Уравнение теплопроводности

Уравнение в частных производных, описывающее эволюцию температуры в области

Анимированный график изменения температуры в квадратной металлической пластине, предсказанный уравнением теплопроводности. Высота и краснота указывают температуру в каждой точке. Исходное состояние имеет равномерно горячую область в форме копыта (красный), окруженную равномерно холодной областью (желтый). Со временем тепло распространяется в холодную область.

В математике и физике уравнение теплопроводности представляет собой некоторое уравнение в частных производных . Решения уравнения теплопроводности иногда называют калорическими функциями . Теория уравнения теплопроводности была впервые разработана Жозефом Фурье в 1822 году с целью моделирования того, как такая величина, как тепло, распространяется через заданную область.

Как прототип параболического уравнения в частных производных , уравнение теплопроводности является одной из наиболее широко изучаемых тем в чистой математике , и его анализ считается фундаментальным для более широкой области уравнений в частных производных . Уравнение теплопроводности также можно рассматривать на римановых многообразиях , что приводит ко многим геометрическим приложениям. Следуя работам Субарамии Минакшисундарама и Оке Плейеля , уравнение теплопроводности тесно связано со спектральной геометрией . Основополагающий нелинейный вариант уравнения теплопроводности был введен в дифференциальную геометрию Джеймсом Илсом и Джозефом Сэмпсоном в 1964 году, вдохновив Ричарда Гамильтона на введение потока Риччи в 1982 году и завершившись доказательством гипотезы Пуанкаре Григорием Перельманом в 2003 году. Определенные решения уравнения теплопроводности, известные как тепловые ядра, предоставляют тонкую информацию об области, в которой они определены, о чем свидетельствует их применение к теореме об индексе Атьи-Зингера . ^[1]

Уравнение теплопроводности вместе с его вариантами также важно во многих областях науки и прикладной математики . В теории вероятностей уравнение теплопроводности связано с изучением случайных блужданий и броуновского движения посредством уравнения Фоккера-Планка . Уравнение Блэка -Шоулза финансовой математики представляет собой небольшой вариант уравнения теплопроводности, а уравнение Шредингера квантовой механики можно рассматривать как уравнение теплопроводности в мнимом времени . При анализе изображений уравнение теплопроводности иногда используется для разрешения пикселизации и идентификации краев . После введения Робертом Рихтмайером и Джоном фон Нейманом методов «искусственной вязкости» решения уравнений теплопроводности оказались полезны при математической формулировке гидродинамических ударов . Решениям уравнения теплопроводности также уделяется большое внимание в литературе по численному анализу , начиная с 1950-х годов с работ Джима Дугласа, Д. У. Писмана и Генри Рэчфорда-младшего.

Формулировка уравнения

В математике, если дано открытое подмножество U в Rn и подинтервал I в R  , говорят, что функция u ^: U × I → R является решением уравнения теплопроводности , если

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}},}$

где ( x ₁ , …, x _n , t ) обозначает общую точку области. Обычно t называют «временем», а x ₁ , …, x _n — «пространственными переменными», даже в абстрактных контекстах, где эти фразы не имеют интуитивного значения. Набор пространственных переменных часто называют просто x . Для любого заданного значения t правая часть уравнения представляет собой лапласиан функции u ( ⋅, t ) : U → R. Таким образом, уравнение теплопроводности часто записывается более компактно как

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$

В физике и инженерном контексте, особенно в контексте диффузии через среду, чаще фиксируют декартову систему координат , а затем рассматривают конкретный случай функции u ( x , y , z , t ) трех пространственных переменных. ( x , y , z ) и переменная времени t . Тогда говорят, что u является решением уравнения теплопроводности, если

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$

где α — положительный коэффициент , называемый температуропроводностью среды. Помимо других физических явлений, это уравнение описывает поток тепла в однородной и изотропной среде, где u ( x , y , z , t ) — температура в точке ( x , y , z ) и время t . Если среда не является однородной и изотропной, то α не будет фиксированным коэффициентом и вместо этого будет зависеть от ( x , y , z ) ; уравнение также будет иметь немного другую форму. В физической и технической литературе для обозначения лапласиана принято использовать ∇ ² , а не ∆ .

В математике, а также в физике и технике обычно используются обозначения Ньютона для производных по времени, поэтому они используются для обозначения ${\displaystyle {\dot {u}}}$∂у/∂т, поэтому уравнение можно записать

${\displaystyle {\dot {u}}=\Delta u}$

Отметим также, что возможность использовать либо ∆, либо ∇ ² для обозначения лапласиана без явной ссылки на пространственные переменные является отражением того факта, что лапласиан не зависит от выбора системы координат. Говоря математическими терминами, можно было бы сказать, что лапласиан «трансляционно и вращательно инвариантен». Фактически, это (грубо говоря) простейший дифференциальный оператор, обладающий этими симметриями. Это можно рассматривать как существенное (и чисто математическое) обоснование использования лапласиана и уравнения теплопроводности при моделировании любых однородных и изотропных физических явлений, главным примером которых является диффузия тепла.

