Теорема о вычетах

Концепция комплексного анализа

В комплексном анализе теорема о вычетах , иногда называемая теоремой о вычетах Коши , является мощным инструментом для вычисления линейных интегралов аналитических функций по замкнутым кривым; ее часто можно использовать для вычисления действительных интегралов и бесконечных рядов . Она обобщает интегральную теорему Коши и интегральную формулу Коши . Теорему о вычетах не следует путать с частными случаями обобщенной теоремы Стокса ; однако последняя может быть использована в качестве компонента ее доказательства.

Формулировка теоремы Коши о вычетах

Заявление выглядит следующим образом:

Иллюстрация обстановки

Пусть будет односвязным открытым подмножеством комплексной плоскости, содержащим конечный список точек и функцию, голоморфную на Пусть будет замкнутой спрямляемой кривой в и обозначим вычет в каждой точке через , а число оборотов вокруг через , интеграл по окружности вокруг равен умноженному на сумму вычетов, каждый из которых подсчитывается столько раз, сколько оборотов вокруг соответствующей точки: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U_{0},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$

Если — положительно ориентированная простая замкнутая кривая , то это если находится внутри, а если нет, то ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$

с суммой по тем, что внутри ^[1] ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \gamma .}$

Связь теоремы о вычетах с теоремой Стокса задается теоремой о жордановой кривой . Общая плоская кривая γ должна быть сначала сведена к набору простых замкнутых кривых , сумма которых эквивалентна для целей интегрирования; это сводит задачу к нахождению интеграла вдоль жордановой кривой с внутренней частью Требование голоморфности на эквивалентно утверждению, что внешняя производная на Таким образом, если две плоские области и охватывают одно и то же подмножество областей и целиком лежат в , то ${\displaystyle \{\gamma _{i}\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f\,dz}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}}$ ${\displaystyle d(f\,dz)=0}$ ${\displaystyle U_{0}.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{a_{j}\}}$ ${\displaystyle \{a_{k}\},}$ ${\displaystyle V\smallsetminus W}$ ${\displaystyle W\smallsetminus V}$ ${\displaystyle U_{0},}$

$${\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)}$$

хорошо определен и равен нулю. Следовательно, контурный интеграл по равен сумме набора интегралов по путям, каждый из которых охватывает произвольно малую область вокруг одного — вычеты (с точностью до условного множителя при Суммируя по , мы получаем окончательное выражение контурного интеграла через числа витков ${\displaystyle f\,dz}$ ${\displaystyle \gamma _{j}=\partial V}$ ${\displaystyle \gamma _{j},}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \{a_{j}\}.}$ ${\displaystyle \{\gamma _{j}\},}$ ${\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}.}$

Для оценки действительных интегралов теорема о вычетах используется следующим образом: подынтегральное выражение расширяется до комплексной плоскости и вычисляются его вычеты (что обычно легко), а часть действительной оси расширяется до замкнутой кривой путем присоединения полуокружности в верхней или нижней полуплоскости, образуя полуокружность. Интеграл по этой кривой затем может быть вычислен с помощью теоремы о вычетах. Часто полуокружная часть интеграла будет стремиться к нулю по мере увеличения радиуса полуокружности, оставляя только действительную часть интеграла, которая нас изначально интересовала.

Расчет остатков

Предположим, что задан проколотый диск D = { z  : 0 < | z − c | < R } в комплексной плоскости, а f — голоморфная функция , определенная (по крайней мере) на D . Вычет Res( f , c ) функции f в точке c является коэффициентом a ₋₁ функции ( z − c ) ⁻¹ в разложении ряда Лорана функции f вокруг точки c . Существуют различные методы вычисления этого значения, и выбор метода зависит от рассматриваемой функции и характера сингулярности.

Согласно теореме о вычетах имеем:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

где γ описывает окружность вокруг c против часовой стрелки и не проходит через другие сингулярности или не содержит их внутри. Мы можем выбрать путь γ как окружность радиуса ε вокруг c. Поскольку ε может быть сколь угодно малым, его можно сделать содержащим только сингулярность c из-за природы изолированных сингулярностей. Это можно использовать для вычисления в случаях, когда интеграл можно вычислить напрямую, но обычно вычеты используются для упрощения вычисления интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функцию f можно продолжить до голоморфной функции на всем круге , то Res( f ,  c ) = 0. Обратное утверждение, как правило, неверно. ${\displaystyle |y-c|<R}$

Простые столбы

Если c — простой полюс f , то остаток f определяется по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Если этот предел не существует, то f вместо этого имеет существенную особенность в c . Если предел равен 0, то f либо аналитична в c , либо имеет там устранимую особенность. Если предел равен бесконечности, то порядок полюса выше 1.

Возможно, что функция f может быть выражена как частное двух функций , где g и h являются голоморфными функциями в окрестности c , причем h ( c ) = 0 и  h( c ) ≠ 0. В таком случае можно использовать правило Лопиталя для упрощения приведенной выше формулы до: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Предельная формула для полюсов высшего порядка

В более общем случае, если c — полюс порядка n , то вычет f относительно z = c можно найти по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Эта формула может быть очень полезна при определении остатков для полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка вычисления могут стать неуправляемыми, и разложение в ряд обычно проще. Для существенных сингулярностей такой простой формулы не существует, и остатки обычно должны быть взяты непосредственно из разложений в ряд.

