Приближения π

Различные методы, используемые для расчета числа Пи

График, показывающий историческую эволюцию рекордной точности числовых приближений к числу пи, измеренную в десятичных знаках (изображено в логарифмическом масштабе; время до 1400 года не показано в масштабе)

Аппроксимации математической константы пи ( π ) в истории математики достигли точности в пределах 0,04% от истинного значения еще до начала нашей эры . В китайской математике к V веку это было улучшено до приближений, соответствующих примерно семи десятичным цифрам.

Дальнейший прогресс не был достигнут до 14 века, когда Мадхава из Сангамаграмы разработал приближения с точностью до одиннадцати, а затем и тринадцати цифр. Следующим набрал шестнадцатизначный результат Джамшид аль-Каши . Математики раннего Нового времени достигли точности в 35 цифр к началу 17-го века ( Людольф ван Сеулен ) и 126 цифр к 19-му веку ( Юрий Вега ), превосходя точность, необходимую для любого мыслимого применения за пределами чистой математики.

Рекорд ручного приближения числа π принадлежит Уильяму Шэнксу , который правильно вычислил 527 десятичных знаков в 1853 году. ^[1] С середины 20-го века приближение числа π стало задачей электронных цифровых компьютеров (для полного описания, см. Хронологию расчета π ). 14 марта 2024 года текущий рекорд был установлен Джорданом Ранусом, Кевином О'Брайеном и Брайаном Билером с помощью y-кранчера Александра Йи с 105 триллионами (1,05 ×10 ¹⁴ ) цифр. ^[2]

История ранних веков

Самые известные приближения к числу π , датированные до нашей эры, были с точностью до двух десятичных знаков; в китайской математике это было усовершенствовано, в частности, к середине первого тысячелетия, с точностью до семи десятичных знаков. После этого дальнейшего прогресса не наблюдалось до периода позднего средневековья.

Некоторые египтологи ^[3] утверждали, что древние египтяне использовали приближение π как 22 ⁄ 7 = 3,142857 (примерно на 0,04% выше) еще в Древнем царстве . ^[4] Это утверждение было встречено со скептицизмом. ^{[5] [6]}

Вавилонская математика обычно приближала число π к 3, что было достаточно для архитектурных проектов того времени (в частности, это также отражено в описании Храма Соломона в еврейской Библии ). ^[7] Вавилоняне знали, что это было приближение, и одна древневавилонская математическая табличка, раскопанная недалеко от Суз в 1936 году (датированная между 19 и 17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение π как 25 ⁄ 8 = 3,125, около 0,528. % ниже точного значения. ^{[8] [9] [10] [11]}

Примерно в то же время египетский математический папирус Ринда (датированный вторым промежуточным периодом , около 1600 г. до н. э., хотя и считается копией более старого текста Среднего царства ) предполагает приближение π как 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 ( с точностью до 0,6 процента) путем вычисления площади круга путем аппроксимации восьмиугольником . ^{[5] [12]}

Астрономические расчеты в «Шатапатха-брахмане» (около 6 века до н.э.) используют дробное приближение 339 ⁄ 108 ≈ 3,139 . ^[13]

Махабхарата (500 г. до н.э. – 300 г. н.э.) предлагает приблизительное соотношение 3 в стихах Бхишма Парвы : 6.12.40–45. ^[14]

...

Согласно памяти, Луна имеет диаметр одиннадцать тысяч йоджан. Его периферийный круг при расчете составляет тридцать три тысячи йоджан.
...
Солнце имеет диаметр восемь тысяч йоджан и еще две тысячи йоджан. Отсюда следует, что его периферийный круг равен тридцати тысячам йоджан.

...

-  «стихи: 6.12.40–45, Бхишма Парва из Махабхараты »

В III веке до нашей эры Архимед доказал точные неравенства 223 ⁄ 71  <  π  <  22 ⁄ 7 с помощью правильных 96-угольников (точности 2·10 ⁻⁴ и 4·10 ⁻⁴ соответственно). ^[15]

Во II веке нашей эры Птолемей использовал значение 377 ⁄ 120 , первое известное приближение с точностью до трех десятичных знаков (точность 2·10 ⁻⁵ ). ^[16] Оно равно чему с точностью до двух шестидесятеричных цифр. ${\displaystyle 3+8/60+30/60^{2},}$

Китайский математик Лю Хуэй в 263 году нашей эры вычислил число π между3.141024 и​3,142 708, вписав 96-угольник и 192-угольник; среднее из этих двух значений равно3,141 866 (точность 9·10 ^-5 ). Он также предположил, что 3,14 является достаточно хорошим приближением для практических целей. Ему также часто приписывают более поздний и более точный результат: π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (точность 2·10 ^-6 ), хотя некоторые ученые вместо этого полагают, что это связано с более поздним (V век) китайским математиком Цзу. Чунчжи . ^[17] Известно, что Цзу Чунчжи рассчитал, что число π находится между 3,1415926 и 3,1415927, что соответствует точности семи десятичных знаков. Он также дал два других приближения числа π : π ≈ 22 ⁄ 7 и π ≈ 355 ⁄ 113 , которые не так точны, как его десятичный результат. Последняя дробь представляет собой наилучшее рациональное приближение числа π с использованием менее пяти десятичных цифр в числителе и знаменателе. Результаты Цзу Чунчжи превосходят точность, достигнутую в эллинистической математике, и останутся без улучшений в течение почти тысячелетия.

В Индии эпохи Гуптов (6 век) математик Арьябхата в своем астрономическом трактате Арьябхатия заявил:

Прибавьте 4 к 100, умножьте на 8 и прибавьте к 62 000. Это «приблизительно» длина окружности диаметром 20 000.

—  Арьябхатия

Приближая π до четырех десятичных знаков: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, ^{[18] [19] [20]} Арьябхата заявил, что его результат «приблизительно» ( āsanna «приближающийся») дал длину окружности. Его комментатор 15-го века Нилаканта Сомаяджи ( школа астрономии и математики Кералы ) утверждал, что это слово означает не только то, что это приближение, но и то, что значение несоизмеримо (иррационально) . ^[21]

Средний возраст

Дальнейший прогресс не был достигнут в течение почти тысячелетия, вплоть до 14 века, когда индийский математик и астроном Мадхава из Сангамаграмы , основатель Керальской школы астрономии и математики , нашел ряд Маклорена для арктангенса, а затем два бесконечных ряда для π . ^{[22] [23] [24]} Один из них теперь известен как ряд Мадхавы – Лейбница , основанный на ${\displaystyle \pi =4\arctan(1):}$

${\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

Другой был основан на ${\displaystyle \pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):}$

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Сравнение сходимости двух рядов Мадхавы (того, что с √ 12 темно-синим цветом) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . Sn _— аппроксимация после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Он использовал первые 21 член для вычисления приближения π с точностью до 11 десятичных знаков:3.141 592 653 59 .

Он также улучшил формулу, основанную на arctan(1), включив поправку:

${\displaystyle \pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

Неизвестно, как он придумал эту поправку. ^[23] Используя это, он нашел аппроксимацию π с точностью до 13 десятичных знаков при  n  = 75.

Джамшид аль-Каши (Кашани), персидский астроном и математик , правильно вычислил дробную часть от 2 π до 9 шестидесятеричных цифр в 1424 году ^[25] и перевел это в 16 десятичных цифр ^[26] после запятой:

${\displaystyle 2\pi \approx 6.2831853071795864,}$

что дает 16 правильных цифр для числа π после запятой:

${\displaystyle \pi \approx 3.1415926535897932}$

Такого уровня точности он достиг, вычислив периметр правильного многоугольника с 3 × 2 ²⁸ сторон. ^[27]

16-19 веков

Во второй половине 16 века французский математик Франсуа Виет обнаружил бесконечное произведение, сходящееся к числу π , известное как формула Вьета .

