Полунепрерывность

Свойство функций, более слабое, чем непрерывность.

В математическом анализе полунепрерывность (или полунепрерывность ) — свойство расширенных вещественных функций , более слабое, чем непрерывность . Расширенная действительная функция является полунепрерывной сверху (соответственно снизу ) в точке , если, грубо говоря, значения функции для аргументов вблизи ненамного выше (соответственно ниже) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке до некоторого , то результат будет полунепрерывным сверху; если мы уменьшим его значение до, то результат будет полунепрерывным снизу. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

Полунепрерывная сверху функция, не являющаяся полунепрерывной снизу. Сплошная синяя точка указывает ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Полунепрерывная снизу функция, не являющаяся полунепрерывной сверху. Сплошная синяя точка указывает ${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Понятие полунепрерывной сверху и снизу функции было впервые введено и изучено Рене Бэром в его диссертации в 1899 году. ^[1]

Определения

Предположим, что это топологическое пространство и функция со значениями в расширенных действительных числах . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]}$

Верхняя полунепрерывность

Функция называется полунепрерывной сверху в точке, если для любого вещественного числа существует окрестность такая , что для всех . ^[2] Эквивалентно, полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)<y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$

верхний предел ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Функция называется полунепрерывной сверху , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[2] ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) Функция полунепрерывна сверху в каждой точке своей области определения .

(2) Все множества с открыты в , где . ${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$

(3) Все множества суперуровней с замкнуты в . ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq y\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

(4) Гипограф замкнут в . ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) Функция непрерывна, если кодобласть задана топологией левого порядка . Это всего лишь переформулировка условия (2), поскольку топология левого порядка порождается всеми интервалами . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,y)}$

Нижняя полунепрерывность

Функция называется полунепрерывной снизу в точке, если для любого вещественного числа существует окрестность такая , что для всех . Эквивалентно, полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)>y}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$

нижний предел ${\displaystyle \liminf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Функция называется полунепрерывной снизу , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

(1) Функция полунепрерывна снизу в каждой точке своей области определения .

(2) Все множества с открыты в , где . ${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$

(3) Все множества подуровней с замкнуты в . ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq y\}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

(4) Эпиграф замыкается в . ${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$

(5) Функция непрерывна, если кодобласть задана топологией правого порядка . Это просто повторная формулировка условия (2), поскольку топология правого порядка порождается всеми интервалами . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle (y,\infty ]}$

Примеры

Рассмотрим функцию , кусочно определенную следующим образом: ${\displaystyle f,}$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$

${\displaystyle x_{0}=0,}$

Функция пола , которая возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному действительному числу, всюду полунепрерывна сверху. Аналогично функция потолка является полунепрерывной снизу. ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil }$

Полунепрерывность сверху и снизу не имеет никакого отношения к непрерывности слева или справа для функций действительной переменной. Полунепрерывность определяется с точки зрения упорядочения в области значений функций, а не в области определения. ^[3] Например, функция

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}}$$

${\displaystyle x=0}$

Если - евклидово пространство (или, в более общем смысле, метрическое пространство) и пространство кривых в (с супремумным расстоянием ), то функционал длины , который присваивает каждой кривой ее длину , полунепрерывен снизу. ^[4] В качестве примера рассмотрим аппроксимацию диагонали единичного квадрата лестницей снизу. Лестница всегда имеет длину 2, а диагональная линия — только длину . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}}$ ${\displaystyle L:\Gamma \to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L(\alpha ),}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пусть - пространство с мерой и пусть обозначает множество положительных измеримых функций, наделенных топологией сходимости по мере относительно Тогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из до , полунепрерывен снизу. ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{+}(X,\mu )}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

Характеристики

Если не указано иное, все приведенные ниже функции относятся к топологическому пространству и расширенным действительным числам . Некоторые результаты верны для полунепрерывности в определенной точке, но для краткости они формулируются только с точки зрения полунепрерывности во всей области. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].}$

• Функция непрерывна тогда и только тогда , когда она полунепрерывна сверху и снизу. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$

• Индикаторная функция множества (определяемая if и if ) является полунепрерывной сверху тогда и только тогда, когда это замкнутое множество . Оно полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда — открытое множество . ^{[примечание 1]} ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\notin A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• Сумма двух полунепрерывных снизу функций полунепрерывна снизу ^[5] (при условии, что сумма корректно определена, т. е. не имеет неопределенной формы ). То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций. ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle -\infty +\infty }$

• Если обе функции неотрицательны, функция произведения двух полунепрерывных снизу функций является полунепрерывной снизу. Соответствующий результат справедлив для полунепрерывных сверху функций. ${\displaystyle fg}$

• Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle -f}$

• Композиция полунепрерывных сверху функций не обязательно полунепрерывна сверху, но если она еще и неубывающая, то полунепрерывна сверху. ^[6] ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ g}$

• Минимум и максимум двух полунепрерывных снизу функций полунепрерывны снизу. Другими словами, множество всех полунепрерывных снизу функций от до (или до ) образует решетку . То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Супремум (поточечно) произвольного семейства полунепрерывных снизу функций (определяемых ) полунепрерывен снизу. ^[7] ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$

В частности, предел монотонно возрастающей последовательности непрерывных функций полунепрерывен снизу. (Приведенная ниже теорема Бэра дает частичное обратное.) Предельная функция, вообще говоря, будет только полунепрерывной снизу, а не непрерывной. Примером служат функции, определенные для for ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$ ${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

Аналогично, нижняя грань произвольного семейства полунепрерывных сверху функций полунепрерывна сверху. А предел монотонно убывающей последовательности непрерывных функций полунепрерывен сверху.

• ( Теорема Бэра ) ^{[примечание 2]} Предположим, что пространство метрическое . Всякая полунепрерывная снизу функция является пределом монотонно возрастающей последовательности расширенных вещественнозначных непрерывных функций на ; если не принимает значение , то непрерывные функции можно считать вещественными. ^{[8] [9]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$

И каждая полунепрерывная сверху функция является пределом монотонно убывающей последовательности расширенных вещественнозначных непрерывных функций на ; если не принимает значение, то непрерывные функции можно считать вещественными. ${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty ,}$

• Если — компактное пространство (например, замкнутый ограниченный интервал ) и полунепрерывно сверху, то имеет максимум на. Если полунепрерывно снизу на , то имеет минимум на ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle C.}$

( Доказательство для полунепрерывного сверху случая : по условию (5) в определении оно непрерывно, если задана топология левого порядка. Поэтому его образ компактен в этой топологии. И компактными множествами в этой топологии являются в точности множества с максимумом Альтернативное доказательство см. в статье о теореме о крайнем значении .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f(C)}$

• Любая полунепрерывная сверху функция в произвольном топологическом пространстве локально постоянна на некотором плотном открытом подмножестве пространства. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

• Теорема Тонелли в функциональном анализе характеризует слабую полунепрерывность снизу нелинейных функционалов на ^{пространствах} Lp в терминах выпуклости другой функции.

Смотрите также

• Непрерывность направления  – математическая функция без резких изменений.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема вставки Катетова–Тонга  . О существовании непрерывной функции между полунепрерывными верхними и нижними оценками.
• Полунепрерывная заданная функция

Примечания

1. В контексте выпуклого анализа характеристическая функция множества определяется по-разному, как будто и если . Согласно этому определению, характеристическая функция любого замкнутого множества полунепрерывна снизу, а характеристическая функция любого открытого множества полунепрерывна сверху. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \chi _{A}(x)=\infty }$ ${\displaystyle x\notin A}$
2. Результат был доказан Рене Бэром в 1904 году для действительной функции, определенной на . Она была распространена на метрические пространства Хансом Ханом в 1917 году, а Хинг Тонг показал в 1952 году, что наиболее общим классом пространств, для которых теорема справедлива, является класс совершенно нормальных пространств . (Подробности и конкретные ссылки см. в Энгелькинге, упражнение 1.7.15(c), стр. 62.) ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Рекомендации

1. Верри, Матье. «История математики - Рене Бэр».
2. Стромберг, с. 132, Упражнение 4
3. Уиллард, с. 49, задача 7К
4. Джаквинта, Мариано (2007). Математический анализ: линейные и метрические структуры и непрерывность. Джузеппе Модика (1-е изд.). Бостон: Биркхойзер. Теорема 11.3, с.396. ISBN 978-0-8176-4514-4. ОСЛК  213079540.
5. Путерман, Мартин Л. (2005). Марковские процессы принятия решений. Дискретное стохастическое динамическое программирование . Уайли-Интерсайенс. стр. 602. ISBN. 978-0-471-72782-8.
6. Мур, Джеймс К. (1999). Математические методы экономической теории . Берлин: Шпрингер. п. 143. ИСБН 9783540662358.
7. «Показать, что верхняя грань любого набора полунепрерывных снизу функций полунепрерывна снизу».
8. Стромберг, с. 132, Упражнение 4(ж)
9. «Покажите, что полунепрерывная снизу функция является верхней границей возрастающей последовательности непрерывных функций».

Библиография

• Бенешова, Б.; Крузик, М. (2017). «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложений». Обзор СИАМ . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . дои : 10.1137/16M1060947. S2CID  119668631.
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы математики: Общая топология, 1–4 . Спрингер. ISBN 0-201-00636-7.
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы математики: общая топология, 5–10 . Спрингер. ISBN 3-540-64563-2.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Гельбаум, Бернард Р.; Олмстед, Джон М.Х. (2003). Контрпримеры в анализе . Дуврские публикации. ISBN 0-486-42875-3.
• Хайерс, Дональд Х.; Исак, Джордж; Рассиас, Фемистокл М. (1997). Темы нелинейного анализа и приложений . Всемирная научная. ISBN 981-02-2534-2.
• Стромберг, Карл (1981). Введение в классический реальный анализ . Уодсворт. ISBN 978-0-534-98012-2.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.
• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – через Интернет-архив .