Число функции Грина

В математической теплопроводности число функции Грина используется для однозначной классификации определенных фундаментальных решений уравнения теплопроводности , чтобы облегчить идентификацию, хранение и поиск существующих решений.

Фон

Числа уже давно используются для определения типов граничных условий. ^{[1] [2] [3]} Функциональная система счисления Грина была предложена Беком и Литкуи в 1988 году ^[4] и с тех пор получила все большее распространение. ^{[5] [6] [7] [8]} Система счисления использовалась для каталогизации большой коллекции функций Грина и связанных с ними решений. ^{[9] [10] [11]}

Хотя приведенные ниже примеры относятся к уравнению теплопроводности , эта система счисления применима к любым явлениям, описываемым дифференциальными уравнениями , таким как диффузия , акустика , электромагнетизм , гидродинамика и т. д.

Обозначения

Номер функции Грина определяет систему координат и тип граничных условий , которым удовлетворяет функция Грина . Номер функции Грина состоит из двух частей: буквенного обозначения, за которым следует числовое обозначение. Буквы обозначают систему координат, а цифры обозначают тип удовлетворяемых граничных условий.

Некоторые обозначения системы счисления функций Гринса приведены ниже. Обозначения системы координат включают: X, Y и Z для декартовых координат; R, Z, φ для цилиндрических координат; и RS, φ, θ для сферических координат. Обозначения некоторых граничных условий приведены в таблице 1. Нулевое граничное условие важно для выявления наличия координатной границы там, где физическая граница не существует, например, далеко в полубесконечном теле или в центре цилиндрического или сферическое тело.

Примеры в декартовых координатах

Х11

Например, число X11 обозначает функцию Грина, которая удовлетворяет уравнению теплопроводности в области ( 0 < x < L ) для граничных условий типа 1 ( Дирихле ) на обеих границах x = 0 и x = L. Здесь X обозначает декартову координату, а 11 обозначает граничное условие типа 1 по обе стороны тела. Краевая задача для функции Грина X11 имеет вид

Здесь – температуропроводность (м ² /с), – дельта-функция Дирака . Этот GF разработан в другом месте. ^{[12] [13]} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \delta }$

х20

В качестве другого декартова примера, число X20 обозначает функцию Грина в полубесконечном теле ( ) с границей Неймана (тип 2) в точке x = 0 . Здесь X обозначает декартову координату, 2 обозначает граничное условие 2-го типа при x = 0 , 0 обозначает граничное условие нулевого типа (ограниченность) при . Краевая задача для функции Грина X20 имеет вид ${\displaystyle 0<x<\infty }$ ${\displaystyle x=\infty }$

Этот GF опубликован в другом месте. ^{[14] [15]}

X10Y20

В качестве двумерного примера число X10Y20 обозначает функцию Грина в четвертьбесконечном теле ( , ) с границей Дирихле (тип 1) в точке x = 0 и границей Неймана (тип 2) в точке y = 0 . Краевая задача для функции Грина X10Y20 имеет вид ${\displaystyle 0<x<\infty }$ ${\displaystyle 0<y<\infty }$

Доступны приложения связанных полупространств и четвертьпространств. ^[16]

Примеры в цилиндрических координатах

Р03

Например, в цилиндрической системе координат число R03 обозначает функцию Грина, которая удовлетворяет уравнению теплопроводности в твердом цилиндре ( 0 < r < a ) с граничным условием типа 3 (Робина) при r = a . Здесь буква R обозначает цилиндрическую систему координат, цифра 0 обозначает нулевое граничное условие (ограниченность) в центре цилиндра ( r = 0 ), а цифра 3 обозначает граничное условие типа 3 ( Робин ) при r = a . Краевая задача для функции Грина R03 имеет вид

Здесь – теплопроводность (Вт/(м К)) и – коэффициент теплопередачи (Вт/(м ² К)). См. Carslaw & Jaeger (1959, стр. 369), Cole et al. (2011, стр. 543) для этого ГФ. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$

10 рэндов

В качестве другого примера, число R10 обозначает функцию Грина в большом теле, содержащем цилиндрическую пустоту (a < r < ) с граничным условием типа 1 (Дирихле) при r = a . Опять буква R обозначает цилиндрическую систему координат, цифра 1 обозначает границу типа 1 при r = a , а цифра 0 обозначает границу нулевого типа (ограниченность) при больших значениях r. Краевая задача для функции Грина R10 имеет вид ${\displaystyle \infty }$

