В математике , в частности в функциональном анализе и теории колец , приближенное тождество — это сеть в банаховой алгебре или кольце (обычно без тождества), которая действует как замена единичного элемента .
Правое приближенное тождество в банаховой алгебре A — это сеть , такая что для каждого элемента a из A , Аналогично, левое приближенное тождество в банаховой алгебре A — это сеть , такая что для каждого элемента a из A , Приближенное тождество — это сеть, которая является как правым приближенным тождеством, так и левым приближенным тождеством.
Для C*-алгебр правое (или левое) приближенное тождество, состоящее из самосопряженных элементов, совпадает с приближенным тождеством. Сеть всех положительных элементов в A нормы ≤ 1 с ее естественным порядком является приближенным тождеством для любой C*-алгебры. Это называется каноническим приближенным тождеством C*-алгебры. Приближенные тождества не являются единственными. Например, для компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве , сеть, состоящая из проекций конечного ранга, будет другим приближенным тождеством.
Если аппроксимативная единица является последовательностью , мы называем ее последовательной аппроксимационной единицей , а C*-алгебра с последовательной аппроксимационной единицей называется σ-унитальной . Каждая отделимая C*-алгебра является σ-унитальной, хотя обратное неверно. Коммутативная C*-алгебра является σ-унитальной тогда и только тогда, когда ее спектр σ-компактен . В общем случае C*-алгебра A является σ-унитальной тогда и только тогда, когда A содержит строго положительный элемент, т. е. существует h в A + такой, что наследственная C*-подалгебра, порожденная h, есть A .
Иногда рассматривают приближенные тождества, состоящие из определенных типов элементов. Например, C*-алгебра имеет действительный ранг нуль тогда и только тогда, когда каждая наследственная C*-подалгебра имеет приближенное тождество, состоящее из проекций. Это было известно как свойство (HP) в более ранней литературе.
Приближенное тождество в алгебре свертки играет ту же роль, что и последовательность приближений функций к дельта-функции Дирака (которая является элементом тождества для свертки). Например, ядра Фейера теории рядов Фурье приводят к приближенному тождеству.
В теории колец приближенное тождество определяется аналогичным образом, за исключением того, что кольцу задается дискретная топология , так что a = ae λ для некоторого λ.
Модуль над кольцом с приблизительной единицей называется невырожденным , если для каждого m в модуле существует некоторое λ, такое что m = me λ .
