граничное условие Дирихле

Тип ограничения на решения дифференциальных уравнений

В математике граничное условие Дирихле накладывается на обыкновенное или частное дифференциальное уравнение таким образом, что значения, которые решение принимает вдоль границы области, фиксированы. Вопрос о нахождении решений таких уравнений известен как задача Дирихле . В науке и технике граничное условие Дирихле может также называться фиксированным граничным условием или граничным условием первого типа . Оно названо в честь Петера Густава Лежена Дирихле (1805–1859). ^[1]

В конечно-элементном анализе существенное граничное условие или граничное условие Дирихле определяется с помощью весово-интегральной формы дифференциального уравнения. ^[2] Зависимая неизвестная u в той же форме, что и весовая функция w, появляющаяся в граничном выражении, называется первичной переменной , а ее спецификация составляет существенное граничное условие или граничное условие Дирихле.

Примеры

ОДА

Например, для обыкновенного дифференциального уравнения граничные условия Дирихле на интервале [ a , b ] принимают вид , где α и β — заданные числа. $${\displaystyle y''+y=0,}$$ $${\displaystyle y(a)=\alpha ,\quad y(b)=\beta ,}$$

ПДЭ

Для уравнения в частных производных ^, например, где обозначает оператор Лапласа , граничные условия Дирихле на области Ω ⊂ Rn принимают вид , где f — известная функция, определенная на границе ∂Ω . $${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ $${\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega ,}$$

Приложения

Например, следующие условия будут считаться граничными условиями Дирихле:

• В машиностроении и гражданском строительстве ( теория балок ), где один конец балки удерживается в фиксированном положении в пространстве.
• При теплопередаче поверхность поддерживается при фиксированной температуре.
• В электростатике узел цепи поддерживается при фиксированном напряжении.
• В гидродинамике условие прилипания для вязких жидкостей гласит, что на твердой границе жидкость будет иметь нулевую скорость относительно границы.

Другие граничные условия

Возможны многие другие граничные условия, включая граничное условие Коши и смешанное граничное условие . Последнее является комбинацией условий Дирихле и Неймана .

Смотрите также

• граничное условие Неймана
• граничное условие Робина
• Граничные условия в динамике жидкости

Ссылки

1. Ченг, А.; Ченг, Д.Т. (2005). «Наследие и ранняя история метода граничных элементов». Инженерный анализ с граничными элементами . 29 (3): 268–302. doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
2. Reddy, JN (2009). "Дифференциальные уравнения второго порядка в одном измерении: модели конечных элементов". Введение в метод конечных элементов (3-е изд.). Бостон: McGraw-Hill. стр. 110. ISBN 978-0-07-126761-8.