Функция Sinc

Специальная математическая функция, определяемая как sin(x)/x

В математике , физике и технике функция sinc , обозначаемая sinc( x ) , имеет две формы: нормализованную и ненормализованную. ^[1]

Sinc работает как звук с частотой 2000 Гц (±1,5 секунды вокруг нуля).

В математике историческая ненормализованная функция sinc определяется для x ≠ 0 выражением

$${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.}$$

Альтернативно, ненормализованную функцию sinc часто называют функцией выборки и обозначают как Sa( x ). ^[2]

В цифровой обработке сигналов и теории информации нормализованная функция sinc обычно определяется для x ≠ 0 следующим образом:

$${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$$

В любом случае значение при x = 0 определяется как предельное значение:

$${\displaystyle \operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$$

a ≠ 0теоремы о сжатии

В результате нормализации определенный интеграл функции по действительным числам становится равным 1 (тогда как тот же интеграл ненормированной функции sinc имеет значение π ). Еще одно полезное свойство: нули нормализованной функции sinc представляют собой ненулевые целочисленные значения x .

Нормализованная функция sinc представляет собой преобразование Фурье прямоугольной функции без масштабирования. Он используется в концепции восстановления непрерывного сигнала с ограниченной полосой частот из равномерно расположенных выборок этого сигнала.

Единственная разница между двумя определениями заключается в масштабировании независимой переменной ( ось x ) в π раз . В обоих случаях под значением функции в устранимой особенности в нуле понимается предельное значение 1. Тогда функция sinc всюду аналитична и, следовательно, является целой функцией .

Эту функцию также называют кардинальным синусом или синусоидальной кардинальной функцией. ^{[3] [4]} Термин sinc / ˈ s ɪ ŋ k / был введен Филипом М. Вудвордом в его статье 1952 года «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях», в которой он сказал, что функция «так часто встречается в Фурье анализ и его приложения, которые, по-видимому, заслуживают отдельного упоминания» ^[5] и его книга 1953 года «Теория вероятностей и информации с приложениями к радару» . ^{[6] [7]} Сама функция была впервые математически выведена в такой форме лордом Рэлеем в его выражении ( Формула Рэлея ) для сферической функции Бесселя нулевого порядка первого рода.

Характеристики

Локальные максимумы и минимумы (маленькие белые точки) ненормализованной красной функции sinc соответствуют ее пересечениям с синей функцией косинуса .

Пересечения нуля ненормализованного sinc происходят в ненулевых целых числах, кратных π , тогда как пересечения нуля нормализованного sinc происходят в ненулевых целых числах.

Локальные максимумы и минимумы ненормированного синка соответствуют его пересечениям с косинусной функцией. То есть,грех( ξ )/ξ= cos( ξ ) для всех точек ξ , где производнаягрех( х )/Иксравен нулю, и, таким образом, достигается локальный экстремум. Это следует из производной функции sinc:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.}$$

Первые несколько членов бесконечного ряда для координаты x n -го экстремума с положительной координатой x :

$${\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$$

$${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$$

nnyx − x _nξ ₀ = (0, 1)

Нормализованная функция sinc имеет простое представление в виде бесконечного произведения :

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$$

Кардинальная синусоидальная функция sinc(z), построенная на комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i.

и связана с гамма-функцией Γ( x ) через формулу отражения Эйлера :

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}$$

Эйлер обнаружил ^[8], что:

$${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}$$

^[9]

График раскраски домена sinc z =грех з/я

$${\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}$$

$${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$$

Непрерывное преобразование Фурье нормализованного sinc (к обычной частоте) является прямым ( f ) :

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$$

прямоугольная функция1/21/2sinc-фильтркирпичнымфильтром нижних частот

Этот интеграл Фурье, включая частный случай:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$$

несобственным интеграломинтеграл Дирихлеинтегралом Лебега

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$$

Нормализованная функция sinc обладает свойствами, которые делают ее идеальной для интерполяции выборочных функций с ограниченной полосой пропускания :

• Это интерполирующая функция, т.е. sinc(0) = 1 и sinc( k ) = 0 для ненулевого целого числа k .
• Функции x _k ( t ) = sinc( t − k ) ( k целое число) образуют ортонормированный базис для функций с ограниченной полосой частот в функциональном пространстве L ² ( R ) с наивысшей угловой частотой ω _H = π (т. е. с наивысшей частотой цикла ж _Ч =1/2).

Другие свойства двух функций sinc включают в себя:

• Ненормированный sinc — это сферическая функция Бесселя нулевого порядка первого рода, j ₀ ( x ) . Нормализованный sinc равен j ₀ (π x ) .
• где Si( x ) — синусоидальный интеграл :
  $${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}$$
• λ sinc( λx ) (не нормализованный) — одно из двух линейно независимых решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения :
  $${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$$
  Другойпотому что ( λx )/Икс, которая не ограничена в точке x = 0 , в отличие от ее аналога функции sinc.
• Использование нормализованного sinc:
  $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$
• Следующий несобственный интеграл включает в себя (ненормализованную) функцию sinc:
  $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$$

Связь с дельта-распределением Дирака

Нормализованную функцию sinc можно использовать в качестве зарождающейся дельта-функции , что означает, что выполняется следующий слабый предел :

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$$

Это не обычный предел, поскольку левая часть не сходится. Скорее, это означает, что:

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$$

для каждой функции Шварца , как видно из теоремы обращения Фурье . В приведенном выше выражении при a → 0 количество колебаний на единицу длины функции sinc стремится к бесконечности. Тем не менее, выражение всегда колеблется внутри огибающей ±1/π х, независимо от значения .

