Керальская школа астрономии и математики

Школа индуистской астрономии, математики и естественных наук в Индии

Керальская школа астрономии и математики или Керальская школа — школа математики и астрономии , основанная Мадхавой Сангамаграмы в Тируре , Малаппурам , Керала , Индия, в состав которой входили: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мельпатур Нараяна. Бхаттатири и Ачьюта Паниккар . Школа процветала между 14 и 16 веками, и ее первоначальные открытия, похоже, закончились Нараяной Бхаттатири (1559–1632). Пытаясь решить астрономические задачи, школа Кералы независимо открыла ряд важных математических понятий. Их важнейшие результаты — разложение в ряды для тригонометрических функций — были описаны в санскритских стихах в книге Нилаканты под названием « Тантрасангграха» , а также в комментарии к этому труду под названием « Тантрасанграха-вакхья » неизвестного автора. Теоремы были сформулированы без доказательства, но доказательства рядов для синуса, косинуса и обратного тангенса были приведены столетие спустя в работе Юктибхаса ( ок.  1530 ), написанной на малаялам Джьестхадевой, а также в комментарии к Тантрасанграхе . ^[1]

Их работа, завершенная за два столетия до изобретения исчисления в Европе, предоставила то, что сейчас считается первым примером степенного ряда (не считая геометрического ряда ). ^{[2] [3] [4]}

Фон

Исламские учёные почти разработали общую формулу для нахождения интегралов от многочленов к 1000 году нашей эры — и, очевидно, могли найти такую ​​формулу для любого многочлена, который их интересовал. Но, судя по всему, ни один полином степени выше четвертой их не интересовал, по крайней мере ни в одном из дошедших до нас материалов. С другой стороны, индийские ученые к 1600 году смогли использовать формулу, аналогичную формуле суммы Ибн аль-Хайсама для произвольных целых степеней, при вычислении степенных рядов для интересующих их функций. К тому же они уже умели вычислять дифференциалы этих функций. Итак, некоторые основные идеи исчисления были известны в Египте и Индии за много столетий до Исаака Ньютона . Однако не похоже, чтобы исламские или индийские математики видели необходимость соединить некоторые разрозненные идеи, которые мы включаем под названием «исчисление». Их, видимо, интересовали лишь конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы. ^{[5] [6]}

Взносы

Страницы из Юктибхасы около 1530 г.

Бесконечный ряд и исчисление

Школа Кералы внесла ряд вкладов в области бесконечных рядов и исчисления . К ним относятся следующие бесконечные геометрические ряды:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$^[7]

Школа Кералы интуитивно использовала математическую индукцию , хотя индуктивная гипотеза еще не была сформулирована и не использовалась в доказательствах. ^[1] Они использовали это, чтобы найти полустрогое доказательство результата:

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$

для большого n .

Они применили идеи дифференциального и интегрального исчисления (того, что должно было стать) , чтобы получить бесконечные ряды ( Тейлора – Маклорена ) для , и . ^[8] Тантрасанграха -вакхья представляет серию в стихах, которые при переводе в математические обозначения можно записать так: ^[1] ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}{\frac {y}{x}}\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots }$

где для приведения ряда к стандартному степенному ряду для этих тригонометрических функций, например: ${\displaystyle r=1,}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$и

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

(Школа Кералы не использовала «факториальную» символику.)

Школа Кералы использовала выпрямление (вычисление длины) дуги круга для доказательства этих результатов. (Поздний метод Лейбница, использующий квадратуру ( т.е. вычисление площади под дугой круга), еще не был разработан.) ^[1] Они также использовали разложение в ряд для получения выражения в бесконечный ряд (позже известного как Серия Грегори) для : ^[1] ${\displaystyle \arctan x}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Особый интерес представляют их рациональные аппроксимации погрешности для конечной суммы их рядов. Например, ошибка , (для n нечетных и i = 1, 2, 3 ) для ряда: ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

где ${\displaystyle f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

Они манипулировали терминами, используя разложение частичных дробей :, чтобы получить более быстро сходящийся ряд для : ^[1] ${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}-n}}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

Они использовали улучшенный ряд для получения рационального выражения ^[1] с точностью до девяти десятичных знаков, т.е. Для вычисления этих результатов они использовали интуитивное понятие предела . ^[1] Математики школы Кералы также предложили полустрогий метод дифференцирования некоторых тригонометрических функций, ^[9] хотя понятие функции, показательной или логарифмической функции еще не было сформулировано. ${\displaystyle 104348/33215}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 3.141592653}$

Признание

В 1825 году Джон Уоррен опубликовал мемуары о разделении времени на юге Индии, ^[10] названные « Кала Санкалита» , в которых кратко упоминается об открытии астрономами Кералы бесконечных рядов.

Работы школы Кералы были впервые написаны для западного мира англичанином К. М. Уишем в 1835 году. По словам Уиша, математики Кералы «заложили основу для полной системы флюксий», и эти работы изобиловали «флюксионными формами и рядами». нельзя найти ни в одном произведении зарубежных стран». ^[11] Однако результаты Уиша почти полностью игнорировались до тех пор, пока более столетия спустя открытия школы Кералы не были снова исследованы Ч. Т. Раджагопалом и его коллегами. Их работа включает комментарии к доказательствам ряда арктана в Юктибхасе , приведенные в двух статьях, ^{[12] [13]} комментарий к доказательству Юктибхасы ряда синуса и косинуса ^[14] и две статьи, в которых представлены санскритские стихи Тантрасанграхавахья для серии по арктану, греху и косинусу (с английским переводом и комментариями) . ^{[15] [16]}

В 1952 году Отто Нойгебауэр написал статью о тамильской астрономии. ^[17]

В 1972 году К.В. Сарма опубликовал свою «Историю школы индуистской астрономии Кералы», в которой описал такие особенности школы, как непрерывность передачи знаний с 13 по 17 века: от Говинды Бхаттатири к Парамешваре , к Дамодаре , к Нилаканте Сомаяджи , к Джьестадеве , к Ачьюте Писарати. . Передача от учителя к ученику сохраняла знания в «такой практической, показательной дисциплине, как астрономия, в то время, когда не было распространения печатных книг и государственных школ».

В 1994 году утверждалось, что гелиоцентрическая модель была принята около 1500 года нашей эры в Керале. ^[18]

Возможная передача результатов школ Кералы в Европу

А. К. Баг предположил в 1979 году, что знание об этих результатах могло быть передано в Европу по торговому пути из Кералы торговцами и миссионерами -иезуитами . ^[19] Керала находилась в постоянном контакте с Китаем, Аравией и Европой . Предложение некоторых ученых о некоторых маршрутах связи и хронологии ^{[20] [21]} могло сделать такую ​​передачу возможной; однако прямых доказательств того, что такая передача имела место, в виде соответствующих рукописей нет. ^[21] По словам Дэвида Брессуда , «нет никаких доказательств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». ^{[8] [22]} В. Дж. Кац отмечает, что некоторые идеи школы Кералы имеют сходство с работами иракского ученого 11-го века Ибн аль-Хайсама , ^[9] предполагая возможную передачу идей исламской математики в Кералу. ^[23]

И индийские, и арабские ученые сделали открытия до 17 века, которые сейчас считаются частью исчисления. ^[9] По словам Каца, им еще предстояло «объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем - производной и интеграла , показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня». как Ньютон и Лейбниц . ^[9] Интеллектуальная карьера Ньютона и Лейбница хорошо документирована, и нет никаких указаний на то, что их работы не были их собственными; ^[9] однако доподлинно неизвестно, узнали ли непосредственные предшественники Ньютона и Лейбница, «включая, в частности, Ферма и Роберваля о некоторых идеях исламских и индийских математиков из источников, которых мы сейчас не знаем». осведомленный". ^[9] Это активная область текущих исследований, особенно в коллекциях рукописей Испании и Магриба , исследования, которые сейчас проводятся, среди других мест, в Национальном центре научных исследований в Париже . ^[9]

Смотрите также

• Индийская астрономия
• Индийская математика
• Индийские математики
• История математики
• История школы индийской астрономии Кералы
• Список астрономов и математиков школы Кералы

Примечания

1. Рой, Ранджан. 1990. «Открытие формулы ряда Лейбницем, Грегори и Нилакантой». Журнал Mathematics (Математическая ассоциация Америки) 63 (5): 291–306. ${\displaystyle \pi }$
2. (Стилвелл 2004, стр. 173)
3. (Брессуд 2002, стр. 12) Цитата: «Нет никаких доказательств того, что индийские работы над сериалами были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века. Голд и Пингри утверждают [4], что к тому времени, когда эти серии были вновь открыты в Европе, но для всех практических целей они были потеряны для Индии. Разложения синуса, косинуса и арктангенса передавались через несколько поколений учеников, но они оставались бесплодными наблюдениями, для которых никто не мог найти много пользы».
4. Плофкер 2001, с. 293 Цитата: «Нередко в дискуссиях по индийской математике можно встретить такие утверждения, как о том, что «концепция дифференциации была понята [в Индии] со времен Манджулы (... в X веке)» [Джозеф 1991, 300 ], или что «мы можем считать Мадхаву основателем математического анализа» (Джозеф 1991, 293), или что Бхаскара II может утверждать, что он «предшественник Ньютона и Лейбница в открытии принципа дифференциального исчисления». (Bag 1979, 294). ... Точки сходства, особенно между ранними европейскими исчислениями и керальскими работами над степенными рядами, даже породили предположения о возможной передаче математических идей с Малабарского побережья в 15 веке или после него. в латинском научном мире (например, в (Bag 1979, 285)).... Однако следует иметь в виду, что такой акцент на сходстве санскрита (или малаялама) и латинской математики рискует полностью уменьшить наши способности. Чтобы увидеть и понять первое. Говоря об индийском «открытии принципа дифференциального исчисления», несколько затемняет тот факт, что индийские методы выражения изменений синуса посредством косинуса или наоборот, как в приведенных нами примерах увиденное, оставалось в этом специфическом тригонометрическом контексте. Дифференциальный «принцип» не был обобщен на произвольные функции — фактически, явное понятие произвольной функции, не говоря уже о понятии ее производной или алгоритме получения производной, здесь не имеет значения».
5. Пингри 1992, с. 562 Цитата: «Один пример, который я могу вам привести, относится к демонстрации индийским Мадхавой примерно в 1400 году нашей эры бесконечных степенных рядов тригонометрических функций с использованием геометрических и алгебраических аргументов. Когда это было впервые описано на английском языке Чарльзом Уишем в 1830-х годах. Это заявление и достижения Мадхавы были проигнорированы западными историками, по-видимому, сначала потому, что они не могли признать, что индейцы открыли исчисление, но позже потому, что никто больше не читал Труды Мадхавы . Королевское азиатское общество , в котором была опубликована статья Уиша. Этот вопрос вновь всплыл на поверхность в 1950-х годах, и теперь у нас есть должным образом отредактированные санскритские тексты, и мы понимаем, какой умный способ, которым Мадхава вывел серию без исчисления; но многие историки до сих пор считают это невозможным. В этом случае элегантность и блеск математики Мадхавы искажаются, поскольку они погребены под нынешним математическим решением задачи. проблема, для которой он нашел альтернативное и мощное решение».
6. Кац 1995, стр. 173–174 Цитата: «Насколько близко исламские и индийские ученые подошли к изобретению исчисления? Исламские ученые почти разработали общую формулу для поиска интегралов полиномов к 1000 году нашей эры - и, очевидно, могли найти такую ​​формулу для любого полином, который их интересовал. Но, по-видимому, ни один полином степени выше четвертой их не интересовал, по крайней мере, ни в одном из дошедших до нас материалов. Индийские ученые, напротив, к 1600 г. В то же время они знали, как вычислять дифференциалы этих функций. Таким образом, некоторые из основных идей Исчисление было известно в Египте и Индии за много столетий до Ньютона. Их, видимо, интересовали лишь конкретные случаи, в которых эти идеи были необходимы.
       Поэтому нет опасности, что нам придется переписать исторические тексты, чтобы исключить утверждение о том, что Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Они, безусловно, были теми, кто смог объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла, показать связь между ними и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня».
7. Сингх, AN (1936). «Об использовании рядов в индуистской математике». Осирис . 1 : 606–628. дои : 10.1086/368443. S2CID  144760421.
8. Брессуд, Дэвид. 2002. «Было ли исчисление изобретено в Индии?» Журнал колледжа математики (Математическая ассоциация Америки). 33(1):2–13.
9. Кац, VJ ​​1995. «Идеи исчисления в исламе и Индии». (pdf) Журнал Mathematics (Математическая ассоциация Америки), 68 (3): 163-174.
10. Джон Уоррен (1825) Сборник мемуаров о различных режимах, согласно которым народы южной части Индии делят время из Google Books
11. Виш, Чарльз М. (1835). «XXXIII. Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантра Санграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамака». Труды Королевского Азиатского общества . 3 : 509–523.
12. Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1949). «Забытая глава индуистской математики». Скрипта Математика . 15 : 201–209.
13. Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1951). «Об индуистском доказательстве ряда Грегори». Скрипта Математика . 17 : 65–74.
14. Раджагопал, К.; Венкатараман, А. (1949). «Степенной ряд синуса и косинуса в индуистской математике». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии (наука) . 15 : 1–13.
15. Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1977). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 89–102. дои : 10.1007/BF00348142. S2CID  51861422.
16. Раджагопал, К.; Рангачари, М.С. (1986). «О средневековой математике Кералы». Архив истории точных наук . 35 (2): 91–99. дои : 10.1007/BF00357622. S2CID  121678430.
17. Отто Нойгебауэр (1952) «Тамильская астрономия», Осирис 10: 252–76.
18. К. Рамасубраманиан, доктор медицинских наук Шринивас и М.С. Шрирам (1994) Модификация более ранней индийской планетарной теории астрономами Кералы (ок. 1500 г. н.э.) и подразумеваемая гелиоцентрическая картина движения планет, Current Science 66 (10): 784–90
19. AK Bag (1979) Математика в древней и средневековой Индии . Варанаси/Дели: Chaukhambha Orientalia. стр. 285.
20. Раджу, СК (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхасе». Философия Востока и Запада . 51 (3): 325–362. дои : 10.1353/pew.2001.0045. S2CID  170341845.
21. Алмейда, DF; Джон, Дж. К.; Задорожный, А. (2001). «Керельская математика: ее возможное распространение в Европе и вытекающие из этого последствия для образования». Журнал естественной геометрии . 20 : 77–104.
22. Голд, Д.; Пингри, Д. (1991). «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса». История науки . 42 : 49–65.
23. Кац 1995, с. 174.

Рекомендации

• Брессуд, Дэвид (2002), «Было ли исчисление изобретено в Индии?», The College Mathematics Journal , 33 (1): 2–13, doi : 10.2307/1558972, JSTOR  1558972.
• Гупта, Р.К. (1969) «Второй порядок интерполяции индийской математики», Индийский журнал истории науки 4: 92-94
• Хаяси, Такао (2003), «Индийская математика», в книге Граттан-Гиннесс, Айвор (ред.), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , том. 1, стр. 118–130, Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса, 976 страниц, ISBN 0-8018-7396-7.
• Джозеф, Г.Г. (2000), Герб павлина: неевропейские корни математики , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-00659-8.
• Кац, Виктор Дж. (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Mathematics Magazine , 68 (3): 163–174, doi : 10.2307/2691411, JSTOR  2691411.
• Парамесваран, С. (1992) «Возвращение к выставочному залу Уиша», Mathematical Gazette 76, вып. 475 страниц 28–36
• Пингри, Дэвид (1992), «Элленофилия против истории науки», Isis , 83 (4): 554–563, Бибкод : 1992Isis...83..554P, doi : 10.1086/356288, JSTOR  234257, S2CID  68570164
• Плофкер, Ким (1996), «Пример секущего метода итеративной аппроксимации в санскритском тексте пятнадцатого века», Historia Mathematica , 23 (3): 246–256, doi : 10.1006/hmat.1996.0026.
• Плофкер, Ким (2001), «Ошибка» в индийском «приближении ряда Тейлора» к синусу», Historia Mathematica , 28 (4): 283–295, doi : 10.1006/hmat.2001.2331.
• Плофкер, К. (20 июля 2007 г.), «Математика Индии», Кац, Виктор Дж. (редактор), « Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник» , Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет. Press, 685 страниц (опубликовано в 2007 г.), стр. 385–514, ISBN. 978-0-691-11485-9.
• СК Раджу. «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхасе», Philosophy East and West 51 , University of Hawaii Press, 2001.
• Рой, Ранджан (1990), «Открытие формулы ряда Лейбницем, Грегори и Нилакантой», Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi : 10.2307/2690896, JSTOR  2690896 ${\displaystyle \pi }$.
• Сарма, КВ; Харихаран, С. (1991). «Юктибхаса Джьештхадевы: книга обоснований индийской математики и астрономии - аналитическая оценка». Индийский Дж. Хист. Наука . 26 (2): 185–207.
• Сингх, АН (1936), «Об использовании рядов в индуистской математике», Осирис , 1 : 606–628, doi : 10.1086/368443, JSTOR  301627, S2CID  144760421
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (2-е изд.), Берлин и Нью-Йорк: Springer, 568 страниц, ISBN 0-387-95336-1.
• Такки Вентури. «Письмо Маттео Риччи Петри Маффеи от 1 декабря 1581 года», Маттео Риччи SI, Le Lettre Dalla Cina 1580–1610 , том. 2, Мачерата, 1613 г.

Внешние ссылки

• Обзор индийской математики, архив MacTutor History of Mathematics , 2002.
• Индийская математика: восстановление баланса , Архив истории математики MacTutor , 2002.
• Керальская математика, Архив истории математики MacTutor , 2002.
• Возможная передача керальской математики в Европу, Архив истории математики MacTutor , 2002.
• «Индийцы опередили «открытие» Ньютона на 250 лет» phys.org, 2007 г.