Теорема о сжатии

Метод нахождения пределов в исчислении

Иллюстрация теоремы о сжатии

Когда последовательность лежит между двумя другими сходящимися последовательностями с тем же пределом, она также сходится к этому пределу.

В исчислении теорема о сжатии (также известная как сэндвич-теорема , среди других названий ^[a] ) — это теорема , касающаяся предела функции , которая ограничена между двумя другими функциями.

Теорема о сжатии используется в исчислении и математическом анализе , как правило, для подтверждения предела функции путем сравнения с двумя другими функциями, пределы которых известны. Впервые оно было использовано в геометрической форме математиками Архимедом и Евдоксом в попытке вычислить число π , а в современных терминах оно было сформулировано Карлом Фридрихом Гауссом .

Заявление

Теорема о сжатии формально формулируется следующим образом. ^[1]

Теорема  .  Пусть I — интервал, содержащий точку a . Пусть g , f и h — функции , определенные на I , за исключением, возможно, самого a . Предположим, что для каждого x в I , не равного a , мы имеем , а также предположим, что Тогда $${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.}$$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L.}$

• Функции g и h называются нижней и верхней границей (соответственно) f .
• Здесь a не обязательно лежит внутри I .​ Действительно, если a является конечной точкой I , то указанные выше пределы являются левыми или правыми пределами.
• Аналогичное утверждение справедливо и для бесконечных интервалов: например, если I = (0, ∞) , то вывод верен, переходя к пределам при x → ∞ .

Эта теорема справедлива и для последовательностей. Пусть ( an ) , ( cn ) — две последовательности _, сходящиеся к ℓ , и ( bn _{) —} последовательность. Если у нас a _n ≤ b _n ≤ c _n , то ( b _n ) также сходится к ℓ . ${\displaystyle \forall n\geq N,N\in \mathbb {N} }$

Доказательство

Согласно приведенным выше гипотезам мы имеем, принимая предел нижний и верхний: так что все неравенства действительно являются равенствами, и отсюда немедленно следует тезис. $${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}$$

Прямым доказательством с использованием ( ε , δ ) -определения предела было бы доказать, что для всех действительных ε > 0 существует действительное δ > 0 такое, что для всех x с мы имеем Символически, ${\displaystyle |x-a|<\delta ,}$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Как

$${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$$

Значит это

и $${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$$

Значит это

тогда у нас есть

$${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$$ $${\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}$$

Мы можем выбирать . Тогда, если , объединив ( 1 ) и ( 2 ), получим ${\displaystyle \delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}}$ ${\displaystyle |x-a|<\delta }$

$${\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}$$ $${\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,}$$

что завершает доказательство. КЭД

Доказательство для последовательностей очень похоже, используя -определение предела последовательности. ${\displaystyle \varepsilon }$

Примеры

Первый пример

${\displaystyle x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$сжимается до предела, когда x стремится к 0

Лимит

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

не может быть определен с помощью предельного закона

$${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$$

потому что

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

не существует.

Однако по определению функции синуса

$${\displaystyle -1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.}$$

Следует, что

$${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}}$$

Поскольку по теореме о сжатии тоже должно быть равно 0. ${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$

Второй пример

Сравниваем области:
${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}&A(\triangle ADB)&\leq &A({\text{sector }}ADB)&\leq &A(\triangle ADF)\\[4pt]\Rightarrow &{\frac {1}{2}}\cdot \sin x\cdot 1&\leq &{\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi &\leq &{\frac {1}{2}}\cdot \tan x\cdot 1\\[4pt]\Rightarrow &\sin x&\leq &x&\leq &{\frac {\sin x}{\cos x}}\\[4pt]\Rightarrow &{\frac {\cos x}{\sin x}}&\leq &{\frac {1}{x}}&\leq &{\frac {1}{\sin x}}\\[4pt]\Rightarrow &\cos x&\leq &{\frac {\sin x}{x}}&\leq &1\end{array}}}$

Вероятно, наиболее известными примерами нахождения предела сжатием являются доказательства равенств $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}}$$

Первый предел следует с помощью теоремы о сжатии из того факта, что ^[2]

$${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1}$$

для x , достаточно близкого к 0. Правильность этого для положительного x можно увидеть с помощью простых геометрических рассуждений (см. Рисунок), которые можно распространить и на отрицательный x . Второй предел следует из теоремы о сжатии и того факта, что

$${\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x}$$для x , достаточно близкого к 0. Это можно получить, заменив sin x в предыдущем факте на и возведя полученное неравенство в квадрат. ${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$

Эти два предела используются в доказательстве того, что производная функции синуса является функцией косинуса. На этот факт опираются и другие доказательства производных тригонометрических функций.

Третий пример

Это можно показать, сжимая, следующим образом. $${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$$

На рисунке справа площадь меньшего из двух заштрихованных секторов круга равна

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},}$$

поскольку радиус равен sec θ , а дуга единичной окружности имеет длину  Δ θ . Аналогично, площадь большего из двух заштрихованных секторов равна

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.}$$

Между ними зажат треугольник, основанием которого является вертикальный сегмент, конечными точками которого являются две точки. Длина основания треугольника равна tan( θ + Δ θ ) − tan θ , а высота равна 1. Следовательно, площадь треугольника равна

$${\displaystyle {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.}$$

Из неравенств

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}}$$

мы делаем вывод, что

$${\displaystyle \sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),}$$

при условии, что  Δ θ > 0 , и неравенства меняются местами, если  Δ θ < 0 . Поскольку первое и третье выражения приближаются к sec ² θ при Δ θ → 0 , а среднее выражение приближается к желаемому результату, следует следующее. ${\displaystyle {\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,}$

Четвертый пример

Теорему о сжатии все еще можно использовать в исчислении с множеством переменных, но нижняя (и верхняя функции) должны находиться ниже (и выше) целевой функции не только вдоль пути, но и вокруг всей окрестности интересующей точки, и это работает только в том случае, если функция там действительно есть предел. Следовательно, его можно использовать для доказательства того, что функция имеет предел в точке, но его никогда нельзя использовать для доказательства того, что функция не имеет предела в точке. ^[3]

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$$

нельзя найти, взяв любое количество пределов вдоль путей, проходящих через точку, но поскольку

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}}$$

следовательно, по теореме о сжатии

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.}$$

Рекомендации

Примечания

1. Также известна как теорема сжатия , правило сэндвича , полицейская теорема , теорема между , а иногда и лемма о сжатии . В Италии эта теорема также известна как теорема карабинеров .

Рекомендации

1. Сохраб, Хушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Биркхойзер . п. 104. ИСБН 978-1-4939-1840-9.
2. Селим Г. Крейн, В. Н. Ушакова: Vorstufe zur höheren Mathematik . Springer, 2013, ISBN 9783322986283 , стр. 80–81 (немецкий). См. также Сал Хан : Доказательство: предел (sin x)/x при x=0 (видео, Академия Хана ) 
3. Стюарт, Джеймс (2008). «Глава 15.2 Ограничения и непрерывность». Многомерное исчисление (6-е изд.). стр. 909–910. ISBN 978-0495011637.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о сжатии». Математический мир .
• Теорема о сжатии Брюса Этвуда (Колледж Белойт) после работы Селвина Холлиса (Атлантический государственный университет Армстронга) в рамках Демонстрационного проекта Вольфрама .
• Теорема о сжатии на ProofWiki.