Это усложняет неформальную картину того, что δ ( x ) равно нулю для всех x , кроме точки x = 0 , и иллюстрирует проблему рассмотрения дельта-функции как функции, а не как распределения. Аналогичная ситуация наблюдается и в феномене Гиббса .

Суммирование

Все суммы в этом разделе относятся к ненормализованной функции sinc.

Сумма sinc( n ) по целому числу n от 1 до ∞ равнаπ - 1/2:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

Сумма квадратов также равнаπ - 1/2: ^{[10] [11]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

Когда знаки слагаемых чередуются и начинаются с +, сумма равна1/2:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Попеременные суммы квадратов и кубов также равны1/2: ^[12]

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Расширение серии

Ряд Тейлора ненормализованной функции sinc можно получить из ряда синуса (который также дает значение 1 при x = 0 ):

$${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

Ряд сходится для всех x . Нормализованная версия легко выглядит:

$${\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

Эйлер, как известно, сравнил этот ряд с разложением бесконечной формы произведения для решения Базельской задачи .

Высшие измерения

Произведение одномерных функций sinc легко обеспечивает многомерную функцию sinc для квадратной декартовой сетки ( решетки ): sinc _C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) , преобразование Фурье которой является индикаторной функцией квадрата в частотном пространстве (т. е. кирпичная стена, определенная в двумерном пространстве). Функция sinc для недекартовой решетки (например, гексагональной решетки ) — это функция, преобразование Фурье которой является индикаторной функцией зоны Бриллюэна этой решетки. Например, функция sinc для гексагональной решетки — это функция, преобразование Фурье которой является индикаторной функцией единичного шестиугольника в частотном пространстве. Для недекартовой решетки эту функцию невозможно получить простым тензорным произведением. Однако явная формула для функции sinc для гексагональной , объемноцентрированной кубической , гранецентрированной кубической и других решеток более высокой размерности может быть явно выведена ^[13] с использованием геометрических свойств зон Бриллюэна и их связи с зонотопами .

Например, шестиугольная решетка может быть создана с помощью (целого) линейного размаха векторов:

$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Обозначая:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$

^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$$

Эту конструкцию можно использовать для проектирования окна Ланцоша для общих многомерных решеток. ^[13]

Смотрите также

• Фильтр сглаживания  — математическое преобразование, уменьшающее ущерб, вызванный сглаживанием.
• Интеграл Борвейна  - Тип математических интегралов
• Интеграл Дирихле  – интеграл от sin(x)/x от 0 до бесконечности.
• Повторная выборка Ланцоша  – применение математической формулы
• Список математических функций
• Шеннонский вейвлет
• Sinc-фильтр  – идеальный фильтр нижних частот или усредняющий фильтр.
• Тригонометрические функции матриц  - важные функции при решении дифференциальных уравнений
• Тригонометрический интеграл  - специальная функция, определяемая интегралом.
• Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона  - Алгоритм (ре)конструирования сигнала
• Трипельная проекция Винкеля  - псевдоазимутальная компромиссная картографическая проекция (картография)
• Синхронная функция

Рекомендации

1. Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Численные методы», Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248..
2. Сингх, Р.П.; Сапре, С.Д. (2008). Системы связи, 2Э (иллюстрированное изд.). Тата МакГроу-Хилл Образование. п. 15. ISBN 978-0-07-063454-1.Выдержка со страницы 15
3. Вайсштейн, Эрик В. «Функция Sinc». mathworld.wolfram.com . Проверено 7 июня 2023 г.
4. Мерка, Мирча (01 марта 2016 г.). «Кардинальный синус и числа Чебышева – Стирлинга». Журнал теории чисел . 160 : 19–31. дои : 10.1016/j.jnt.2015.08.018. ISSN  0022-314X. S2CID  124388262.
5. Вудворд, премьер-министр; Дэвис, Иллинойс (март 1952 г.). «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях» (PDF) . Труды IEE - Часть III: Радиотехника и связь . 99 (58): 37–44. дои : 10.1049/пи-3.1952.0011.
6. Пойнтон, Чарльз А. (2003). Цифровое видео и HDTV . Издательство Морган Кауфманн. п. 147. ИСБН 978-1-55860-792-7.
7. Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радару . Лондон: Пергамон Пресс. п. 29. ISBN 978-0-89006-103-9. ОКЛК  488749777.
8. Эйлер, Леонард (1735). «О суммах рядов обратных величин». arXiv : math/0506415 .
9. Луис Ортис-Грасиа; Корнелис В. Остерли (2016). «Высокоэффективная вейвлет-метод Шеннона, обратная Фурье, для оценки европейских опционов». СИАМ J. Sci. Вычислить . 38 (1): В118–В143. дои : 10.1137/15M1014164.
10. «Сложная проблема 6241». Американский математический ежемесячник . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . 87 (6): 496–498. Июнь – июль 1980 г. doi : 10.1080/00029890.1980.11995075.
11. Роберт Бэйли; Дэвид Борвейн ; Джонатан М. Борвейн (декабрь 2008 г.). «Удивительные суммы и интегралы Sinc». Американский математический ежемесячник . 115 (10): 888–901. дои : 10.1080/00029890.2008.11920606. hdl : 1959.13/940062 . JSTOR  27642636. S2CID  496934.
12. Бэйли, Роберт (2008). «Забава с рядом Фурье». arXiv : 0806.0150v2 [math.CA].
13. Йе, В.; Энтезари, А. (июнь 2012 г.). «Геометрическое построение многомерных функций Sinc». Транзакции IEEE при обработке изображений . 21 (6): 2969–2979. Бибкод : 2012ITIP...21.2969Y. дои : 10.1109/TIP.2011.2162421. PMID  21775264. S2CID  15313688.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Sinc». Математический мир .