Фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Красный: ход времени . Синий: ход времени для двух выбранных точек. Интерактивная версия.
Наиболее известным тепловым ядром является тепловое ядро d -мерного евклидова пространства R d , которое имеет вид изменяющейся во времени функции Гаусса ,
В более общей области Ω в R d такая явная формула вообще невозможна. Следующие простейшие случаи диска или квадрата включают соответственно функции Бесселя и тэта-функции Якоби . Тем не менее, тепловое ядро все еще существует и является гладким при t > 0 в произвольных областях и даже на любом римановом многообразии с краем при условии, что граница достаточно регулярна. Точнее, в этих более общих областях тепловое ядро является решением начально-краевой задачи
Нетрудно получить формальное выражение для теплового ядра в произвольной области. Рассмотрим задачу Дирихле в связной области (или многообразии с краем) U . Пусть λ n — собственные значения задачи Дирихле лапласиана
Формальное дифференцирование ряда по знаку суммы показывает, что это должно удовлетворять уравнению теплопроводности. Однако сходимость и регулярность рядов весьма деликатны.
Тепловое ядро также иногда отождествляется с соответствующим интегральным преобразованием , определяемым для гладкого φ с компактным носителем формулой
Есть несколько геометрических результатов о тепловых ядрах на многообразиях; скажем, кратковременная асимптотика, долговременная асимптотика и верхние/нижние границы гауссовского типа.
Берлина, Николь; Гетцлер, Э.; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
Чавел, Исаак (1984), Собственные значения в римановой геометрии , Чистая и прикладная математика, том. 115, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-170640-1, МР 0768584.