«Константа диффузии» α часто не присутствует в математических исследованиях уравнения теплопроводности, тогда как ее значение может быть очень важно в технике. Это не является принципиальным отличием по следующей причине. Пусть u — функция с

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \Delta u.}$

Определите новую функцию . Тогда по правилу цепочки имеем ${\displaystyle v(t,x)=u(t/\alpha ,x)}$

Таким образом, существует простой способ перевода между решениями уравнения теплопроводности с общим значением α и решениями уравнения теплопроводности с α = 1 . Таким образом, для математического анализа часто достаточно рассмотреть только случай α = 1 .

Поскольку существует еще один вариант определения удовлетворения , как в ( ⁎ ) выше, установив . Обратите внимание, что два возможных способа определения обсуждаемой здесь новой функции сводятся в физических терминах к изменению единицы измерения времени или единицы измерения длины. ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle v}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v}$ ${\displaystyle v(t,x)=u(t,\alpha ^{1/2}x)}$ ${\displaystyle v}$

Интерпретация

Физическая интерпретация уравнения

Неформально, оператор Лапласа ∆ дает разницу между средним значением функции в окрестности точки и ее значением в этой точке. Таким образом, если u — температура, ∆ показывает, является ли (и насколько) материал, окружающий каждую точку, в среднем горячее или холоднее, чем материал в этой точке.

Согласно второму закону термодинамики , тепло будет перетекать от более горячих тел к соседним более холодным телам пропорционально разнице температур и теплопроводности материала между ними. Когда тепло поступает в материал (соответственно из него), его температура увеличивается (соответственно уменьшается) пропорционально количеству тепла, разделенному на количество ( массу ) материала, с коэффициентом пропорциональности , называемым удельной теплоемкостью материала. материал.

Сочетая эти наблюдения, уравнение теплопроводности показывает, что скорость , с которой материал в определенной точке будет нагреваться (или остывать), пропорциональна тому, насколько горячее (или холоднее) окружающий материал. Коэффициент α в уравнении учитывает теплопроводность, теплоемкость и плотность материала. ${\displaystyle {\dot {u}}}$

Математическая интерпретация уравнения

Первую половину вышеизложенного физического мышления можно облечь в математическую форму. Ключ в том, что для любого фиксированного x имеется

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\Delta u(x)\end{aligned}}}$

где u _{( x )} ( r ) — функция одной переменной, обозначающая среднее значение u по поверхности сферы радиуса r с центром в x ; это может быть определено с помощью

${\displaystyle u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|x-y|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},}$

в котором ω _{n − 1} обозначает площадь поверхности единичного шара в n -мерном евклидовом пространстве. Это формализует приведенное выше утверждение о том, что значение ∆ u в точке x измеряет разницу между значением u ( x ) и значением u в точках, близких к x , в том смысле, что последнее кодируется значениями u _{( x )} ( r ) для малых положительных значений r .

Следуя этому наблюдению, можно интерпретировать уравнение теплопроводности как налагающее бесконечно малое усреднение функции. Учитывая решение уравнения теплопроводности, значение u ( x , t + τ) для небольшого положительного значения τ можно аппроксимировать как1/2 нумноженное на среднее значение функции u (⋅, t ) по сфере очень малого радиуса с центром в точке x .

Характер решений

Решение одномерного уравнения теплопроводности в частных производных. Температура ( ) изначально распределяется по одномерному интервалу длиной в одну единицу ( x  = [0,1]) с изолированными конечными точками. Распределение со временем приближается к равновесию. ${\displaystyle u}$

Поведение температуры, когда стороны одномерного стержня имеют фиксированные температуры (в данном случае 0,8 и 0 с исходным гауссовским распределением). Температура приближается к линейной функции, потому что это устойчивое решение уравнения: везде, где температура имеет ненулевую вторую пространственную производную, производная по времени также не равна нулю.

Уравнение теплопроводности предполагает, что пики ( локальные максимумы ) будут постепенно размываться, а впадины ( локальные минимумы ) заполняться. Значение в какой-то точке будет оставаться стабильным только до тех пор, пока оно равно среднему значению в его непосредственном состоянии. окружение. В частности, если значения в окрестности очень близки к линейной функции , то значение в центре этой окрестности не будет меняться в этот момент (то есть производная будет равна нулю). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Ax+By+Cz+D}$ ${\displaystyle {\dot {u}}}$

Более тонким следствием является принцип максимума , который гласит, что максимальное значение в любой области среды не будет превышать максимальное значение, которое ранее имело место в , если только оно не находится на границе . То есть максимальная температура в регионе может повыситься только в том случае, если тепло поступает извне . Это свойство параболических уравнений в частных производных , и его нетрудно доказать математически (см. ниже). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Еще одно интересное свойство состоит в том, что даже если первоначально имеется резкий скачок (разрыв) значения на некоторой поверхности внутри среды, скачок немедленно сглаживается мгновенным, бесконечно коротким, но бесконечно большим потоком тепла через эту поверхность. Например, если два изолированных тела, первоначально имеющих однородную, но разную температуру и , заставить коснуться друг друга, то температура в точке контакта сразу примет некоторое промежуточное значение, и вокруг этой точки образуется зона, где будет постепенно меняться от и . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle u_{1}}$

Если к какой-либо точке среды внезапно приложить определенное количество тепла, оно распространится во всех направлениях в виде диффузионной волны. В отличие от упругих и электромагнитных волн , скорость диффузионной волны со временем падает: по мере распространения по большей области градиент температуры уменьшается, а следовательно, уменьшается и тепловой поток.

