Пи

Число, примерно 3,14

Число π ( / p aɪ / ; пишется как « пи ») — математическая константа , представляющая собой отношение длины окружности к ее диаметру , примерно равное 3,14159 . Число π встречается во многих формулах математики и физики . Это иррациональное число , то есть его нельзя точно выразить как отношение двух целых чисел, хотя для его приближения обычно используются такие дроби, как дроби . Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не входит в постоянно повторяющийся шаблон . Это трансцендентное число , что означает, что оно не может быть решением уравнения, включающего только конечные суммы, произведения, степени и целые числа. Трансцендентность числа π подразумевает, что невозможно решить древнюю задачу квадратуры круга с помощью циркуля и линейки . Десятичные цифры числа π кажутся распределенными случайным образом , ^[a] , но никаких доказательств этой гипотезы не найдено. ${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}$

На протяжении тысячелетий математики пытались расширить свое понимание числа π , иногда вычисляя его значение с высокой степенью точности. Древним цивилизациям, включая египтян и вавилонян , требовалось довольно точное приближение числа π для практических вычислений. Около 250  г. до н.э. греческий математик Архимед создал алгоритм, позволяющий аппроксимировать число π с произвольной точностью. В V веке нашей эры китайские математики аппроксимировали число π до семи цифр, а индийские математики сделали пятизначное приближение, используя геометрические методы. Первая вычислительная формула для числа π , основанная на бесконечных рядах , была открыта тысячелетие спустя. ^{[1] [2]} Самое раннее известное использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было осуществлено валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году ^{. [3]}

Изобретение исчисления вскоре привело к вычислению сотен цифр числа π , достаточных для всех практических научных вычислений. Тем не менее, в 20-м и 21-м веках математики и ученые-компьютерщики использовали новые подходы, которые в сочетании с увеличением вычислительной мощности расширили десятичное представление числа π до многих триллионов цифр. ^{[4] [5]} Эти вычисления мотивированы разработкой эффективных алгоритмов расчета числовых рядов, а также стремлением человека побить рекорды. ^{[6] [7]} Обширные вычисления также использовались для тестирования суперкомпьютеров , а также стресс-тестирования потребительского компьютерного оборудования.

Поскольку его определение относится к кругу, π встречается во многих формулах тригонометрии и геометрии , особенно в тех, которые касаются кругов, эллипсов и сфер. Он также встречается в формулах из других тем науки, таких как космология , фракталы , термодинамика , механика и электромагнетизм . Оно также появляется в областях, имеющих мало общего с геометрией, таких как теория чисел и статистика , и в современном математическом анализе может быть определена без какой-либо ссылки на геометрию. Повсеместное распространение числа π делает его одной из наиболее широко известных математических констант внутри и за пределами науки. Издано несколько книг, посвященных числу π , а рекордные вычисления цифр π часто попадают в заголовки новостей.

Основы

Имя

Символ, используемый математиками для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру, — это строчная греческая буква π , иногда записываемая как «пи». ^[8] В английском языке π произносится как «пирог» ( / p aɪ / PY ). ^[9] В математическом использовании строчная буква π отличается от ее заглавной и увеличенной аналогии Π , которая обозначает произведение последовательности , аналогично тому, как Σ обозначает суммирование .

Выбор символа π обсуждается в разделе «Принятие символа π».

Определение

Длина окружности чуть более чем в три раза превышает ее диаметр. Точное соотношение называется π .

π обычно определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d : [ ^10]

$${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$$

Соотношение постоянно, независимо от размера круга. Например, если диаметр круга в два раза больше диаметра другого круга, его окружность также будет вдвое больше, сохраняя соотношение . Это определение π неявно использует плоскую (евклидову) геометрию ; хотя понятие круга можно распространить на любую кривую (неевклидову) геометрию , эти новые круги больше не будут удовлетворять формуле . ^[10] ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$ ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$ ${\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}}$

Здесь длина окружности — это длина дуги по периметру круга, величина, которую можно формально определить независимо от геометрии с помощью пределов — понятия в исчислении . ^[11] Например, можно напрямую вычислить длину дуги верхней половины единичного круга, заданную в декартовых координатах уравнением , как интеграл : [ ^12] ${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$

$${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$

Такой интеграл был принят в качестве определения π Карлом Вейерштрассом , который определил его непосредственно как интеграл в 1841 году. ^[b]

Интеграция больше не широко используется в первом аналитическом определении, потому что, как объясняет Реммерт 2012, дифференциальное исчисление обычно предшествует интегральному исчислению в университетской программе, поэтому желательно иметь определение π , не опирающееся на последнее. Одно из таких определений, данное Ричардом Бальцером ^[13] и популяризированное Эдмундом Ландау , ^[14] заключается в следующем: π — это удвоенное наименьшее положительное число, при котором косинус равен 0. ^{[10] [12] [15]} π — это также наименьшее положительное число, при котором синусоидальная функция равна нулю, и разность между последовательными нулями синусоидальной функции. Косинус и синус могут быть определены независимо от геометрии как степенной ряд ^[16] или как решение дифференциального уравнения . ^[15]

Подобным же образом π можно определить, используя свойства комплексной экспоненты exp z комплексной переменной z . Как и косинус, комплексная экспонента может быть определена одним из нескольких способов. Набор комплексных чисел, при которых exp z равен единице, представляет собой (мнимую) арифметическую прогрессию вида:

$${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$

и существует единственное положительное действительное число π, обладающее этим свойством. ^{[12] [17]}

Вариацией той же идеи, использующей сложные математические понятия топологии и алгебры , является следующая теорема: ^[18] существует единственный ( с точностью до автоморфизма ) непрерывный изоморфизм группы R / Z действительных чисел при сложении целых чисел . ( группа круга ) на мультипликативную группу комплексных чисел с абсолютным значением один. Тогда число π определяется как половина величины производной этого гомоморфизма. ^[19]

Иррациональность и нормальность

π — иррациональное число , то есть его нельзя записать как отношение двух целых чисел . Такие дроби, как22/7и355/113обычно используются для аппроксимации числа π , но никакая обыкновенная дробь (отношение целых чисел) не может быть его точным значением. ^[20] Поскольку число π иррационально, оно имеет бесконечное количество цифр в своем десятичном представлении и не превращается в бесконечно повторяющийся набор цифр. Есть несколько доказательств того, что π иррационально ; они обычно требуют исчисления и полагаются на технику доведения до абсурда . Степень, в которой π можно аппроксимировать рациональными числами (называемая мерой иррациональности ), точно не известна; оценки установили, что мера иррациональности больше меры е или ln 2 , но меньше меры чисел Лиувилля . ^[21]

Цифры числа π не имеют видимой закономерности и прошли тесты на статистическую случайность , включая тесты на нормальность ; Число бесконечной длины называется нормальным, когда все возможные последовательности цифр (любой заданной длины) встречаются одинаково часто. Гипотеза о том, что π нормальна , не доказана и не опровергнута. ^[22]

С момента появления компьютеров стало доступно большое количество цифр числа π для проведения статистического анализа. Ясумаса Канада провел подробный статистический анализ десятичных цифр числа π и обнаружил, что они соответствуют нормальности; например, частоты десяти цифр от 0 до 9 были подвергнуты тестам статистической значимости , и никаких доказательств закономерности обнаружено не было. ^[23] Любая случайная последовательность цифр содержит подпоследовательности произвольной длины, которые кажутся неслучайными в соответствии с теоремой о бесконечных обезьянах . Таким образом, поскольку последовательность цифр числа π проходит статистические тесты на случайность, она содержит некоторые последовательности цифр, которые могут показаться неслучайными, например последовательность из шести последовательных девяток , которая начинается с 762-го десятичного знака десятичного представления числа π . . ^{[24] В} математическом фольклоре это также называется «точкой Фейнмана» , в честь Ричарда Фейнмана , хотя никакой связи с Фейнманом не известно.

трансцендентность

Поскольку π — трансцендентное число , квадратура круга невозможна за конечное число шагов с использованием классических инструментов циркуля и линейки .

Помимо того, что π является иррациональным, оно также является трансцендентным числом , что означает, что оно не является решением какого-либо непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, такими как . ^{[25] [с]} ${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$

Трансцендентность π имеет два важных последствия: во-первых, π не может быть выражено с использованием какой-либо конечной комбинации рациональных чисел и квадратных корней или корней n -й степени (таких как или ). Во-вторых, поскольку ни одно трансцендентное число невозможно построить с помощью циркуля и линейки , невозможно « квадратировать круг ». Другими словами, невозможно с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого в точности равна площади данного круга. ^[26] Квадратура круга была одной из важных задач геометрии классической античности . ^[27] Математики-любители в наше время иногда пытались вычислить квадрат круга и добились успеха, несмотря на то, что это математически невозможно. ^{[28] [29]} ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$

Непрерывные дроби

Как иррациональное число, π не может быть представлено в виде обыкновенной дроби . Но каждое число, включая π , может быть представлено бесконечной серией вложенных дробей, называемой непрерывной дробью :

$${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$

Усечение цепной дроби в любой точке дает рациональное приближение для π ; первые четыре из них — 3 ,22/7,333/106, и355/113. Эти числа являются одними из самых известных и наиболее широко используемых исторических приближений константы. Каждое приближение, полученное таким образом, является лучшим рациональным приближением; то есть каждая из них ближе к π , чем любая другая дробь с тем же или меньшим знаменателем. ^[30] Поскольку π трансцендентно, оно по определению не алгебраическое и поэтому не может быть квадратичным иррациональным числом . Следовательно, π не может иметь периодическую цепную дробь . Хотя простая цепная дробь для π (показанная выше) также не демонстрирует какой-либо другой очевидной закономерности, ^{[31] [32]} некоторые обобщенные цепные дроби проявляют ее, например: ^[33]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

Середина из них принадлежит математику середины 17 века Уильяму Браункеру , см. § Формулу Браункера .

Примерное значение и цифры

Некоторые приближения числа Пи включают:

• Целые числа : 3
• Дроби : приблизительные дроби включают (в порядке возрастания точности)22/7,333/106,355/113,52163/16604,103993/33102,104348/33215, и245850922/78256779. ^[30] (Список выбранных терминов из OEIS : A063674 и OEIS : A063673 .)
• Цифры : первые 50 десятичных цифр: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^[34] (см. OEIS : A000796 ).

Цифры в других системах счисления

• Первые 48 двоичных цифр ( по основанию 2) (называемых битами ) равны 11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (см. OEIS : A004601 ).
• Первые 38 цифр троичного числа (основание 3): 10,010 211 0122 220 102 110 021 111 102 212 222 201... (см. OEIS : A004602 ).
• Первые 20 цифр в шестнадцатеричном формате (основание 16): 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... ^[35] (см. OEIS : A062964 ).
• Первые пять шестидесятеричных цифр (по основанию 60) равны 3;8,29,44,0,47 ^[36] (см. OEIS : A060707 ).

Комплексные числа и тождество Эйлера

Связь между мнимыми степенями числа e и точками единичного круга с центром в начале координат на комплексной плоскости, заданная формулой Эйлера.

Любое комплексное число , например z , можно выразить с помощью пары действительных чисел . В полярной системе координат одно число ( радиус или r ) используется для обозначения расстояния z от начала комплексной плоскости , а другое (угол или φ ) — для вращения против часовой стрелки от положительной вещественной линии: ^{[37] ]}

$${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$

где я — мнимая единица, удовлетворяющая . Частое появление π в комплексном анализе может быть связано с поведением показательной функции комплексной переменной, описываемой формулой Эйлера : ^[38] ${\displaystyle i^{2}=-1}$

$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$

где константа e является основанием натурального логарифма . Эта формула устанавливает соответствие между мнимыми степенями e и точками единичной окружности с центром в начале комплексной плоскости. Установка формулы Эйлера приводит к тождеству Эйлера , известному в математике благодаря тому, что оно содержит пять важных математических констант: ^{[38] [39]} ${\displaystyle \phi =\pi }$

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

Существует n различных комплексных чисел z, удовлетворяющих , и они называются « корнями n - й степени из единицы » ^[40] и задаются формулой: ${\displaystyle z^{n}=1}$

$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$

История

Античность

Самые известные приближения к датировке по числу π до нашей эры были с точностью до двух десятичных знаков; в китайской математике это было усовершенствовано , в частности, к середине первого тысячелетия, с точностью до семи десятичных знаков. После этого дальнейшего прогресса не наблюдалось до периода позднего средневековья.

Самые ранние письменные приближения числа π найдены в Вавилоне и Египте, оба в пределах одного процента от истинного значения. В Вавилоне на глиняной табличке , датированной 1900–1600 гг. до н.э., есть геометрическое утверждение, которое косвенно трактует π как25/8 = 3,125. ^[41] В Египте папирус Ринда , датированный примерно 1650 годом до нашей эры, но скопированный из документа, датированного 1850 годом до нашей эры, содержит формулу площади круга, которая рассматривает π как . ^{[32] [41]} Хотя некоторые пирамидологи предполагают, что Великая пирамида в Гизе была построена с пропорциями, связанными с числом π , эта теория не получила широкого признания учёных. ^[42] В «Шулба-сутрах» индийской математики , относящихся к устной традиции первого или второго тысячелетия до нашей эры, даны приближения, которые по-разному интерпретировались как примерно 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 или 3,125. ^[43] ${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16}$

Эпоха аппроксимации полигонов

π можно оценить, вычислив периметры описанного и вписанного многоугольников.