Немецко-голландский математик Людольф ван Сеулен ( около 1600 г.) вычислил первые 35 десятичных знаков числа π с помощью 2 ⁶² -угольника. Он так гордился этим достижением, что записал их на своем надгробии . ^[28]

В «Циклометрике» (1621 г.) Виллеброрд Снеллиус продемонстрировал, что периметр вписанного многоугольника сходится на окружности в два раза быстрее, чем периметр соответствующего описанного многоугольника. Это доказал Христиан Гюйгенс в 1654 году. Снеллиус смог получить семь цифр числа π из 96-стороннего многоугольника . ^[29]

В 1656 году Джон Уоллис опубликовал произведение Уоллиса :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots }$

В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори ( ряд Тейлора для арктангенса ) и тождество для вычисления 100 цифр числа π (см. § Формулу, подобную Машину, ниже). ^{[30] [31]} В 1719 году Томас де Ланьи использовал аналогичное тождество для вычисления 127 цифр (из которых 112 были правильными). В 1789 году словенский математик Юрий Вега усовершенствовал формулу Джона Мачина, чтобы вычислить первые 140 цифр, из которых первые 126 были правильными. ^[32] В 1841 году Уильям Резерфорд вычислил 208 цифр, из которых первые 152 были правильными. ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}$

Величину такой точности (152 десятичных знака) можно представить в контексте того факта, что окружность самого большого известного объекта, наблюдаемой Вселенной, можно рассчитать по ее диаметру (93  миллиарда световых лет ) с точностью менее одна планковская длина (при1,6162 × 10 ⁻³⁵  метров (самая короткая единица длины, которая, как ожидается, может быть непосредственно измерена) с использованием числа π , выраженного всего лишь с 62 десятичными знаками. ^[33]

Английский математик-любитель Уильям Шэнкс , человек с независимыми средствами, вычислил число π до 530 десятичных знаков в январе 1853 года, из которых первые 527 были правильными (последние несколько, вероятно, были неправильными из-за ошибок округления). ^{[1] [34]} Впоследствии он расширил свои вычисления до 607 десятичных знаков в апреле 1853 года, ^[35] но ошибка, допущенная прямо в 530-м десятичном знаке, сделала остальную часть его расчета ошибочной; из-за характера формулы Мачина ошибка распространилась обратно до 528-го знака после запятой, в результате чего снова остались правильными только первые 527 цифр. ^[1] Двадцать лет спустя, в апреле 1873 года, Шанкс расширил свои вычисления до 707 десятичных знаков. ^[36] Поскольку это было расширением его предыдущего расчета, большинство новых цифр также были неверными. ^[1] Говорят, что Шанкс все утро высчитывал новые цифры, а затем весь день проводил, проверяя свою утреннюю работу. Это было самое продолжительное расширение числа π до появления электронного цифрового компьютера три четверти века спустя. ^[37]

20 и 21 века

В 1910 году индийский математик Шриниваса Рамануджан обнаружил несколько быстро сходящихся бесконечных рядов π , в том числе

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

который вычисляет еще восемь десятичных знаков числа π для каждого члена ряда. Его ряды теперь являются основой для самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для вычисления π . Оценка только первого члена дает значение с точностью до семи десятичных знаков:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273}$

См. серию Рамануджана-Сато .

Начиная с середины 20-го века, все улучшения в расчете числа π делались с помощью калькуляторов или компьютеров .

В 1944–1945 годах Д. Ф. Фергюсон с помощью механического настольного калькулятора обнаружил, что Уильям Шэнкс допустил ошибку в 528-м десятичном знаке и что все последующие цифры были неправильными. ^{[34] [38]}

В первые годы существования компьютера расширение π до100 000 десятичных знаков ^{[39] : 78} было вычислено математиком из Мэриленда Дэниелом Шэнксом (не имеющим отношения к вышеупомянутому Уильяму Шэнксу) и его командой в Исследовательской лаборатории ВМС США в Вашингтоне, округ Колумбия. В 1961 году Шэнкс и его команда использовали две разные степени. ряд для вычисления цифр числа π . Во-первых, было известно, что любая ошибка приведет к несколько большему значению, а во-вторых, было известно, что любая ошибка приведет к несколько заниженному значению. И, следовательно, пока две серии давали одни и те же цифры, существовала очень высокая уверенность в их правильности. Первые 100 265 цифр числа ^π были опубликованы в 1962 году ^. до семи лет. ^{[39] : 78}

В 1989 году братья Чудновские вычислили число π с точностью до более чем 1 миллиарда десятичных знаков на суперкомпьютере IBM 3090, используя следующий вариант бесконечной серии π Рамануджана :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.}$

С тех пор все рекорды были достигнуты с использованием алгоритма Чудновского . В 1999 году Ясумаса Канада и его команда из Токийского университета вычислили число π с точностью до более чем 200 миллиардов десятичных знаков на суперкомпьютере HITACHI SR8000/MPP (128 узлов), используя другой вариант бесконечной серии π Рамануджана . В ноябре 2002 года Ясумаса Канада и его команда из девяти человек использовали Hitachi SR8000 , 64-узловой суперкомпьютер с 1 терабайтом оперативной памяти, чтобы вычислить число π примерно до 1,24 триллиона цифр примерно за 600 часов (25  дней). ^[40]

Последние записи

1. В августе 2009 года японский суперкомпьютер T2K Open Supercomputer более чем удвоил предыдущий рекорд, вычислив число π примерно до 2,6 триллиона цифр примерно за 73 часа 36 минут.
2. В декабре 2009 года Фабрис Беллард с помощью домашнего компьютера вычислил 2,7 триллиона десятичных цифр числа π . Расчеты проводились в системе счисления по основанию 2 (двоичная), затем результат переводился в систему счисления по основанию 10 (десятичная). Этапы расчета, конвертации и проверки заняли в общей сложности 131 день. ^[41]
3. В августе 2010 года Сигэру Кондо использовал y-кранчер Александра Йи для вычисления 5 триллионов цифр числа π . Это был мировой рекорд для любого типа вычислений, но, что немаловажно, он был выполнен на домашнем компьютере, созданном Кондо. ^[42] Расчет проводился в период с 4 мая по 3 августа, при этом первичная и вторичная проверки заняли 64 и 66 часов соответственно. ^[43]
4. В октябре 2011 года Сигэру Кондо побил свой собственный рекорд, вычислив десять триллионов (10 ¹³ ) и пятьдесят цифр, используя тот же метод, но с более совершенным оборудованием. ^{[44] [45]}
5. В декабре 2013 года Кондо во второй раз побил свой собственный рекорд, вычислив 12,1 триллиона цифр числа π . ^[46]
6. В октябре 2014 года Сэндон Ван Несс под псевдонимом «хоукоуончи» использовал y-cruncher для вычисления 13,3 триллионов цифр числа π . ^[47]
7. В ноябре 2016 года Питер Труб и его спонсоры рассчитали на y-cruncher и полностью проверили 22,4 триллиона цифр числа π (22 459 157 718 361 ( π ^e  × 10 ¹² )). ^[48] ​​Вычисления заняли (с тремя перерывами) 105 дней, ^[47] ограничением дальнейшего расширения было в первую очередь пространство для хранения. ^[46]
8. В марте 2019 года Эмма Харука Ивао, сотрудница Google , вычислила 31,4 (приблизительно 10 π ) триллионов цифр числа Пи с помощью y-cruncher и машин Google Cloud . На это ушёл 121 день. ^[49]
9. В январе 2020 года Тимоти Малликан объявил о вычислении 50 триллионов цифр за 303 дня. ^{[50] [51]}
10. 14 августа 2021 года группа (DAViS) из Университета прикладных наук Граубюндена объявила о завершении вычисления числа π до 62,8 (приблизительно 20 π ) триллионов цифр. ^{[52] [53]}
11. 8 июня 2022 года Эмма Харука Ивао объявила в блоге Google Cloud о вычислении 100 триллионов (10 ¹⁴ ) цифр числа π за 158 дней с использованием y-cruncher Александра Йи . ^[54]
12. 14 марта 2024 года Джордан Ранус, Кевин О'Брайен и Брайан Билер вычислили число π до 105 триллионов цифр, также используя y-cruncher. ^[55]

Практические приближения

В зависимости от цели расчета π можно аппроксимировать дробями для удобства расчета. Наиболее заметными такими приближениями являются 22/7 ( относительная ошибка около 4·10 -4) и 355/113 ( ^{относительная} ошибка около 8·10 ^-8 ) . ^{[56] [57] [58]} В китайской математике дроби 22/7 и 355/113 известны как Юэлю (约率; yuēlǜ ; «приблизительное соотношение») и Милю (密率; mìlǜ ; «близкое соотношение») .

Нематематические «определения» числа π.

Определенную известность имеют юридические или исторические тексты, якобы «определяющие, что число π имеет некую рациональную ценность», такие как « Билль Индианы Пи » 1897 года, в котором утверждалось, что «отношение диаметра и окружности равно пяти четвертям к четырем» (что подразумевало бы « π = 3,2 ») и отрывок в еврейской Библии , который подразумевает, что π = 3 .

Индиана Билл

Так называемый «Закон о Пи Индианы» 1897 года часто характеризовался как попытка «закрепить в законодательном порядке значение числа Пи». Скорее, законопроект касался предполагаемого решения проблемы геометрического « квадратуры круга ». ^[59]

Законопроект был почти принят Генеральной Ассамблеей Индианы в США, и, как утверждается, он подразумевает ряд различных значений для π , хотя ближе всего к явному утверждению одного из них является формулировка «отношение диаметра и окружности равно пять четвертей к четырем", что составило бы π = 16 ⁄ 5 = 3,2 , расхождение почти 2 процента. Профессор математики, случайно присутствовавший в тот день, когда законопроект был вынесен на рассмотрение Сената после того, как он был принят Палатой представителей, помог остановить принятие законопроекта во втором чтении, после чего собрание тщательно высмеяло его перед отложим это на неопределенный срок .

Вмененная библейская ценность

Иногда утверждается ^{[ кем? ]} что еврейская Библия подразумевает, что « π равно трем», на основании отрывка из 3 Царств 7:23 и 2 Паралипоменон 4:2, в котором указаны размеры круглой чаши , расположенной перед Храмом в Иерусалиме , диаметром 10 локтей. и окружность 30 локтей.

Этот вопрос обсуждается в Талмуде и раввинистической литературе . ^[60] Среди множества объяснений и комментариев можно выделить следующие:

• Рабби Неемия объяснил это в своей Мишнат ха-Миддот (самый ранний известный еврейский текст по геометрии , около 150 г. н. э.), сказав, что диаметр измерялся от внешнего края, а окружность измерялась вдоль внутреннего края. Эта интерпретация подразумевает поля толщиной около 0,225 локтя (или, если предположить, что «локоть» составляет 18 дюймов, около 4 дюймов), или одну и треть « ширины ладони » (ср. NRSV и NRSV).
• Маймонид утверждает (ок. 1168 г. н. э.), что число π можно знать только приблизительно, поэтому значение 3 было дано как достаточно точное для религиозных целей. Некоторые авторы ^[61] считают это самым ранним утверждением об иррациональности числа π .

В библейской науке до сих пор ведутся споры по поводу этого отрывка. ^{[ не удалось проверить ] [62] [63]} Многие реконструкции чаши показывают более широкий край (или расширенную кромку), выступающий наружу от самой чаши на несколько дюймов, чтобы соответствовать описанию, данному в NRSV ^[64] В последующих стихах край описывается как «толщиной в ладонь; а край его был сделан как край чаши, как цветок лилии: он принял и выдержал три тысячи омовений» NRSV, что предполагает форму, которую можно обхватить веревкой короче чем общая длина полей, например, цветка лилии или чайной чашки .

Разработка эффективных формул

Приближение многоугольника к кругу

Архимед в своем «Измерении круга» создал первый алгоритм вычисления числа π , основанный на идее, что периметр любого (выпуклого) многоугольника, вписанного в круг, меньше длины окружности, которая, в свою очередь, равна меньше периметра любого описанного многоугольника. Он начал с вписанных и описанных правильных шестиугольников, периметры которых легко определить. Затем он показывает, как вычислить периметры правильных многоугольников с вдвое большим числом сторон, вписанных и описанных вокруг одной и той же окружности. Это рекурсивная процедура, которую сегодня можно было бы описать следующим образом: Пусть p _k и P _k обозначают периметры правильных многоугольников с k сторонами, вписанными и описанными вокруг одной и той же окружности соответственно. Затем,

${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.}$

Архимед использует это для последовательного вычисления P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ и p ₉₆ . ^[65] Используя эти последние значения, он получает

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$

Неизвестно, почему Архимед остановился на 96-угольном многоугольнике; требуется только терпение, чтобы расширить вычисления. Герон сообщает в своей «Метрике» (около 60 г. н. э.), что Архимед продолжил вычисления в ныне утерянной книге, но затем приписал ему неправильное значение. ^[66]

Архимед не использует тригонометрию в этих вычислениях, и сложность применения этого метода заключается в получении хороших приближений для задействованных квадратных корней. Тригонометрия в виде таблицы длин хорд в круге, вероятно, использовалась Клавдием Птолемеем Александрийским для получения значения π , данного в Альмагесте (около 150 г. н. э.). ^[67]

Прогресс в аппроксимации π (когда методы известны) был достигнут за счет увеличения количества сторон многоугольников, используемых в расчетах. Тригонометрическое усовершенствование Виллеброрда Снелла (1621 г.) позволяет получить лучшие оценки на основе пары оценок, полученных методом многоугольников. Таким образом, более точные результаты были получены для многоугольников с меньшим количеством сторон. ^[68] Формула Вьета , опубликованная Франсуа Вьетом в 1593 году, была выведена Вьетом с использованием тесно связанного многоугольного метода, но с площадями, а не периметрами многоугольников, число сторон которых является степенью двойки. ^[69]

Последняя крупная попытка вычислить число π этим методом была предпринята Гринбергером в 1630 году, который вычислил 39 десятичных знаков числа π , используя уточнение Снелла. ^[68]

Машиноподобная формула

Для быстрых вычислений можно использовать такие формулы, как формула Мачина :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

вместе с разложением в ряд Тейлора функции arctan ( x ). Эту формулу легче всего проверить, используя полярные координаты комплексных чисел , получив:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}$

(( x ),( y ) = {239, 13 ² } является решением уравнения Пелля x ²  - 2 y ² = -1.)

Формулы такого типа известны как формулы типа Машины . Конкретная формула Мачина использовалась еще в компьютерную эпоху для вычисления рекордного количества цифр числа π ^[39] , но в последнее время стали использоваться и другие подобные формулы.

Например, в 1961 году Шанкс и его команда использовали следующую формулу, подобную Машину, для вычисления первых 100 000 цифр числа π : ^[39]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

и они использовали другую формулу, подобную Машину,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$

в качестве проверки.

Рекорд Ясумасы Канады из Токийского университета на декабрь 2002 года составлял 1 241 100 000 000 цифр. Для этого использовались следующие формулы типа Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

К. Такано (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

FCM Стёрмер (1896 г.).

Другие классические формулы

Другие формулы, которые использовались для расчета оценок π, включают:

Лю Хуэй (см. также формулу Вьета ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned}}}$

Мадхава :

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Преобразование сходимости Ньютона /Эйлера: ^[70]

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}}$

где м!! — двойной факториал , произведение натуральных чисел до m с одинаковой четностью .

Эйлер :

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$

(Оценено с использованием предыдущего ряда для арктангенса. )

Рамануджан :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Давид Чудновский и Григорий Чудновский :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$

Работа Рамануджана легла в основу алгоритма Чудновского , самого быстрого алгоритма, использовавшегося на рубеже тысячелетий для вычисления π .

Современные алгоритмы

Чрезвычайно длинные десятичные разложения числа π обычно вычисляются с помощью итерационных формул, таких как алгоритм Гаусса – Лежандра и алгоритм Борвейна . Последняя, ​​найденная в 1985 году Джонатаном и Питером Борвейнами , сходится чрезвычайно быстро:

Для и ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

где последовательность сходится четверть к π , давая около 100 цифр за три шага и более триллиона цифр после 20 шагов. Несмотря на то, что ряд Чудновского сходится только линейно, алгоритм Чудновского на практике может быть быстрее, чем алгоритм Гаусса – Лежандра; это зависит от технологических факторов, таких как объем памяти и время доступа . ^[71] Для установления мировых рекордов итеративные алгоритмы используются реже, чем алгоритм Чудновского, поскольку они требуют большого объема памяти. ${\displaystyle f(y)=(1-y^{4})^{1/4}}$ ${\displaystyle 1/a_{k}}$

Первые миллион цифр π и 1 ⁄ π доступны в Project Gutenberg . ^{[72] [73]} Предыдущий рекорд вычислений (декабрь 2002 г.), установленный Ясумасой Канадой из Токийского университета, составлял 1,24 триллиона цифр и был вычислен в сентябре 2002 г. на 64-узловом суперкомпьютере Hitachi с 1 терабайтом основной памяти, который выполняет 2 триллионов операций в секунду, что почти вдвое больше, чем у компьютера, использовавшегося для предыдущего рекорда (206 миллиардов цифр). Для этого использовались следующие формулы типа Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ ( Кикуо Такано  (1982))

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ ( FCM Størmer  (1896)).

В этих приближениях так много цифр, что они уже не имеют никакого практического применения, кроме как для тестирования новых суперкомпьютеров. ^[74] Такие свойства, как потенциальная нормальность числа π, всегда будут зависеть от бесконечной цепочки цифр на конце, а не от каких-либо конечных вычислений.

Различные приближения

Исторически для расчетов использовалась система счисления по основанию 60. В этой системе счисления π можно аппроксимировать восемью (десятичными) значащими цифрами с числом 3;8,29,44 ₆₀ , что

${\displaystyle 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}}$

(Следующая шестидесятеричная цифра — 0, поэтому усечение здесь дает относительно хорошее приближение.)

Кроме того, для оценки π можно использовать следующие выражения :

• с точностью до трех цифр:

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.143^{+}}$

• с точностью до трех цифр:

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}}$

Карл Поппер предположил, что Платон знал это выражение, что он считал, что оно равно в точности π , и что это объясняет некоторую уверенность Платона во всекомпетентности математической геометрии, а также неоднократное обсуждение Платоном особых прямоугольных треугольников , которые являются либо равнобедренными , либо половинками треугольника. равносторонние треугольники.

${\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.1409^{+}}$

• с точностью до четырех цифр:

${\displaystyle 1+e-\gamma =3.1410^{+},}$где – натуральный логарифм по основанию , а – постоянная Эйлера. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}}$^[75]

${\displaystyle {\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3.14142\ 2^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3.14142\ 8^{+}}$

${\displaystyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}=3.14142\ 1^{+}}$

• с точностью до четырех цифр (или пяти значащих цифр):

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}}$^[76]

• аппроксимация Рамануджана с точностью до 4 цифр (или пяти значащих цифр):

${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}$

• с точностью до пяти цифр:

${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+}}$^[77]

• с точностью до шести цифр:

${\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}}$[1]

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}}$^{[ нужна цитата ]}

${\displaystyle 4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)-{\frac {2}{10+{\frac {1^{2}}{10+{\frac {2^{2}}{10+{\frac {3^{2}}{10}}}}}}}}=3.14159\ 3^{+}}$^{[78] [79]}

• с точностью до семи цифр:

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}}{8}}=3.14159\ 25^{+}}$

${\displaystyle {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}=3.14159\ 27^{+}}$- обратная первому члену ряда Рамануджана.

${\displaystyle \left({\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}\right)^{2}\left(15+{\frac {1^{2}}{30+{\frac {3^{2}}{30+{\frac {5^{2}}{30}}}}}}\right)=3.14159\ 27^{+}}$^[80]

• с точностью до восьми цифр:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3.14159\ 269^{+}}$

${\displaystyle {\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3.14159\ 260^{+}}$

${\displaystyle 3+{\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt[{1234}]{2}}{\sqrt[{1068}]{2}}}{10}}=3.14159\ 268^{+}}$

${\displaystyle {\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}}$^[81]

Это тот случай, который невозможно получить из приближения Рамануджана (22). ^[82]

• с точностью до девяти цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}$

Это от Рамануджана , который утверждал, что богиня Намагири явилась ему во сне и рассказала истинное значение числа π . ^[82]

• с точностью до десяти цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{15}]{28658146}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• с точностью до десяти цифр:

${\displaystyle {\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• с точностью до десяти цифр (или одиннадцати значащих цифр):

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}$

Это любопытное приближение следует за наблюдением, что 193-я степень 1/ π дает последовательность 1122211125... Замена 5 на 2 завершает симметрию без уменьшения правильных цифр π , а вставка центральной десятичной точки замечательно фиксирует сопутствующую величину на уровне 10 ^100. . ^[83]

• с точностью до одиннадцати цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{18}]{888582403}}=3.14159\ 26535\ 8^{+}}$

• с точностью до двенадцати цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{20}]{8769956796}}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

• с точностью до 12 десятичных знаков:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

Оно получается из ряда Чудновского (ряд (1.4) ^[84] усекаем по первому члену и пусть E ₆ ( τ ₁₆₃ ) ² / E ₄ ( τ ₁₆₃ ) ³ = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).

• с точностью до 16 цифр:

${\displaystyle {\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 9^{+}}$- обратная сумма первых двух членов ряда Рамануджана.

${\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 4^{+}}$

• с точностью до 18 цифр:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2387^{+}}$

Это аппроксимация (22) в работе Рамануджана ^[82] с n = 253.

• с точностью до 19 цифр:

${\displaystyle {\frac {3949122332{\sqrt {2}}}{1777729635}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2382^{+}}$- улучшено обращение суммы первых двух членов ряда Рамануджана.

• с точностью до 24 цифр:

${\displaystyle {\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 2649^{+}}$- обратная сумма первых трех членов ряда Рамануджана.

• с точностью до 25 десятичных знаков:

${\displaystyle {\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}}$

Это получено из инварианта класса Рамануджана g ₁₀₀ = 2 ^5/8 /(5 ^1/4  − 1) . ^[82]

• с точностью до 30 десятичных знаков:

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

Получено из близости константы Рамануджана к целому числу 640320 ³ +744. Это не допускает очевидных обобщений в целых числах, ^{[ необходимы пояснения ],} поскольку существует только конечное число чисел Хегнера и отрицательных дискриминантов d с номером класса h (− d ) = 1, а d = 163 является наибольшим по абсолютной величине .

• с точностью до 52 десятичных знаков:

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}$

Как и приведенное выше, следствие j-инварианта . Среди отрицательных дискриминантов класса 2 это d самое большое по абсолютной величине.

• с точностью до 52 десятичных знаков:

${\displaystyle {\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}}$

Это получено из инварианта класса Рамануджана G ₃₈₅ . ^[82]

• с точностью до 161 десятичного знака:

${\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}$

где u - произведение четырех простых единиц четвертой степени,

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

и,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$

Основано на найденном Дэниелом Шэнксом . Аналогично предыдущим двум, но на этот раз это частное модулярной формы , а именно эта-функции Дедекинда , и где в качестве аргумента участвует . Дискриминант d = 3502 имеет h (− d ) = 16. ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-3502}}}$

• с точностью до 256 цифр:

${\displaystyle {\frac {15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999}{48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259}}...}$

${\displaystyle ...{\frac {551152789881364457516133280872003443353677807669620554743{\sqrt {10005}}}{3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111}}}$- улучшена обратная сумма первых девятнадцати членов ряда Чудновского.

• Представление числа π в виде цепной дроби можно использовать для генерации последовательных наилучших рациональных приближений . Эти приближения являются наилучшими рациональными приближениями числа π относительно размера их знаменателей. Вот список первых тринадцати из них: ^{[85] [86]}

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

Из них это единственная дробь в этой последовательности, которая дает более точные цифры числа π (т. е. 7), чем число цифр, необходимое для его аппроксимации (т. е. 6). Точность можно повысить, используя другие дроби с большими числителями и знаменателями, но для большинства таких дробей в приближении требуется больше цифр, чем правильных значащих цифр, полученных в результате. ^[87] ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$

Суммирование площади круга

Численная аппроксимация π : поскольку точки случайным образом разбросаны внутри единичного квадрата, некоторые попадают в единичный круг. По мере добавления точек доля точек внутри круга приближается к π/4 .

Пи можно получить из круга, если известны его радиус и площадь, используя соотношение:

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

Если нарисовать круг радиуса r с центром в точке (0, 0), то любая точка, расстояние от начала координат которой меньше r, попадет внутрь круга. Теорема Пифагора дает расстояние от любой точки ( x ,  y ) до центра:

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Математическая «миллиметровка» формируется путем воображения квадрата 1×1 с центром вокруг каждой ячейки ( x ,  y ), где x и y — целые числа от − r до r . Квадраты, центр которых находится внутри или точно на границе круга, затем можно подсчитать, проверив, является ли для каждой ячейки ( x ,  y )

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.}$

Таким образом, общее количество ячеек, удовлетворяющих этому условию, приближается к площади круга, которую затем можно использовать для вычисления приближения π . Более близкие приближения можно получить, используя большие значения r .

Математически эту формулу можно записать:

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}}$

Другими словами, начните с выбора значения r . Рассмотрим все ячейки ( x ,  y ), в которых x и y являются целыми числами от − r до r . Начиная с 0, добавьте 1 для каждой ячейки, расстояние до начала координат (0,0) меньше или равно r . Закончив, разделите сумму, представляющую площадь круга радиуса r , на r ² , чтобы найти приближение π . Например, если r равно 5, то рассматриваются следующие ячейки:

Этот круг, как если бы он был нарисован на графике декартовых координат . Ячейки (±3, ±4) и (±4, ±3) помечены.

12 ячеек (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) находятся точно на круге, а 69 ячеек полностью внутри , поэтому приблизительная площадь равна 81, а π рассчитан примерно как 3,24, поскольку 81 ⁄ 5 ² = 3,24. Результаты для некоторых значений r показаны в таблице ниже:

Похожие результаты см. в разделе «Задача о круге: количество точек (x,y) в квадратной решетке с x^2 + y^2 <= n».

Аналогичным образом, более сложные приближения π , приведенные ниже, включают повторные вычисления того или иного типа, приводящие к все более и более точным приближениям с увеличением количества вычислений.

Непрерывные дроби

Помимо его простого представления цепной дроби [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,  ...], который не демонстрирует никакой заметной закономерности, π имеет множество представлений обобщенной цепной дроби , созданных с помощью простого правила, включая эти два.

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}}$

Оставшуюся часть ряда Мадхавы – Лейбница можно выразить как обобщенную цепную дробь следующим образом. ^[78]

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )}$

Обратите внимание, что поправочный член Мадхавы равен

${\displaystyle {\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}}$.

Хорошо известные значения 22/7 и 355/113 представляют собой соответственно вторую и четвертую аппроксимации числа π в виде цепной дроби . (Другие изображения доступны на сайте Wolfram Functions.)

Тригонометрия

Серия Грегори – Лейбница

Серия Грегори -Лейбница

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)}$

— это степенной ряд для арктана (x), специализированный для x  = 1. Он сходится слишком медленно, чтобы представлять практический интерес. Однако степенной ряд сходится гораздо быстрее при меньших значениях , что приводит к формулам где возникает как сумма малых углов с рациональными касательными, известным как формулы машинного типа . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$

Арктангенс

Зная, что 4 arctan 1 = π , формулу можно упростить и получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}}$

со сходимостью такой, что каждые дополнительные 10 членов дают как минимум еще три цифры.

${\displaystyle \pi =2+{\frac {1}{3}}\left(2+{\frac {2}{5}}\left(2+{\frac {3}{7}}\left(2+\cdots \right)\right)\right)}$

Эта серия является основой алгоритма десятичной втулки Рабиновица и Вагона. ^[88]

Другая формула для использования функции арктангенса имеет вид ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,}$

где такое что . Для аппроксимации можно использовать, например, быстро сходящуюся формулу Эйлера ^[89] ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$ ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.}$

В качестве альтернативы можно использовать следующий простой ряд разложения функции арктангенса:

${\displaystyle \arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}}$

аппроксимировать с еще более быстрой сходимостью. Сходимость в этой формуле арктангенса улучшается по мере увеличения целого числа . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle k}$

Константу также можно выразить бесконечной суммой арктангенсов как ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

и

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

где – n - е число Фибоначчи . Однако эти две формулы сходятся гораздо медленнее из-за набора арктангенсов, которые участвуют в вычислениях. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \pi }$

Арксинус

Рассматривая равносторонний треугольник и отмечая, что

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}}$

урожайность

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}}$

со сходимостью, при которой каждые дополнительные пять членов дают как минимум еще три цифры.

Методы извлечения цифр

Формула Бейли-Борвейна-Плуффа (BBP) для расчета числа π была открыта в 1995 году Саймоном Плуффом. Используя математические вычисления по основанию 16 , формула может вычислить любую конкретную цифру числа π , возвращая шестнадцатеричное значение цифры, без необходимости вычисления промежуточных цифр (извлечение цифр). ^[90]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$

В 1996 году Саймон Плуфф разработал алгоритм для извлечения n- й десятичной цифры числа π (с использованием  математических вычислений по основанию 10 для извлечения  цифры по основанию 10), который может делать это с улучшенной скоростью O ( n ³ (log n ) ³ ). время. Алгоритм практически не требует памяти для хранения массива или матрицы, поэтому миллионную цифру числа π можно вычислить с помощью карманного калькулятора. ^[91] Однако это было бы весьма утомительно и непрактично.

${\displaystyle \pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}}$

Скорость вычислений формулы Плуффа была улучшена до O ( n2 ) Фабрисом Белларом , ^{который} вывел альтернативную формулу (хотя и только в  математике с основанием 2) для вычисления π . ^[92]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Эффективные методы

Многие другие выражения для π были разработаны и опубликованы индийским математиком Шринивасой Рамануджаном . Он несколько лет работал с математиком Годфри Гарольдом Харди в Англии.

Чрезвычайно длинные десятичные разложения числа π обычно вычисляются с помощью алгоритма Гаусса – Лежандра и алгоритма Борвейна ; Также использовался алгоритм Саламина-Брента, изобретенный в 1976 году .

В 1997 году Дэвид Х. Бэйли , Питер Борвейн и Саймон Плауфф опубликовали статью (Bailey, 1997) о новой формуле для π как бесконечного ряда :

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

Эта формула позволяет довольно легко вычислить k -ю двоичную или шестнадцатеричную цифру числа π без необходимости вычисления предыдущих k  - 1 цифр. На веб-сайте Бэйли ^[93] представлены его выводы, а также реализации на различных языках программирования . Проект PiHex вычислил 64 бита вокруг квадриллионного бита числа π (который оказывается равным 0).

Фабрис Беллар еще больше усовершенствовал BBP своей формулой : ^[94]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Другие формулы, которые использовались для расчета оценок π, включают:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Ньютон .

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Шриниваса Рамануджан .

Это сходится чрезвычайно быстро. Работа Рамануджана легла в основу самых быстрых алгоритмов, использовавшихся на рубеже тысячелетий для вычисления π .

В 1988 году Дэвид Чудновский и Григорий Чудновский нашли еще более быстро сходящийся ряд ( алгоритм Чудновского ):

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}$.

Скорость различных алгоритмов вычисления правильных цифр от числа Пи до n показана ниже в порядке убывания асимптотической сложности. M(n) — сложность используемого алгоритма умножения.

Проекты

Пи Шестнадцатеричный

Pi Hex — это проект по вычислению трех конкретных двоичных цифр числа π с использованием распределенной сети из нескольких сотен компьютеров. В 2000 году, через два года, проект завершил вычисление пятитриллионных (5*10 ¹² ), сорок триллионных и квадриллионных (10 ¹⁵ ) бит. Все три из них оказались 0.

Программа для расчета π

За прошедшие годы было написано несколько программ для вычисления многозначного числа π на персональных компьютерах .

Общее назначение

Большинство систем компьютерной алгебры могут вычислять π и другие распространенные математические константы с любой желаемой точностью.

Функции для вычисления π также включены во многие общие библиотеки для арифметики произвольной точности , например Class Library for Numbers , MPFR и SymPy .

Спец. Назначение

Программы, предназначенные для расчета π, могут иметь лучшую производительность, чем математическое программное обеспечение общего назначения. Обычно они реализуют контрольные точки и эффективную замену дисков , чтобы облегчить чрезвычайно длительные и ресурсоемкие вычисления.

• TachusPi Фабриса Беллара ^[95] — это программа, которую он использовал для вычисления мирового рекорда числа цифр числа «пи» в 2009 году.
• y -cruncherАлександра Йи^[47]— это программа, которую каждый обладатель мирового рекорда, начиная с Сигэру Кондо в 2010 году, использовал для вычисления мирового рекордного количества цифр.y-cruncher также может использоваться для расчета других констант и является мировым рекордсменом по некоторым из них.
• PiFast от Ксавье Гурдона была самой быстрой программой для Microsoft Windows в 2003 году. По словам ее автора, она может вычислить один миллион цифр за 3,5 секунды на процессоре Pentium 4 с частотой 2,4 ГГц . ^[96] PiFast также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e и √ 2 . Он также может работать с меньшей эффективностью с очень небольшим объемом памяти (вплоть до нескольких десятков мегабайт для вычисления более миллиарда (10 ⁹ ) цифр). Этот инструмент является популярным эталоном в сообществе оверклокеров . PiFast 4.4 доступен на странице Стью Pi. PiFast 4.3 доступен на странице Гурдона.
• QuickPi от Стива Пальяруло для Windows работает быстрее, чем PiFast, при обработке менее 400 миллионов цифр. Версия 4.5 доступна на странице Pi Стью ниже. Как и PiFast, QuickPi также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e , √ 2 и √ 3 . Программное обеспечение можно получить на сайте Pi-Hacks Yahoo! форуме или со страницы Стью Пи.
• Super PI от Канадской лаборатории ^[97] Токийского университета представляет собой программу для Microsoft Windows для тиражей от 16 000 до 33 550 000 цифр. Он может вычислить один миллион цифр за 40 минут, два миллиона цифр за 90 минут и четыре миллиона цифр за 220 минут на процессоре Pentium 90 МГц. Версия Super PI 1.9 доступна на странице Super PI 1.9.

Смотрите также

• Диофантово приближение
• Милю
• Срок исправления Мадхавы
• Пи равно 3

Примечания

1. Хейс, Брайан (сентябрь 2014 г.). «Карандаш, бумага и Пи». Американский учёный . Том. 102, нет. 5. с. 342. дои : 10.1511/2014.110.342.
2. Йи, Александр Дж. (14 марта 2024 г.). «Хромая к новому рекорду числа Пи в 105 триллионов цифр». NumberWorld.org . Проверено 16 марта 2024 г.
3. Петри, WMF (1940). Мудрость египтян .
4. Вернер, Мирослав (2001) [1997]. Пирамиды: тайна, культура и наука великих памятников Египта . Гроув Пресс . ISBN 978-0-8021-3935-1. Основан на Великой пирамиде в Гизе , предположительно построенной так, что круг, радиус которого равен высоте пирамиды, имеет окружность, равную периметру основания (он составляет 1760 локтей вокруг и 280 локтей в высоту).
5. Росси (2007). Коринна Архитектура и математика в Древнем Египте . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-69053-9.
6. Легон, JAR (1991). О размерах и пропорциях пирамид. Дискуссии по египтологии. Том. 20. С. 25–34. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 года . Проверено 7 июня 2011 г.
7. См. #Вмененная библейская ценность. Бекманн 1971 «Существовала обеспокоенность по поводу очевидного библейского утверждения о π  ≈ 3 с ранних времен раввинистического иудаизма , к которому обращался раввин Неемия во 2 веке». ^{[ нужна страница ]}
8. Романо, Дэвид Гилман (1993). Легкая атлетика и математика в архаическом Коринфе: истоки греческого стадиона. Американское философское общество . п. 78. ИСБН 978-0871692061. Группа математических глиняных табличек древневавилонского периода, раскопанных в Сузах в 1936 году и опубликованных Э. М. Брюинсом в 1950 году, предоставляет информацию о том, что вавилонское приближение числа π составляло 3 1/8 или 3,125.
9. Брюинз, EM (1950). «Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse» (PDF) .
10. Брюинз, ЕМ; Руттен, М. (1961). Математические тексты Сьюза . Мемуары археологической миссии в Иране. Том. XXXIV.
11. См. также Beckmann 1971, стр. 12, 21–22 «в 1936 году примерно в 200 милях от Вавилона была раскопана табличка. ... В упомянутой табличке, перевод которой был частично опубликован только в 1950 году, ... утверждается, что соотношение отношения периметра правильного шестиугольника к длине описанной окружности равно числу, которое в современных обозначениях выражается как 57/60+36/(60) ² [т.е. π = 3/0,96 = 25/8]».
12. Имхаузен, Аннет (2007). Кац, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11485-9.
13. Чайтанья, Кришна. Профиль индийской культуры. Индийская книжная компания (1975). п. 133.
14. Джадхав, Дипак (1 января 2018 г.). «О значении, подразумеваемом данными, указанными в Махабхарате для числа π». Видьоттама Санатана: Международный журнал индуистской науки и религиоведения . 2 (1): 18. дои : 10.25078/ijhsrs.v2i1.511 . ISSN  2550-0651. S2CID  146074061.
15. Дамини, Д.Б.; Абхишек, Дхар (2020). «Как Архимед показал, что π примерно равно 22/7». п. 8. arXiv : 2008.07995 [math.HO].
16. Лазарус Мудехве (февраль 1997 г.). «История Пи». Зиматы . Архивировано из оригинала 8 января 2013 года.
17. Лам, Лэй Йонг; Анг, Тянь Се (1986), «Измерения круга в древнем Китае», Historia Mathematica , 13 (4): 325–340, doi : 10.1016/0315-0860(86)90055-8 , MR  0875525. Перепечатано в Берггрене, JL; Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер, ред. (2004). Пи: Справочник. Спрингер. стр. 20–35. ISBN 978-0387205717.. См., в частности, стр. 333–334 (перепечатка стр. 28–29).
18. Как Арьябхата получил правильную окружность Земли. Архивировано 15 января 2017 года в Wayback Machine.
19. Арьябхатия ( ганитапада 10 ):

    чатурадхикам шатамаштагунам двашаштиштатха сахасранам аютадваявишкамбхасйасанно вриттапаринахах .

    «Прибавьте четыре к ста, умножьте на восемь и затем прибавьте шестьдесят две тысячи. В результате получится примерно длина окружности диаметром двадцать тысяч. По этому правилу дается отношение длины окружности к диаметру».

    Другими словами, (4 + 100) × 8 + 62 000 — это длина окружности диаметром 20 000. Это дает значение π ≈ 62 832 ⁄ 20 000 = 3,1416, Джейкобс, Гарольд Р. (2003). Геометрия: видеть, делать, понимать (Третье изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company . п. 70.
20. "Арьябхата Старший". Университет Сент-Эндрюс , Школа математики и статистики . Проверено 20 июля 2011 г.
21. С. Балачандра Рао (1998). Индийская математика и астрономия: некоторые ориентиры . Бангалор: Публикации Jnana Deep. ISBN 978-81-7371-205-0.
22. Джордж Э. Эндрюс, Ранджан Рой; Ричард Аски (1999). Специальные функции . Издательство Кембриджского университета . п. 58. ИСБН 978-0-521-78988-2.
23. Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (ноябрь 2000 г.). «Мадхава Сангамаграммы». МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс .
24. Гупта, RC (1992). «Об оставшемся члене серии Мадхавы-Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
25. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1981). «Гийят ад-дин Джамшид Масуд аль-Каши (или аль-Кашани)». Словарь научной биографии . Том. 7. с. 256.
26. Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июль 1999 г.). «Гият ад-Дин Джамшид Масуд аль-Каши». МакТьютор . Университет Сент-Эндрюс .
27. Азарян, Мохаммад К. (2010). «Ар-Рисала аль-мухитийя: Краткое изложение». Миссурийский журнал математических наук . 22 (2): 64–85. дои : 10.35834/mjms/1312233136 .
28. Капра, Б. «Цифры Пи» (PDF) . Проверено 13 января 2018 г.
29. Чакрабарти, Гопал; Хадсон, Ричард (2003). «Улучшение метода Архимеда аппроксимации π» (PDF) . Международный журнал чистой и прикладной математики . 7 (2): 207–212.
30. Джонс, Уильям (1706). Краткое содержание Palmariorum Matheseos. Лондон: Дж. Уэйл. стр. 243, 263. Существуют различные другие способы определения длин или площадей определенных кривых линий или плоскостей , которые могут очень облегчить практику; как, например, в круге диаметр равен окружности от 1 до 3,14159 и т. д. = π . Эту серию (среди других, предназначенную для той же цели и основанную на том же принципе) я получил от превосходного аналитика и моего очень уважаемого друга мистера Джона Мэчина ; и посредством него число Ван Сеулена или число, указанное в ст. 64.38. может быть проверено со всей желаемой легкостью и быстротой.
    ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
    

    Перепечатано в Смите, Дэвиде Юджине (1929). «Уильям Джонс: первое использование π для обозначения соотношения кругов». Справочник по математике . МакГроу-Хилл. стр. 346–347.

31. Тведдл, Ян (1991). «Джон Мачин и Роберт Симсон о ряде по обратным касательным для числа π ». Архив истории точных наук . 42 (1): 1–14. дои : 10.1007/BF00384331. JSTOR  41133896. S2CID  121087222.
32. Вега, Джордж (1795) [1789]. «Определение полуокружности круга без диаметра est = 1, exprimée в 140 десятичных знаках». Добавка. Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae . 11 : 41–44.

    Сандифер, Эдвард (2006). «Почему 140 цифр числа Пи имеют значение» (PDF) . Юрий барон Вега в негов час: Зборник об 250 -летнем юбилее ройства . Любляна: DMFA. ISBN 978-961-6137-98-0. LCCN  2008467244. OCLC  448882242. Архивировано из оригинала (PDF) 28 августа 2006 года. Следует отметить, что значение Vega содержит ошибку в 127-й цифре. Вега дает 4 там, где должна быть цифра [6], а все цифры после нее неверны.

33. «Какую точность можно получить, используя число Пи с точностью до 40 десятичных знаков?». Обмен стеками . 11 мая 2015 г.
34. Фергюсон, DF (16 марта 1946 г.). «Значение π». Природа . 157 (3985): 342. Бибкод : 1946Natur.157..342F. дои : 10.1038/157342c0 . ISSN  1476-4687. S2CID  4085398.
35. Шанкс, Уильям (1853). Вклад в математику: в основном включает в себя исправление круга до 607 знаков после запятой. Издательство Макмиллан . п. viii – через Интернет-архив .
36. Шанкс, Уильям (1873). «V. О расширении числового значения π». Труды Лондонского королевского общества . 21 (139–147). Издательство Королевского общества : 318–319. дои : 10.1098/rspl.1872.0066. S2CID  120851313.
37. «Уильям Шэнкс (1812–1882) - Биография» . Университет Сент-Эндрюс . Июль 2007 года . Проверено 22 января 2022 г.
38. Фергюсон 1946a, doi : 10.2307/3608485
39. Шанкс, Д .; Ренч, Дж. В. младший (1962). «Вычисление числа π до 100 000 десятичных знаков». Математика вычислений . 16 (77): 76–99. дои : 10.2307/2003813. JSTOR  2003813.
40. «Объявление на веб-сайте канадской лаборатории» . Суперкомпьютинг.org . Архивировано из оригинала 12 марта 2011 года . Проверено 11 декабря 2017 г.
41. "Запись вычислений числа Пи" .
42. Выпускник Маккормика устанавливает новый рекорд Пи. Архивировано 28 сентября 2011 года в Wayback Machine.
43. «Пи - 5 триллионов цифр» .
44. Гленн (19 октября 2011 г.). «Short Sharp Science: Epic pi quest устанавливает рекорд в 10 триллионов цифр». Новый учёный . Проверено 18 апреля 2016 г.
45. Да, Александр Дж.; Кондо, Сигэру (22 октября 2011 г.). «Раунд 2... 10 триллионов цифр числа Пи».
46. Йи, Александр Дж.; Кондо, Сигэру (28 декабря 2013 г.). «12,1 триллиона цифр числа Пи».
47. Йи, Александр Дж. (2018). «y-cruncher: многопоточная программа Pi». NumberWorld.org . Проверено 14 марта 2018 г.
48. Треуб, Питер (30 ноября 2016 г.). «Статистика первых 22,4 триллионов десятичных цифр числа Пи». arXiv : 1612.00489 [math.NT].
49. «Google Cloud опрокидывает рекорд Pi» . NumberWorld.org . Проверено 14 марта 2019 г.
50. «Запись Пи возвращается на персональный компьютер» . Проверено 30 января 2020 г.
51. «Вычисление числа Пи: моя попытка побить мировой рекорд числа Пи» . 26 июня 2019 года . Проверено 30 января 2020 г.
52. "Die FH Graubünden kennt Pi am genauesten – Weltrekord!" . Проверено 31 августа 2021 г.
53. «Швейцарские исследователи вычислили число Пи до нового рекорда в 62,8 триллионов цифр» . Хранитель . 16 августа 2021 г. Проверено 31 августа 2021 г.
54. «Еще больше числа пи в небе: вычисление 100 триллионов цифр числа пи в Google Cloud» . Облачная платформа Google . 8 июня 2022 г. Проверено 10 июня 2022 г.
55. Йи, Александр Дж. (14 марта 2024 г.). «Хромая к новому рекорду числа Пи в 105 триллионов цифр». NumberWorld.org . Проверено 16 марта 2024 г.
56. Аллен, Ретт (18 марта 2011 г.). «Какое дробное представление числа Пи лучше всего». Проводной . Проверено 16 марта 2020 г.
57. Джон Д., Кук (22 мая 2018 г.). «Наилучшие рациональные приближения для числа Пи». Джон Д. Кук Консалтинг . Проверено 16 марта 2020 г.
58. «Приближение числа Пи непрерывными дробями» (PDF) . Иллинойский факультет математики . Попечительский совет Университета Иллинойса. Архивировано из оригинала (PDF) 23 января 2021 года . Проверено 16 марта 2020 г.
59. Халлерберг, Артур Э. (1977). «Квадрат Индианы». Журнал «Математика» . 50 (3): 136–140. дои : 10.1080/0025570X.1977.11976632.
60. Цабан, Вооз; Гарбер, Дэвид (февраль 1998 г.). «О раввинском приближении π» (PDF) . История математики . 25 (1): 75–84. дои : 10.1006/hmat.1997.2185 . ISSN  0315-0860 . Проверено 14 июля 2009 г.
61. Уилбур Ричард Норр , Древняя традиция решения геометрических задач , Нью-Йорк: Dover Publications, 1993.
62. Алефф, Х. Питер. «Древние истории творения, рассказанные числами: Пи Соломона». recoverscience.com. Архивировано из оригинала 14 октября 2007 года . Проверено 30 октября 2007 г.
63. О'Коннор, Джей-Джей; Э. Ф. Робертсон (август 2001 г.). «История Пи». Архивировано из оригинала 30 октября 2007 года . Проверено 30 октября 2007 г.
64. Математический форум - Спросите доктора Математика
65. Евс 1992, с. 131
66. Бекманн 1971, с. 66
67. Евс 1992, с. 118
68. Евс 1992, с. 119
69. Бекманн 1971, стр. 94–95.
70. Неопубликованная работа Ньютона (1684 г.), позже независимо открытая другими и популяризированная Эйлером (1755 г.).

    Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и произведения в развитии математики . Том. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 215–216, 219–220.

    Сандифер, Эд (2009). «Оценка π» (PDF) . Как Эйлер это сделал .Перепечатано в книге «Как Эйлер сделал еще больше» . Математическая ассоциация Америки. 2014. С. 109–118.

    Ньютон, Исаак (1971). Уайтсайд, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4, 1674–1684. Издательство Кембриджского университета. стр. 526–653.

    Эйлер, Леонард (1755). «§2.30». Institutiones Calculi Differentialis (на латыни). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. п. 318. Е 212.

    Эйлер, Леонард (1798) [написано в 1779 году]. «Investigatio quarundam serierum, quae adrationem peripheriae Circuli ad Diametrum Vero Proxime Definiendam Maxime Sunt Accommodatae». Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133–149, 167–168. Е 705.

    Хван Чиен-Лих (2005), «Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса», The Mathematical Gazette , 89 (516): 469–470, doi : 10.1017/S0025557200178404, S2CID  123395287

71. Труб, Питер (2020). Братья Борвейн, Пи и годовое общее собрание . Спрингерские труды по математике и статистике. Том. 313. arXiv : 1802.07558 . дои : 10.1007/978-3-030-36568-4. ISBN 978-3-030-36567-7. S2CID  214742997.
72. Хемфилл, Скотт (1993). Пи.
73. Канада, Ясумаса (1996). Единица, разделенная на Пи.
74. Энтони, Себастьян (15 марта 2012 г.). «Что можно сделать с суперкомпьютером? – ExtremeTech». Экстримтех .
75. Гарднер, Мартин (1995). Новые математические развлечения . Математическая ассоциация Америки. п. 92. ИСБН 978-0-88385-517-1.
76. Вложенное радикальное приближение для π. Архивировано 6 июля 2011 г. в Wayback Machine.
77. Ленц, Фридрих (15 мая 1951 г.). «Соотношение масс протона и электрона». Физ. Ред. 82 (4): 554. Бибкод : 1951PhRv...82..554L. дои : 10.1103/PhysRev.82.554.2.
78. Дутка, Дж. (1982). «Произведение Уоллиса, непрерывная дробь Брункера и ряд Лейбница». Архив истории точных наук . 26 (2): 115–126. дои : 10.1007/BF00348349. S2CID  121628039.
79. Борвейн, Дж.; Борвейн, П.; Дилчер, К. (1989). «Пи, числа Эйлера и асимптотические разложения». амер. Математика. Ежемесячно . 96 (8): 681–687. дои : 10.1080/00029890.1989.11972263. hdl : 1959.13/1043679 .
80. Ланге, Л. (1999). «Элегантная цепная дробь для числа π ». амер. Математика. Ежемесячно . 106 (5): 456–458.
81. Борвейн, Джонатан; Бейли, Дэвид (2008). Математика посредством эксперимента: правдоподобные рассуждения в XXI веке, 2-е издание . АК Петерс. п. 135. ИСБН 978-1-56881-442-1.
82. Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан; Борвейн, Питер (2003). Пи: Справочник, 3-е издание . Спрингер. стр. 241–257. ISBN 978-0-387-20571-7.
83. Хоффман, Журнал математики колледжа DW , 40 (2009) 399
84. Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан; Борвейн, Питер (2003). Пи: Справочник, 3-е издание . Спрингер. стр. 596–622. ISBN 978-0-387-20571-7.
85. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002485 (Числители подходящих чисел к Пи)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
86. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002486 (Знаменатели подходящих чисел Пи)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
87. «Дробные аппроксимации числа Пи».
88. Рабиновиц, Стэнли; Вагон, Стэн (1995). «Алгоритм втулки для цифр π». Американский математический ежемесячник . 102 (3): 195–203. дои : 10.2307/2975006. ISSN  0002-9890. JSTOR  2975006.
89. Хван Чиен-Лих (2005), «Элементарный вывод ряда Эйлера для функции арктангенса», The Mathematical Gazette , 89 (516): 469–470, doi : 10.1017/S0025557200178404, S2CID  123395287
90. Вайсштейн, Эрик В. «Формула BBP». Математический мир .
91. Плуфф, Саймон (2009). «О вычислении n^-й десятичной цифры различных трансцендентных чисел». arXiv : 0912.0303v1 [math.NT].
92. Веб-сайт Белларда: Bellard.org
93. "Дэвид Х. Бэйли". crd.LBL.gov . Архивировано из оригинала 10 апреля 2011 года . Проверено 11 декабря 2017 г.
94. «Мир Пи – Беллард». Пи314.нет. 13 апреля 2013 года . Проверено 18 апреля 2016 г.
95. Беллард, Фабрис. «ТакусПи» . Проверено 20 марта 2020 г.
96. "Тайминги PiFast"
97. Такахаши, Дайсуке; Канада, Ясумаса (10 августа 2010 г.). «Домашняя страница канадской лаборатории» . Токийский университет. Архивировано из оригинала 24 августа 2011 года . Проверено 1 мая 2011 г.

Рекомендации

• Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Питер Б. и Плуфф, Саймон (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Бибкод : 1997MaCom..66..903B. дои : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
• Бекманн, Петр (1971). История π . Нью-Йорк: Пресса Святого Мартина. ISBN 978-0-88029-418-8. МР  0449960.
• Ивс, Ховард (1992). Введение в историю математики (6-е изд.). Издательство Колледжа Сондерса. ISBN 978-0-03-029558-4.
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Герб павлина: неевропейские корни математики (новое издание, Лондон: издание Penguin). Лондон: Пингвин. ISBN 978-0-14-027778-4.
• Джексон, К; Стэмп, Дж. (2002). Пирамида: за гранью воображения. Внутри Великой пирамиды Гизы . Лондон: Би-би-си. ISBN 9780563488033.
• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (2004). Пи: справочник (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6.