неравенству Коши–Шварца , ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (i\cdot n)S[n]}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s'}$

${\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S[n]|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS[n]|^{2}.}$

Это означает, что является абсолютно суммируемым. Сумма этого ряда является непрерывной функцией, равной , поскольку ряд Фурье сходится к : ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle s}$

Теорема  —  Если , то сходится к равномерно (и, следовательно, также поточечно ). ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$

Этот результат можно легко доказать, если дополнительно предположить, что , поскольку в этом случае стремится к нулю при . В более общем случае ряд Фурье абсолютно суммируем, поэтому сходится равномерно к , при условии, что удовлетворяет условию Гёльдера порядка . В абсолютно суммируемом случае неравенство: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle n^{2}S[n]}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \alpha >1/2}$

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$

доказывает равномерную сходимость.

Известно много других результатов, касающихся сходимости рядов Фурье , начиная от сравнительно простого результата о том, что ряд сходится при , если дифференцируем в , до гораздо более сложного результата Леннарта Карлесона о том, что ряд Фурье функции на самом деле сходится почти всюду . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Дивергенция

Поскольку ряды Фурье обладают такими хорошими свойствами сходимости, многие часто удивляются некоторым отрицательным результатам. Например, ряд Фурье непрерывной T -периодической функции не обязательно сходится поточечно. Принцип равномерной ограниченности дает простое неконструктивное доказательство этого факта.

В 1922 году Андрей Колмогоров опубликовал статью под названием « Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout» , в которой он привел пример интегрируемой по Лебегу функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Позднее он построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится всюду. ^[24]

Можно привести явные примеры непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится в точке 0: например, четная и 2π-периодическая функция f, определенная для всех x в [0,π] формулой ^[25]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

Поскольку функция четная, ряд Фурье содержит только косинусы:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

Коэффициенты:

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}}$

По мере увеличения m коэффициенты будут положительными и увеличиваться, пока не достигнут значения около при для некоторого n , а затем станут отрицательными (начиная со значения около ) и будут уменьшаться, прежде чем начнется новая такая волна. При ряд Фурье — это просто текущая сумма , и это накапливается до около ${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$ ${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$ ${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle C_{m},}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

в n -й волне перед возвращением к нулю, показывая, что ряд не сходится в нуле, а достигает все более высоких пиков. Обратите внимание, что хотя функция непрерывна, она не дифференцируема.

Смотрите также

• Теорема ATS
• Теорема Карлесона
• ядро Дирихле
• Дискретное преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Теорема Фейера
• анализ Фурье
• Ряды Фурье по синусам и косинусам
• преобразование Фурье
• явление Гиббса
• Половина диапазона ряда Фурье
• Ряд Лорана – подстановка q  =  e ^ix преобразует ряд Фурье в ряд Лорана, или наоборот. Это используется в разложении j -инварианта в q -ряд .
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Многомерное преобразование
• Синусные и косинусные преобразования
• Спектральная теория
• Теория Штурма–Лиувилля
• Теорема вычета интегралов f ( z ), сингулярности, полюса

Примечания

1. Но , в общем. ${\displaystyle C_{-n}\neq C_{n}^{*}}$
2. Поскольку интеграл, определяющий преобразование Фурье периодической функции, не является сходящимся, необходимо рассматривать периодическую функцию и ее преобразование как распределения . В этом смысле является дельта-функцией Дирака , которая является примером распределения. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}}$
3. Эти трое сделали некоторые важные ранние работы по волновому уравнению , особенно Даламбер. Работа Эйлера в этой области была в основном одновременной/в сотрудничестве с Бернулли , хотя последний внес некоторые независимые вклады в теорию волн и колебаний. (См. Fetter & Walecka 2003, стр. 209–210).
4. Эти слова не принадлежат Фурье в строгом смысле. Хотя в цитируемой статье автором указан Фурье, сноска указывает, что статья на самом деле была написана Пуассоном (то, что она не была написана Фурье, также ясно из постоянного использования третьего лица для ссылки на него) и что она, «по соображениям исторического интереса», представлена ​​так, как будто это оригинальные мемуары Фурье.

