Предел низший и предел высший

Границы последовательности

В математике нижний и верхний предел последовательности можно рассматривать как предельные (то есть конечные и экстремальные) границы последовательности. Их можно рассматривать аналогичным образом для функции (см. предел функции ). Для множества они являются инфимумом и супремумом предельных точек множества соответственно. В общем случае, когда есть несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или множество, нижний и верхний пределы извлекают наименьший и наибольший из них; тип объекта и мера размера зависят от контекста, но понятие экстремальных пределов является инвариантным. Нижний предел также называется пределом инфимума , пределом инфимума , liminf , нижним пределом , нижним пределом или внутренним пределом ; верхний предел также известен как предел супремума , предел супремума , limsup , верхний предел , верхний предел или внешний предел .

Иллюстрация верхнего и нижнего предела. Последовательность x _n показана синим цветом. Две красные кривые приближаются к верхнему и нижнему пределу x _n , показанным в виде пунктирных черных линий. В этом случае последовательность накапливается вокруг двух пределов. Верхний предел — больший из двух, а нижний предел — меньший. Нижний и верхний пределы совпадают тогда и только тогда, когда последовательность сходится (т. е. когда есть один предел).

Нижний предел последовательности обозначается как , а верхний предел последовательности обозначается как ${\displaystyle (x_{n})}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},}$$ ${\displaystyle (x_{n})}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{or}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.}$$

Определение последовательностей

Theнижний предел последовательности (x _n ) определяется как или $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{\,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

Аналогично,предел, превышающий (x _n ), определяется как или $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{\,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

В качестве альтернативы иногда используются обозначения и . ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

Верхние и нижние пределы могут быть эквивалентно определены с использованием концепции последовательных пределов последовательности . ^[1] Элемент расширенных действительных чисел является последовательным пределом , если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что . Если — множество всех последовательных пределов , то ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (n_{k})}$ ${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$ ${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

и

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

Если члены последовательности являются действительными числами , верхний и нижний пределы всегда существуют, поскольку действительные числа вместе с ±∞ (т.е. расширенная прямая действительных чисел ) являются полными . В более общем смысле эти определения имеют смысл в любом частично упорядоченном множестве , при условии существования верхних и нижних границ , например, в полной решетке .

Всякий раз, когда существует обычный предел, нижний и верхний предел оба равны ему; поэтому каждый из них можно считать обобщением обычного предела, что в первую очередь интересно в случаях, когда предел не существует . Всякий раз, когда существуют lim inf  x _n и lim sup  x _n , мы имеем

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

Пределы нижний и верхний связаны с нотацией big-O тем, что они ограничивают последовательность только «в пределе»; последовательность может превышать границу. Однако с нотацией big-O последовательность может превышать границу только в конечном префиксе последовательности, тогда как предел верхний последовательности, такой как e ^{− n,} может быть на самом деле меньше всех элементов последовательности. Единственное обещание заключается в том, что некоторый хвост последовательности может быть ограничен сверху пределом верхний плюс произвольно малая положительная константа и ограничен снизу пределом нижний минус произвольно малая положительная константа.

Верхний и нижний предел последовательности являются частным случаем пределов функции (см. ниже).

Случай последовательностей действительных чисел

В математическом анализе верхний и нижний предел являются важными инструментами для изучения последовательностей действительных чисел . Поскольку верхняя и нижняя грань неограниченного множества действительных чисел могут не существовать (действительные числа не являются полной решеткой), удобно рассматривать последовательности в аффинно расширенной действительной числовой системе : мы добавляем положительные и отрицательные бесконечности к действительной прямой, чтобы получить полное полностью упорядоченное множество [−∞,∞], которое является полной решеткой.

Интерпретация

Рассмотрим последовательность, состоящую из действительных чисел. Предположим, что верхний и нижний предел — действительные числа (то есть не бесконечные). ${\displaystyle (x_{n})}$

• Предел превосходства — это наименьшее действительное число , такое что для любого положительного действительного числа существует натуральное число, такое что для всех . Другими словами, любое число, большее предела превосходства, является возможной верхней границей последовательности. Только конечное число элементов последовательности больше . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle b+\varepsilon }$
• Нижний предел — это наибольшее действительное число , такое что для любого положительного действительного числа существует натуральное число, такое что для всех . Другими словами, любое число ниже нижнего предела является возможной нижней границей последовательности. Только конечное число элементов последовательности меньше . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle b-\varepsilon }$

Характеристики

В случае, если последовательность ограничена, то для всех почти все члены последовательности лежат в открытом интервале ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle (\liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon ,\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon ).}$

Соотношение нижнего и верхнего предела для последовательностей действительных чисел выглядит следующим образом: $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

Как упоминалось ранее, удобно распространить на Тогда, в сходится тогда и только тогда, когда в этом случае равно их общему значению. (Обратите внимание, что при работе только в сходимости к или не будет считаться сходимостью.) Поскольку нижний предел не больше верхнего предела, выполняются следующие условия ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

Если и , то интервал не обязательно должен содержать какие-либо числа , но каждое небольшое увеличение для произвольно малого будет содержать для всех, кроме конечного числа индексов Фактически, интервал является наименьшим замкнутым интервалом с этим свойством. Мы можем формализовать это свойство следующим образом: существуют подпоследовательности и из (где и возрастают), для которых мы имеем ${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{n},}$ ${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{k_{n}}}$ ${\displaystyle x_{h_{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

С другой стороны, существует такое , что для всех ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

Подведем итог:

• Если больше верхнего предела, то больше их не более конечного числа, если меньше — то их бесконечно много. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda ;}$
• Если меньше нижнего предела, то их меньше не более чем конечное множество, чем если больше, то их бесконечное множество. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda ;}$

С другой стороны, можно также показать, что:

• Если существует бесконечно много чисел , больших или равных , то меньше или равно предельной супремум-функции; если существует лишь конечное количество чисел, больших или равных , то больше или равно предельной супремум-функции. ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$
• Если существует бесконечно много меньших или равных , то больше или равно нижнему пределу; если существует только конечное количество меньших , то меньше или равно нижнему пределу. ^[2] ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

В общем случае, liminf и limsup последовательности — это соответственно наименьшая и наибольшая точки кластера . ^[3] $${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$

• Для любых двух последовательностей действительных чисел верхний предел удовлетворяет субаддитивности всякий раз, когда правая часть неравенства определена (то есть не или ): ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

Аналогично, нижний предел удовлетворяет супераддитивности : в частном случае, когда одна из последовательностей действительно сходится, скажем , тогда неравенства выше становятся равенствами (с заменой или на ). $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$ ${\displaystyle a_{n}\to a,}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\displaystyle a}$

• Для любых двух последовательностей неотрицательных действительных чисел справедливы неравенства и ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

удерживать всякий раз, когда правая часть не имеет вида ${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Если существует (включая случай ), и то при условии, что не имеет форму ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$ ${\displaystyle A=+\infty }$ ${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

Примеры

• В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную функцией синуса : Используя тот факт, что π иррационально , следует, что и (Это происходит потому, что последовательность равномерно распределена по модулю 2π , что является следствием теоремы о равномерном распределении .) ${\displaystyle x_{n}=\sin(n).}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$$ ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$

• Пример из теории чисел : где - -е простое число . $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),}$$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Значение этого нижнего предела предположительно равно 2 — это гипотеза о простых числах-близнецах — но по состоянию на апрель 2014 года ^[update]было доказано только то, что оно меньше или равно 246. ^[4] Соответствующий верхний предел равен , поскольку между последовательными простыми числами имеются произвольно большие промежутки . ${\displaystyle +\infty }$

Действительные функции

Предположим, что функция определена из подмножества действительных чисел в действительные числа. Как и в случае с последовательностями, нижний предел и верхний предел всегда хорошо определены, если мы допускаем значения +∞ и −∞; фактически, если оба совпадают, то предел существует и равен их общему значению (опять же, возможно, включая бесконечност). Например, при условии , мы имеем и . Разница между ними является грубой мерой того, насколько «дико» колеблется функция, и при наблюдении этого факта она называется колебанием f в точке 0. Эта идея колебания достаточна, чтобы, например, охарактеризовать интегрируемые по Риману функции как непрерывные, за исключением множества меры нуль . ^{[5] Обратите внимание, что точки ненулевого колебания (т. е} . точки, в которых f ведет себя « плохо ») являются разрывами, которые, если только они не составляют множество нуля, ограничены пренебрежимо малым множеством. ${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)}$ ${\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}$ ${\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}$

Функции из топологических пространств в полные решетки

Функции из метрических пространств

Существует понятие limsup и liminf для функций, определенных на метрическом пространстве , связь которых с пределами вещественнозначных функций отражает связь между limsup, liminf и пределом вещественной последовательности. Возьмем метрическое пространство , подпространство, содержащееся в , и функцию . Определим для любой предельной точки , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$и

$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$

где обозначает метрический шар радиусом около . ${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle a}$

Обратите внимание, что при уменьшении ε супремум функции по шару не возрастает (строго убывает или остается прежним), поэтому мы имеем

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$и аналогично $${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right).}$$

Функции из топологических пространств

Это окончательно мотивирует определения для общих топологических пространств . Возьмем X , E и a , как и прежде, но теперь пусть X будет топологическим пространством. В этом случае мы заменим метрические шары окрестностями :

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

(есть способ записать формулу с использованием "lim" с использованием сетей и фильтра соседства ). Эта версия часто полезна в обсуждениях полунепрерывности , которые довольно часто возникают в анализе. Интересно отметить, что эта версия включает последовательную версию, рассматривая последовательности как функции от натуральных чисел как топологическое подпространство расширенной действительной прямой, в пространство (замыкание N в [−∞,∞], расширенной действительной числовой прямой , есть  N  ∪ {∞}.)

Последовательности наборов

Множество ℘ ( X ) множества X является полной решеткой , которая упорядочена включением множеств , и поэтому супремум и инфимум любого множества подмножеств (в терминах включения множеств) всегда существуют. В частности, каждое подмножество Y из X ограничено сверху X и снизу пустым множеством ∅, поскольку ∅ ⊆ Y ⊆ X . Следовательно, возможно (а иногда и полезно) рассматривать верхние и нижние пределы последовательностей в ℘( X ) (т. е. последовательностей подмножеств X ).

Существует два распространенных способа определения предела последовательностей множеств. В обоих случаях:

• Последовательность накапливается вокруг наборов точек, а не вокруг отдельных точек. То есть, поскольку каждый элемент последовательности сам по себе является набором, существуют наборы накопления , которые каким-то образом находятся рядом с бесконечным количеством элементов последовательности.
• Супремум/верхний/внешний предел — это множество, которое объединяет эти множества накопления вместе. То есть, это объединение всех множеств накопления. При упорядочении по включению множеств предел супремума является наименьшей верхней границей множества точек накопления, поскольку он содержит каждую из них. Следовательно, это супремум предельных точек.
• Нижняя/нижняя/внутренняя граница — это множество, в котором встречаются все эти множества накопления . То есть это пересечение всех множеств накопления. При упорядочении по включению множеств нижняя граница — это наибольшая нижняя граница множества точек накопления, поскольку она содержится в каждой из них. Следовательно, это нижняя граница предельных точек.
• Поскольку упорядочение осуществляется путем включения множеств, то внешний предел всегда будет содержать внутренний предел (т. е. lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n ). Следовательно, при рассмотрении сходимости последовательности множеств обычно достаточно рассмотреть сходимость внешнего предела этой последовательности.

Разница между двумя определениями заключается в том, как определяется топология (т. е . как количественно оценить разделение). Фактически, второе определение идентично первому, когда дискретная метрика используется для индуцирования топологии на X.

Общая сходимость множеств

Последовательность множеств в метризуемом пространстве приближается к предельному множеству, когда элементы каждого члена последовательности приближаются к элементам предельного множества. В частности, если есть последовательность подмножеств, то: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X_{n})}$ ${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$который также называется внешним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек, взятых из (счетно) бесконечного множества То есть, тогда и только тогда, когда существует последовательность точек и подпоследовательность таких , что и ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (X_{n_{k}})}$ ${\displaystyle (X_{n})}$ ${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$который также называется внутренним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в для всех, кроме конечного числа (то есть, коконечного числа ). То есть, тогда и только тогда, когда существует последовательность точек, такая что и ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

Предел существует тогда и только тогда, когда и совпадают, и в этом случае ^[6] Внешние и внутренние пределы не следует путать с верхними и нижними пределами теории множеств , поскольку последние не чувствительны к топологической структуре пространства. ${\displaystyle \lim X_{n}}$ ${\displaystyle \liminf X_{n}}$ ${\displaystyle \limsup X_{n}}$ ${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$

Особый случай: дискретная метрика

Это определение используется в теории меры и вероятности . Дальнейшее обсуждение и примеры с теоретико-множественной точки зрения, в отличие от топологической точки зрения, обсуждаемой ниже, находятся на теоретико-множественном пределе .

По этому определению последовательность множеств приближается к предельному множеству, когда предельное множество включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного числа множеств последовательности , и не включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного числа дополнений множеств последовательности. То есть этот случай конкретизирует общее определение, когда топология на множестве X индуцируется из дискретной метрики .

В частности, для точек x , y ∈ X дискретная метрика определяется как

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

при котором последовательность точек ( x _k ) сходится к точке x ∈ X тогда и только тогда, когда x _k = x для всех, кроме конечного числа k . Следовательно, если предельное множество существует , оно содержит точки и только те точки, которые находятся во всех, кроме конечного числа множеств последовательности. Поскольку сходимость в дискретной метрике является самой строгой формой сходимости (т. е. требует наибольшего), это определение предельного множества является самым строгим из возможных.

Если ( X _n ) — последовательность подмножеств X , то всегда существует следующее:

• lim sup  X _n состоит из элементов X , которые принадлежат X _n для бесконечного числа n (см. счетно бесконечное ). То есть, x ∈ lim sup  X _n тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность ( X _{n k} ) последовательности ( X _n ) такая, что x ∈ X _{n k} для всех k .
• lim inf  X _n состоит из элементов X , которые принадлежат X _n для всех, кроме конечного числа n (т.е. для коконечного числа n ). То есть, x ∈ lim inf  X _n тогда и только тогда, когда существует некоторое m > 0, такое что x ∈ X _n для всех n > m .

Заметим, что x ∈ lim sup  X _n тогда и только тогда, когда x ∉ lim inf  X _n ^c .

• lim  X _n существует тогда и только тогда, когда lim inf  X _n и lim sup  X _n совпадают, и в этом случае lim  X _n = lim sup  X _n = lim inf  X _n .

В этом смысле последовательность имеет предел до тех пор, пока каждая точка в X либо появляется во всех, кроме конечного числа X _n , либо появляется во всех, кроме конечного числа X _n ^c . ^[7]

Используя стандартный язык теории множеств, включение множеств обеспечивает частичное упорядочение на коллекции всех подмножеств X , что позволяет пересечению множеств генерировать наибольшую нижнюю границу, а объединению множеств генерировать наименьшую верхнюю границу. Таким образом, инфимум или встреча коллекции подмножеств является наибольшей нижней границей, в то время как супремум или соединение является наименьшей верхней границей. В этом контексте внутренний предел, lim inf  X _n , является наибольшим пересечением хвостов последовательности, а внешний предел, lim sup  X _n , является наименьшим соединением хвостов последовательности. Следующее уточняет это.

• Пусть I _n будет точкой n- ^го хвоста последовательности. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

Последовательность ( I _n ) не убывает (т.е. I _n ⊆ I _{n +1} ), поскольку каждое I _{n +1} является пересечением меньшего количества множеств, чем I _n . Наименьшая верхняя граница этой последовательности встреч хвостов равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Таким образом, предельная нижняя грань содержит все подмножества, которые являются нижними границами для всех множеств последовательности, кроме конечного числа.

• Аналогично, пусть J _n будет объединением n- ^го хвоста последовательности. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

Последовательность ( J _n ) невозрастающая (т.е. J _n ⊇ J _{n +1} ), поскольку каждое J _{n +1} является объединением меньшего количества множеств, чем J _n . Наилучшая нижняя граница этой последовательности соединений хвостов равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

Таким образом, предельный супремум содержится во всех подмножествах, которые являются верхними границами для всех, кроме конечного числа множеств последовательности.

Примеры

Ниже приведены несколько примеров сходимости множеств. Они были разбиты на разделы относительно метрики, используемой для индукции топологии на множестве X.

Использование дискретной метрики

• Лемма Бореля –Кантелли является примером применения этих конструкций.

Используя либо дискретную метрику, либо евклидову метрику

• Рассмотрим множество X = {0,1} и последовательность подмножеств:

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности ({0}, {0}, {0}, ...) и ({1}, {1}, {1}, ...), которые имеют предельные точки 0 и 1 соответственно, и поэтому внешний или верхний предел — это множество {0,1} этих двух точек. Однако нет предельных точек, которые можно было бы взять из последовательности ( X _n ) в целом, и поэтому внутренний или нижний предел — это пустое множество { }. То есть,

• предельный предел  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

Однако для ( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) и ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {1}

• Рассмотрим множество X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} и последовательность подмножеств:

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

Как и в предыдущих двух примерах,

• предельный предел  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

То есть четыре элемента, которые не соответствуют шаблону, не влияют на lim inf и lim sup, потому что их только конечное число. Фактически, эти элементы могут быть размещены в любом месте последовательности. Пока хвосты последовательности сохраняются, внешние и внутренние пределы будут неизменными. Связанные концепции существенных внутренних и внешних пределов, которые используют существенный супремум и существенный инфимум , обеспечивают важную модификацию, которая «сжимает» счетное множество (а не просто конечное множество) промежуточных добавлений.

Использование евклидовой метрики

• Рассмотрим последовательность подмножеств рациональных чисел :

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

«Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) и ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...), которые имеют предельные точки 1 и 0 соответственно, и поэтому внешний или верхний предел — это множество {0,1} этих двух точек. Однако нет предельных точек, которые можно было бы взять из последовательности ( X _n ) в целом, и поэтому внутренний или нижний предел — это пустое множество { }. Итак, как и в предыдущем примере,

• предельный предел  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

Однако для ( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) и ( Z _n ) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...):

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {0}

В каждом из этих четырех случаев элементы предельных множеств не являются элементами ни одного из множеств исходной последовательности.

• Предел Ω (т.е. предельное множество ) решения динамической системы является внешним пределом траекторий решения системы. ^{[6] : 50–51} Поскольку траектории становятся все ближе и ближе к этому предельному множеству, хвосты этих траекторий сходятся к предельному множеству.

• Например, система LTI, которая является каскадным соединением нескольких устойчивых систем с незатухающей системой LTI второго порядка (т. е. нулевым коэффициентом затухания ), будет колебаться бесконечно после возмущения (например, идеальный колокол после удара). Следовательно, если положение и скорость этой системы нанести на график друг напротив друга, траектории будут приближаться к окружности в пространстве состояний . Эта окружность, которая является предельным множеством Ω системы, является внешним пределом траекторий решения системы. Окружность представляет собой геометрическое место траектории, соответствующей чистому синусоидальному тону на выходе; то есть выход системы приближается/приближается к чистому тону.

Обобщенные определения

Вышеприведенные определения неадекватны для многих технических приложений. Фактически, приведенные выше определения являются специализациями следующих определений.

Определение множества

Нижний предел множества X  ⊆  Y — это нижняя грань всех предельных точек множества. То есть,

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Аналогично, предел, превышающий X, является супремумом всех предельных точек множества. То есть,

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

Обратите внимание, что множество X должно быть определено как подмножество частично упорядоченного множества Y , которое также является топологическим пространством , чтобы эти определения имели смысл. Более того, оно должно быть полной решеткой , чтобы супремы и инфимы всегда существовали. В этом случае каждое множество имеет верхний предел и нижний предел. Также обратите внимание, что нижний предел и верхний предел множества не обязательно должны быть элементами множества.

Определение для фильтрующих баз

Возьмем топологическое пространство X и базу фильтра B в этом пространстве. Набор всех точек кластера для этой базы фильтра задается как

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

где — замыкание . Это, очевидно, замкнутое множество , похожее на множество предельных точек множества. Предположим, что X также является частично упорядоченным множеством . Предел, превышающий базу фильтра B, определяется как ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$ ${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

когда этот супремум существует. Когда X имеет полный порядок , является полной решеткой и имеет топологию порядка ,

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Аналогично нижний предел базы фильтра B определяется как

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

когда этот инфимум существует; если X полностью упорядочен, является полной решеткой и имеет топологию порядка, то

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

Если нижний предел и верхний предел совпадают, то должна быть ровно одна точка кластера, а предел базы фильтра равен этой уникальной точке кластера.

Специализация для последовательностей и сетей

Обратите внимание, что базы фильтров являются обобщениями сетей , которые являются обобщениями последовательностей . Таким образом, эти определения дают нижний и верхний предел любой сети (и, следовательно, любой последовательности). Например, возьмем топологическое пространство и сеть , где — направленное множество и для всех . База фильтров («хвостов»), генерируемая этой сетью, определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle (A,{\leq })}$ ${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

Следовательно, нижний предел и верхний предел сети равны верхнему пределу и нижнему пределу соответственно. Аналогично, для топологического пространства , возьмем последовательность , где для любого . Фильтрующая база ("хвостов"), сгенерированная этой последовательностью, определяется как ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

Следовательно, нижний и верхний предел последовательности равны верхнему и нижнему пределу соответственно. ${\displaystyle C}$

Смотрите также

• Эссенциальная нижняя грань и эссенциальная супремум
• Конверт (волны)
• Односторонний предел
• Производные Дини
• Теоретико-множественный предел

Ссылки

1. Рудин, В. (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 56. ISBN 007054235X.
2. Глисон, Эндрю М. (1992). Основы абстрактного анализа . Бока-Ратон, Флорида. С. 176–177. ISBN 978-1-4398-6481-4. OCLC  1074040561.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Глисон, Эндрю М. (1992). Основы абстрактного анализа . Бока-Ратон, Флорида. С. 160–182. ISBN 978-1-4398-6481-4. OCLC  1074040561.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. "Ограниченные промежутки между простыми числами". Polymath wiki . Получено 14 мая 2014 г.^{[ ненадежный источник? ]}
5. "Критерий Лебега для интегрируемости Римана (MATH314 Lecture Notes)" (PDF) . Виндзорский университет . Архивировано из оригинала (PDF) 2007-03-03 . Получено 2006-02-24 .
6. Goebel, Rafal; Sanfelice, Ricardo G.; Teel, Andrew R. (2009). «Гибридные динамические системы». Журнал IEEE Control Systems . 29 (2): 28–93. doi :10.1109/MCS.2008.931718.
7. Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, Inc.

• Аманн, Х.; Эшер, Иоахим (2005). Анализ . Базель; Бостон: Birkhäuser. ISBN 0-8176-7153-6.
• Гонсалес, Марио О (1991). Классический комплексный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 0-8247-8415-4.

Внешние ссылки

• «Верхние и нижние пределы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]