Архимед разработал полигональный подход к аппроксимации π .

Первым зарегистрированным алгоритмом для строгого расчета значения π был геометрический подход с использованием многоугольников, разработанный около 250 г. до н.э. греческим математиком Архимедом . ^[44] Этот полигональный алгоритм доминировал более 1000 лет, и в результате π иногда называют постоянной Архимеда. ^[45] Архимед вычислил верхнюю и нижнюю границы числа π , нарисовав правильный шестиугольник внутри и снаружи круга и последовательно удваивая количество сторон, пока не достиг 96-стороннего правильного многоугольника. Вычислив периметры этих многоугольников, он доказал, что223/71< π <22/7(то есть 3,1408 < π < 3,1429 ). ^[46] Верхняя граница Архимеда22/7возможно, привело к широко распространенному распространенному мнению, что π равно22/7. ^[47] Около 150 года нашей эры греко-римский ученый Птолемей в своем «Альмагесте» дал значение π , равное 3,1416, которое он, возможно, получил от Архимеда или от Аполлония Пергского . ^{[48] ​​[49]} Математики, использующие полигональные алгоритмы, достигли 39 цифр числа π в 1630 году, рекорд был побит только в 1699 году, когда бесконечные ряды использовались для достижения 71 цифры. ^[50]

В древнем Китае значения π включали 3,1547 (около 1 года нашей эры), (100 лет нашей эры, примерно 3,1623) и ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$142/45(3 век, примерно 3.1556). ^[51] Около 265 года нашей эры математик из Королевства Вэй Лю Хуэй создал итерационный алгоритм на основе многоугольников и использовал его с многоугольником с 3072 сторонами, чтобы получить значение π , равное 3,1416. ^{[52] [53]} Позже Лю изобрел более быстрый метод вычисления π и получил значение 3,14 для 96-стороннего многоугольника, воспользовавшись тем фактом, что различия в площади последовательных многоугольников образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом 4. ^[52] Китайский математик Цзу Чунчжи около 480 г. н.э. рассчитал это и предложил приближения и , которые он назвал Милю («близкое соотношение») и Юэлю («приблизительное соотношение») соответственно, используя алгоритм Лю Хуэя. Применительно к многоугольнику с числом сторон 12 288. С правильным значением семи первых десятичных цифр это значение оставалось наиболее точным приближением числа π , доступным в течение следующих 800 лет ^. ${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$ ${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035...}$ ${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857...}$

Индийский астроном Арьябхата использовал значение 3,1416 в своей «Арьябхатия» (499 г. н.э.). ^[55] Фибоначчи в ок.  1220 вычислил 3,1418, используя полигональный метод, независимый от Архимеда. ^[56] Итальянский автор Данте, очевидно, использовал это значение . ^[56] ${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$

Персидский астроном Джамшид аль-Каши в 1424 году получил девять шестидесятеричных цифр, что примерно соответствует 16 десятичным цифрам, используя многоугольник со сторонами ^{[57] [58]} , который оставался мировым рекордом на протяжении примерно 180 лет. ^[59] Французский математик Франсуа Вьет в 1579 году получил девять цифр с многоугольником сторон. ^[59] Фламандский математик Адриан ван Ромен достиг 15 знаков после запятой в 1593 году. ^[59] В 1596 году голландский математик Людольф ван Сеулен достиг 20 цифр, позже этот рекорд он увеличил до 35 цифр (в результате число π было названо «людольфианским числом»). число» в Германии до начала 20 века). ^[60] Голландский учёный Виллеброрд Снеллиус достиг 34 цифр в 1621 году, ^[61] а австрийский астроном Кристоф Гринбергер достиг 38 цифр в 1630 году, используя 10 ⁴⁰ сторон. ^[62] Христиан Гюйгенс смог получить 10 десятичных знаков в 1654 году, используя немного другой метод, эквивалентный экстраполяции Ричардсона . ^{[63] [64]} ${\textstyle 3\times 2^{28}}$ ${\textstyle 3\times 2^{17}}$

Бесконечная серия

Сравнение сходимости нескольких исторических бесконечных рядов для π . Sn _— аппроксимация после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Вычисление числа π произвело революцию благодаря развитию методов бесконечных рядов в 16 и 17 веках. Бесконечная серия – это сумма членов бесконечной последовательности . Бесконечные ряды позволили математикам вычислить число π с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, использовавшие геометрические методы. ^[65] Хотя бесконечные ряды использовались для определения числа π , в первую очередь, европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц , этот подход также появился в школе Кералы где-то в 14 или 15 веке. ^{[66] [67]} Около 1500 года нашей эры письменное описание бесконечного ряда, который можно было использовать для вычисления числа π , было изложено в санскритском стихе в « Тантрасамграхе » Нилакантхи Сомаяджи . ^[66] Серия представлена ​​без доказательств, но доказательства представлены в более поздней работе « Юктибхаша » примерно 1530 года нашей эры. Описано несколько бесконечных рядов, включая ряды для синуса (который Нилакантха приписывает Мадхаве из Сангамаграмы ), косинуса и арктангенса, которые теперь иногда называют рядами Мадхавы . Ряд арктангенса иногда называют рядом Грегори или рядом Грегори – Лейбница. ^[66] Мадхава использовал бесконечные ряды для оценки π до 11 цифр около 1400 года. ^[68]

В 1593 году Франсуа Вьет опубликовал то, что сейчас известно как формула Вьета , бесконечное произведение (а не бесконечная сумма , которая чаще используется в вычислениях π ): ^{[69] [70] [71]}

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$

В 1655 году Джон Уоллис опубликовал то, что сейчас известно как произведение Уоллиса , также бесконечное произведение: ^[69]

$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$

Исаак Ньютон использовал бесконечные ряды для вычисления числа π до 15 цифр, позже написав: «Мне стыдно рассказывать вам, до скольких цифр я провел эти вычисления». ^[72]

В 1660-х годах английский учёный Исаак Ньютон и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли исчисление , что привело к разработке множества бесконечных рядов для аппроксимации числа π . Сам Ньютон использовал арксинусный ряд для вычисления 15-значного приближения числа π в 1665 или 1666 годах, написав: «Мне стыдно сказать вам, до скольких цифр я провел эти вычисления, не имея в то время других дел». ^[72]

В 1671 году Джеймс Грегори и независимо Лейбниц в 1673 году открыли разложение арктангенса в ряд Тейлора : [ ^{66] [73] [74]}

$${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$

Этот ряд, иногда называемый рядом Грегори-Лейбница , равен при оценке с помощью . ^[74] Но для , он сходится непрактично медленно (то есть приближается к ответу очень постепенно), требуя примерно в десять раз больше членов для вычисления каждой дополнительной цифры. ^[75] ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=1}$

В 1699 году английский математик Абрахам Шарп использовал ряд Грегори-Лейбница для вычисления числа π до 71 цифры, побив предыдущий рекорд в 39 цифр, который был установлен с помощью полигонального алгоритма. ^[76] ${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори-Лейбница для создания алгоритма, который сходился гораздо быстрее: ^{[3] [77] [78]}

$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

С помощью этой формулы Мачин достиг 100 цифр числа π . ^[79] Другие математики создали варианты, теперь известные как формулы Мачина , которые использовались для установки нескольких последовательных рекордов по вычислению цифр числа π . ^{[80] [79]}

Исаак Ньютон ускорил сходимость ряда Грегори-Лейбница в 1684 г. (в неопубликованной работе; другие независимо обнаружили результат): ^[81]

${\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots }$

Леонард Эйлер популяризировал эту серию в своем учебнике по дифференциальному исчислению 1755 года, а позже использовал ее с формулами, подобными машинам, в том числе с помощью которых он вычислил 20 цифр числа π за один час. ^[82] ${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{77}},}$

Машиноподобные формулы оставались самым известным методом расчета π даже в эпоху компьютеров и использовались для установления рекордов в течение 250 лет, кульминацией которых стало 620-значное приближение в 1946 году Дэниела Фергюсона - лучшее приближение, достигнутое без посторонней помощи. счетного устройства. ^[83]

В 1844 году рекорд был установлен Захариасом Дазе , который применил подобную Машину формулу для вычисления в уме 200 десятичных знаков числа π по указанию немецкого математика Карла Фридриха Гаусса . ^[84]

В 1853 году британский математик Уильям Шэнкс вычислил число π до 607 цифр, но допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры оказались неверными. Хотя в 1873 году он вычислил еще 100 цифр, доведя общее количество до 707, его предыдущая ошибка также сделала все новые цифры неверными. ^[85]

Скорость сходимости

Некоторые бесконечные ряды для π сходятся быстрее других. Учитывая выбор двух бесконечных рядов для π , математики обычно будут использовать тот, который сходится быстрее, потому что более быстрая сходимость уменьшает объем вычислений, необходимых для вычисления π с любой заданной точностью. ^[86] Простой бесконечный ряд для π — это ряд Грегори–Лейбница : ^[87]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$$

По мере того, как к сумме добавляются отдельные члены этого бесконечного ряда, общая сумма постепенно приближается к π и – при достаточном количестве членов – может приблизиться к π настолько , насколько это необходимо. Однако он сходится довольно медленно – после 500 000 членов он дает только пять правильных десятичных цифр π . ^[88]

Бесконечный ряд для π (опубликованный Нилакантой в 15 веке), который сходится быстрее, чем ряд Грегори – Лейбница: ^{[89] [90]}

$${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$$

В следующей таблице сравниваются скорости сходимости этих двух рядов:

После пяти членов сумма ряда Грегори-Лейбница находится в пределах 0,2 от правильного значения π , тогда как сумма ряда Нилаканты находится в пределах 0,002 от правильного значения. Ряд Нилаканты сходится быстрее и более полезен для вычисления цифр числа π . Ряды, которые сходятся еще быстрее, включают ряд Мачина и ряд Чудновского , последний дает 14 правильных десятичных цифр за член. ^[86]

Иррациональность и трансцендентность

Не все математические достижения, связанные с π , были направлены на повышение точности приближений. Когда Эйлер в 1735 году решил Базельскую задачу , найдя точное значение суммы обратных квадратов, он установил связь между π и простыми числами , что впоследствии способствовало разработке и изучению дзета -функции Римана : ^[91]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$

Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт в 1768 году доказал, что число π иррационально , то есть оно не равно частному двух целых чисел. ^[20] В доказательстве Ламберта использовалось представление касательной функции в виде цепной дроби. ^[92] Французский математик Адриен-Мари Лежандр в 1794 году доказал, что π ² также иррационально. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что число π трансцендентно , ^[93] подтвердив гипотезу Лежандра и Эйлера. ^{[94] [95]} Харди и Райт заявляют, что «доказательства были впоследствии изменены и упрощены Гильбертом, Гурвицем и другими авторами». ^[96]

Принятие символа π

В самых ранних обычаях греческая буква π использовалась для обозначения полупериметра ( полупериферия на латыни) круга ^[8] и объединялась в пропорциях с δ (для диаметра или полудиаметра) или ρ (для радиуса ) для образования констант круга. ^{[97] [98] [99] [100]} (До этого математики иногда использовали вместо них такие буквы, как c или p . ^[101] ) Первое зарегистрированное использование - это « » Оттреда для выражения соотношения периферии и диаметра в 1647 г. и более поздние издания Clavis Mathematicae . ^{[102] [101]} Бэрроу также использовал « » для обозначения константы 3,14... , ^[103] в то время как Грегори вместо этого использовал « » для обозначения 6,28...  . ^{[104] [99]} ${\displaystyle \delta .\pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$

Самое раннее известное использование одной только греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было осуществлено валлийским математиком Уильямом Джонсом в его работе 1706 года Synopsis Palmariorum Matheseos ; или Новое введение в математику . ^{[3] [105]} Греческая буква появляется на стр. 243 во фразе « Периферия ( π )», рассчитанной для круга радиуса один. Однако Джонс пишет, что его уравнения для π взяты из «готового пера поистине гениального мистера Джона Мэчина », что приводит к предположению, что Мачин, возможно, использовал греческую букву до Джонса. ^[101] Обозначение Джонса не было сразу принято другими математиками, а обозначение дробей все еще использовалось даже в 1767 году. ^{[97] [106]} ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$

Эйлер начал использовать однобуквенную форму, начиная с своего «Эссе, объясняющего свойства воздуха» 1727 года , хотя в этой и некоторых более поздних работах он использовал π = 6,28... , отношение периферии к радиусу. ^{[107] [108]} Эйлер впервые использовал π = 3,14... в своей работе «Механика» 1736 года , ^[109] и продолжил в своей широко читаемой работе 1748 года « Introductio in analysin infinitorum» (он писал: «ради краткости мы напишем это число как π ; таким образом, π равно половине длины окружности радиуса 1 "). ^[110] Поскольку Эйлер активно переписывался с другими математиками в Европе, использование греческой буквы быстро распространилось, и впоследствии эта практика получила повсеместное распространение в западном мире , ^[101] хотя определение все еще варьировалось между 3,14... и 6,28. ... еще в 1761 году. ^[111]

Современный поиск большего количества цифр

Компьютерная эра и итеративные алгоритмы

Итерационный алгоритм Гаусса – Лежандра :
инициализировать

$${\displaystyle \textstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.}$$

Итерировать

$${\displaystyle \textstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},}$$

$${\displaystyle \textstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.}$$

Тогда оценка для π дается выражением

$${\displaystyle \textstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}$$

Развитие компьютеров в середине 20-го века снова произвело революцию в поиске цифр числа π . Математики Джон Ренч и Леви Смит в 1949 году с помощью настольного калькулятора достигли 1120 цифр. ^[112] Используя бесконечный ряд обратного тангенса (арктана), команда под руководством Джорджа Рейтвизнера и Джона фон Неймана в том же году достигла 2037 цифр с помощью расчета, который занял 70 часов компьютерного времени на компьютере ENIAC . ^{[113] [114]} Рекорд, всегда основанный на арктанном ряду, неоднократно побивался (3089 цифр в 1955 году, ^[115] 7480 цифр в 1957 году; 10 000 цифр в 1958 году; 100 000 цифр в 1961 году), пока в 1961 году не был достигнут 1 миллион цифр. 1973. ^[113]

Два дополнительных события, произошедшие примерно в 1980 году, еще раз ускорили возможность вычисления π . Во-первых, открытие новых итерационных алгоритмов вычисления π , которые были намного быстрее, чем бесконечные ряды; и, во-вторых, изобретение быстрых алгоритмов умножения , которые могли очень быстро умножать большие числа. ^[116] Такие алгоритмы особенно важны в современных вычислениях π , поскольку большая часть времени компьютера посвящена умножению. ^[117] К ним относятся алгоритм Карацубы , умножение Тума-Кука и методы, основанные на преобразовании Фурье . ^[118]

Итеративные алгоритмы были независимо опубликованы в 1975–1976 годах физиком Юджином Саламином и учёным Ричардом Брентом . ^[119] Они позволяют избежать зависимости от бесконечных рядов. Итерационный алгоритм повторяет определенное вычисление, каждая итерация использует выходные данные предыдущих шагов в качестве входных данных и выдает результат на каждом шаге, который сходится к желаемому значению. На самом деле этот подход был изобретен более 160 лет назад Карлом Фридрихом Гауссом в том, что сейчас называется методом среднего арифметического геометрического (AGM-метод) или алгоритмом Гаусса-Лежандра . ^[119] В модификации Саламина и Брента его также называют алгоритмом Брента-Саламина.

Итеративные алгоритмы широко использовались после 1980 года, поскольку они быстрее, чем алгоритмы бесконечных рядов: в то время как бесконечные ряды обычно увеличивают количество правильных цифр аддитивно в последовательных терминах, итерационные алгоритмы обычно умножают количество правильных цифр на каждом шаге. Например, алгоритм Брента-Саламина удваивает количество цифр на каждой итерации. В 1984 году братья Джон и Питер Борвейн разработали итерационный алгоритм, который увеличивает количество цифр на каждом шаге в четыре раза; а в 1987 году — тот, который увеличивает количество цифр в пять раз на каждом этапе. ^[120] Итеративные методы использовались японским математиком Ясумасой Канадой, чтобы установить несколько рекордов по вычислению числа π в период с 1995 по 2002 год. ^[121] За такую ​​быструю сходимость приходится платить: итеративные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные ряды. ^[121]

Мотивы вычисления π

Когда математики открыли новые алгоритмы и стали доступны компьютеры, количество известных десятичных цифр числа π резко возросло. Вертикальный масштаб логарифмический .

Для большинства численных вычислений, включающих π , несколько цифр обеспечивают достаточную точность. По мнению Йорга Арндта и Кристофа Хенеля, тридцати девяти цифр достаточно для выполнения большинства космологических вычислений, поскольку именно такая точность необходима для расчета окружности наблюдаемой Вселенной с точностью до одного атома. Принимая во внимание дополнительные цифры, необходимые для компенсации ошибок округления в вычислениях , Арндт приходит к выводу, что нескольких сотен цифр будет достаточно для любого научного применения. Несмотря на это, люди усердно работали над вычислением числа π до тысяч и миллионов цифр. ^[122] Эти усилия могут быть частично приписаны человеческому стремлению бить рекорды, и такие достижения с π часто попадают в заголовки газет по всему миру. ^{[123] [124]} Они также имеют практическую пользу, например, тестирование суперкомпьютеров , тестирование алгоритмов численного анализа (включая высокоточные алгоритмы умножения ); и в самой чистой математике, предоставляя данные для оценки случайности цифр π . ^[125]

Быстро сходящийся ряд

Шриниваса Рамануджан , работая изолированно в Индии, создал множество инновационных рядов для вычисления числа π .

Современные π -калькуляторы не используют исключительно итерационные алгоритмы. В 1980-х и 1990-х годах были открыты новые бесконечные ряды, которые работают так же быстро, как итеративные алгоритмы, но при этом проще и требуют меньше памяти. ^[121] Быстрые итерационные алгоритмы появились в 1914 году, когда индийский математик Шриниваса Рамануджан опубликовал десятки инновационных формул для числа π , отличавшихся элегантностью, математической глубиной и быстрой сходимостью. ^[126] Одна из его формул, основанная на модульных уравнениях , такова:

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, чем большинство арктанцевых рядов, включая формулу Мачина. ^[127] Билл Госпер был первым, кто использовал его для достижения успехов в вычислении числа π , установив рекорд в 17 миллионов цифр в 1985 году. ^[128] Формулы Рамануджана предвосхитили современные алгоритмы, разработанные братьями Борвейн ( Джонатан и Питер ) и Братья Чудновские . ^[129] Формула Чудновского , разработанная в 1987 г., имеет вид

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.}$$

Он производит около 14 цифр π за термин ^[130] и использовался для нескольких рекордных вычислений π , в том числе первого, превысившего в 1989 году 1 миллиард (10 ⁹ ) цифр братьями Чудновскими, 10 триллионов (10 ¹³ ) цифр. в 2011 году Александром Йи и Сигэру Кондо, ^[131] и 100 триллионов цифр Эммой Харукой Ивао в 2022 году . ^[132] Похожие формулы см. также в ряду Рамануджана-Сато .

В 2006 году математик Саймон Плуфф использовал алгоритм целочисленных отношений PSLQ ^[133] для создания нескольких новых формул для π , соответствующих следующему шаблону:

$${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$$

где q — e π (постоянная Гельфонда), k — нечетное число , а a , b , c — определенные рациональные числа, вычисленные Плуффом. ^[134]

Методы Монте-Карло

Методы Монте-Карло , которые оценивают результаты нескольких случайных испытаний, могут использоваться для создания аппроксимаций π . ^[135] Игла Бюффона — один из таких приемов: если иглу длиной ℓ бросить n раз на поверхность, на которой проведены параллельные линии на расстоянии t единиц друг от друга, и если x из этих раз она останавливается, пересекая линию ( x  > 0 ), то можно аппроксимировать π на основе подсчетов: ^[136]

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$$

Другой метод Монте-Карло для вычисления числа π — нарисовать круг, вписанный в квадрат, и случайным образом расставить точки в квадрате. Отношение точек внутри круга к общему количеству точек будет примерно равно π/4 . ^[137]

Пять случайных блужданий по 200 шагов. Выборочное среднее | Вт ₂₀₀ | равно µ = 56/5 , и поэтому 2(200) µ ⁻² ≈ 3,19 находится в пределах 0,05 от  π .

Другой способ вычислить π с использованием вероятности — начать со случайного блуждания , генерируемого последовательностью (честных) подбрасываний монеты: независимые случайные величины X _k такие, что X _k ∈ {−1,1} с равными вероятностями. Соответствующее случайное блуждание

$${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$

так что для каждого n W n _{получается} из сдвинутого и масштабированного биномиального распределения . При изменении n W _n определяет (дискретный) случайный процесс . Тогда π можно вычислить по формуле ^[138]

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$

Этот метод Монте-Карло не зависит от какого-либо отношения к окружностям и является следствием центральной предельной теоремы , обсуждаемой ниже.

Эти методы Монте-Карло для аппроксимации числа π очень медленны по сравнению с другими методами и не дают никакой информации о точном количестве получаемых цифр. Таким образом, они никогда не используются для аппроксимации числа π , когда требуется скорость или точность. ^[139]

Алгоритмы патрубка

В 1995 году были открыты два алгоритма, которые открыли новые возможности исследования π . Их называют алгоритмами крана, потому что, подобно воде, капающей из крана , они выдают однозначные числа π , которые не используются повторно после расчета. ^{[140] [141]} В этом отличие от бесконечных рядов или итеративных алгоритмов, которые сохраняют и используют все промежуточные цифры до тех пор, пока не будет получен окончательный результат. ^[140]

Математики Стэн Вагон и Стэнли Рабиновиц разработали простой алгоритм втулки в 1995 году. ^{[141] [142] [143]} Его скорость сравнима с алгоритмами арктанга, но не так быстро, как итеративные алгоритмы. ^[142]

Другой алгоритм патрубка, алгоритм извлечения цифр BBP , был открыт в 1995 году Саймоном Плуффом: ^{[144] [145]}

$${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$$

Эта формула, в отличие от других, предшествующих ей, может дать любую отдельную шестнадцатеричную цифру числа π , не вычисляя все предыдущие цифры. ^[144] Отдельные двоичные цифры могут быть извлечены из отдельных шестнадцатеричных цифр, а восьмеричные цифры могут быть извлечены из одной или двух шестнадцатеричных цифр. Важным применением алгоритмов извлечения цифр является проверка новых утверждений о вычислениях записи π : после того, как заявлена ​​новая запись, десятичный результат преобразуется в шестнадцатеричный, а затем алгоритм извлечения цифр используется для вычисления нескольких случайных шестнадцатеричных цифр ближе к концу; если они совпадают, это дает меру уверенности в том, что все вычисления верны. ^[131]

Между 1998 и 2000 годами проект распределенных вычислений PiHex использовал формулу Белларда (модификация алгоритма BBP) для вычисления квадриллионного (10 ¹⁵ -го) бита числа π , который оказался равен 0. ^[146] В сентябре 2010 года Yahoo ! Сотрудник использовал приложение Hadoop компании на тысяче компьютеров в течение 23 дней, чтобы вычислить 256 бит числа π в двухквадриллионном (2×10 ¹⁵ -й) бите, который также оказывается нулевым. ^[147]

В 2022 году Плуфф нашел алгоритм с основанием 10 для вычисления цифр числа π . ^[148]

Роль и характеристики в математике

Поскольку число π тесно связано с кругом, оно встречается во многих формулах из области геометрии и тригонометрии, особенно в тех, которые касаются кругов, сфер или эллипсов. Другие отрасли науки, такие как статистика, физика, анализ Фурье и теория чисел, также включают π в некоторые из своих важных формул.

Геометрия и тригонометрия

Площадь круга равна заштрихованной площади, умноженной на π . Площадь единичного круга равна π .

π появляется в формулах для площадей и объемов геометрических фигур, основанных на кругах, таких как эллипсы , сферы , конусы и торы . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных формул, в которых используется π . ^[149]

• Длина окружности радиуса r равна 2π r .
• Площадь круга радиуса r равна π r ² .
• Площадь эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b равна π ab .
• Объем сферы радиуса r равен4/3π р ³ .
• Площадь поверхности сферы радиуса r равна 4π r ² .

Некоторые из приведенных выше формул являются частными случаями объема n -мерного шара и площади поверхности его границы, ( n −1)-мерной сферы , приведенных ниже.

Помимо кругов, существуют и другие кривые постоянной ширины . По теореме Барбье периметр каждой кривой постоянной ширины равен π , умноженному на ее ширину. Треугольник Рело (образованный пересечением трех кругов, радиусы которых являются сторонами равностороннего треугольника ) имеет наименьшую возможную площадь при своей ширине, а круг - наибольшую. Существуют также некруговые гладкие и даже алгебраические кривые постоянной ширины. ^[150]

Определенные интегралы , описывающие окружность, площадь или объем фигур, созданных кругами, обычно имеют значения, включающие π . Например, интеграл, определяющий половину площади круга радиуса один, имеет вид: ^[151]

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

В этом интеграле функция представляет высоту полукруга над осью ( квадратный корень является следствием теоремы Пифагора ), а интеграл вычисляет площадь под полукругом. ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$

Единицы угла

Функции синуса и косинуса повторяются с периодом 2 π .

Тригонометрические функции основаны на углах, и математики обычно используют радианы в качестве единиц измерения. π играет важную роль в углах, измеряемых в радианах , которые определяются так, что полный круг охватывает угол в 2 π радиан. Угловая мера 180° равна π радиан, а 1° = π /180 радиан. ^[152]

Общие тригонометрические функции имеют периоды, кратные π ; например, синус и косинус имеют период 2 π , ^[153] поэтому для любого угла θ и любого целого числа k , ^[153]

$${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$

Собственные значения

Обертоны колеблющейся струны являются собственными функциями второй производной и образуют гармоническую прогрессию . Соответствующие собственные значения образуют арифметическую прогрессию целых чисел, кратных π .

Многие появления числа π в формулах математики и естественных наук связаны с его тесной связью с геометрией. Однако π появляется и во многих естественных ситуациях, по-видимому, не имеющих ничего общего с геометрией.

Во многих приложениях оно играет выдающуюся роль собственного значения . Например, идеализированную вибрирующую струну можно смоделировать как график функции f на единичном интервале [0, 1] с фиксированными концами f (0) = f (1) = 0 . Моды колебаний струны являются решениями дифференциального уравнения , или . Таким образом , λ является собственным значением оператора второй производной и согласно теории Штурма – Лиувилля ограничено возможностью принимать только определенные конкретные значения. Оно должно быть положительным, поскольку оператор отрицательно определен , поэтому удобно писать λ = ν ² , где ν > 0 называется волновым числом . Тогда f ( x ) = sin( π x ) удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению с ν = π . ^[154] ${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$ ${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f\mapsto f''}$

Значение π фактически является наименьшим из таких значений волнового числа и связано с основной формой колебаний струны. Один из способов показать это — оценить энергию , которая удовлетворяет неравенству Виртингера : ^[155] для функции с f (0) = f (1) = 0 и f , f ′ обе интегрируемы с квадратом , мы имеем: ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$$

с равенством именно тогда, когда f кратно sin(π x ) . Здесь π появляется как оптимальная константа в неравенстве Виртингера, и отсюда следует, что это наименьшее волновое число, если использовать вариационную характеристику собственного значения. Как следствие, π — наименьшее сингулярное значение оператора производной в пространстве функций на [0, 1], обращающихся в нуль в обоих концах ( пространство Соболева ). ${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$

Неравенства

Согласно легенде, рассказанной лордом Кельвином , древний город Карфаген был решением изопериметрической проблемы : ^[156] те земли, граничащие с морем, которые царица Дидона могла охватить со всех других сторон одной бычьей шкурой, разрезанной на полосы.

Число π , которое служит, появляется в аналогичных задачах на собственные значения в многомерном анализе. Как упоминалось выше, ее можно охарактеризовать через роль лучшей константы в изопериметрическом неравенстве : площадь A , ограниченная плоской жордановой кривой с периметром P , удовлетворяет неравенству

$${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$$

и равенство явно достигается для круга, так как в этом случае A = π r ² и P = 2π r . ^[157]

В конечном итоге, как следствие изопериметрического неравенства, π появляется в оптимальной константе для критического неравенства Соболева в n измерениях, что, таким образом, характеризует роль π и во многих физических явлениях, например, в классической теории потенциала . ^{[158] [159] [160]} В двух измерениях критическое неравенство Соболева имеет вид

$${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$$

для f гладкая функция с компактным носителем в R 2 ^{является} градиентом f и относится соответственно к L 2 и L 1 -норме . Неравенство Соболева эквивалентно изопериметрическому неравенству (в любом измерении) с теми же лучшими константами. ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle \|f\|_{2}}$ ${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$

Неравенство Виртингера также обобщается на многомерные неравенства Пуанкаре , которые обеспечивают наилучшие константы для энергии Дирихле n - мерной мембраны. В частности, π — наибольшая константа такая, что

$${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$$

для всех выпуклых подмножеств G в R ⁿ диаметра 1 и интегрируемых с квадратом функций u на G с нулевым средним значением. ^[161] Точно так же, как неравенство Виртингера является вариационной формой проблемы собственных значений Дирихле в одном измерении, неравенство Пуанкаре является вариационной формой проблемы собственных значений Неймана в любом измерении.

Преобразование Фурье и принцип неопределенности Гейзенберга

Анимация геодезической в ​​группе Гейзенберга.

Константа π также появляется как критический спектральный параметр в преобразовании Фурье . Это интегральное преобразование , которое преобразует комплекснозначную интегрируемую функцию f на действительной прямой в функцию, определяемую как:

$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$$

Хотя существует несколько различных соглашений о преобразовании Фурье и обратном ему, любое такое соглашение должно где-то включать π . Однако приведенное выше определение является наиболее каноническим, дающим единственный унитарный оператор в L ² , который также является алгебраическим гомоморфизмом L ¹ в L ^∞ . ^[162]

Принцип неопределенности Гейзенберга также содержит число π . Принцип неопределенности дает точную нижнюю границу степени, в которой можно локализовать функцию как в пространстве, так и по частоте: с нашими соглашениями о преобразовании Фурье

$${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$$

Физические последствия, касающиеся неопределенности при одновременном наблюдении положения и импульса квантово -механической системы, обсуждаются ниже. Появление π в формулах анализа Фурье в конечном итоге является следствием теоремы Стоуна–фон Неймана , утверждающей единственность представления Шрёдингера группы Гейзенберга . ^[163]

Гауссовы интегралы

График функции Гаусса ƒ ( x ) знак равно e ^{- x 2} . Цветная область между функцией и осью x имеет площадь √ π .

В областях вероятности и статистики нормальное распределение часто используется как простая модель сложных явлений; например, ученые обычно предполагают, что ошибка наблюдения в большинстве экспериментов подчиняется нормальному распределению. ^[164] Функция Гаусса , которая представляет собой функцию плотности вероятности нормального распределения со средним значением µ и стандартным отклонением σ , естественно содержит π : ^[165]

$${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$$

Коэффициент делает площадь под графиком f равной единице, как того требует распределение вероятностей. Это следует из замены переменных в интеграле Гаусса : ^[165] ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}}$$

который говорит, что площадь под основной колоколообразной кривой на рисунке равна квадратному корню из π .

Центральная предельная теорема объясняет центральную роль нормального распределения и, следовательно , π в вероятности и статистике. Эта теорема в конечном итоге связана со спектральной характеристикой π как собственного значения, связанной с принципом неопределенности Гейзенберга, и с тем фактом, что равенство в принципе неопределенности выполняется только для функции Гаусса. ^[166] Аналогично, π — это уникальная константа, которая делает гауссово нормальное распределение e ^{−π x 2} равным собственному преобразованию Фурье. ^[167] Действительно, согласно Хоу (1980), «весь процесс» установления фундаментальных теорем анализа Фурье сводится к интегралу Гаусса. ^[163]

Топология

Униформизация квартики Клейна , поверхности рода три и эйлеровой характеристики −4, как фактора гиперболической плоскости по группе симметрии PSL(2,7) плоскости Фано . Гиперболическая площадь фундаментальной области равна 8π по Гауссу – Бонне.

Константа π появляется в формуле Гаусса – Бонне , которая связывает дифференциальную геометрию поверхностей с их топологией . В частности, если компактная поверхность Σ имеет гауссовую кривизну K , то

$${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$$

где χ (Σ) — эйлерова характеристика , являющаяся целым числом. ^[168] Примером является площадь поверхности сферы S кривизны 1 (так что ее радиус кривизны , который совпадает с ее радиусом, также равен 1.) Эйлерова характеристика сферы может быть вычислена из ее групп гомологии и равна оказалось равным двум. Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$$

воспроизводя формулу площади поверхности сферы радиуса 1.

Константа появляется во многих других интегральных формулах топологии, в частности, в тех, которые включают характеристические классы через гомоморфизм Черна – Вейля . ^[169]

Интегральная формула Коши

Сложные аналитические функции можно представить как совокупность линий тока и эквипотенциалов, систем кривых, пересекающихся под прямым углом. Здесь показан комплексный логарифм гамма-функции.

Одним из ключевых инструментов комплексного анализа является контурное интегрирование функции по положительно ориентированной ( спрямляемой ) жордановой кривой γ . Форма интегральной формулы Коши гласит, что если точка z ₀ находится внутри γ , то ^[170]

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$$

Хотя кривая γ не является окружностью и, следовательно, не имеет какой-либо очевидной связи с константой π , стандартное доказательство этого результата использует теорему Мореры , из которой следует, что интеграл инвариантен относительно гомотопии кривой, так что его можно деформируется в окружность, а затем явно интегрируется в полярных координатах. В более общем смысле верно, что если спрямляемая замкнутая кривая γ не содержит z ₀ , то указанный выше интеграл в 2π i раз превышает число витков кривой.

Общий вид интегральной формулы Коши устанавливает связь между значениями комплексной аналитической функции f ( z ) на жордановой кривой γ и значением f ( z ) в любой внутренней точке z0 кривой _γ : [ ^171]

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$$

при условии, что f ( z ) аналитична в области, ограниченной γ , и непрерывно продолжается до γ . Интегральная формула Коши является частным случаем теоремы о вычетах , согласно которой если g ( z ) — мероморфная функция, область, заключенная в γ , и непрерывна в окрестности γ , то

$${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$$

где сумма представляет собой вычеты в полюсах g ( z ) .

Векторное исчисление и физика

Константа π повсеместно встречается в векторном исчислении и теории потенциала , например, в законе Кулона , ^[172] законе Гаусса , уравнениях Максвелла и даже уравнениях поля Эйнштейна . ^{[173] [174]} Возможно, самым простым примером этого является двумерный ньютоновский потенциал , представляющий потенциал точечного источника в начале координат, связанное с ним поле имеет единичный поток наружу через любую гладкую и ориентированную замкнутую поверхность, окружающую источник:

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.}$$

фундаментальное решениеПуассона^[175] ${\displaystyle 1/2\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle \Delta \Phi =\delta }$$

дельта-функция Дирака ${\displaystyle \delta }$

В более высоких измерениях коэффициенты π присутствуют из-за нормализации на n-мерный объем единичной n сферы . Например, в трех измерениях ньютоновский потенциал равен: ^[175]

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},}$$

Полная кривизна

Эта кривая имеет общую кривизну 6 π и индекс/число поворота 3, хотя число витков вокруг p у нее только 2 .

При математическом изучении дифференциальной геометрии кривых полная кривизна погруженной плоской кривой представляет собой интеграл кривизны вдоль кривой , взятый по длине дуги :

${\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds=2\pi N.}$

Общая кривизна замкнутой кривой всегда является целым числом, кратным 2 π , где N называется индексом кривой или числом поворота - это число витков единичного касательного вектора вокруг начала координат или, что то же самое, степень отображения. единичному кругу , присваивающему каждой точке кривой единичный вектор скорости в этой точке. Эта карта аналогична карте Гаусса для поверхностей.

Гамма-функция и приближение Стирлинга

График гамма-функции на действительной оси

Функция факториала — это произведение всех натуральных чисел до n . Гамма -функция расширяет концепцию факториала (обычно определяемого только для неотрицательных целых чисел) на все комплексные числа, за исключением отрицательных действительных целых чисел, с единицей . Когда гамма-функция оценивается как полуцелые числа, результат содержит π . Например, и . ^[176] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$

Гамма-функция определяется разработкой продукта Вейерштрасса : ^[177]

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}$$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони . Вычисленное при z = 1/2 и возведенное в квадрат уравнение Γ(1/2) ² = π сводится к формуле произведения Уоллиса. Гамма-функция также связана с дзета-функцией Римана и тождествами для функционального определителя , в котором константа π играет важную роль.

Гамма-функция используется для вычисления объема V _n ( r ) n -мерного шара радиуса r в евклидовом n -мерном пространстве и площади поверхности S _{n −1} ( r ) его границы ( n −1 )-мерная сфера : ^[178]

$${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$$

$${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.}$$

Далее, из функционального уравнения следует, что

$${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$$

Гамма-функция может использоваться для создания простой аппроксимации факториала n ! для больших n : это известно как приближение Стирлинга . ^[179] Эквивалентно, ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$

$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$$

В качестве геометрического применения приближения Стирлинга пусть Δ _n обозначает стандартный симплекс в n -мерном евклидовом пространстве, а ( n  + 1)Δ _n обозначает симплекс, все стороны которого увеличены в n  + 1 раз . Затем

$${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$$

Гипотеза Эрхарта об объеме состоит в том, что это (оптимальная) верхняя граница объема выпуклого тела , содержащего только одну точку решетки . ^[180]

Теория чисел и дзета-функция Римана

Каждому простому числу соответствует группа Прюфера , которая является арифметической локализацией круга. L -функции аналитической теории чисел также локализованы в каждом простом числе p .

Решение Базельской проблемы с использованием гипотезы Вейля : значение ζ (2) — это гиперболическая площадь фундаментальной области модулярной группы , умноженная на π /2 .

Дзета -функция Римана ζ ( s ) используется во многих областях математики. При оценке при s = 2 это можно записать как

$${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$$

Поиск простого решения для этого бесконечного ряда был знаменитой математической задачей, называемой Базельской проблемой . Леонард Эйлер решил ее в 1735 году, показав, что она равна π ² /6 . ^[91] Результат Эйлера приводит к результату теории чисел , согласно которому вероятность того, что два случайных числа являются относительно простыми (то есть не имеют общих множителей), равна 6/π ² . ^{[181] [182]} Эта вероятность основана на наблюдении, что вероятность того, что любое число делится на простое число p , равна 1/ p (например, каждое 7-е целое число делится на 7). Следовательно, вероятность того, что два числа оба являются делится на это простое число, равно 1/ p ² , а вероятность того, что хотя бы одно из них не делится на это простое число, равна 1 - 1/ p ² . Для различных простых чисел эти события делимости взаимно независимы; поэтому вероятность того, что два числа являются относительно простыми, определяется произведением всех простых чисел: ^[183]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$$

Эту вероятность можно использовать вместе с генератором случайных чисел для аппроксимации числа π с использованием подхода Монте-Карло. ^[184]

Решение Базельской проблемы подразумевает, что геометрически полученная величина π глубоко связана с распределением простых чисел. Это частный случай гипотезы Вейля о числах Тамагавы , которая утверждает равенство подобных таких бесконечных произведений арифметических величин, локализованных в каждом простом числе p , и геометрической величины: обратной объему некоторого локально симметричного пространства . В случае Базельской задачи это гиперболическое 3-многообразие SL ₂ ( R ) / SL ₂ ( Z ) . ^[185]

Дзета-функция также удовлетворяет функциональному уравнению Римана, которое включает в себя π , а также гамма-функцию:

$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$$

Кроме того, производная дзета-функции удовлетворяет условию

$${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$$

Следствием этого является то, что π можно получить из функционального определителя гармонического осциллятора . Этот функциональный определитель можно вычислить посредством разложения произведения, и он эквивалентен формуле произведения Уоллиса. ^[186] Расчеты могут быть переработаны в квантовой механике , в частности, в вариационном подходе к спектру атома водорода . ^[187]

ряд Фурье

π появляется в символах p-адических чисел (показаны), которые являются элементами группы Прюфера . В диссертации Тейта этот механизм активно используется. ^[188]

Константа π также естественным образом появляется в рядах Фурье периодических функций . Периодические функции — это функции на группе T = R / Z дробных частей действительных чисел. Разложение Фурье показывает, что комплекснозначная функция f на T может быть записана как бесконечная линейная суперпозиция унитарных характеров T . То есть непрерывные групповые гомоморфизмы из T в группу окружностей U (1) комплексных чисел с единичным модулем. Это теорема, что каждый характер T является одной из комплексных экспонент . ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$

На T существует единственный характер с точностью до комплексного сопряжения, который является групповым изоморфизмом. Используя меру Хаара на группе окружностей, константа π равна половине величины производной Радона – Никодима этого характера. Остальные символы имеют производные, величины которых являются целыми положительными кратными 2 π . ^[19] В результате константа π является единственным числом таким, что группа T , снабженная своей мерой Хаара, двойственна по Понтрягину решетке целых кратных 2 π . ^[189] Это версия одномерной формулы суммирования Пуассона .

Модульные формы и тэта-функции

Тета-функции преобразуются под решеткой периодов эллиптической кривой.

Константа π глубоко связана с теорией модулярных форм и тэта-функций . Например, алгоритм Чудновского существенным образом задействует j-инвариант эллиптической кривой .

Модульные формы — это голоморфные функции в верхней полуплоскости , характеризующиеся своими свойствами преобразования относительно модулярной группы (или ее различных подгрупп), решетки в группе . Примером может служить тета-функция Якоби. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }}$$

это своего рода модульная форма, называемая формой Якоби . ^[190] Иногда это пишут в терминах нома . ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

Константа π — это уникальная константа, которая делает тэта-функцию Якоби автоморфной формой , что означает, что она преобразуется определенным образом. Некоторые тождества справедливы для всех автоморфных форм. Примером является

$${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$$

из чего следует, что θ преобразуется как представление дискретной группы Гейзенберга . Общие модулярные формы и другие тэта-функции также включают π , опять-таки из-за теоремы Стоуна-фон Неймана . ^[190]

Распределение Коши и теория потенциала

Ведьма Аньези , названная в честь Марии Аньези (1718–1799), представляет собой геометрическую конструкцию графика распределения Коши.

Распределение Коши определяет прохождение броуновских частиц через мембрану.

Распределение Коши

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$$

представляет собой функцию плотности вероятности . Полная вероятность равна единице благодаря интегралу:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$$

Энтропия Шеннона распределения Коши равна ln(4π) , что также включает π .

Распределение Коши играет важную роль в теории потенциала, поскольку это простейшая мера Фюрстенберга , классическое ядро ​​Пуассона , связанное с броуновским движением в полуплоскости. ^[191] Сопряженные гармонические функции , а также преобразование Гильберта связаны с асимптотикой ядра Пуассона. Преобразование Гильберта H — это интегральное преобразование, определяемое главным значением Коши сингулярного интеграла.

$${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.}$$

Константа π — это уникальный (положительный) нормализующий фактор, такой, что H определяет линейную комплексную структуру в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом вещественных функций на действительной прямой. ^[192] Преобразование Гильберта, как и преобразование Фурье, можно охарактеризовать исключительно с точки зрения его свойств преобразования в гильбертовом пространстве L2 ( R ) : с точностью до нормировочного множителя это единственный ограниченный линейный оператор, который коммутирует с положительными расширениями ^. и против поездок на работу со всеми отражениями реальной линии. ^[193] Константа π является уникальным нормировочным множителем, который делает это преобразование унитарным.

В множестве Мандельброта

Множество Мандельброта можно использовать для аппроксимации π .

Появление числа π во фрактале , называемом множеством Мандельброта , было обнаружено Дэвидом Боллом в 1991 году . ^[194] Он исследовал поведение множества Мандельброта вблизи «перешейка» при (-0,75, 0) . Когда количество итераций до расхождения для точки (−0,75, ε ) умножается на ε , результат приближается к π , когда ε приближается к нулю. Точка (0,25 + ε , 0) на вершине большой «долины» в правой части множества Мандельброта ведет себя аналогично: число итераций до тех пор, пока дивергенция, умноженная на квадратный корень из ε , стремится к π . ^{[194] [195]}

Проективная геометрия

Пусть V — множество всех дважды дифференцируемых вещественных функций , удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению . Тогда V — двумерное вещественное векторное пространство с двумя параметрами, соответствующими паре начальных условий дифференциального уравнения. Для любого пусть будет функционалом оценки, который сопоставляет каждому значение функции f в реальной точке t . Тогда для каждого t ядро ​​является одномерным линейным подпространством V . Следовательно, определяет функцию от действительной прямой до действительной проективной прямой . Эта функция периодическая, и величину π можно охарактеризовать как период этого отображения. ^[196] Это примечательно тем, что в этом контексте естественным образом появляется константа π , а не 2 π . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f''(x)+f(x)=0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle e_{t}:V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f\in V}$ ${\displaystyle e_{t}(f)=f(t)}$ ${\displaystyle e_{t}}$ ${\displaystyle t\mapsto \ker e_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)}$

Вне математики

Описание физических явлений

Хотя число π не является физической константой , оно регулярно появляется в уравнениях, описывающих фундаментальные принципы Вселенной, часто из-за связи π с кругом и сферическими системами координат . Простая формула из области классической механики дает приблизительный период Т простого маятника длины L , качающегося с небольшой амплитудой ( g — ускорение свободного падения Земли ): ^[197]

$${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$$

Одной из ключевых формул квантовой механики является принцип неопределенности Гейзенберга , который показывает, что неопределенность в измерении положения частицы (Δx ) и импульса (Δp ) не может одновременно быть сколь угодно малой (где h — планковская константа ): ^[198]

$${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$$

Тот факт, что π примерно равно 3, играет роль в относительно длительном времени жизни ортопозитрония . Время жизни, обратное низшему порядку постоянной тонкой структуры α , равно ^[199]

$${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},}$$

m _e

π присутствует в некоторых формулах проектирования конструкций, таких как формула потери устойчивости , выведенная Эйлером, которая дает максимальную осевую нагрузку F , которую может выдержать длинная тонкая колонна длиной L , модуль упругости E и момент инерции площади I , которые могут нести без потери устойчивости. : ^[200]

$${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$$

Область гидродинамики содержит π в законе Стокса , который аппроксимирует силу трения F , действующую на небольшие сферические объекты радиуса R , движущиеся со скоростью v в жидкости с динамической вязкостью η : ^[201]

$${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$$

В электромагнетике константа проницаемости вакуума ц ₀ появляется в уравнениях Максвелла , описывающих свойства электрических и магнитных полей и электромагнитного излучения . До 20 мая 2019 года он определялся именно как

$${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.}$$

В идеальных условиях (равномерный пологий склон на однородно эродируемом субстрате) извилистость извилистой реки приближается к π . Извилистость — это соотношение фактической длины и расстояния по прямой от истока до устья. Более быстрые течения вдоль внешних краев излучин реки вызывают большую эрозию, чем вдоль внутренних, тем самым выдвигая изгибы еще дальше и увеличивая общую извилистость реки. Однако эта извилистость в конечном итоге приводит к тому, что река местами разворачивается и «замыкается», образуя при этом старичное озеро . Баланс между этими двумя противоположными факторами приводит к среднему соотношению π между фактической длиной и прямым расстоянием между источником и устьем. ^{[202] [203]}

Запоминание цифр

Пифилология — это практика запоминания большого количества цифр числа π , ^[204] и мировые рекорды хранятся в Книге рекордов Гиннеса . Рекорд запоминания цифр числа π , сертифицированный Книгой рекордов Гиннеса, составляет 70 000 цифр, он был произнесен в Индии Раджвиром Миной за 9 часов 27 минут 21 марта 2015 года. ^[205] В 2006 году Акира Харагути , японский инженер на пенсии, заявил произнес 100 000 десятичных знаков, но это утверждение не было подтверждено Книгой рекордов Гиннеса. ^[206]

Один из распространенных методов — запомнить рассказ или стихотворение, в котором длины слов представляют собой цифры числа π : в первом слове три буквы, во втором — одна, в третьем — четыре, в четвертом — одна, в пятом — пять и скоро. Такие средства запоминания называются мнемотехникой . Ранний пример мнемоники числа «пи», первоначально придуманной английским ученым Джеймсом Джинсом , звучит так: «Как мне хочется выпить, конечно, алкоголика, после тяжелых лекций по квантовой механике». ^[204] Когда используется стихотворение, его иногда называют стихотворением . ^[207] Стихи для запоминания числа π написаны не только на английском, но и на нескольких языках. ^[204] Рекордные π - памятники обычно не полагаются на стихи, а вместо этого используют такие методы, как запоминание числовых шаблонов и метод локусов . ^[208]

Некоторые авторы использовали цифры π , чтобы создать новую форму ограниченного письма , где длины слов должны представлять цифры π . Таким образом, Кадейская каденция содержит первые 3835 цифр числа π, [ 209 ] а ^полная книга Not a Wake содержит 10 000 слов, каждое из которых представляет одну цифру числа π . ^[210]

В популярной культуре

Пи-пирог. Многие пироги имеют круглую форму, а «пирог» и π являются омофонами , что делает пирог частым предметом каламбуров «пи» .

Возможно, из-за простоты определения и повсеместного присутствия в формулах, π было представлено в популярной культуре больше, чем другие математические конструкции. ^[211]

Во Дворце открытий (музее науки в Париже) есть круглая комната, известная как комната Пи . На его стене начертано 707 цифр числа π . Цифры представляют собой большие деревянные символы, прикрепленные к куполообразному потолку. Цифры были основаны на расчете 1873 года английского математика Уильяма Шэнкса , который включал ошибку, начинающуюся с 528-й цифры. Ошибка была обнаружена в 1946 г. и исправлена ​​в 1949 г. ^[212]

В романе Карла Сагана «Контакт» 1985 года предполагается, что создатель Вселенной спрятал послание глубоко внутри цифр π . Эта часть истории была исключена из экранизации романа. ^{[213] [214]} Цифры π также были включены в текст песни «Pi» из альбома Кейт Буш «Aerial» 2005 года . ^[215] В эпизоде ​​«Звездного пути» 1967 года « Волк в загоне » вышедший из-под контроля компьютер удерживается с помощью инструкции «Вычислить до последней цифры значение π ». ^[46]

В Соединенных Штатах День Пи выпадает на 14 марта (в американском стиле пишется 3/14) и популярен среди студентов. ^{[46] Число} π и его цифровое представление часто используются самопровозглашенными « фанатами математики » для шуток среди математически и технологически мыслящих групп. Приветствие колледжа , которое по-разному приписывают Массачусетскому технологическому институту или Политехническому институту Ренсселера, включает «3.14159». ^{[216] [217]} День Пи в 2015 году был особенно значимым, потому что дата и время 14.03.15 9:26:53 отражали гораздо больше цифр числа Пи. ^{[218] [219]} В тех частях мира, где даты обычно отмечаются в формате день/месяц/год, 22 июля представляет собой «День приближения числа Пи», поскольку 22/7 = 3,142857. ^[220]

Некоторые предложили заменить π на τ = 2 π , ^[221] утверждая, что τ , как число радиан за один оборот или отношение длины окружности к ее радиусу, более естественно, чем π , и упрощает многие формулы. ^{[222] [223]} Такое использование τ не вошло в основную математику, ^[224] но с 2010 года это привело к тому, что люди празднуют День двух Пи или День Тау 28 июня. ^[225]

В 1897 году математик-любитель попытался убедить законодательный орган штата Индиана принять закон штата Индиана о Пи , который описывал метод квадратуры круга и содержал текст, подразумевающий различные неправильные значения числа π , включая 3,2. Законопроект печально известен как попытка установить значение математической константы законодательным указом. Законопроект был принят Палатой представителей Индианы, но отклонен Сенатом и, таким образом, не стал законом. ^[226]

В компьютерной культуре

В современной интернет-культуре отдельные лица и организации часто отдают дань уважения числу π . Например, ученый-компьютерщик Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы TeX приблизиться к π . Версии: 3, 3.1, 3.14 и т. д. ^[227] τ был добавлен в несколько языков программирования в качестве предопределенной константы. ^{[228] [229]}

Смотрите также

• Приближения π
• Хронология вычисления π
• Список математических констант

Рекомендации

Заметки с пояснениями

1. В частности, предполагается, что π — нормальное число , что подразумевает особый вид статистической случайности его цифр во всех основаниях.
2. Точный интеграл, который использовал Вейерштрасс, был Remmert 2012, стр. 148 ${\displaystyle \pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.}$
3. Показанный полином представляет собой первые несколько членов разложения синусоидальной функции в ряд Тейлора .

Цитаты

1. Эндрюс, Аски и Рой 1999, стр. 59.
2. Гупта, RC (1992). «Об оставшемся члене серии Мадхавы-Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
3. Джонс, Уильям (1706). Краткое содержание Palmariorum Matheseos. Лондон: Дж. Уэйл. С. 243, 263. с. 263: Существуют различные другие способы определения длин или площадей определенных кривых линий или плоскостей , которые могут очень облегчить практику; как, например, в круге диаметр равен окружности от 1 до 3,14159 и т. д. = π . Эту серию (среди других, предназначенную для той же цели и основанную на том же принципе) я получил от превосходного аналитика и моего очень уважаемого друга мистера Джона Мэчина ; и посредством него число Ван Сеулена или число, указанное в ст. 64.38. может быть проверено со всей желаемой легкостью и быстротой.
   ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
   

   Перепечатано в Смите, Дэвиде Юджине (1929). «Уильям Джонс: первое использование π для обозначения соотношения кругов». Справочник по математике . МакГроу-Хилл. стр. 346–347.

4. «πe триллион цифр числа π» . pi2e.ch. _ Архивировано из оригинала 6 декабря 2016 года.
5. Харука Ивао, Эмма (14 марта 2019 г.). «Пи в небе: вычисление рекордных 31,4 триллионов цифр постоянной Архимеда в Google Cloud». Облачная платформа Google . Архивировано из оригинала 19 октября 2019 года . Проверено 12 апреля 2019 г.
6. Арндт и Хенель 2006, с. 17.
7. Бэйли, Дэвид Х.; Плуфф, Саймон М.; Борвейн, Питер Б.; Борвейн, Джонатан М. (1997). «В поисках ПИ». Математический интеллект . 19 (1): 50–56. CiteSeerX 10.1.1.138.7085 . дои : 10.1007/BF03024340. ISSN  0343-6993. S2CID  14318695. 
8. Отред, Уильям (1652). Теорематум в libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario (на латыни). Экскудебат Л. Личфилд, Венент апуд Т. Робинсон. дельта . π  :: полудиаметр. полупериферия
9. "Пи". Словарь.reference.com. 2 марта 1993 года. Архивировано из оригинала 28 июля 2014 года . Проверено 18 июня 2012 г.
10. Arndt & Haenel 2006, стр. 8.
11. Апостол, Том (1967). Исчисление . Том. 1 (2-е изд.). Уайли. п. 102. С логической точки зрения на современном этапе это неудовлетворительно, поскольку мы еще не обсуждали понятие длины дуги.
12. Remmert 2012, с. 129.
13. Бальцер, Ричард (1870). Die Elemente der Mathematik [ Элементы математики ] (на немецком языке). Хирзель. п. 195. Архивировано из оригинала 14 сентября 2016 года.
14. Ландау, Эдмунд (1934). Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung (на немецком языке). Нордофф. п. 193.
15. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . МакГроу-Хилл. п. 183. ИСБН 978-0-07-054235-8.
16. Рудин, Уолтер (1986). Реальный и комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 2.
17. Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 46.
18. Бурбаки, Николя (1981). Общая топология . Спрингер. §VIII.2.
19. Бурбаки, Николя (1979). Foctions d'unevariableréelle (на французском языке). Спрингер. §II.3.
20. Arndt & Haenel 2006, с. 5.
21. Салихов, В. (2008). «О мере иррациональности числа пи». Российские математические обзоры . 53 (3): 570–572. Бибкод :2008РуМаС..63..570С. doi : 10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. S2CID  250798202.
22. Арндт и Хенель 2006, стр. 22–23.
23. Арндт и Хенель 2006, стр. 22, 28–30.
24. Арндт и Хенель 2006, с. 3.
25. Арндт и Хенель 2006, с. 6.
26. Посаментье и Леманн 2004, с. 25
27. Эймар и Лафон 2004, с. 129
28. Бекманн, Питер (1989) [1974]. История Пи . Пресса Святого Мартина. п. 37. ИСБН 978-0-88029-418-8.
29. Шлагер, Нил; Лауэр, Джош (2001). Наука и ее времена: понимание социального значения научных открытий . Группа Гейл. ISBN 978-0-7876-3933-4. Архивировано из оригинала 13 декабря 2019 года . Проверено 19 декабря 2019 г., п. 185.
30. Eymard & Lafon 2004, с. 78
31. Арндт и Хенель 2006, с. 33.
32. Моллин, РА (1999). «Продолжительная дробь драгоценных камней». Новый архив для Вискунде . 17 (3): 383–405. МР  1743850.
33. Ланге, LJ (май 1999 г.). «Элегантная цепная дробь для числа π ». Американский математический ежемесячник . 106 (5): 456–458. дои : 10.2307/2589152. JSTOR  2589152.
34. Арндт и Хенель 2006, с. 240.
35. Арндт и Хенель 2006, с. 242.
36. Кеннеди, ES (1978). «Абу-р-Райхан аль-Бируни, 973–1048». Журнал истории астрономии . 9 : 65. Бибкод :1978JHA.....9...65K. дои : 10.1177/002182867800900106. S2CID  126383231. Птолемей использовал трехшестидесятеричное приближение, а Джамшид аль-Каши расширил его до девяти цифр; см. Аабо, Асгер (1964). Эпизоды из ранней истории математики. Новая математическая библиотека. Том. 13. Нью-Йорк: Рэндом Хаус. п. 125. ИСБН 978-0-88385-613-0. Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года.
37. Абрамсон 2014, Раздел 8.5: Полярная форма комплексных чисел.
38. Бронштейн и Семендяев 1971, с. 592
39. Маор, Эли (2009). Э: История числа . Издательство Принстонского университета. п. 160. ИСБН 978-0-691-14134-3.
40. Эндрюс, Аски и Рой 1999, стр. 14.
41. Arndt & Haenel 2006, с. 167.
42. Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды. Издательство Университета Уилфрида Лорье. стр. 67–77, 165–166. ISBN 978-0-88920-324-2. Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года . Проверено 5 июня 2013 г.
43. Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета. п. 27. ISBN 978-0691120676.
44. Арндт и Хенель 2006, с. 170.
45. Арндт и Хенель 2006, стр. 175, 205.
46. Borwein, Джонатан М. (2014). «Жизнь π : от Архимеда до ЭНИАКа и далее». В Сидоли, Натан; Ван Браммелен, Глен (ред.). Из Александрии через Багдад: Обзоры и исследования древнегреческих и средневековых исламских математических наук в честь Дж. Л. Берггрена . Гейдельберг: Спрингер. стр. 531–561. дои : 10.1007/978-3-642-36736-6_24. МР  3203895.
47. Арндт и Хенель 2006, с. 171.
48. Арндт и Хенель 2006, с. 176.
49. Бойер и Мерцбах 1991, с. 168.
50. Arndt & Haenel 2006, стр. 15–16, 175, 184–186, 205. Гринбергер достиг 39 цифр в 1630 году; Резкие 71 цифра в 1699 году.
51. Арндт и Хенель 2006, стр. 176–177.
52. Boyer & Merzbach 1991, с. 202
53. Арндт и Хенель 2006, с. 177.
54. Арндт и Хенель 2006, с. 178.
55. Арндт и Хенель 2006, с. 179.
56. Arndt & Haenel 2006, с. 180.
57. Азарян, Мохаммад К. (2010). «Ар-Рисала аль-мухитийя: Краткое изложение». Миссурийский журнал математических наук . 22 (2): 64–85. дои : 10.35834/mjms/1312233136 .
58. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999). «Гият ад-Дин Джамшид Масуд аль-Каши». MacTutor Архив истории математики . Архивировано из оригинала 12 апреля 2011 года . Проверено 11 августа 2012 г.
59. Arndt & Haenel 2006, стр. 182.
60. Арндт и Хенель 2006, стр. 182–183.
61. Арндт и Хенель 2006, с. 183.
62. Гринбергерус, Христофор (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (на латыни). Архивировано из оригинала (PDF) 1 февраля 2014 года.Его оценка составила 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
63. Брезински, К. (2009). «Некоторые пионеры методов экстраполяции». В Бултиле, Адемаре ; Кулс, Рональд (ред.). Рождение численного анализа. Всемирная научная. стр. 1–22. дои : 10.1142/9789812836267_0001. ISBN 978-981-283-625-0.
64. Йодер, Джоэлла Г. (1996). «По следам геометрии: математический мир Христиана Гюйгенса». Де Зевентьенде Эув . 12 : 83–93 - через Цифровую библиотеку голландской литературы .
65. Арндт и Хенель, 2006, стр. 185–191.
66. Рой, Ранджан (1990). «Открытие Лейбницем, Грегори и Нилакантой формулы ряда для числа π» (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.1080/0025570X.1990.11977541.
67. Арндт и Хенель 2006, стр. 185–186.
68. Джозеф, Джордж Гевергезе (1991). Герб павлина: неевропейские корни математики. Издательство Принстонского университета. п. 264. ИСБН 978-0-691-13526-7.
69. Arndt & Haenel 2006, с. 187.
70. ОЭИС : A060294
71. Виета, Франциск (1593). Разнообразие математических ответов. Том. VIII.
72. Arndt & Haenel 2006, с. 188. Ньютон, цитата Арндта.
73. Хорват, Миклош (1983). «О лейбницевой квадратуре круга» (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Buddhaiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75–83.
74. Eymard & Lafon 2004, стр. 53–54.
75. Кукер, MJ (2011). «Быстрые формулы для медленно сходящихся знакопеременных рядов» (PDF) . Математический вестник . 95 (533): 218–226. дои : 10.1017/S0025557200002928. S2CID  123392772. Архивировано из оригинала 4 мая 2019 года . Проверено 23 февраля 2023 г.{{cite journal}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
76. Арндт и Хенель 2006, с. 189.
77. Тведдл, Ян (1991). «Джон Мачин и Роберт Симсон о ряде по обратным касательным для числа π ». Архив истории точных наук . 42 (1): 1–14. дои : 10.1007/BF00384331. JSTOR  41133896. S2CID  121087222.
78. Арндт и Хенель 2006, стр. 192–193.
79. Arndt & Haenel 2006, стр. 72–74.
80. Лемер, Д.Х. (1938). «Об арккотангенсных отношениях для π» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 45 (10): 657–664 Опубликовано: Математической ассоциацией Америки. дои : 10.1080/00029890.1938.11990873. JSTOR  2302434.
81. Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и произведения в развитии математики . Том. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 215–216, 219–220.

    Ньютон, Исаак (1971). Уайтсайд, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4, 1674–1684. Издательство Кембриджского университета. стр. 526–653.

82. Сандифер, Эд (2009). «Оценка π» (PDF) . Как Эйлер это сделал .Перепечатано в книге «Как Эйлер сделал еще больше» . Математическая ассоциация Америки. 2014. С. 109–118.

    Эйлер, Леонард (1755). «§2.2.30». Institutiones Calculi Differentialis (на латыни). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. п. 318. Е 212.

    Эйлер, Леонард (1798) [написано в 1779 году]. «Investigatio quarundam serierum, quae adrationem peripheriae Circuli ad Diametrum Vero Proxime Definiendam Maxime Sunt Accommodatae». Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133–149, 167–168. Е 705.

    Чиен-Ли, Хван (2004). «88.38 Некоторые наблюдения о методе арктангенсов для расчета π ». Математический вестник . 88 (512): 270–278. дои : 10.1017/S0025557200175060. S2CID  123532808.

    Чиен-Ли, Хван (2005). «89.67 Элементарный вывод ряда Эйлера для арктангенса». Математический вестник . 89 (516): 469–470. дои : 10.1017/S0025557200178404. S2CID  123395287.

83. Арндт и Хенель 2006, стр. 192–196, 205.
84. Арндт и Хенель 2006, стр. 194–196.
85. Хейс, Брайан (сентябрь 2014 г.). «Карандаш, бумага и Пи». Американский учёный . Том. 102, нет. 5. с. 342. дои : 10.1511/2014.110.342 . Проверено 22 января 2022 г.
86. Борвейн, Дж. М.; Борвейн, П.Б. (1988). «Рамануджан и Пи». Научный американец . 256 (2): 112–117. Бибкод : 1988SciAm.258b.112B. doi : 10.1038/scientificamerican0288-112.
    Арндт и Хенель 2006, стр. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202.
87. Арндт и Хэнель 2006, стр. 69–72.
88. Борвейн, Дж. М.; Борвейн, ПБ; Дилчер, К. (1989). «Пи, числа Эйлера и асимптотические разложения». Американский математический ежемесячник . 96 (8): 681–687. дои : 10.2307/2324715. hdl : 1959.13/1043679 . JSTOR  2324715.
89. Арндт и Хенель 2006, Формула 16.10, стр. 223.
90. Уэллс, Дэвид (1997). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (переработанная редакция). Пингвин. п. 35. ISBN 978-0-14-026149-3.
91. Posamentier & Lehmann 2004, с. 284
92. Ламберт, Иоганн, «Mémoire sur quelques proprietés remarquables des quantités Transcantes Circulaires et Logarithmiques», перепечатано в Berggren, Borwein & Borwein 1997, стр. 129–140.
93. Линдеманн, Ф. (1882). «Über die Ludolph'sche Zahl». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 2 : 679–682.
94. Арндт и Хенель 2006, с. 196.
95. Харди и Райт 1938 и 2000: 177 сноска § 11.13–14 ссылаются на доказательство Линдеманна, появившееся в Math. Анна . 20 (1882), 213–225.
96. см. Харди и Райт 1938 и 2000: 177, сноска § 11.13–14. Доказательства трансцендентности e и π можно найти на стр. 170–176. Они цитируют два источника доказательств: Ландау 1927 или Перрон 1910; полные цитаты см. в «Списке книг» на стр. 417–419.
97. Каджори, Флориан (2007). История математических обозначений: Том. II. Cosimo, Inc., стр. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1. отношение длины круга к его диаметру было представлено в дробной форме с помощью двух букв... Дж. А. Сегнер... в 1767 году он представил 3,14159... через δ : π , как это сделал Огтред более чем веком ранее
98. Математический журнал "Хронология числа Пи" . 23 . Часть 1. Январь/февраль. (3): 165–170. дои : 10.2307/3029284. Часть 2. Март/апрель. (4): 216–228. дои : 10.2307/3029832. Часть 3. Май/июнь. (5): 279-283. дои : 10.2307/3029000.
    
    
    
    См. стр. 220: Уильям Отред использовал букву π для обозначения периферии (то есть окружности) круга.
99. Смит, Дэвид Э. (1958). История математики. Курьерская корпорация. п. 312. ИСБН 978-0-486-20430-7.
100. Арчибальд, RC (1921). «Исторические заметки о соотношении e ^{−( π /2)} = i ⁱ ». Американский математический ежемесячник . 28 (3): 116–121. дои : 10.2307/2972388. JSTOR  2972388. Примечательно, что эти буквы никогда не используются отдельно, то есть π не используется для обозначения «Полупериферии».
101. Arndt & Haenel 2006, с. 166.
102. См., например, Отред, Уильям (1648). Clavis Mathematicæ [ Ключ к математике ] (на латыни). Лондон: Томас Харпер. п. 69.(Английский перевод: Оттред, Уильям (1694). Ключ к математике. Дж. Солсбери.)
103. Барроу, Исаак (1860). «Лекция XXIV». В Уэвелле, Уильям (ред.). Математические труды Исаака Барроу (на латыни). Гарвардский университет. Издательство Кембриджского университета. п. 381.
104. Грегориус, Дэвид (1695). «Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich STT Decanum Aedis Christi Oxoniae» (PDF) . Философские труды (на латыни). 19 (231): 637–652. Бибкод : 1695RSPT...19..637G. дои : 10.1098/rstl.1695.0114 . JSTOR  102382.
105. Арндт и Хенель 2006, с. 165: Факсимиле текста Джонса находится в Berggren, Borwein & Borwein 1997, стр. 108–109.
106. Сегнер, Джоаннес Андреас (1756). Cursus Mathematicus (на латыни). Хале Магдебургские. п. 282. Архивировано из оригинала 15 октября 2017 года . Проверено 15 октября 2017 г.
107. Эйлер, Леонард (1727). «Tentamen explicationis phaenomenorum aeris» (PDF) . Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (на латыни). 2 : 351. Е007. Архивировано (PDF) из оригинала 1 апреля 2016 г. Проверено 15 октября 2017 г. Суматур пропорционально радиусам и периферии, I : πАнглийский перевод Яна Брюса. Архивировано 10 июня 2016 года в Wayback Machine : « π принимается за отношение радиуса к периферии [обратите внимание, что в этой работе эйлерово π вдвое превышает наше π .]»
108. Эйлер, Леонард (1747). Генри, Чарльз (ред.). Lettres inédites d'Euler à d'Alambert. Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (на французском языке). Том. 19 (опубликовано в 1886 г.). п. 139. Е858. Автомобиль, так что π la окружность круга, до района est = 1Английский перевод Каджори, Флориан (1913). «История экспоненциальных и логарифмических понятий». Американский математический ежемесячник . 20 (3): 75–84. дои : 10.2307/2973441. JSTOR  2973441. Пусть π — длина окружности (!) круга единичного радиуса.
109. Эйлер, Леонард (1736). «Гл. 3 Положение 34 Кор. 1». Механика sive motus scientia Analyte Exposita. (cum tabulis) (на латыни). Том. 1. Academiae Scientiarum Petropoli. п. 113. Е015. Обозначение 1: π rationem диаметр и периферия.Английский перевод Яна Брюса. Архивировано 10 июня 2016 года в Wayback Machine  : «Пусть 1: π обозначает отношение диаметра к длине окружности».
110. Эйлер, Леонард (1707–1783) (1922). Леонарди Эйлери, Opera omnia. 1, Математическая опера. Том VIII, Леонарди Эйлери «Введение в анализ бесконечности». Tomus primus / ediderunt Адольф Крацер и Фердинанд Рудио (на латыни). Губы: Б. Г. Теубнери. стр. 133–134. Е101. Архивировано из оригинала 16 октября 2017 года . Проверено 15 октября 2017 г.{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
111. Сегнер, Иоганн Андреас фон (1761). Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm (на латыни). Ренгер. п. 374. Si autem π ​​noteteripheriam circuli, диаметр cuius eſt 2
112. Арндт и Хенель 2006, с. 205.
113. Arndt & Haenel 2006, с. 197.
114. Рейтвизнер, Джордж (1950). «Определение ENIAC чисел пи и е с точностью до 2000 десятичных знаков». Математические таблицы и другие средства вычислений . 4 (29): 11–15. дои : 10.2307/2002695. JSTOR  2002695.
115. Николсон, JC; Джинел, Дж. (1955). «Некоторые комментарии к расчету π NORC». Математика. Табл. СПИД. Комп . 9 (52): 162–164. дои : 10.2307/2002052. JSTOR  2002052.
116. Арндт и Хенель 2006, стр. 15–17.
117. Арндт и Хенель 2006, с. 131.
118. Арндт и Хенель 2006, стр. 132, 140.
119. Arndt & Haenel 2006, с. 87.
120. Arndt & Haenel 2006, стр. 111 (5 раз), стр. 113–114 (4 раза). Подробную информацию об алгоритмах см. в Borwein, Jonathan; Борвейн, Питер (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений . Уайли. ISBN 978-0-471-31515-5.
121. Bailey, Дэвид Х. (16 мая 2003 г.). «Некоторые сведения о недавних вычислениях числа Пи в Канаде» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 15 апреля 2012 года . Проверено 12 апреля 2012 г.
122. Арндт и Хенель, 2006, стр. 17–19.
123. Шудель, Мэтт (25 марта 2009 г.). «Джон В. Ренч-младший: математик любил число Пи». Вашингтон Пост . п. Б5.
124. Коннор, Стив (8 января 2010 г.). «Большой вопрос: насколько близко мы подошли к знанию точного значения числа Пи?». Независимый . Лондон. Архивировано из оригинала 2 апреля 2012 года . Проверено 14 апреля 2012 г.
125. Арндт и Хенель 2006, с. 18.
126. Арндт и Хенель, 2006, стр. 103–104.
127. Арндт и Хенель 2006, с. 104
128. Арндт и Хенель 2006, стр. 104, 206.
129. Арндт и Хенель, 2006, стр. 110–111.
130. Эймар и Лафон 2004, с. 254
131. Бэйли, Дэвид Х .; Борвейн, Джонатан М. (2016). «15.2 Расчетные записи». Пи: следующее поколение, справочник по новейшей истории числа Пи и его вычислений . Международное издательство Спрингер. п. 469. дои : 10.1007/978-3-319-32377-0. ISBN 978-3-319-32375-6.
132. Кассель, Дэвид (11 июня 2022 г.). «Как Эмма Харука Ивао из Google помогла установить новый рекорд для Пи». Новый стек .
133. PSLQ означает частичную сумму наименьших квадратов.
134. Плуфф, Саймон (апрель 2006 г.). «Личность, вдохновленная записными книжками Рамануджана (часть 2)» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 14 января 2012 года . Проверено 10 апреля 2009 г.
135. Арндт и Хенель 2006, с. 39
136. Рамалей, Дж. Ф. (октябрь 1969 г.). «Задача Бюффона о лапше». Американский математический ежемесячник . 76 (8): 916–918. дои : 10.2307/2317945. JSTOR  2317945.
137. Арндт и Хенель 2006, стр. 39–40
     Посаментье и Леманн 2004, стр. 105
138. Грюнбаум, Б. (1960). «Проекционные константы». Труды Американского математического общества . 95 (3): 451–465. дои : 10.1090/s0002-9947-1960-0114110-9 .
139. Арндт и Хенель 2006, стр. 43
     Посаментье и Леманн 2004, стр. 105–108.
140. Arndt & Haenel 2006, стр. 77–84.
141. Гиббонс, Джереми (2006). «Неограниченные ступенчатые алгоритмы для цифр числа пи» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (4): 318–328. дои : 10.2307/27641917. JSTOR  27641917. МР  2211758.
142. Arndt & Haenel 2006, с. 77.
143. Рабиновиц, Стэнли; Вагон, Стэн (март 1995 г.). «Алгоритм патрубка для цифр числа Пи». Американский математический ежемесячник . 102 (3): 195–203. дои : 10.2307/2975006. JSTOR  2975006.
144. Arndt & Haenel 2006, стр. 117, 126–128.
145. Бэйли, Дэвид Х .; Борвейн, Питер Б .; Плуфф, Саймон (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Бибкод : 1997MaCom..66..903B. CiteSeerX 10.1.1.55.3762 . дои : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9. S2CID  6109631. Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2012 года. 
146. Арндт и Хенель 2006, с. Формула 20
     Белларда: Беллард, Фабрис . «Новая формула для вычисления n-й двоичной цифры числа пи». Архивировано из оригинала 12 сентября 2007 года . Проверено 27 октября 2007 г.
147. Палмер, Джейсон (16 сентября 2010 г.). «Рекорд Пи побит: команда нашла двухквадриллионную цифру» . Новости BBC . Архивировано из оригинала 17 марта 2011 года . Проверено 26 марта 2011 г.
148. Вайсштейн, Эрик В. «Алгоритм извлечения цифр». mathworld.wolfram.com . Проверено 21 октября 2023 г.
149. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 200, 209.
150. Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019). Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями . Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-030-03868-7. ISBN 978-3-030-03866-3. МР  3930585. S2CID  127264210.

     См. теорему Барбье, следствие 5.1.1, с. 98; Треугольники Рело, стр. 3, 10; гладкие кривые, такие как аналитическая кривая Рабиновица, § 5.3.3, стр. 111–112.

151. Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт (2016). «Раздел 5.5, Упражнение 316». Исчисление . Том. 1. ОпенСтакс . п. 594.
152. Абрамсон 2014, Раздел 5.1: Углы.
153. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 210–211.
154. Гильберт, Дэвид ; Курант, Ричард (1966). Методы математической физики, том 1 . Уайли. стр. 286–290.
155. Дим и Маккин 1972, с. 47.
156. Томпсон, Уильям (1894). «Изопериметрические задачи». Серия «Природа: Популярные лекции и обращения» . II : 571–592.
157. Чавел, Исаак (2001). Изопериметрические неравенства . Издательство Кембриджского университета.
158. Таленти, Джорджио (1976). «Лучшая константа в неравенстве Соболева». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . 110 (1): 353–372. CiteSeerX 10.1.1.615.4193 . дои : 10.1007/BF02418013. ISSN  1618-1891. S2CID  16923822. 
159. Л. Эспозито; К. Нитч; К. Тромбетти (2011). «Наилучшие константы в неравенствах Пуанкаре для выпуклых областей». arXiv : 1110.2960 [math.AP].
160. Дель Пино, М.; Долбо, Дж. (2002). «Наилучшие константы для неравенств Гальярдо – Ниренберга и приложения к нелинейной диффузии». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 81 (9): 847–875. CiteSeerX 10.1.1.57.7077 . дои : 10.1016/s0021-7824(02)01266-7. S2CID  8409465. 
161. Пейн, Ле; Вайнбергер, Х.Ф. (1960). «Оптимальное неравенство Пуанкаре для выпуклых областей». Архив рациональной механики и анализа . 5 (1): 286–292. Бибкод : 1960ArRMA...5..286P. дои : 10.1007/BF00252910. ISSN  0003-9527. S2CID  121881343.
162. Фолланд, Джеральд (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Издательство Принстонского университета. п. 5.
163. Хоу, Роджер (1980). «О роли группы Гейзенберга в гармоническом анализе». Бюллетень Американского математического общества . 3 (2): 821–844. дои : 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 . МР  0578375.
164. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1 , Уайли, 1968, стр. 174–190.
165. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 106–107, 744, 748.
166. Дим и Маккин 1972, раздел 2.7.
167. Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971). Анализ Фурье в евклидовых пространствах . Издательство Принстонского университета. п. 6.; Теорема 1.13.
168. Спивак, Майкл (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию . Том. 3. Опубликуй или погибни Пресса.; Глава 6.
169. Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии . Том. 2 (Новая ред.). Уайли Интерсайенс . п. 293.; Глава XII Классы характеристик
170. Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ . МакГроу-Хилл. п. 115.
171. Джоглекар, SD (2005). Математическая физика . Университетская пресса. п. 166. ИСБН 978-81-7371-422-1.
172. Шей, HM (1996). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . WW Нортон. ISBN 0-393-96997-5.
173. Йео, Адриан (2006). Прелести пи, е и других интересных чисел . Мировой научный паб. п. 21. ISBN 978-981-270-078-0.
174. Элерс, Юрген (2000). Уравнения поля Эйнштейна и их физические последствия . Спрингер. п. 7. ISBN 978-3-540-67073-5.
175. Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7
176. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 191–192.
177. Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция . сериал Афина; избранные темы по математике (1-е изд.). Холт, Райнхарт и Уинстон.
178. Эванс, Лоуренс (1997). Уравнения в частных производных . АМС. п. 615.
179. Бронштейн и Семендяев 1971, с. 190
180. Бенджамин Нилл; Андреас Паффенхольц (2014). «О случае равенства в гипотезе объема Эрхарта». Достижения в геометрии . 14 (4): 579–586. arXiv : 1205.1270 . doi : 10.1515/advgeom-2014-0001. ISSN  1615-7168. S2CID  119125713.
181. Арндт и Хенель, 2006, стр. 41–43.
182. Эта теорема была доказана Эрнесто Чезаро в 1881 году. Более строгое доказательство, чем приведенное здесь интуитивное и неформальное, см. в Hardy, GH (2008). Введение в теорию чисел . Издательство Оксфордского университета. Теорема 332. ISBN 978-0-19-921986-5.
183. Огилви, CS ; Андерсон, Дж. Т. (1988). Экскурсии по теории чисел . Dover Publications Inc., стр. 29–35. ISBN 0-486-25778-9.
184. Арндт и Хенель 2006, с. 43
185. Платонов, Владимир; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел . Академическая пресса. стр. 262–265.
186. Сондоу, Дж. (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений отрицательных целых чисел посредством преобразования рядов Эйлера». Труды Американского математического общества . 120 (2): 421–424. CiteSeerX 10.1.1.352.5774 . дои : 10.1090/s0002-9939-1994-1172954-7. S2CID  122276856. 
187. Т. Фридман; Ч.Р. Хаген (2015). «Квантово-механический вывод формулы Уоллиса для числа пи». Журнал математической физики . 56 (11): 112101. arXiv : 1510.07813 . Бибкод : 2015JMP....56k2101F. дои : 10.1063/1.4930800. S2CID  119315853.
188. Тейт, Джон Т. (1950). «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке». В Касселсе, JWS; Фрелих, А. (ред.). Алгебраическая теория чисел (Труды учебной конференции, Брайтон, 1965) . Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия. стр. 305–347. ISBN 978-0-9502734-2-6. МР  0217026.
189. Дим и Маккин 1972, Глава 4.
190. Мамфорд, Дэвид (1983). Тата-лекции по Тэте I. Бостон: Биркхаузер. стр. 1–117. ISBN 978-3-7643-3109-2.
191. Порт, Сидней; Стоун, Чарльз (1978). Броуновское движение и классическая теория потенциала . Академическая пресса. п. 29.
192. Титчмарш, Э. (1948). Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.). Оксфордский университет: Clarendon Press (опубликовано в 1986 г.). ISBN 978-0-8284-0324-5.
193. Штейн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета.; Глава II.
194. Клебанофф, Аарон (2001). «Пи в множестве Мандельброта» (PDF) . Фракталы . 9 (4): 393–402. дои : 10.1142/S0218348X01000828. Архивировано из оригинала (PDF) 27 октября 2011 года . Проверено 14 апреля 2012 г.
195. Пейтген, Хайнц-Отто (2004). Хаос и фракталы: новые рубежи науки . Спрингер. стр. 801–803. ISBN 978-0-387-20229-7.
196. Овсиенко, В.; Табачников, С. (2004). «Раздел 1.3». Проективная дифференциальная геометрия, старая и новая: от производной Шварца к когомологиям групп диффеоморфизмов . Кембриджские трактаты по математике. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83186-4.
197. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (1997). Основы физики (5-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 381. ИСБН 0-471-14854-7.
198. Уроне, Пол Питер; Хинрикс, Роджер (2022). «29.7 Вероятность: принцип неопределенности Гейзенберга». Колледж физики 2е . ОпенСтакс .
199. Ицыксон, К .; Зубер, Ж.-Б. (1980). Квантовая теория поля (изд. 2005 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44568-7. LCCN  2005053026. OCLC  61200849.
200. Лоу, Питер (1971). Классическая теория структур на основе дифференциального уравнения . Издательство Кембриджского университета. стр. 116–118. ISBN 978-0-521-08089-7.
201. Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. п. 233. ИСБН 0-521-66396-2.
202. Ханс-Хенрик Столум (22 марта 1996 г.). «Меандрия реки как процесс самоорганизации». Наука . 271 (5256): 1710–1713. Бибкод : 1996Sci...271.1710S. дои : 10.1126/science.271.5256.1710. S2CID  19219185.
203. Posamentier & Lehmann 2004, стр. 140–141.
204. Arndt & Haenel 2006, стр. 44–45.
205. «Самые запомненные места Пи». Архивировано 14 февраля 2016 года в Wayback Machine , Книга рекордов Гиннеса.
206. Отаке, Томоко (17 декабря 2006 г.). «Как можно запомнить 100 000 чисел?». Джапан Таймс . Архивировано из оригинала 18 августа 2013 года . Проверено 27 октября 2007 г.
207. Данези, Марсель (январь 2021 г.). «Глава 4: Пи в популярной культуре». Пи ( π ) в природе, искусстве и культуре . Брилл. п. 97. дои : 10.1163/9789004433397. ISBN 9789004433373. S2CID  224869535.
208. Раз, А.; Паккард, МГ (2009). «Кусочек числа Пи: исследовательское нейровизуализирующее исследование кодирования и извлечения цифр у превосходного запоминающего». Нейрокейз . 15 (5): 361–372. дои : 10.1080/13554790902776896. ПМК 4323087 . ПМИД  19585350. 
209. Кейт, Майк . «Кадейские заметки и комментарии к каденции». Архивировано из оригинала 18 января 2009 года . Проверено 29 июля 2009 г.
210. Кейт, Майкл; Дайана Кейт (17 февраля 2010 г.). Not A Wake: Мечта, полностью воплощающая цифры (пи) до 10 000 десятичных знаков . Винкулум Пресс. ISBN 978-0-9630097-1-5.
211. Например, Пиковер называет π «самой известной математической константой всех времен», а Петерсон пишет: «Однако из всех известных математических констант пи продолжает привлекать наибольшее внимание», ссылаясь на духи π от Живанши , Pi (фильм). и День Пи в качестве примеров. См.: Пиковер, Клиффорд А. (1995). Ключи от бесконечности. Уайли и сыновья. п. 59. ИСБН 978-0-471-11857-2. Петерсон, Иварс (2002). Математические путешествия: от сюрреалистических чисел к магическим кругам. Спектр МАА. Математическая ассоциация Америки. п. 17. ISBN 978-0-88385-537-9. Архивировано из оригинала 29 ноября 2016 года.
212. Посаментье и Леманн 2004, с. 118
     Арндт и Хенель 2006, с. 50
213. Арндт и Хенель 2006, с. 14
214. Польстер, Буркард ; Росс, Марти (2012). Математика идет в кино . Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 56–57. ISBN 978-1-421-40484-4.
215. Гилл, Энди (4 ноября 2005 г.). «Обзор Аэриала». Независимый . Архивировано из оригинала 15 октября 2006 года. Почти аутическое удовлетворение обсессивно-компульсивного математика, очарованного числом «Пи» (которое дает возможность услышать, как Буш медленно поет огромные фрагменты рассматриваемого числа длиной в несколько десятков цифр).
216. Рубилло, Джеймс М. (январь 1989 г.). «Разрушить их». Учитель математики . 82 (1): 10. JSTOR  27966082.
217. Петроски, Генри (2011). Название «Азбука инженера: крупицы более мягкой стороны профессии». Издательство Кембриджского университета. п. 47. ИСБН 978-1-139-50530-7.
218. «С Днем числа Пи! Посмотрите эти потрясающие видео, где дети читают 3.14» . USAToday.com . 14 марта 2015 г. Архивировано из оригинала 15 марта 2015 г. Проверено 14 марта 2015 г.
219. Розенталь, Джеффри С. (февраль 2015 г.). «Пи Мгновение». Математические горизонты . 22 (3): 22. doi :10.4169/mathhorizons.22.3.22. S2CID  218542599.
220. Гриффин, Эндрю. «День Пи: почему некоторые математики отказываются праздновать 14 марта и не отмечают день, наполненный десертами». Независимый . Архивировано из оригинала 24 апреля 2019 года . Проверено 2 февраля 2019 г.
221. Фрайбергер, Марианна; Томас, Рэйчел (2015). «Тау – новое π». Нумерикон: путешествие по скрытой жизни чисел . Кверкус. п. 159. ИСБН 978-1-62365-411-5.
222. Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Математические горизонты . 19 (4): 34. doi :10.4169/mathhorizons.19.4.34. S2CID  126179022. Архивировано (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 года.
223. Пале, Роберт (2001). «П неправильно!» (PDF) . Математический интеллект . 23 (3): 7–8. дои : 10.1007/BF03026846. S2CID  120965049. Архивировано (PDF) из оригинала 22 июня 2012 года.
224. «Жизнь Пи в безопасности - эксперты холодно относятся к кампании по замене тау» . Телеграф Индии . 30 июня 2011 г. Архивировано из оригинала 13 июля 2013 г.
225. «Забудьте День Пи. Нам следует праздновать День Тау | Новости науки» . Проверено 2 мая 2023 г.
226. Arndt & Haenel 2006, стр. 211–212
     Posamentier & Lehmann 2004, стр. 36–37 Халлерберг, Артур (май 1977 г.). «Квадрат Индианы». Журнал «Математика» . 50 (3): 136–140. дои : 10.2307/2689499. JSTOR  2689499.
     
227. Кнут, Дональд (3 октября 1990 г.). «Будущее TeX и Metafont» (PDF) . Текс Маг . 5 (1): 145. Архивировано (PDF) из оригинала 13 апреля 2016 года . Проверено 17 февраля 2017 г. .
228. "PEP 628 - Добавить math.tau" .
229. "Ящик тау" . Проверено 6 декабря 2022 г.

Общие и цитируемые источники

• Абрамсон, Джей (2014). Предварительное исчисление. ОпенСтакс .
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999). Специальные функции. Кембридж: Университетское издательство. ISBN 978-0-521-78988-2.
• Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-66572-4. Проверено 5 июня 2013 г.Английский перевод Катрионы и Дэвида Лишки.
• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан ; Борвейн, Питер (1997). Пи: Справочник . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-20571-7.
• Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики (2-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Бронштейн, Илья; Семендяев К.А. (1971). Путеводитель по математике . Верлаг Харри Дойч . ISBN 978-3-87144-095-3.
• Дым, Х.; Маккин, HP (1972). Ряды Фурье и интегралы . Академическая пресса.
• Эймар, Пьер; Лафон, Жан Пьер (2004). Число π . Перевод Уилсона, Стивена. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3246-2.Английский перевод Autour du nombre π (на французском языке). Германн. 1999.
• Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2004). π: Биография самого загадочного числа в мире . Книги Прометея. ISBN 978-1-59102-200-8.
• Реммерт, Рейнхольд (2012). «Гл. 5 Что такое π?». В Хайнц-Дитер Эббингауз; Ганс Гермес; Фридрих Хирцебрух; Макс Кехер; Клаус Майнцер; Юрген Нойкирх; Александр Престель; Райнхольд Реммерт (ред.). Числа . Спрингер. ISBN 978-1-4612-1005-4.

дальнейшее чтение

• Блатнер, Дэвид (1999). Радость π . Уокер и компания. ISBN 978-0-8027-7562-7.
• Делаэ, Жан-Поль (1997). Очаровательный номер π . Париж: Библиотека Pour la Science. ISBN 2-902918-25-9.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пи». Математический мир .
• Демонстрация Ламбертом (1761) иррациональности числа π , онлайн. Архивировано 31 декабря 2014 года в Wayback Machine и проанализировано BibNum. Архивировано 2 апреля 2015 года в Wayback Machine (PDF).
• π Поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр π , e и √ 2
• аппроксимация π точками решетки и аппроксимация π прямоугольниками и трапециями (интерактивные иллюстрации)