Этот GF доступен в другом месте. ^{[17] [18]}

R01φ00

В качестве двумерного примера число R01φ00 обозначает функцию Грина в сплошном цилиндре с угловой зависимостью с граничным условием типа 1 (Дирихле) при r = a . Здесь буквой φ обозначена угловая (азимутальная) координата, а числами 00 обозначены границы нулевого типа для угла; здесь никакая физическая граница не принимает форму периодического граничного условия. Краевая задача для функции Грина R01φ00 имеет вид

Доступны как переходная ^[19] , так и устойчивая форма ^{[20] этого ГФ.}

Пример в сферических координатах

RS02

Например, в сферической системе координат число RS02 обозначает функцию Грина для твердой сферы ( 0 < r < b ) с граничным условием типа 2 ( Неймана ) при r = b . Здесь буквами RS обозначена радиально-сферическая система координат, цифрой 0 обозначено нулевое граничное условие (ограниченность) при r = 0 , а цифрой 2 обозначена граница типа 2 при r = b . Краевая задача для функции Грина RS02 имеет вид

Этот GF доступен в другом месте. ^[21]

Смотрите также

• Фундаментальное решение
• Граничное условие Дирихле
• Граничные условия Неймана
• Граничные условия Робина
• Уравнение теплопроводности

Рекомендации

1. Лыков 1968 г.
2. Озишик, М. Неджати (1980). Теплопроводность (1-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 047105481X.
3. Новак, А.; Бялецкий, Р.; Курпиш, К. (февраль 1987 г.). «Оценка собственных значений краевых задач теплопроводности в прямоугольных и цилиндрических системах координат». Международный журнал численных методов в технике . 24 (2): 419–445. дои : 10.1002/nme.1620240210.
4. Бек, Джеймс В.; Литкуи, Бахман (март 1988 г.). «Система нумерации теплопроводности для основных геометрий». Международный журнал тепломассообмена . 31 (3): 505–515. дои : 10.1016/0017-9310(88)90032-4.
5. Аль-Нимр, Массачусетс; Алкам, МК (19 сентября 1997 г.). «Обобщенное тепловое граничное условие». Тепломассоперенос . 33 (1–2): 157–161. дои : 10.1007/s002310050173. S2CID  119549322.
6. де Монте, Филиппо (сентябрь 2006 г.). «Многослойная переходная теплопроводность с использованием шкалы времени перехода». Международный журнал тепловых наук . 45 (9): 882–892. doi :10.1016/j.ijthermalsci.2005.11.006.
7. Лефевр, Г. (декабрь 2010 г.). «Общее модальное численное моделирование нестационарной теплопроводности в одномерной однородной плите». Энергия и здания . 42 (12): 2309–2322. doi :10.1016/j.enbuild.2010.07.024.
8. Топтан, А.; Портер, Северо-Запад; Хейлз, Джей Ди (2020). «Построение матрицы проверки кода для теплопроводности с применением кода конечных элементов». Журнал проверки, валидации и количественной оценки неопределенности . 5 (4): 041002. дои : 10.1115/1.4049037.
9. Коул и др. 2011 год
10. "Библиотека функций Грина" . Проверено 19 ноября 2020 г.
11. "Набор инструментов точной аналитической проводимости" . Проверено 4 марта 2021 г.
12. Лыков 1968, с. 388
13. Коул и др. 2011 год
14. Лыков 1968, с. 387
15. Карслоу и Джагер 1959, с. 276
16. Бек, СП; Райт, Н.; Хаджи-Шейх, А.; Коул, К.Д.; Амос. Д. (2008). «Проводимость в прямоугольных пластинах с указанными граничными температурами». Международный журнал тепломассообмена . 52 (19–20): 4676–4690. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2008.02.020. S2CID  12677235.
17. Карслоу и Джагер 1959, с. 378
18. Тамбынаягам, РКМ (2011). Справочник по диффузии . МакГроу-Хилл. п. 432. ИСБН 9780071751841.
19. Коул и др. 2011, с. 554
20. Мельников, Ю.А. (1999). Функции и матрицы влияния . Нью-Йорк: Марсель Деккер. п. 223. ИСБН 9780824719418.
21. Коул и др. 2011, с. 309

• Карслоу, HS; Джагер, JC (1959). Проводимость тепла в твердых телах . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198533689.
• Коул, Кевин Д.; Бек, Джеймс; Хаджи-Шейх, А.; Литкуи, Бахман (2011). Теплопроводность с использованием функций Гринса (2-е изд.). дои : 10.1201/9781439895214. ISBN 9781439813546.
• Лыков, А. В. (1968). Аналитическая теория диффузии тепла . Академическая пресса. п. 388. ИСБН 0124597564.