Ссылки

1. "Фурье". Dictionary.com Unabridged (Online). nd
2. Зигмунд, А. (2002). Тригонометрические ряды (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89053-5.
3. Пинкус, Аллан; Зафрани, Сами (1997). Ряды Фурье и интегральные преобразования (1-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 42–44. ISBN 0-521-59771-4.
4. Толстов, Георгий П. (1976). Ряды Фурье. Courier-Dover. ISBN 0-486-63317-9.
5. Стиллвелл, Джон (2013). «Логика и философия математики в девятнадцатом веке». В Ten, CL (ред.). Routledge History of Philosophy . Том VII: Девятнадцатый век. Routledge. стр. 204. ISBN 978-1-134-92880-4.
6. Фасшауэр, Грег (2015). «Ряды Фурье и краевые задачи» (PDF) . Заметки к курсу Math 461, Глава 3 . Кафедра прикладной математики, Иллинойсский технологический институт . Получено 6 ноября 2020 г. .
7. Каджори, Флориан (1893). История математики. Macmillan. стр. 283.
8. Лежен-Дирихле, Питер Густав (1829). «Sur la сходимость тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами» [О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 4 : 157–169. arXiv : 0806.1294 .
9. "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" [О представимости функции тригонометрическим рядом]. Habilitationsschrift , Геттинген ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , vol. 13, 1867. Опубликовано посмертно для Римана Рихардом Дедекиндом (на немецком языке). Архивировано из оригинала 20 мая 2008 года . Проверено 19 мая 2008 г.
10. Маскр, Д.; Риман, Бернхард (1867), «Посмертная диссертация о представлении функций тригонометрическими рядами», в Grattan-Guinness, Ivor (ред.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Elsevier (опубликовано в 2005 г.), стр. 49, ISBN 9780080457444
11. Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций: Чтения по математике. Springer. стр. 29. ISBN 9780387971957.
12. Нерлав, Марк; Гретер, Дэвид М.; Карвальо, Хосе Л. (1995). Анализ экономических временных рядов. Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика . Elsevier. ISBN 0-12-515751-7.
13. Вильгельм Флюгге , Напряжения в оболочках (1973), 2-е издание. ISBN 978-3-642-88291-3 . Первоначально опубликовано на немецком языке под названием Statik und Dynamik der Schalen (1937). 
14. Фурье, Жан-Батист-Жозеф (1888). Гастон Дарбу (ред.). Oeuvres de Fourier [ Работы Фурье ] (на французском языке). Париж: Готье-Виллар и Филс. стр. 218–219 – через Галлику.
15. Папула, Лотар (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [ Математические функции для инженеров и физиков ] (на немецком языке). Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571.
16. Шмалий, YS (2007). Сигналы непрерывного времени . Springer. ISBN 978-1402062711.
17. Проакис, Джон Г.; Манолакис, Димитрис Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Prentice Hall. стр. 291. ISBN 978-0-13-373762-2.
18. "Характеристики линейного подпространства, связанного с рядами Фурье". MathOverflow. 2010-11-19 . Получено 2014-08-08 .
19. Обращение в нуль половины коэффициентов Фурье в шахматных решетках
20. Siebert, William McC. (1985). Схемы, сигналы и системы. MIT Press. стр. 402. ISBN 978-0-262-19229-3.
21. Мартон, Л.; Мартон, Клэр (1990). Достижения в области электроники и электронной физики. Academic Press. стр. 369. ISBN 978-0-12-014650-5.
22. Кузмани, Ганс (1998). Твердотельная спектроскопия. Springer. стр. 14. ISBN 978-3-540-63913-8.
23. Прибрам, Карл Х.; Ясуэ, Кунио; Джибу, Мари (1991). Мозг и восприятие. Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс. п. 26. ISBN 978-0-89859-995-4.
24. Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ (2-е исправленное изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4.
25. Гурдон, Ксавье (2009). Математика наедине. Анализируйте (2ème edition) (на французском языке). Эллипсы. п. 264. ИСБН 978-2729837594.

Дальнейшее чтение

• William E. Boyce; Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8-е изд.). Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43338-1.
• Джозеф Фурье, перевод Александра Фримена (2003). Аналитическая теория тепла . Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0.Полное переиздание в 2003 году английского перевода работы Фурье «Аналитическая теория тепла» , выполненного Александром Фрименом в 1878 году и первоначально опубликованного в 1822 году.
• Энрике А. Гонсалес-Веласко (1992). «Связи в математическом анализе: случай рядов Фурье». American Mathematical Monthly . 99 (5): 427–441. doi :10.2307/2325087. JSTOR  2325087.
• Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Дирк (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Courier. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Феликс Кляйн , Развитие математики в XIX веке . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Перевод М. Акермана из Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Берлин, 1928.
• Уолтер Рудин (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-X.
• А. Зигмунд (2002). Тригонометрические ряды (третье изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89053-5.Первое издание вышло в 1935 году.

Внешние ссылки

• «Ряды Фурье», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хобсон, Эрнест (1911). «Ряд Фурье»  . Encyclopaedia Britannica . Т. 10 (11-е изд.). С. 753–758.
• Вайсштейн, Эрик В. "Ряды Фурье". MathWorld .
• Жозеф Фурье – Сайт о жизни Фурье, который был использован для исторического раздела этой статьи на Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2001 г.)

В данной статье использованы материалы из примера ряда Фурье на PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .