Гребень Дирака

Периодическое распределение («функция») выборки дельты Дирака «точечная масса»

График гребенчатой ​​функции Дирака представляет собой бесконечный ряд дельта-функций Дирака , расположенных через интервалы T

В математике гребенка Дирака (также известная как функция ша , последовательность импульсов или функция выборки ) представляет собой периодическую функцию с формулой для некоторого заданного периода . ^[1] Здесь t — действительная переменная, а сумма распространяется на все целые числа k. Дельта-функция Дирака и гребенка Дирака представляют собой умеренные распределения . ^{[2] [3]} График функции напоминает гребенку (с буквой s в качестве зубцов гребенки ), отсюда ее название и использование гребенчатой ​​кириллической буквы ша (Ш) для обозначения функции. $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ :=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Символ , где точка опущена, представляет гребенку Дирака с единичным периодом. Это подразумевает ^[1] ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \,\,(t)}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)\ ={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \ \!\!\!\left({\frac {t}{T}}\right).}$$

Поскольку гребенчатая функция Дирака является периодической, ее можно представить в виде ряда Фурье, основанного на ядре Дирихле : ^[1] $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

Функция гребенки Дирака позволяет представлять как непрерывные , так и дискретные явления, такие как выборка и наложение псевдонимов , в единой структуре непрерывного анализа Фурье умеренных распределений без какой-либо ссылки на ряды Фурье. Преобразование Фурье гребенки Дирака — это еще одна гребенка Дирака. Благодаря теореме о свертке об умеренных распределениях, которая оказывается формулой суммирования Пуассона , при обработке сигналов гребенка Дирака позволяет моделировать выборку путем умножения с ней, но также позволяет моделировать периодизацию путем свертки с ней. ^[4]

Идентичность Дирака-гребенки

Гребень Дирака можно построить двумя способами: либо с помощью оператора гребенки (выполняющего выборку ), примененного к функции, которая является постоянной , либо, альтернативно, с помощью оператора повтора (выполняющего периодизацию ), примененного к дельте Дирака . Формально это дает (Woodward 1953; Brandwood 2003), где и ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$$ $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$$ $${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$$

При обработке сигналов это свойство, с одной стороны, позволяет производить выборку функции путем умножения на , а с другой стороны, также позволяет осуществлять периодизацию путем свертки с ( Bracewell 1986). Тождество гребенки Дирака является частным случаем теоремы о свертке для умеренных распределений. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

Масштабирование

Масштабное свойство гребенки Дирака следует из свойств дельта-функции Дирака . Поскольку в ^[5] для положительных действительных чисел следует следующее: Обратите внимание, что требование положительных масштабных чисел вместо отрицательных не является ограничением, поскольку отрицательный знак только изменит порядок суммирования внутри , что не влияет на результат. ${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{a}}\ \delta \!\left({\frac {t}{a}}\right)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{T}}\right),}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \,\!\left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}\!\!\left({\frac {t}{a}}\right).}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}}$

ряд Фурье

Понятно, что периодично с периодом . То есть для всех т . Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции - это коэффициенты Фурье (символически): ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)}$$ $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$$

Все коэффициенты Фурье равны 1/ T , что приводит к $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$$

Когда период равен одной единице, это упрощается до $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi nx}.}$$

Примечание . В наиболее строгом смысле интегрирование Римана или Лебега по любым произведениям, включая дельта-функцию Дирака, дает ноль. По этой причине описанное выше интегрирование (определение коэффициентов ряда Фурье) следует понимать «в смысле обобщенных функций». Это означает, что вместо использования характеристической функции интервала, примененной к гребенке Дирака, в качестве функции вырезания используется так называемая унитарная функция Лайтхилла, подробности см. в Lighthill 1958, стр.62, теорема 22.

преобразование Фурье

Преобразование Фурье гребенки Дирака также является гребенкой Дирака. Для преобразования Фурье , выраженного в частотной области (Гц), гребенка периода Дирака преобразуется в масштабированную гребенку периода Дирака, т.е. для ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1/T,}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )~}$

пропорциональна другой гребенке Дирака, но с периодом в частотной области (радиан/с). Таким образом, гребенка Дирака единичного периода является собственной функцией собственного значения ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 1.}$

Этот результат может быть установлен (Брэйсвелл, 1986), рассматривая соответствующие преобразования Фурье семейства функций, определяемых формулами ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )={\mathcal {F}}[s_{\tau }](\xi )}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$

${\displaystyle s_{\tau }(x)=\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{2}x^{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}.}$

Поскольку представляет собой сходящийся ряд гауссовых функций , а гауссианы преобразуются в гауссианы , каждое из соответствующих преобразований Фурье также приводит к ряду гауссиан, и явный расчет устанавливает, что ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle S_{\tau }(\xi )=\tau ^{-1}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}.}$

Таким образом, каждая из функций и напоминает периодическую функцию, состоящую из серии равноотстоящих гауссовских пиков , соответствующие «высоты» которых (предварительные факторы) определяются медленно убывающими гауссовыми огибающими функциями, которые падают до нуля на бесконечности. Обратите внимание, что в пределе каждый гауссов пик становится бесконечно острым импульсом Дирака с центром соответственно в и для каждого соответствующего и , и, следовательно, все предварительные факторы в конечном итоге становятся неотличимыми от . Следовательно, функции и их соответствующие преобразования Фурье сходятся к одной и той же функции, и эта предельная функция представляет собой серию бесконечных равноотстоящих гауссовских пиков, каждый пик умножается на один и тот же предварительный коэффициент, равный единице, то есть гребенку Дирака для единичного периода: ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}}$ ${\displaystyle \tau \rightarrow 0}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle \xi =m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}\xi ^{2}}}$ ${\displaystyle s_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}s_{\tau }(x)=\operatorname {\text{Ш}} ({x}),}$ и ${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}S_{\tau }(\xi )=\operatorname {\text{Ш}} ({\xi }).}$

Поскольку , в этом пределе получаем доказываемый результат: ${\displaystyle S_{\tau }={\mathcal {F}}[s_{\tau }]}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} .}$

Соответствующий результат для периода можно найти, используя свойство масштабирования преобразования Фурье : ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} _{T}]={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}.}$

Другой способ установить, что гребенка Дирака превращается в другую гребенку Дирака, начинается с изучения непрерывных преобразований Фурье периодических функций в целом, а затем специализируется на случае гребенки Дирака. Чтобы также показать, что конкретное правило зависит от соглашения о преобразовании Фурье, это будет показано с использованием угловой частоты, а для любой периодической функции - ее преобразования Фурье. ${\displaystyle \omega =2\pi \xi :}$ ${\displaystyle f(t)=f(t+T)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t}}$ подчиняется:

${\displaystyle F(\omega )(1-e^{i\omega T})=0}$

потому что преобразование Фурье и приводит к и Это уравнение подразумевает, что почти везде, за единственными возможными исключениями, лежащими в пределах с и При оценке преобразования Фурье в соответствующих временах выражения ряда Фурье получается соответствующая дельта-функция. В частном случае преобразования Фурье гребенки Дирака интеграл в ряд Фурье за ​​один период охватывает только функцию Дирака в начале координат и, таким образом, дает для каждого из них это можно резюмировать, интерпретируя гребенку Дирака как предел ядра Дирихле. так, что в позициях все экспоненты в сумме указывают в одном направлении и конструктивно складываются. Другими словами, непрерывное преобразование Фурье периодических функций приводит к ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t+T)}$ ${\displaystyle F(\omega )}$ ${\displaystyle F(\omega )e^{i\omega T}.}$ ${\displaystyle F(\omega )=0}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F(k\omega _{0})}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \omega =k\omega _{0},}$ ${\displaystyle \sum \nolimits _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}}$

${\displaystyle F(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\delta (\omega -k\omega _{0})}$с ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T,}$

и

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2\pi kt/T}.}$

Коэффициенты ряда Фурье для всех при , т.е. ${\displaystyle c_{k}=1/T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\rightarrow \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -k{\frac {2\pi }{T}})}$

это еще одна гребенка Дирака, но с периодом в области угловых частот (радиан/с). ${\displaystyle 2\pi /T}$

Как уже упоминалось, конкретное правило зависит от соглашения об используемом преобразовании Фурье. Действительно, при использовании свойства масштабирования дельта-функции Дирака вышеизложенное может быть перевыражено в обычной частотной области (Гц) и снова получается: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i2\pi \xi nT},}$$

такая, что гребенка Дирака с единичным периодом преобразуется в себя: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} \ \!(\xi ).}$$

Наконец, гребенка Дирака также является собственной функцией унитарного непрерывного преобразования Фурье в пространстве угловых частот до собственного значения 1, когда поскольку для унитарного преобразования Фурье ${\displaystyle T={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t},}$

вышеизложенное может быть перевыражено как $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {2\pi }{T}}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i\omega nT}.}$$

Выборка и псевдонимы

Умножение любой функции на гребенку Дирака преобразует ее в последовательность импульсов с интегралами, равными значению функции в узлах гребенки. Эта операция часто используется для представления выборки. $${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(kT)\delta (t-kT).}$$

Благодаря свойству самопреобразования гребенки Дирака и теореме о свертке это соответствует свертке с гребенкой Дирака в частотной области. $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ T}x\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$$

Поскольку свертка с дельта-функцией эквивалентна сдвигу функции на , свертка с гребенкой Дирака соответствует репликации или периодическому суммированию : ${\displaystyle \delta (t-kT)}$ ${\displaystyle kT}$

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\ {\frac {1}{T}}}\!*X)(f)=\!\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

Это приводит к естественной формулировке теоремы выборки Найквиста-Шеннона . Если в спектре функции нет частот выше B (т. е. ее спектр отличен от нуля только на интервале ), то выборок исходной функции на интервалах достаточно для восстановления исходного сигнала. Достаточно умножить спектр выборочной функции на подходящую прямоугольную функцию , что эквивалентно применению фильтра нижних частот типа кирпичной стены . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-B,B)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2B}}}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\ \!{\frac {1}{2B}}}x\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \ 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {f}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{\ 2B}*X)=X}$

Во временной области это «умножение с помощью функции rect» эквивалентно «свертке с функцией sinc» (Woodward 1953, стр. 33-34). Следовательно, он восстанавливает исходную функцию по своим образцам. Это известно как интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона .

Примечание . Строго говоря, умножение прямоугольной функции на обобщенную функцию, такую ​​как гребенка Дирака, терпит неудачу. Это связано с неопределённостью результатов произведения умножения на границах интервалов. В качестве обходного пути вместо прямоугольной функции используется унитарная функция Лайтхилла. Он гладкий на границах интервалов, поэтому везде дает определенные произведения умножения, подробности см. Lighthill 1958, стр. 62, теорема 22.

Использование в направленной статистике

В направленной статистике гребенка периода Дирака эквивалентна завернутой дельта-функции Дирака и является аналогом дельта -функции Дирака в линейной статистике. ${\displaystyle 2\pi }$

В линейной статистике случайная величина обычно распределяется по линии действительных чисел или некоторому ее подмножеству, а плотность вероятности представляет собой функцию, областью определения которой является набор действительных чисел, а интеграл от до равен единице. В статистике направлений случайная величина распределяется по единичному кругу, а плотность вероятности - это функция, область определения которой представляет собой некоторый интервал действительных чисел длины , а интеграл по этому интервалу равен единице. Точно так же, как интеграл от произведения дельта-функции Дирака на произвольную функцию по линии действительных чисел дает значение этой функции в нуле, так и интеграл от произведения гребенки периода Дирака на произвольную функцию периода по единичный круг дает значение этой функции в нуле. ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle (\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Смотрите также

• Гребенчатый фильтр
• Частотная гребенка
• Формула суммирования Пуассона

Рекомендации

1. «Гребенка Дирака и ее преобразование Фурье - DSPIllustrations.com». dspillustrations.com . Проверено 28 июня 2022 г.
2. Шварц, Л. (1951), Теория распределений , том. Том I, Том II, Герман, Париж
3. Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4
4. Брейсвелл, Р.Н. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (переработанная редакция), McGraw-Hill; 1-е изд. 1965, 2-е изд. 1978.
5. Рахман, М. (2011), Применение преобразований Фурье к обобщенным функциям , WIT Press Southampton, Бостон, ISBN 978-1-84564-564-9.

дальнейшее чтение

• Брандвуд, Д. (2003), Преобразования Фурье в радиолокации и обработке сигналов , Artech House, Бостон, Лондон.
• Кордова, А. (1989), «Расчески Дирака», Letters in Mathematical Physics , 17 (3): 191–196, Бибкод : 1989LMaPh..17..191C, doi : 10.1007/BF00401584, S2CID  189883287
• Вудворд, премьер-министр (1953), Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам , Pergamon Press, Оксфорд, Лондон, Эдинбург, Нью-Йорк, Париж, Франкфурт..
• Лайтхилл, MJ (1958), Введение в анализ Фурье и обобщенные функции , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания.