stringtranslate.com

Мадхава из Сангамаграмы

Мадхава Сангамаграма ( Мадхаван ) [5] ( ок.  1340  – ок.  1425 ) был индийским математиком и астрономом , который считается основателем керальской школы астрономии и математики в позднем средневековье . Мадхава внес новаторский вклад в изучение бесконечных рядов , исчисления , тригонометрии , геометрии и алгебры . Он был первым, кто использовал аппроксимации бесконечными рядами для ряда тригонометрических функций, что было названо «решительным шагом вперед от конечных процедур древней математики к рассмотрению их предельного перехода к бесконечности ». [1]

биография

О жизни Мадхавы мало что известно достоверно. Однако из разрозненных упоминаний о Мадхаве, найденных в различных рукописях, историки школы Кералы собрали воедино информацию о математике. В рукописи, хранящейся в Институте Востока в Бароде, Мадхава упоминается как Мадхаван венварохадинам картта… Мадхаван Иланниппади Эмпран . [5] Было отмечено, что эпитет «Эмпран» относится к общине Эмпрантири , к которой, возможно, принадлежал Мадхава. [6]

Термин «Иланньиппакхи» был идентифицирован как ссылка на резиденцию Мадхавы. Это подтверждает сам Мадхава. В своем коротком труде о положениях Луны, озаглавленном «Венвароха» , Мадхава говорит, что он родился в доме под названием бакудхиштхита. . . вихара . [7] Это явно санскритское слово Иланниппахи . Иланньи — это малаяламское название вечнозеленого дерева Mimusops elengi , а его санскритское название — Bakuḷa . Палли - это термин, обозначающий деревню. Санскритское название дома бакудхиштхита. . . Вихара также интерпретировалась как отсылка к малаяламскому названию дома Иранньи нинна ппакхи , и некоторые историки пытались отождествить его с одним из двух существующих в настоящее время домов с названиями Ириннянаваки и Иринньярапакхи , оба из которых расположены недалеко от города Иринджалакуда в центральной Керале. [7] Эта идентификация надумана, поскольку оба имени не имеют ни фонетического сходства, ни семантического эквивалента слову «Ilaññippaḷḷi». [6]

Большинство авторов астрономических и математических работ, живших после периода Мадхавы, называли Мадхаву «Сангамаграма Мадхава», и поэтому важно, чтобы истинное значение слова «Сангамаграма» было прояснено. По общему мнению многих ученых, Сангамаграма — это город Иринджалакуда , расположенный примерно в 70 км к югу от реки Нила и примерно в 70 км к югу от Кочина . [6] Кажется, что для этой веры не так уж много конкретных оснований, за исключением, возможно, того факта, что главенствующему божеству раннего средневекового храма в городе, храма Кудалманикьям , поклоняются как Сангамешваре, что означает «Повелитель Самгамы», и поэтому Самгамаграма может можно интерпретировать как деревню Самгамешвара. Но в Карнатаке есть несколько мест, в названии которых присутствует самгама или ее эквивалент кудала , а также есть храм, посвященный Самгамсваре, повелителю слияния. ( Кудаласангама в районе Багалкот — одно из таких мест со знаменитым храмом, посвященным Господу Самгамы.) [6]

На южном берегу реки Нила, примерно в 10 км вверх по течению от Тирунавой , есть небольшой городок, который называется Кудаллур. Точный дословный перевод этого названия на санскрит — Самгамаграм: кутал на малаялам означает слияние (что на санскрите — самгама ), а ур — деревня (что на санскрите — грама ). Также это место находится в месте слияния реки Нила и ее самого важного притока, а именно реки Кунти. (Рядом с Иринджалакуадой нет места слияния рек.) Между прочим, в нескольких километрах от деревни Кудаллур до сих пор существует семья Намбудири (малаяли браминов) по имени Куталлур Мана . Семья берет свое начало в самой деревне Кудалур. На протяжении многих поколений в этой семье жил великий гурукулам , специализирующийся на Веданге . [6] Тот факт, что единственная доступная рукопись «Сфутачандрапти» , книги, автором которой является Мадхава, была получена из коллекции рукописей Куталлура Маны , может укрепить гипотезу о том, что Мадхава мог иметь некоторую связь с Куталлуром Мана . [8] Таким образом, наиболее вероятной возможностью является то, что предки Мадхавы мигрировали из земли Тулу или окрестностей, чтобы поселиться в деревне Кудаллур, которая расположена на южных берегах реки Нила, недалеко от Тируннавая, за поколение или два до его рождения. и жил в доме, известном как Иланньиппакхи , личность которого в настоящее время неизвестна. [6]

Дата

Также нет определенных свидетельств, позволяющих точно определить период расцвета Мадхавы. В своей «Венварохе» Мадхава называет эпохой 1400 год нашей эры. Ученик Мадхавы Парамешвара Намбудири , единственный известный прямой ученик Мадхавы, как известно, завершил свою основополагающую работу «Дригганита» в 1430 году, а дата Парамешвары была определена как ок.  1360 -1455. На основании таких косвенных свидетельств историки установили дату ок.  1340  – ок.  1425 г. , Мадхава.

Историография

Хотя есть некоторые свидетельства математических работ в Керале до Мадхавы ( например , Садратнамала [ который? ] ок. 1300 г., набор фрагментарных результатов [9] ), из цитат ясно, что Мадхава дал творческий импульс для развития богатая математическая традиция в средневековой Керале. Однако, за исключением пары, большинство оригинальных работ Мадхавы утеряны. Он упоминается в работах последующих математиков Кералы, особенно в « Тантрасанграхе » Нилаканты Сомаяджи (ок. 1500 г.), как источник нескольких разложений в бесконечные ряды, включая sin θ и arctan θ . В тексте XVI века Махаджьянаяна пракара (Метод вычисления больших синусов) Мадхава цитируется как источник нескольких выводов ряда для числа π . В «Юктибхаше » Джьештхадевы (ок. 1530 г.), [10] , написанной на малаяламе , эти ряды представлены с доказательствами в терминах разложения в ряд Тейлора для полиномов типа 1/(1+ x 2 ), с x = tan  θ и т. д. .

Таким образом, то, что явно является работой Мадхавы, является источником некоторых споров. Юкти -дипика (также называемая Тантрасанграха-вьякхья ), возможно, составленная Шанкарой Вариаром , учеником Джьештхадевы, представляет несколько версий разложений рядов для sin θ , cos θ и arctan θ , а также некоторые произведения с радиусом и длина дуги, большинство версий которой встречаются в Юктибхаше. Для тех, кто этого не делает, Раджагопал и Рангачари, подробно цитируя оригинальный санскрит, [1] утверждают , что, поскольку некоторые из них были приписаны Нилакантхой Мадхаве, некоторые другие формы также могут быть работой Мадхавы.

Другие предполагают, что ранний текст Каранападдхати (ок. 1375–1475) или Махаджьянаяна пракара был написан Мадхавой, но это маловероятно. [3]

Каранападхати , наряду с еще более ранним кералитским математическим текстом Садратнамала , а также Тантрасанграха и Юктибхаша , рассматривались в статье 1834 года К.М. Уиша , которая первой привлекла внимание к их приоритету над Ньютоном в открытии Флюксиона ( название Ньютона для дифференциалы). [9] В середине 20-го века российский ученый Юшкевич вновь обратился к наследию Мадхавы, [11] а всесторонний взгляд на школу Кералы был предоставлен Сармой в 1972 году. [12]

Родословная

Объяснение правила синуса в Юктибхаше

Есть несколько известных астрономов, которые предшествовали Мадхаве, в том числе Кталур Кижар (2 век), [13] Вараручи (4 век) и Шанкаранараяна (866 г. н. э.). Не исключено, что ему предшествовали другие неизвестные личности. Однако после Мадхавы у нас есть более четкие сведения о традиции. Парамешвара был его прямым учеником. Согласно рукописи малаяламского комментария к Сурья Сиддханте на пальмовом листе, сын Парамешвары Дамодара (ок. 1400–1500) имел Нилакантху Сомаяджи в качестве одного из своих учеников. Джьештадева был учеником Нилакантхи. Ачьютха Пишаради из Триккантиюра упоминается как ученик Джьештхадевы, а грамматист Мелпатур Нараяна Бхаттатири - как его ученик. [10]

Взносы

Если мы рассматриваем математику как прогресс от конечных алгебраических процессов к рассмотрению бесконечного, то первые шаги к этому переходу обычно происходят с разложением в бесконечный ряд. Именно этот переход к бесконечной серии приписывают Мадхаве. В Европе первый такой ряд был разработан Джеймсом Грегори в 1667 году. Работа Мадхавы примечательна этой серией, но что действительно примечательно, так это его оценка ошибочного члена (или корректирующего члена). [14] Это означает, что он очень хорошо понимал предельную природу бесконечной серии. Таким образом, Мадхава, возможно, изобрел идеи, лежащие в основе разложения функций в бесконечные ряды , степенные ряды , тригонометрические ряды и рациональные аппроксимации бесконечных рядов. [15]

Однако, как говорилось выше, какие результаты принадлежат именно Мадхаве, а какие — его преемникам, определить трудно. Ниже представлено краткое изложение результатов, приписываемых Мадхаве различными учеными.

Бесконечная серия

Среди его многочисленных вкладов он открыл бесконечные ряды для тригонометрических функций синуса , косинуса , арктангенса и множество методов вычисления длины окружности . Одна из серий Мадхавы известна из текста Юктибхаша , который содержит вывод и доказательство степенного ряда для обратного тангенса , открытого Мадхавой. [16] В тексте Джьештхадева описывает эту серию следующим образом:

Первое слагаемое представляет собой произведение заданного синуса и радиуса искомой дуги, деленное на косинус дуги. Последующие члены получаются в результате итерационного процесса, когда первый член многократно умножается на квадрат синуса и делится на квадрат косинуса. Затем все члены делятся на нечетные числа 1, 3, 5, .... Дуга получается путем сложения и вычитания соответственно членов нечетного и четного ранга. Установлено, что за заданный синус здесь следует принять синус дуги или синус ее дополнения, смотря по тому, что меньше. В противном случае члены, полученные в результате этой итерации, не будут стремиться к исчезающей величине. [17]

Это дает:

или эквивалентно:

Эта серия представляет собой серию Грегори (названную в честь Джеймса Грегори , который заново открыл ее через три столетия после Мадхавы). Даже если мы считаем эту конкретную серию работой Джьештхадевы , она возникла на столетие раньше Григория, и, конечно же, Мадхава разработал другие бесконечные серии аналогичной природы. Сегодня ее называют серией Мадхавы-Грегори-Лейбница . [17] [18]

Тригонометрия

Мадхава составил точную таблицу синусов. Значения Мадхавы имеют точность до седьмого десятичного знака. Разметив четверть круга через двадцать четыре равных промежутка, он дал длины полухорды (синусы), соответствующие каждому из них. Считается, что он, возможно, вычислил эти значения на основе разложения в ряд: [4]

грех q = q − q 3 /3! + д 5/5 ! − д 7/7 ! + ...
потому что q = 1 − q 2 /2! + д 4/4 ! − q 6 /6! + ...

Значение π (пи)

Работа Мадхавы о значении математической константы Пи цитируется в Махаджьянаяне пракаре («Методы больших синусов»). [ нужна цитата ] Хотя некоторые ученые, такие как Сарма [10] считают, что эта книга, возможно, была написана самим Мадхавой, более вероятно, что это работа преемника 16-го века. [4] Этот текст приписывает большинство расширений Мадхаве и дает следующее разложение числа π в бесконечный ряд , теперь известное как ряд Мадхавы-Лейбница : [19] [20]

который он получил из разложения в степенной ряд функции арктангенса. Однако самое впечатляющее то, что он также дал поправочный член R n для ошибки после вычисления суммы до n членов, [4] , а именно:

R n = (−1) n / (4 n ), или
R n = (−1) n ⋅ n / (4 n 2 + 1), или
R n = (−1) n ⋅( n 2 + 1) / (4 n 3 + 5 n ),

где третья поправка приводит к очень точным вычислениям π .

Уже давно предполагают, как Мадхава нашел эти корректирующие условия. [21] Это первые три дроби конечной цепной дроби, которая в сочетании с исходным рядом Мадхавы, рассчитанным до n членов, дает около 3 n /2 правильных цифр:

Абсолютное значение поправочного члена в следующем более высоком порядке равно

| р н | = (4 n 3 + 13 n ) / (16 n 4 + 56 n 2 + 9).

Он также дал более быстро сходящийся ряд, преобразовав исходный бесконечный ряд π , получив бесконечный ряд

Используя первые 21 член для вычисления приближения π , он получает значение с точностью до 11 десятичных знаков (3,14159265359). [22] Значение 3,1415926535898 с точностью до 13 десятичных знаков иногда приписывается Мадхаве, [23] но может быть связано с одним из его последователей. Это были самые точные приближения числа π , данные с V века (см. Историю численных приближений числа π ).

Текст Садратнамала, кажется, дает удивительно точное значение π  = 3,14159265358979324 (с точностью до 17 десятичных знаков). На основании этого Р. Гупта предположил, что этот текст также был написан Мадхавой. [3] [22]

Мадхава также провел исследования других рядов для длин дуг и связанных с ними приближений к рациональным дробям π . [3]

Исчисление

Мадхава разработал разложение в степенной ряд для некоторых тригонометрических функций, которые были далее развиты его преемниками в школе астрономии и математики Кералы . [24] (Некоторые идеи исчисления были известны более ранним математикам .) Мадхава также расширил некоторые результаты, найденные в более ранних работах, в том числе в работах Бхаскары II . [24] Однако они не объединили множество различных идей в рамках двух объединяющих тем — производной и интеграла, не показали связь между ними и не превратили исчисление в мощный инструмент решения проблем, который мы имеем сегодня. [25]

Работы Мадхавы

К. В. Сарма определил Мадхаву как автора следующих работ: [26] [27]

  1. Голавада
  2. Мадхьяманаянапракара
  3. Махаджьянаянапракара (метод вычисления больших синусов)
  4. Лагнапракарана ( लग्नप्रकरण )
  5. Венвароха ( वेण्वारोह ) [28]
  6. Сфутачандрапти ( स्फुटचन्द्राप्ति )
  7. Аганита-грахачара ( अगणित-ग्रहचार )
  8. Чандравакьяни ( चन्द्रवाक्यानि ) (Таблица лунной мнемоники)

Керальская школа астрономии и математики

Керальская школа астрономии и математики была основана Мадхавой из Сангамаграмы в Керале, Южная Индия, и среди ее членов входили: Парамешвара , Нилаканта Сомаяджи , Джьештадева , Ачьюта Пишарати , Мельпатур Нараяна Бхаттатири и Ачьюта Паниккар. Его расцвет пришелся на период с 14 по 16 века. Они дали три важных результата: разложение в ряд трех тригонометрических функций синуса, косинуса и арктанта, а также доказательство их результатов, которое позже было дано в тексте Юктибхасы . [9] [24] [25]

Группа также проделала много другой работы в области астрономии; действительно, для астрономических вычислений создано гораздо больше страниц, чем для обсуждения результатов, связанных с анализом. [10]

Школа Кералы также внесла большой вклад в лингвистику (отношения между языком и математикой — древняя индийская традиция, см. Катьяяна ). Аюрведические и поэтические традиции Кералы также восходят к этой школе . Знаменитое стихотворение « Нараяниям » было написано Нараяной Бхаттатири .

Влияние

Мадхаву называли «величайшим математиком-астрономом средневековой Индии», [3] некоторые из его открытий в этой области показывают, что он обладал необычайной интуицией». [29] О'Коннор и Робертсон заявляют, что справедливая оценка Мадхавы является что он сделал решающий шаг к современному классическому анализу. [4]

Возможное распространение в Европе

Керальская школа была хорошо известна в XV и XVI веках, в период первых контактов с европейскими мореплавателями на Малабарском побережье . В то время порт Музирис , недалеко от Сангамаграмы , был крупным центром морской торговли, и в этом регионе действовало множество иезуитских миссионеров и торговцев. Учитывая известность школы Кералы и интерес, проявленный некоторыми группами иезуитов в этот период к местной науке, некоторые ученые, в том числе Дж. Джозеф из Университета Манчестера, предположили [30] , что сочинения школы Кералы могут примерно в это же время, то есть примерно за столетие до Ньютона, они также были перенесены в Европу. [31] Однако прямых доказательств того, что такая передача действительно имела место, в виде соответствующих рукописей нет. [31] По словам Дэвида Брессуда , «нет никаких доказательств того, что индийские сериалы были известны за пределами Индии или даже за пределами Кералы до девятнадцатого века». [32]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ abc CT Раджагопал и М.С.Рангачари (1978). «О неиспользованном источнике средневековой керальской математики». Архив истории точных наук . 18 (2): 101. дои : 10.1007/BF00348142. S2CID  51861422.
  2. ^ Рой, Ранджан (1990). «Открытие Лейбницем, Грегори и Нилакантой формулы ряда для числа π» (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.2307/2690896. JSTOR  2690896. Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2012 года.
  3. ^ abcde Ян Г. Пирс (2002). Мадхава Сангамаграммы. MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
  4. ^ abcde Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (2000). «Мадхава Сангамаграммы». MacTutor Архив истории математики . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , Шотландия. Архивировано из оригинала 14 мая 2006 года . Проверено 8 сентября 2007 г.
  5. ^ аб К.В. Сарма (1972). История школы индийской астрономии Кералы (в перспективе) . Хошиарпур: Институт санскрита и индологических исследований Вишвешварананда, Пенджабский университет . п. 51.Доступно [1]
  6. ^ abcdef PP Дивакаран (2018). Математика Индии: понятия, методы, связи . Кочин: Springer - Книжное агентство Индостана. стр. 282–290. ISBN 978-981-13-1773-6.
  7. ^ аб КВ Сарма (1973). Вычисление Истинной Луны Мадхавой Сангамаграмы . Хошиарпур: Институт санскрита и индологических исследований Вишвешварананда, Пенджабский университет. п. 12.Доступно: [2] (По состоянию на 1 января 2023 г.)
  8. ^ КВ Сарма (1973). Спутачандрапти: Вычисление истинной Луны Мадхавой из Сангамаграмы . Хошиарпур, Пенджаб: Институт санскрита и индологических исследований Вишвешварананда, Пенджабский университет. п. 8.
  9. ^ abc Чарльз Виш (1834). «Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах: Тантра Сахграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамала». Труды Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии . Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии . 3 (3): 509–523. дои : 10.1017/S0950473700001221. JSTOR  25581775.
  10. ^ abcd КВ Сарма ; С. Харихаран (ред.). «Книга по обоснованию индийской математики и астрономии — аналитическая оценка» (PDF) . Юктибхаша Джьештхадева . Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2006 года . Проверено 9 июля 2006 г.
  11. ^ А. П. Юшкевич (1961).Geschichte der Mathematik im Mittelalter (немецкий перевод, Лейпциг, 1964, русский оригинал, Москва, 1961) . Москва.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  12. ^ КВ Сарма (1972). История школы индийской астрономии Кералы . Хошиарпур.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  13. ^ Пуранануру 229
  14. ^ Мадхава расширил работу Архимеда по геометрическому методу истощения для измерения площадей и чисел, таких как π , с произвольной точностью и пределами ошибок , до алгебраической бесконечной серии с совершенно отдельным членом ошибки . Ч. Т. Раджагопал и М. С. Рангачари (1986). «О средневековой керальской математике». Архив истории точных наук . 35 (2): 91–99. дои : 10.1007/BF00357622. S2CID  121678430.
  15. ^ «Ни Ньютон, ни Лейбниц - Предыстория исчисления и небесной механики в средневековой Керале». МАТ 314 . Канисиусский колледж. Архивировано из оригинала 6 августа 2006 года . Проверено 9 июля 2006 г.
  16. ^ «Школа Кералы, европейская математика и навигация». Индийская математика . Д. П. Агравал — Фонд Бесконечности . Проверено 9 июля 2006 г.
  17. ^ ab RC Гупта (1973). «Серия Мадхава-Грегори». Математика. Образование . 7 : В67–В70.
  18. ^ «Наука и технологии в свободной Индии» (PDF) . Правительство Кералы – Керальский призыв, сентябрь 2004 г. Профессор К.Г.Мачандран Наир. Архивировано из оригинала (PDF) 21 августа 2006 года . Проверено 9 июля 2006 г.
  19. ^ Джордж Э. Эндрюс, Ричард Аски, Ранджан Рой (1999). Специальные функции . Издательство Кембриджского университета . п. 58. ИСБН 0-521-78988-5.
  20. ^ Гупта, RC (1992). «Об остаточном члене ряда Мадхавы-Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
  21. ^ Т. Хаяси, Т. Кусуба и М. Яно. «Коррекция серии Мадхавы на длину окружности», Центавр 33 (страницы 149–174). 1990.
  22. ^ ab RC Гупта (1975). «Мадхава и другие средневековые индийские значения числа Пи». Математика. Образование . 9 (3): В45–В48.
  23. ^ Точное 13-значное значение π , 3,1415926535898, может быть достигнуто с помощью разложения в бесконечный ряд π / 4 (первая последовательность), увеличивая n = 76.
  24. ^ abc «Обзор индийской математики». Индийская математика . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 7 июля 2006 г.
  25. ^ Аб Кац, Виктор Дж. (1 июня 1995 г.). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Журнал «Математика» . 68 (3): 163–174. дои : 10.1080/0025570X.1995.11996307. ISSN  0025-570X.
  26. ^ Сарма, КВ (1977). Вклад в изучение Керальской школы индуистской астрономии и математики . Хошиарпур: ВВР И.
  27. ^ Дэвид Эдвин Пингри (1981). Перепись точных наук на санскрите . Том. 4. Филадельфия: Американское философское общество. стр. 414–415.
  28. ^ К. Чандра Хари (2003). «Расчет истинной луны Мадхвой Сангамаграмы». Индийский журнал истории науки . 38 (3): 231–253 . Проверено 27 января 2010 г.
  29. ^ Джозеф, Джордж Гевергезе (октябрь 2010 г.) [1991]. Герб павлина: неевропейские корни математики (3-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13526-7.
  30. ^ «Индейцы опередили «открытие» Ньютона на 250 лет» . пресс-релиз, Манчестерский университет. 13 августа 2007 г. Архивировано из оригинала 21 марта 2008 г. Проверено 5 сентября 2007 г.
  31. ^ ab Д.Ф. Алмейда, Дж.К. Джон и А. Задорожный (2001). «Кералская математика: ее возможное распространение в Европе и вытекающие из этого последствия для образования». Журнал естественной геометрии . 20 (1): 77–104.
  32. ^ Голд, Д.; Пингри, Д. (1991), «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса», Historia Scientiarum , 42 : 49–65.

Внешние ссылки