Дзета-функция Минакшисундарама – Плейеля

Дзета-функция Минакшисундарама –Плейеля — это дзета-функция, кодирующая собственные значения лапласиана компактного риманова многообразия . Она была введена Суббарамьяхом Минакшисундарамом и Оке Плейелем  (1949). Случай компактной области плоскости был ранее рассмотрен Торстеном Карлеманом (1935).

Определение

Для компактного риманова многообразия M размерности N с собственными значениями оператора Лапласа–Бельтрами дзета-функция для достаточно больших задается формулой ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)}$

${\displaystyle Z(s)={\mbox{Tr}}(\Delta ^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\vert \lambda _{n}\vert ^{-s}.}$

(где если собственное значение равно нулю, оно опускается в сумме). Многообразие может иметь границу, в этом случае необходимо задать подходящие граничные условия, такие как граничные условия Дирихле или Неймана .

В более общем смысле можно определить

${\displaystyle Z(P,Q,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{n}(P)f_{n}(Q)}{\lambda _{n}^{s}}}}$

для P и Q на многообразии, где являются нормированными собственными функциями. Это может быть аналитически продолжено до мероморфной функции s для всех комплексных s и является голоморфным для . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle P\neq Q}$

Единственными возможными полюсами являются простые полюса в точках для нечетного N и в точках для четного N. Если N нечетное, то обращается в нуль при . Если N четное, вычеты в полюсах можно явно найти в терминах метрики, и по теореме Винера–Икехары мы находим в качестве следствия соотношение ${\displaystyle s=N/2,N/2-1,N/2-2,\dots ,1/2,-1/2,-3/2,\dots }$ ${\displaystyle s=N/2,N/2-1,N/2-2,\dots ,2,1}$ ${\displaystyle Z(P,P,s)}$ ${\displaystyle s=0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \sum _{\lambda _{n}<T}f_{n}(P)^{2}\sim {\frac {T^{N/2}}{(2{\sqrt {\pi }})^{N}\Gamma (N/2+1)}}}$,

где символ указывает, что частное обеих сторон стремится к 1, когда T стремится к . ^[1] ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle +\infty }$

Функцию можно восстановить, проинтегрировав по всему многообразию M : ${\displaystyle Z(s)}$ ${\displaystyle Z(P,P,s)}$

${\displaystyle \displaystyle Z(s)=\int _{M}Z(P,P,s)dP}$.

Тепловое ядро

Аналитическое продолжение дзета-функции можно найти, выразив ее через тепловое ядро

${\displaystyle K(P,Q,t)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(P)f_{n}(Q)e^{-\lambda _{n}t}}$

как преобразование Меллина

${\displaystyle Z(P,Q,s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }K(P,Q,t)t^{s-1}dt}$

В частности, у нас есть

${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }K(t)t^{s-1}dt}$

где

${\displaystyle K(t)=\int _{M}K(P,P,t)dP=\sum _{i=1}^{\infty }e^{-\lambda _{i}t}}$

это след теплового ядра.

Полюса дзета-функции можно найти из асимптотического поведения теплового ядра при t →0.

Пример

Если многообразие представляет собой окружность размерности N = 1, то собственные значения лапласиана равны n ² для целых чисел n . Дзета-функция

${\displaystyle Z(s)=\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{(n^{2})^{s}}}=2\zeta (2s)}$

где ζ — дзета-функция Римана .

Приложения

Применив метод теплового ядра к асимптотическому разложению для риманова многообразия (M,g), мы получаем две следующие теоремы. Обе являются решениями обратной задачи, в которой мы получаем геометрические свойства или величины из спектров операторов.

1) Асимптотическое разложение Минакшисундарама–Плейеля

Пусть (M,g) — n -мерное риманово многообразие. Тогда при t →0+ след теплового ядра имеет асимптотическое разложение вида:

${\displaystyle K(t)\sim (4\pi t)^{-n/2}\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}t^{m}.}$

При dim=2 это означает, что интеграл скалярной кривизны сообщает нам эйлерову характеристику M по теореме Гаусса–Бонне .

В частности,

${\displaystyle a_{0}=\operatorname {Vol} (M,g),\ \ \ \ a_{1}={\frac {1}{6}}\int _{M}S(x)dV}$

где S(x) — скалярная кривизна, след кривизны Риччи на M.

2) Асимптотическая формула Вейля Пусть M — компактное риманово многообразие с собственными значениями, каждое из которых повторяется с его кратностью. Определим N(λ) как число собственных значений, меньших или равных , и пусть обозначает объем единичного круга в . Тогда ${\displaystyle 0=\lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\cdots ,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle N(\lambda )\sim {\frac {\omega _{n}\operatorname {Vol} (M)\lambda ^{n/2}}{(2\pi )^{n}}},}$

как . Кроме того, как , ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ ${\displaystyle k\to \infty }$

${\displaystyle (\lambda _{k})^{n/2}\sim {\frac {(2\pi )^{n}k}{\omega _{n}\operatorname {Vol} (M)}}.}$

Это также называется законом Вейля , уточненным на основе асимптотического разложения Минакшисундарама–Плейджела.

Ссылки

1. Minakshisundaram, Subbaramiah ; Pleijel, Åke (1949). "Некоторые свойства собственных функций оператора Лапласа на римановых многообразиях". Canadian Journal of Mathematics . 1 : 242–256. doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 . ISSN  0008-414X. MR  0031145. Архивировано из оригинала 20.03.2012 . Получено 12.02.2011 .

• Бергер, Марсель ; Годюшон, Поль; Мазе, Эдмонд (1971), Le spectre d'une variété riemannienne , Конспект лекций по математике, том. 194, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0064643, MR  0282313.
• Карлеман, Торстен (1935), «Асимптотические свойства фундаментальных функций вибрирующих мембран.», 8. Skand. Мат.-конгр. (на французском языке): 34–44, Збл  0012.07001.