Конкретные примеры

Тепловой поток в однородном стержне

Для теплового потока уравнение теплопроводности следует из физических законов теплопроводности и сохранения энергии (Cannon 1984).

По закону Фурье для изотропной среды скорость потока тепловой энергии через единицу площади через поверхность пропорциональна отрицательному градиенту температуры на ней:

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\nabla u}$

где – теплопроводность материала, – температура, – векторное поле, которое представляет величину и направление теплового потока в точке пространства и времени . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

Если среда представляет собой тонкий стержень однородного сечения и материала, то положение представляет собой единую координату , тепловой поток в сторону увеличения представляет собой скалярное поле , а градиент представляет собой обычную производную по . Уравнение становится ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q=q(t,x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}}$

Пусть – внутренняя тепловая энергия единицы объема стержня в каждый момент времени. При отсутствии генерации тепловой энергии от внешних или внутренних источников скорость изменения внутренней тепловой энергии в единице объема материала пропорциональна скорости изменения его температуры . То есть, ${\displaystyle Q=Q(x,t)}$ ${\displaystyle \partial Q/\partial t}$ ${\displaystyle \partial u/\partial t}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

где – удельная теплоемкость (при постоянном давлении, в случае газа) и – плотность (масса в единице объема) материала. Этот вывод предполагает, что материал имеет постоянную массовую плотность и теплоемкость как в пространстве, так и во времени. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \rho }$

Применяя закон сохранения энергии к небольшому элементу среды с центром в точке , можно сделать вывод, что скорость накопления тепла в данной точке равна производной теплового потока в этой точке, обращенной в минус. То есть, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}}$

Из приведенных выше уравнений следует, что

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

которое представляет собой уравнение теплопроводности в одном измерении с коэффициентом диффузии

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c\rho }}}$

Эта величина называется температуропроводностью среды.

Учет радиационных потерь

В уравнение можно ввести дополнительный член для учета радиационных потерь тепла. Согласно закону Стефана-Больцмана этот член равен , где - температура окружающей среды, и является коэффициентом, который зависит от постоянной Стефана-Больцмана и излучательной способности материала. Скорость изменения внутренней энергии становится ${\displaystyle \mu \left(u^{4}-v^{4}\right)}$ ${\displaystyle v=v(x,t)}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}-\mu \left(u^{4}-v^{4}\right)}$

и уравнение эволюции становится ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mu }{c\rho }}\left(u^{4}-v^{4}\right).}$

Неоднородная изотропная среда

Обратите внимание, что уравнение состояния, заданное первым законом термодинамики (т.е. сохранения энергии), записывается в следующей форме (при условии отсутствия массопереноса или излучения). Эта форма является более общей и особенно полезной для определения того, какое свойство (например, c _p или ) влияет на какой термин. ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot {q}}_{V}}$

где – объемный источник тепла. ${\displaystyle {\dot {q}}_{V}}$

Трехмерная задача

В частных случаях распространения тепла в изотропной и однородной среде в трехмерном пространстве это уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$   ${\displaystyle =\alpha \left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)}$

где:

• ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$– температура как функция пространства и времени;
• ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial t}}}$– скорость изменения температуры в определенный момент времени;
• ${\displaystyle u_{xx}}$, , и – вторые пространственные производные ( теплопроводности ) температуры в направлениях , , и соответственно; ${\displaystyle u_{yy}}$ ${\displaystyle u_{zz}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}}$— коэффициент температуропроводности , специфичная для материала величина, зависящая от теплопроводности , удельной теплоемкости и массовой плотности . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \rho }$

Уравнение теплопроводности является следствием закона проводимости Фурье (см. Теплопроводность ).

Если среда не является всем пространством, для однозначного решения уравнения теплопроводности нам также необходимо указать граничные условия для u . Для определения единственности решений во всем пространстве необходимо принять дополнительные условия, например экспоненциальную оценку роста решений ^[2] или условие знака (неотрицательные решения единственны по результату Дэвида Виддера ). ^[3]

Решения уравнения теплопроводности характеризуются постепенным сглаживанием начального распределения температуры за счет потока тепла от более теплых участков объекта к более холодным. Как правило, множество различных состояний и начальных условий будут стремиться к одному и тому же устойчивому равновесию . Как следствие, переворачивать решение и делать выводы о более ранних временах или начальных условиях на основе нынешнего распределения тепла очень неточно, за исключением самых коротких периодов времени.

Уравнение теплопроводности является типичным примером параболического уравнения в частных производных .

Используя оператор Лапласа , уравнение теплопроводности можно упростить и обобщить до аналогичных уравнений в пространствах произвольного числа измерений, как

${\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,}$

где оператор Лапласа Δ или ∇ ² , дивергенция градиента, берется в пространственных переменных.

Уравнение теплопроводности управляет диффузией тепла, а также другими диффузионными процессами, такими как диффузия частиц или распространение потенциала действия в нервных клетках. Хотя они не являются диффузионными по своей природе, некоторые задачи квантовой механики также регулируются математическим аналогом уравнения теплопроводности (см. Ниже). Его также можно использовать для моделирования некоторых явлений, возникающих в финансах , таких как процессы Блэка-Шоулза или процессы Орнштейна-Уленбека . Это уравнение и различные нелинейные аналоги также использовались при анализе изображений.

Технически уравнение теплопроводности нарушает специальную теорию относительности , поскольку его решения предполагают мгновенное распространение возмущения. Частью возмущения за пределами переднего светового конуса обычно можно смело пренебречь, но если необходимо развить разумную скорость для передачи тепла, вместо этого следует рассматривать гиперболическую задачу – например, уравнение в частных производных, включающее уравнение второго порядка. производная по времени. Некоторые модели нелинейной теплопроводности (которые также являются параболическими уравнениями) имеют решения с конечной скоростью теплопередачи. ^{[4] [5]}

Внутреннее тепловыделение

Функция u выше представляет температуру тела. Альтернативно, иногда удобно изменить единицы измерения и представить u как плотность тепла среды. Поскольку плотность тепла пропорциональна температуре в однородной среде, уравнение теплопроводности по-прежнему выполняется в новых единицах.

Предположим, что тело подчиняется уравнению теплопроводности и, кроме того, генерирует собственное тепло на единицу объема (например, в ваттах/литре – Вт/л) со скоростью, определяемой известной функцией q, изменяющейся в пространстве и времени. ^[6] Тогда количество тепла в единице объема u удовлетворяет уравнению

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.}$

Например, вольфрамовая нить лампочки выделяет тепло, поэтому при включении она будет иметь положительное ненулевое значение q . Пока свет выключен, значение q для вольфрамовой нити будет равно нулю.

Решение уравнения теплопроводности с помощью ряда Фурье

Идеализированная физическая установка теплопроводности в стержне с однородными граничными условиями.

Следующий метод решения уравнения теплопроводности был предложен Жозефом Фурье в его трактате «Аналитическая теория моря» , опубликованном в 1822 году. Рассмотрим уравнение теплопроводности для одной пространственной переменной. Это можно использовать для моделирования теплопроводности в стержне. Уравнение

где u = u ( x , t ) — функция двух переменных x и t . Здесь

• x — пространственная переменная, поэтому x ∈ [0, L ], где L — длина стержня.
• t — переменная времени, поэтому t ≥ 0.

Примем начальное состояние

где задана функция f и граничные условия

Попытаемся найти решение ( 1 ), которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям ( 3 ), но обладает следующим свойством: u является произведением, в котором зависимость u от x , t разделена, то есть:

Этот метод решения называется разделением переменных . Подставляя u обратно в уравнение ( 1 ),

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.}$

Поскольку правая часть зависит только от x , а левая только от t , обе части равны некоторому постоянному значению −λ. Таким образом:

и

Теперь мы покажем, что нетривиальные решения для ( 6 ) при значениях λ ≤ 0 не могут возникнуть:

1. Предположим, что λ < 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что
   $${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$$
   Из ( 3 ) получаем X (0) = 0 = X ( L ) и, следовательно, B = 0 = C , что означает, что u тождественно 0.
2. Предположим, что λ = 0. Тогда существуют действительные числа B , C такие, что X ( x ) = Bx + C. Из уравнения ( 3 ) мы заключаем так же, как и в 1, что u тождественно равно 0.
3. Следовательно, должно быть так, что λ > 0. Тогда существуют действительные числа A , B , C такие, что
   $${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}}$$
   и
   $${\displaystyle X(x)=B\sin \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right)+C\cos \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right).}$$
   Из ( 3 ) получаем C = 0 и что для некоторого натурального числа n
   $${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$$

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость u имеет специальный вид ( 4 ).

В общем, сумма решений ( 1 ), удовлетворяющих граничным условиям ( 3 ), также удовлетворяет ( 1 ) и ( 3 ). Мы можем показать, что решение задачи ( 1 ), ( 2 ) и ( 3 ) определяется выражением

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}}$

где

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.}$

Обобщение методики решения

Метод решения, использованный выше, может быть значительно расширен для многих других типов уравнений. Идея состоит в том, что оператор u _xx с нулевыми граничными условиями можно представить через свои собственные функции . Это естественным образом приводит к одной из основных идей спектральной теории линейных самосопряженных операторов .

Рассмотрим линейный оператор ∆ u = u _xx . Бесконечная последовательность функций

${\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$

при n ≥ 1 являются собственными функциями оператора ∆. Действительно,

${\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.}$

Более того, любая собственная функция f оператора ∆ с граничными условиями f (0) = f ( L ) = 0 имеет вид _en для некоторого n ≥ 1. Функции en _для n ≥ 1 образуют ортонормированную последовательность относительно a некоторый скалярный продукт в пространстве вещественнозначных функций на [0, L ]. Это означает

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}}$

Наконец, последовательность { e _n } _{n ∈ N} затягивает плотное линейное подпространство в L ² ((0, L )). Это показывает, что мы фактически диагонализовали оператор ∆.

Теплопроводность в неоднородных анизотропных средах

В целом изучение теплопроводности базируется на нескольких принципах. Тепловой поток — это форма потока энергии , и поэтому имеет смысл говорить о временной скорости потока тепла в определенную область пространства.

• Скорость потока тепла в область V определяется зависящей от времени величиной q _t ( V ). Предположим, что q имеет плотность Q , так что
  $${\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad }$$
• Тепловой поток представляет собой зависящую от времени вектор-функцию H ( x ), характеризуемую следующим образом: скорость потока тепла во времени, проходящего через бесконечно малый элемент поверхности с площадью dS и единичным вектором нормали n , равна
  $${\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS.}$$
  Таким образом, скорость теплового потока в V также определяется поверхностным интегралом
  $${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$$
  где n ( x ) — вектор нормали, направленный наружу в точке x .
• Закон Фурье гласит, что поток тепловой энергии имеет следующую линейную зависимость от градиента температуры:
  $${\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)}$$
  где A ( x ) — действительная матрица размером 3×3 , симметричная и положительно определенная .
• По теореме о расходимости предыдущий поверхностный интеграл для теплового потока в V можно преобразовать в объемный интеграл
  $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}}$$
• Скорость изменения температуры в точке x пропорциональна теплу, поступающему в бесконечно малый элемент объема, где константа пропорциональности зависит от константы κ.
  $${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)}$$

Объединение этих уравнений дает общее уравнение теплового потока:

${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}}$

Замечания .

• Коэффициент κ ( x ) является обратной величиной удельной теплоемкости вещества в точке x × плотность вещества в точке x : . ${\displaystyle \kappa =1/(\rho c_{p})}$
• В случае изотропной среды матрица A является скалярной матрицей, равной теплопроводности k .
• В анизотропном случае, когда матрица коэффициентов A не является скалярной и/или если она зависит от x , то явную формулу для решения уравнения теплопроводности редко можно записать, хотя обычно можно рассмотреть связанную с ней абстрактную задачу Коши. и показать, что это корректная задача , и/или продемонстрировать некоторые качественные свойства (такие как сохранение положительных начальных данных, бесконечная скорость распространения, сходимость к равновесию, свойства сглаживания). Обычно это делается с помощью теории однопараметрических полугрупп : например, если A — симметричная матрица, то эллиптический оператор, определяемый формулой
  $${\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}$$
  является самосопряженным и диссипативным, поэтому по спектральной теореме порождает однопараметрическую полугруппу .

Фундаментальные решения

Фундаментальное решение , также называемое тепловым ядром , представляет собой решение уравнения теплопроводности, соответствующее начальному состоянию начального точечного источника тепла в известном положении. Их можно использовать для поиска общего решения уравнения теплопроводности в определенных областях; см., например, (Evans 2010) вводное описание.

В одной переменной функция Грина является решением задачи начального значения (по принципу Дюамеля , эквивалентному определению функции Грина как функции с дельта-функцией в качестве решения первого уравнения)

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=\delta (x)&\end{cases}}}$

где – дельта-функция Дирака . Решением этой проблемы является фундаментальное решение ( тепловое ядро ) ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right).}$

Можно получить общее решение уравнения теплопроводности с одной переменной с начальным условием u ( x , 0) = g ( x ) для −∞ < x < ∞ и 0 < t < ∞, применив свертку :

${\displaystyle u(x,t)=\int \Phi (x-y,t)g(y)dy.}$

В нескольких пространственных переменных фундаментальное решение решает аналогичную задачу

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=\delta (\mathbf {x} )\end{cases}}}$

Фундаментальное решение с n -переменной представляет собой произведение фундаментальных решений по каждой переменной; то есть,

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi (x_{1},t)\Phi (x_{2},t)\cdots \Phi (x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi kt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4kt}}\right).}$

Общее решение уравнения теплопроводности на R ⁿ затем получается с помощью свертки, так что для решения задачи начального значения с u ( x , 0) = g ( x ) нужно иметь

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (\mathbf {x} -\mathbf {y} ,t)g(\mathbf {y} )d\mathbf {y} .}$

Общая задача в области Ω в Rn состоит в ^{следующем :}

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \Omega \times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=g(\mathbf {x} )&\mathbf {x} \in \Omega \end{cases}}}$

с граничными данными Дирихле или Неймана . Функция Грина всегда существует, но если область Ω не может быть легко разложена на задачи с одной переменной (см. ниже), ее невозможно записать в явном виде. Другие методы получения функций Грина включают метод изображений , разделение переменных и преобразования Лапласа (Cole, 2011).

Некоторые решения функций Грина в 1D

Здесь записано множество одномерных решений элементарных функций Грина; многие другие доступны в других местах. ^[7] В некоторых из них пространственная область равна (−∞,∞). В других случаях это полубесконечный интервал (0,∞) с граничными условиями Неймана или Дирихле . Еще один вариант состоит в том, что некоторые из них решают неоднородное уравнение

${\displaystyle u_{t}=ku_{xx}+f.}$

где f — некоторая заданная функция от x и t .

Уравнение однородной теплопроводности

Задача начального значения на (−∞,∞)

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{Initial condition}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy}$

Фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Красный: ход времени . Синий: ход времени для двух выбранных точек x ₀ = 0,2 и x ₀ = 1. Обратите внимание на различное время нарастания/задержки и амплитуды. Интерактивная версия. ${\displaystyle \Phi (x,t)}$ ${\displaystyle \Phi (x_{0},t)}$

Комментарий . Это решение представляет собой свертку по переменной x фундаментального решения.

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),}$

и функция g ( x ). ( Номер функции Грина фундаментального решения равен X00.)

Следовательно, согласно общим свойствам свертки относительно дифференцирования, u = g ∗ Φ является решением того же уравнения теплопроводности, при этом

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.}$

Более того,

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,}$

так что, согласно общим фактам приближения к тождеству , Φ(⋅, t ) ∗ g → g при t → 0 в различных смыслах, в соответствии с конкретным g . Например, если g предполагается ограниченным и непрерывным на R , то Φ(⋅, t )∗ g сходится равномерно к g при t → 0, а это означает, что u ( x , t ) непрерывна на R × [0, ∞) с u ( Икс , 0) знак равно г ( Икс ).

Начальная задача на (0,∞) с однородными граничными условиями Дирихле

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

Комментарий. Это решение получается из предыдущей формулы, примененной к данным g ( x ), соответствующим образом расширенным до R , чтобы быть нечетной функцией , то есть позволяя g (− x ) := − g ( x ) для всех x . Соответственно, решение начальной задачи на (−∞,∞) является нечетной функцией по переменной x для всех значений t и, в частности, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихле u (0, t ) = 0 Число функции Грина этого решения равно X10.

Начальная задача на (0,∞) с однородными граничными условиями Неймана

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

Комментарий. Это решение получается из первой формулы решения, примененной к данным g ( x ), соответствующим образом расширенной до R , чтобы быть четной функцией , то есть позволяя g (− x ) := g ( x ) для всех x . Соответственно, решение начальной задачи на R является четной функцией по переменной x для всех значений t > 0 и, в частности, будучи гладким, удовлетворяет однородным граничным условиям Неймана u _x (0, t ) = 0. Номер функции Грина этого решения равен X20.

Задача на (0,∞) с однородными начальными условиями и неоднородными граничными условиями Дирихле

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0}$

Комментарий . Это решение представляет собой свертку по переменной t из

${\displaystyle \psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

и функция h ( t ). Поскольку Φ( x , t ) является фундаментальным решением

${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2},}$

функция ψ ( x, t ) также является решением того же уравнения теплопроводности, как и u  := ψ ∗ h , благодаря общим свойствам свертки относительно дифференцирования. Более того,

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,}$

так что, согласно общим фактам приближения к тождеству , ψ ( x , ⋅) ∗ h → h при x → 0 в различных смыслах, в соответствии с конкретным h . Например, если h предполагается непрерывным на R с носителем в [0, ∞), то ψ ( x , ⋅) ∗ h сходится равномерно на компактах к h при x → 0, а это означает, что u ( x, t ) непрерывен на [ 0, ∞) × [0, ∞) с ты (0, т ) = час ( т ).

Изображено численное решение неоднородного уравнения теплопроводности. Уравнение было решено с нулевыми начальными и граничными условиями и исходным членом, представляющим горелку плиты.

Неоднородное уравнение теплопроводности

Задача о (-∞,∞) однородных начальных условиях

Комментарий . Это решение представляет собой свертку в R ² , то есть по отношению к обеим переменным x и t , фундаментального решения.

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

и функция f ( x, t ), обе означают, что они определены на всем R ² и тождественно равны 0 для всех t → 0. Проверяется, что

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *f)=f,}$

которое, выраженное на языке распределений, становится

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi =\delta ,}$

где распределение δ — это дельта-функция Дирака , то есть оценка равна 0.

Задача на (0,∞) с однородными граничными и начальными условиями Дирихле

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

Комментарий . Это решение получается из предыдущей формулы применительно к данным f ( x , t ), расширенным подходящим образом до R × [0,∞), так, чтобы оно было нечетной функцией переменной x , то есть позволяя f (− x , т ) знак равно - ж ( Икс , т ) для всех Икс и т . Соответственно, решение неоднородной задачи на (−∞,∞) является нечетной функцией по переменной x для всех значений t и, в частности, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихле u (0, t ) = 0.

Задача на (0,∞) с однородными граничными условиями Неймана и начальными условиями

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

Комментарий . Это решение получается из первой формулы, примененной к данным f ( x , t ), соответствующим образом расширенной до R × [0, ∞), чтобы быть четной функцией переменной x , то есть позволяя f (− x , т ) знак равно ж ( Икс , т ) для всех Икс и т . Соответственно, решение неоднородной задачи на (−∞,∞) является четной функцией по переменной x для всех значений t и, в частности, будучи гладкой функцией, удовлетворяет однородным граничным условиям Неймана u _x ( 0, т ) = 0.

Примеры

Поскольку уравнение теплопроводности является линейным, решения других комбинаций граничных условий, неоднородного члена и начальных условий можно найти, взяв подходящую линейную комбинацию вышеупомянутых решений функции Грина.

Например, чтобы решить

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\end{cases}}}$

пусть u = w + v , где w и v решают задачи

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&{\text{IC}}\end{cases}}}$

Аналогично решить

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

пусть u = w + v + r , где w , v и r решают задачи

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&{\text{IC}}\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

Свойство среднего значения для уравнения теплопроводности

Решения уравнений теплопроводности

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

удовлетворяют свойству среднего значения, аналогичному свойствам среднего значения гармонических функций , решений

${\displaystyle \Delta u=0,}$

хотя и немного сложнее. Именно, если ты решишь

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

и

${\displaystyle (x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)}$

затем

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,}$

где E _λ — «тепловой шар», то есть множество суперуровней фундаментального решения уравнения теплопроводности:

${\displaystyle E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \},}$

${\displaystyle \Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).}$

Заметить, что

${\displaystyle \mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)}$

при λ → ∞, поэтому приведенная выше формула справедлива для любого ( x, t ) в (открытом) множестве dom( u ) при достаточно большом λ. ^[8] Это можно показать рассуждением, аналогичным аналогичному для гармонических функций .

Стационарное уравнение теплопроводности

Стационарное уравнение теплопроводности по определению не зависит от времени. Другими словами, предполагается, что существуют такие условия, что:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

Это условие зависит от постоянной времени и количества времени, прошедшего с момента наложения граничных условий. Таким образом, это условие выполняется в ситуациях, когда временная константа равновесия достаточно быстра , чтобы более сложное, зависящее от времени уравнение теплопроводности можно было аппроксимировать стационарным случаем. Эквивалентно, установившееся состояние существует для всех случаев, когда прошло достаточно времени , чтобы тепловое поле u больше не изменялось во времени.

В стационарном случае пространственный температурный градиент может существовать (а может и не существовать), но если он и существует, то он не меняется во времени. Таким образом, это уравнение описывает конечный результат всех тепловых задач, в которых включен источник (например, запускается двигатель в автомобиле) и прошло достаточно времени, чтобы все постоянные температурные градиенты утвердились в пространстве, после чего эти пространственные градиенты больше не меняются во времени (как и в случае с автомобилем, двигатель которого работает достаточно долго). Другое (тривиальное) решение состоит в том, чтобы исчезли все пространственные градиенты температуры, и в этом случае температура также станет однородной в пространстве.

Уравнение намного проще и может помочь лучше понять физику материалов, не сосредотачиваясь на динамике процесса переноса тепла. Он широко используется для решения простых инженерных задач, предполагая, что существует равновесие температурных полей и теплопереноса с течением времени.

Стационарное состояние:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

Уравнением стационарной теплопроводности для объема, содержащего источник тепла (неоднородный случай), является уравнение Пуассона :

${\displaystyle -k\nabla ^{2}u=q}$

где u — температура , k — теплопроводность , q — скорость выделения тепла в единице объема.

В электростатике это эквивалентно случаю, когда рассматриваемое пространство содержит электрический заряд.

Уравнение стационарной теплопроводности без источника тепла внутри объема (однородный случай) — это уравнение электростатики для объема свободного пространства, не содержащего заряда. Оно описывается уравнением Лапласа :

${\displaystyle \nabla ^{2}u=0}$

Приложения

Диффузия частиц

Диффузию частиц можно смоделировать с помощью уравнения, включающего либо:

• объемная концентрация частиц, обозначаемая c , в случае коллективной диффузии большого количества частиц, или
• функция плотности вероятности , связанная с положением отдельной частицы, обозначается P .

В любом случае используется уравнение теплопроводности

${\displaystyle c_{t}=D\Delta c,}$

или

${\displaystyle P_{t}=D\Delta P.}$

И c , и P являются функциями положения и времени. D — коэффициент диффузии, который контролирует скорость диффузионного процесса и обычно выражается в квадратных метрах в секунду. Если коэффициент диффузии D не является постоянным, а зависит от концентрации c (или P во втором случае), то получается нелинейное уравнение диффузии .

Броуновское движение

Пусть случайный процесс является решением стохастического дифференциального уравнения ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {d} X_{t}={\sqrt {2k}}\;\mathrm {d} B_{t}\\X_{0}=0\end{cases}}}$

где – винеровский процесс (стандартное броуновское движение). Функция плотности вероятности в любой момент времени определяется выражением ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

что является решением проблемы начального значения

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{cases}}}$

где – дельта-функция Дирака . ${\displaystyle \delta }$

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы

При простом разделении уравнение Шредингера для одной частицы массы m в отсутствие какого-либо приложенного силового поля можно переписать следующим образом:

${\displaystyle \psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi }$,

где i — мнимая единица , ħ — приведенная постоянная Планка , а ψ — волновая функция частицы.

Это уравнение формально аналогично уравнению диффузии частиц, которое получается в результате следующего преобразования:

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}}$

Применение этого преобразования к выражениям функций Грина, определенных в случае диффузии частиц, дает функции Грина уравнения Шредингера , которые, в свою очередь, можно использовать для получения волновой функции в любой момент времени через интеграл от волновой функции при t = 0:

${\displaystyle \psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^{0},t=0\right)G\left(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},}$

с

${\displaystyle G(\mathbf {R} ,t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.}$

Замечание: эта аналогия между квантовой механикой и диффузией является чисто формальной. Физически эволюция волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, ^может иметь иное происхождение, чем ^{диффузия .}

Температуропроводность в полимерах

Прямым практическим применением уравнения теплопроводности в сочетании с теорией Фурье в сферических координатах является предсказание профилей теплопередачи и измерение температуропроводности в полимерах ( Ансворт и Дуарте ). Этот двойной теоретико-экспериментальный метод применим к резине, различным другим полимерным материалам, представляющим практический интерес, и микрожидкостям. Эти авторы получили выражение для температуры в центре сферы T _C

${\displaystyle {\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)}$

где T ₀ — начальная температура сферы, а TS _— температура на поверхности сферы радиуса L. Это уравнение также нашло применение в переносе энергии белков и тепловом моделировании в биофизике.

Дальнейшие применения

Уравнение теплопроводности возникает при моделировании ряда явлений и часто используется в финансовой математике при моделировании опционов . Дифференциальное уравнение модели ценообразования опционов Блэка -Шоулза можно преобразовать в уравнение теплопроводности, позволяющее относительно легко найти решения из знакомой области математики. Многие из расширений простых моделей опционов не имеют решений в замкнутой форме, и поэтому их необходимо решать численно, чтобы получить смоделированную цену опциона. Уравнение, описывающее диффузию под давлением в пористой среде, по форме идентично уравнению теплопроводности. Задачи диффузии, связанные с граничными условиями Дирихле , Неймана и Робина , имеют аналитические решения замкнутой формы (Thambynayagam 2011). Уравнение теплопроводности также широко используется в анализе изображений (Перона и Малик, 1990) и в машинном обучении как движущая теория, лежащая в основе методов Лапласа в масштабном пространстве или на графе . Уравнение теплопроводности можно эффективно решить численно, используя неявный метод Кранка – Николсона (Crank & Nicolson 1947). Этот метод можно распространить на многие модели, не имеющие решения в замкнутой форме, см., например (Wilmott, Howison & Dewynne 1995).

Абстрактная форма уравнения теплопроводности на многообразиях обеспечивает основной подход к теореме об индексе Атьи-Зингера и привела к значительной дальнейшей работе над уравнениями теплопроводности в римановой геометрии .

Смотрите также

• Калорический полином
• Поток, сокращающий кривую
• Уравнение диффузии
• Релятивистская теплопроводность
• Уравнение Шрёдингера
• Преобразование Вейерштрасса

Примечания

1. Берлин, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель. Тепловые ядра и операторы Дирака. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 298. Springer-Verlag, Берлин, 1992. viii+369 стр. ISBN  3-540-53340-0
2. Стоянович, Срджан (2003), «3.3.1.3 Уникальность теплового PDE с экспоненциальным ростом на бесконечности», Вычислительная финансовая математика с использованием MATHEMATICA®: Оптимальная торговля акциями и опционами, Springer, стр. 112–114, ISBN 9780817641979
3. Джон, Фриц (20 ноября 1991). Уравнения в частных производных. Springer Science & Business Media. п. 222. ИСБН 978-0-387-90609-6.
4. The Mathworld: Уравнение пористой среды и другие связанные модели имеют решения с конечной скоростью распространения волн.
5. Хуан Луис Васкес (28 декабря 2006 г.), Уравнение пористой среды: математическая теория , Oxford University Press, США, ISBN 978-0-19-856903-9
6. Обратите внимание, что единицы измерения u должны выбираться способом, совместимым с единицами измерения q . Таким образом, вместо термодинамической температуры ( Кельвин – К) единицами измерения u должны быть Дж/л.
7. Библиотека функций Грина содержит множество фундаментальных решений уравнения теплопроводности.
8. наоборот, любая функция u , удовлетворяющая указанному выше свойству среднего значения в открытой области R ⁿ × R , является решением уравнения теплопроводности

Рекомендации

• Кэннон, Джон Розье (1984), Одномерное уравнение теплопроводности , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 23 года, Ридинг, Массачусетс: Издательская компания Addison-Wesley, Advanced Book Program, ISBN 0-201-13522-1, МР  0747979, Збл  0567.35001
• Кранк, Дж.; Николсон, П. (1947), «Практический метод численной оценки решений дифференциальных уравнений в частных производных типа теплопроводности», Труды Кембриджского философского общества , 43 (1): 50–67, Бибкод : 1947PCPS.. .43...50C, doi :10.1017/S0305004100023197, S2CID  16676040
• Эванс, Лоуренс К. (2010), Уравнения в частных производных, Аспирантура по математике, том. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-4974-3
• Перона, П; Малик, Дж. (1990), «Масштаб-пространство и обнаружение границ с использованием анизотропной диффузии» (PDF) , Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту , 12 (7): 629–639, doi : 10.1109/34.56205, S2CID  14502908
• Тамбинаягам, РКМ (2011), Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров , McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
• Уилмотт, Пол; Хауисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995), Математика производных финансовых инструментов. Знакомство со студентом , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-49699-3

дальнейшее чтение

• Карслоу, HS ; Джагер, Дж. К. (1988), Теплопроводность в твердых телах , Oxford Science Publications (2-е изд.), Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN. 978-0-19-853368-9
• Коул, Кевин Д.; Бек, Джеймс В.; Хаджи-Шейх, А.; Литкуи, Бахан (2011), Теплопроводность с использованием функций Грина , Серия вычислительных и физических процессов в механике и теплотехнике (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1-43-981354-6
• Эйнштейн, Альберт (1905), «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen», Annalen der Physik , 322 (8): 549–560, Бибкод : 1905AnP...322..549E, дои : 10.1002/andp.19053220806
• Фридман, Авнер (1964), Уравнения в частных производных параболического типа , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл
• Ансворт, Дж.; Дуарте, Ф.Дж. (1979), "Диффузия тепла в твердой сфере и теория Фурье", Am. Дж. Физ. , 47 (11): 891–893, Бибкод : 1979AmJPh..47..981U, doi : 10.1119/1.11601
• Виддер, Д.В. (1975), Уравнение теплопроводности , Чистая и прикладная математика, вып. 67, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press [Харкорт Брейс Йованович, Издательство]

Внешние ссылки

• Вывод уравнения теплопроводности
• Линейные уравнения теплопроводности: частные решения и краевые задачи - от EqWorld
• «Уравнение теплопроводности». Бесконечный сериал PBS . 17 ноября 2017 г. Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. – на YouTube .