Остаток на бесконечности

В общем случае остаток на бесконечности определяется как:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Если выполняется следующее условие:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

тогда остаток на бесконечности можно вычислить с помощью следующей формулы:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

Если вместо этого

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

тогда остаток на бесконечности равен

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Для функций, мероморфных на всей комплексной плоскости с конечным числом особенностей, сумма вычетов в (обязательно) изолированных особенностях плюс вычет на бесконечности равна нулю, что дает:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}$

Методы серий

Если части или всю функцию можно разложить в ряд Тейлора или ряд Лорана , что возможно, если части или всю функцию можно разложить в стандартный ряд, то вычисление остатка значительно проще, чем другими методами. Остаток функции просто задается коэффициентом в разложении функции в ряд Лорана . ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Примеры

Интеграл по действительной оси

Интеграл $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

Контур С.​

возникает в теории вероятностей при вычислении характеристической функции распределения Коши . Она не поддается методам элементарного исчисления , но может быть оценена путем выражения ее как предела контурных интегралов .

Предположим, что t > 0, и определим контур C , который идет вдоль действительной прямой от − a до a , а затем против часовой стрелки вдоль полуокружности с центром в 0 от a до − a . Возьмем a больше 1, так что мнимая единица i заключена внутри кривой. Теперь рассмотрим контурный интеграл $${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

Поскольку e ^itz является целой функцией (не имеющей особенностей ни в одной точке комплексной плоскости), эта функция имеет особенности только там, где знаменатель z ² + 1 равен нулю. Поскольку z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , это происходит только там, где z = i или z = − i . Только одна из этих точек находится в области, ограниченной этим контуром. Поскольку f ( z ) является вычетом f ( z ) в точке z = i , то $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

Согласно теореме о вычетах, тогда мы имеем $${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

Контур C можно разбить на прямую часть и криволинейную дугу, так что и, таким образом, $${\displaystyle \int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}}$$ $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}$$

Используя некоторые оценки , мы имеем и $${\displaystyle \left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},}$$ $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}$$

Оценка числителя следует, поскольку t > 0 , а для комплексных чисел z вдоль дуги (которая лежит в верхней полуплоскости) аргумент φ числа z лежит между 0 и π . Таким образом, $${\displaystyle \left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}$$

Поэтому, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}$$

Если t < 0 , то аналогичное рассуждение с дугой C ′, которая обвивается вокруг − i, а не i, показывает, что

Контур С ′ .

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},}$$

и наконец у нас есть $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$$

(Если t = 0 , то интеграл немедленно поддается элементарным методам исчисления и его значение равно π .)

Оценка дзета-функций

Тот факт, что π cot( πz ) имеет простые полюса с вычетом 1 в каждом целом числе, можно использовать для вычисления суммы $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).}$$

Рассмотрим, например, f ( z ) = z ⁻² . Пусть Γ _N будет прямоугольником, который является границей [− N − ⁠1/2⁠ , Н + ⁠1/2⁠ ] ² с положительной ориентацией, с целым числом N. По формуле вычета,

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}$$

Левая часть стремится к нулю при N → ∞ , поскольку равномерно ограничена на контуре благодаря использованию на левой и правой стороне контура, и поэтому подынтегральное выражение имеет порядок по всему контуру. С другой стороны, ^[2] ${\displaystyle |\cot(\pi z)|}$ ${\displaystyle x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)}$ ${\displaystyle O(N^{-2})}$

$${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$$где число Бернулли ${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}.}$

(На самом деле, ⁠з/2⁠ детская кроватка( ⁠з/2⁠ ) ​​= ⁠из/1 − е ^{− из}⁠ − ⁠из/2⁠ .) Таким образом, остаток Res _{z =0} равен − ⁠π ²/3⁠ . Мы заключаем:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$что является доказательством Базельской проблемы .

Тот же аргумент работает для всех случаев, где — положительное целое число, что дает нам Этот трюк не работает, когда , поскольку в этом случае остаток в нуле обращается в нуль, и мы получаем бесполезное тождество . ${\displaystyle f(x)=x^{-2n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.}$$ ${\displaystyle f(x)=x^{-2n-1}}$ ${\displaystyle 0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0}$

Оценка серии Эйзенштейна

Тот же прием можно использовать для определения суммы ряда Эйзенштейна : $${\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.}$$

Доказательство

Выберите произвольное . Как и выше, определите ${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle g(z):={\frac {1}{w-z}}\pi \cot(\pi z)}$$

По теореме о вычетах Коши, для всех достаточно больших, таких, что охватывает , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=-\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n}}}$$

Осталось доказать, что интеграл сходится к нулю. Поскольку — четная функция, и симметрична относительно начала координат, то имеем , и поэтому ${\displaystyle \pi \cot(\pi z)/z}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ ${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}\pi \cot(\pi z)/zdz=0}$

$${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=\oint _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{w-z}}\right)\pi \cot(\pi z)dz=-w\oint _{\Gamma _{N}}{\frac {1}{z(z-w)}}\pi \cot(\pi z)dz=O(1/N)}$$

Смотрите также

• Остаток (комплексный анализ)
• Интегральная формула Коши
• Основная теорема Глассера
• Лемма Жордана
• Методы контурной интеграции
• Теорема Мореры
• Теорема Нахбина
• Остаток на бесконечности
• Логарифмическая форма

Примечания

1. Уиттекер и Уотсон 1920, стр. 112, §6.1.
2. Уиттекер и Уотсон 1920, стр. 125, §7.2. Обратите внимание, что число Бернулли обозначено в книге Уиттекера и Уотсона как . ${\displaystyle B_{2n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
• Линделеф, Эрнст Л. (1905). Le Calcul des Résidus et ses Applications à la theorie des fonctions (на французском языке). Издания Жака Габе (опубликовано в 1989 г.). ISBN 2-87647-060-8.
• Митринович, Драгослав; Кечкич, Йован (1984). Метод остатков Коши: Теория и приложения . D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
• Уиттекер, ET ; Уотсон, GN (1920). Курс современного анализа (3-е изд.). Cambridge University Press.

Внешние ссылки

• «Интегральная теорема Коши», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Теорема о вычетах в MathWorld