Юктибхаша

Трактат по математике и астрономии

Юктибхаша ( малаялам : യുക്തിഭാഷ , букв.  «Обоснование»), также известная как Ганита-юкти-бхаша ^{[1] : XXI} и Ганитаньяясангграха ( английский: Сборник астрономических обоснований ), является основным трактатом по математике и астрономии . , написанный индийцем астроном Джьештхадева из математической школы Кералы около 1530 года. ^[2] Трактат, написанный на малаяламе, представляет собой обобщение открытий Мадхавы Сангамаграмы , Нилакантхи Сомаяджи , Парамешвары , Джьештадевы , Ачьюты Пишарати и других астрономов-математиков Кералы. школа. ^[2] Он также существует в санскритской версии с неясным автором и датой, составленной как приблизительный перевод малаяламского оригинала. ^[1]

Работа содержит доказательства и выводы изложенных в ней теорем . Современные историки, основываясь на впервые ставших доступными работах по индийской математике, утверждали, что ранним индийским учёным в области астрономии и вычислений не хватало доказательств, ^[3] но Юктибхаша демонстрирует обратное. ^[4]

Некоторые из его важных тем включают разложение функций в бесконечный ряд ; степенные ряды , в том числе π и π/4; тригонометрические ряды синуса , косинуса и арктангенса ; Ряды Тейлора , включая аппроксимации синуса и косинуса второго и третьего порядка ; радиусы, диаметры и окружности.

Юктибхаша в основном дает обоснование результатов Тантра-Самграхи Нилакантхи . ^[5] Считается, что это ранний текст, дающий некоторые идеи исчисления , такого как Тейлор и бесконечные ряды, на два столетия предшествовавший Ньютону и Лейбницу. ^{[6] [7] [8] [9]} Трактат остался практически незамеченным за пределами Индии, поскольку был написан на местном языке малаялам. В наше время, благодаря более широкому международному сотрудничеству в области математики, на эту работу обратил внимание весь мир. Например, и Оксфордский университет, и Королевское общество Великобритании отдали должное новаторским математическим теоремам индийского происхождения, которые предшествовали их западным аналогам. ^{[7] [8] [9]}

Содержание

Юктибхаша содержит большинство разработок более ранней школы Кералы, особенно Мадхавы и Нилакантхи . Текст разделен на две части: первая посвящена математическому анализу , а вторая — астрономии. ^[2] Помимо этого, непрерывный текст не имеет дальнейшего разделения на темы или темы, поэтому опубликованные издания делят работу на главы по усмотрению редакции. ^{[1] : xxxvii}

Страницы из Юктибхасы

Математика

Объяснение правила синуса в Юктибхаше

Эти предметы, рассматриваемые в математической части Юктибхаши, можно разделить на семь глав: ^{[1] : xxxvii.}

1. парикарма : логистика (восемь математических операций)
2. дашапрашна : десять проблем, связанных с логистикой
3. бхиннаганита : арифметика дробей
4. трайрасика : правило трех
5. куттакара : распыление (линейные неопределенные уравнения)
6. паридхи-вьяса : соотношение между длиной окружности и диаметром: бесконечные ряды и приближения для отношения длины окружности и диаметра круга.
7. jyānayana : вывод Rsines: бесконечные ряды и приближения для синусов. ^[10]

Первые четыре главы книги содержат элементарную математику, такую ​​как деление, теорема Пифагора , квадратные корни и т. д. ^[11] Новые идеи не обсуждаются до шестой главы, посвященной длине окружности . Юктибхаша содержит вывод и доказательство степенного ряда обратного тангенса , открытого Мадхавой. ^[5] В тексте Джьештхадева описывает серию Мадхавы следующим образом:

Первое слагаемое представляет собой произведение заданного синуса и радиуса искомой дуги, деленное на косинус дуги. Последующие члены получаются в результате итерационного процесса, когда первый член многократно умножается на квадрат синуса и делится на квадрат косинуса. Затем все члены делятся на нечетные числа 1, 3, 5, .... Дуга получается путем сложения и вычитания соответственно членов нечетного и четного ранга. Установлено, что за заданный синус здесь следует принять синус дуги или синус ее дополнения, смотря по тому, что меньше. В противном случае члены, полученные в результате этой итерации, не будут стремиться к исчезающей величине.

В современной математической записи

${\displaystyle r\theta ={r{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}-{\frac {r}{3}}{\frac {\sin ^{3}\theta }{\cos ^{3}\theta }}+{\frac {r}{5}}{\frac {\sin ^{5}\theta }{\cos ^{5}\theta }}-{\frac {r}{7}}{\frac {\sin ^{7}\theta }{\cos ^{7}\theta }}+\cdots }$

или, выражаясь через касательные,

${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {1}{3}}\tan ^{3}\theta +{\frac {1}{5}}\tan ^{5}\theta -\cdots \ ,}$

которую в Европе условно называли серией Грегори в честь Джеймса Грегори , заново открывшего ее в 1671 году.

Текст также содержит разложение числа π в бесконечный ряд Мадхавы , которое он получил из разложения функции арктангенса.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}+\cdots \ ,}$

которую в Европе условно называли серией Лейбница , в честь Готфрида Лейбница , заново открывшего ее в 1673 году.

Используя рациональное приближение этого ряда, он дал значения числа π как 3,14159265359 с точностью до 11 десятичных знаков и как 3,1415926535898 с точностью до 13 десятичных знаков.

В тексте описаны два метода вычисления значения π. Сначала получите быстро сходящийся ряд, преобразуя исходный бесконечный ряд π. При этом первые 21 член бесконечного ряда

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

использовалось для вычисления аппроксимации до 11 десятичных знаков. Другой метод заключался в добавлении остаточного члена к исходному ряду π. Остаток использовался при разложении в бесконечный ряд для улучшения аппроксимации π до точности 13 десятичных знаков при n = 76. ${\textstyle {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

Помимо этого, Юктибхаша содержит множество элементарных и сложных математических тем, в ^{том числе :}

• Доказательства разложения функций синуса и косинуса .
• Формулы суммы и разности синуса и косинуса
• Целочисленные решения систем линейных уравнений (решаются с использованием системы, известной как куттакарам )
• Геометрические выводы рядов
• Ранние формулировки рядов Тейлора для некоторых функций

Астрономия

Главы с восьмой по семнадцатую посвящены предметам астрономии: орбитам планет , небесным сферам , восхождению , склонению , направлениям и теням, сферическим треугольникам , эллипсам и коррекции параллакса . Планетарная теория, описанная в книге, аналогична той, которую позднее принял датский астроном Тихо Браге . ^[12] Темы, затронутые в восьми главах, включают вычисление средней и истинной долготы планет, Земли и небесных сфер, пятнадцать задач, связанных с восхождением, склонением, долготой и т. д., определение времени, места, направления и т. д. по гномоническая тень, затмения, Вьятипата (когда Солнце и Луна имеют одинаковое склонение), коррекция видимости планет и фаз Луны. ^[10]

В частности, ^{[1] : xxxviii}

8. грахагати : движение планет, бхагола : сфера зодиака, мадхьяграха : средние планеты, сурьяспхута : истинное солнце, грахаспхута : истинные планеты
9. бху-вайу-бхагола : сферы земли, атмосферы и астеризмов, аяначалана : прецессия равноденствий.
10. панчадаша-прашна : пятнадцать задач, касающихся сферических треугольников.
11. диг-джняна : ориентация, чхайа-ганита : вычисления теней, лагна : восходящая точка эклиптики , нати -ламбана : параллакс широты и долготы.
12. грахана : затмение
13. вьятипата
14. коррекция видимости планет
15. куспиды луны и фазы луны

Современные издания

Первый стих из Юкти бхаши на языке малаялам.

Важность Юктибхаши была доведена до сведения современной науки К.М. Уишем в 1832 году в статье, опубликованной в « Трудах Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии» . ^[4] Математическая часть текста вместе с примечаниями на малаялам была впервые опубликована в 1948 году Рамой Вармой Тампураном и Ахилешварой Айяром. ^{[2] [13]}

Первое критическое издание всего текста на малаялам, наряду с английским переводом и подробными пояснительными примечаниями, было опубликовано в двух томах издательством Springer ^[14] в 2008 году . ^[1] Был опубликован третий том, содержащий критическое издание санскритской Ганитаюктибхасы. Индийским институтом перспективных исследований , Шимла, в 2009 году. ^{[15] [16] [17] [18]}

Настоящее издание «Юктибхасы» разделено на два тома: том I посвящен математике, а том II посвящен астрономии. Каждый том разделен на три части: первая часть представляет собой английский перевод соответствующей малаяламской части «Юктибхасы» , вторая часть содержит подробные пояснительные примечания к переводу, а в третьей части воспроизведен текст малаяламского оригинала . Английский перевод выполнен К.В. Сармой , а пояснительные примечания предоставлены К. Рамасубраманяном, доктором медицины Шринивасом и М.С. Шрирамом . ^[1]

Издание « Юктибхаса» в открытом доступе опубликовано Sayahna Foundation в 2020 году. ^[19]

Смотрите также

• Ганита-юкти-бхаса
• Срок исправления Мадхавы
• Индийская математика
• Керальская школа

Рекомендации

1. Сарма, КВ ; Рамасубраманиан, К.; Шринивас, доктор медицинских наук; Шрирам, М.С. (2008). Ганита-Юкти-Бхаса (Обоснование математической астрономии) Джьештхадевы. Источники и исследования по истории математики и физических наук. Том. I – II (1-е изд.). Спрингер (совместно с Книжным агентством «Хиндустан», Нью-Дели). стр. LXVIII, 1084. Бибкод : 2008rma..book.....S. ISBN 978-1-84882-072-2. Проверено 17 декабря 2009 г.
2. КВ Сарма ; С. Харихаран (1991). «Юктибхаша Джьештхадева: книга об обосновании индийской математики и астрономии: аналитическая оценка» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 26 (2). Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2006 года . Проверено 9 июля 2006 г.
3. "Джьестхардева". Биография Джьештхадевы . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 7 июля 2006 г.
4. Дивакаран, ПП (2007). «Первый учебник математического анализа: «Юктибхаша»". Журнал индийской философии . 35 (5/6): 417–443. doi : 10.1007/s10781-007-9029-1. ISSN  0022-1791. JSTOR  23497280. S2CID  170254981.
5. «Школа Кералы, европейская математика и навигация». Индийская математика . ДП Агравал – Фонд Бесконечности . Проверено 9 июля 2006 г.
6. СК Раджу (2001). «Компьютеры, математическое образование и альтернативная эпистемология исчисления в Юктибхаше» (PDF) . Философия Востока и Запада . 51 (3): 325–362. дои : 10.1353/pew.2001.0045. S2CID  170341845 . Проверено 11 февраля 2020 г.
7. «Обзор индийской математики». Индийская математика . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 7 июля 2006 г.
8. Чарльз Виш (1834), «Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантра Сахграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамала», Труды Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии , 3 (3): 509–523, номер документа : 10.1017/S0950473700001221, JSTOR  25581775.
9. Джордж Гевергезе Джозеф (2000). Хохол павлина. Интернет-архив. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00659-8.
10. Для получения более подробной информации о содержании см. Базу данных Кинокуния: «Ганита-юкти-бхаса (Обоснование математической астрономии) Джьестхадевы» . Проверено 1 мая 2010 г.
11. «Текст исчисления Юктибхасы» (PDF) . Предыстория исчисления и небесной механики в средневековой Керале . Доктор Сарада Раджив . Проверено 9 июля 2006 г.
12. «Наука и математика в Индии». История Южной Азии . Ресурсы Индии. Архивировано из оригинала 17 октября 2012 года . Проверено 6 мая 2020 г.
13. Юктибхаса, Часть I (редактор) с примечаниями Рамавармы (Мару) Тампурана и А. Р. Ахилешвары Айера, Magalodayam Ltd., Тричур , Керала , 1123 год малаяламской эры , 1948 год нашей эры .
14. веб-страницу издателя ( Springer's ) книги: Ганита-Юкти-Бхаса (Обоснование математической астрономии) Джьестхадевы. ISBN 9781848820722. Проверено 29 апреля 2010 г.
15. Сарма, КВ (2009). Ганита Юктибхаса (на малаялам и английском языке). Том. III. Индийский институт перспективных исследований , Шимла, Индия. ISBN 978-81-7986-052-6. Архивировано из оригинала 17 марта 2010 года . Проверено 16 декабря 2009 г.
16. КВ Сарма (2004). Ганита Юктибхаса (Том III) . Шимла : Индийский институт перспективных исследований . ISBN 81-7986-052-3.
17. Веб-страница издателя ( Индийского института перспективных исследований ) книги: «Ганита Юктибхаса К.В. Сармы». Архивировано из оригинала 17 марта 2010 года . Проверено 1 мая 2010 г.
18. Обзор Ганита-юкти-бхасы (Обоснования математической астрономии) Джьештхадевы, подготовленный Математической ассоциацией Америки, см.: Гомер С. Уайт (17 июля 2009 г.). «Ганита-Юкти-Бхаса (Обоснование математической астрономии) Джьестхадевы». Математическая ассоциация Америки . Проверено 28 мая 2022 г.
19. Фонд Саяхна (20 ноября 2020 г.). «Цифровое издание Юктибхаша» (PDF) .

Внешние ссылки

• Биография Джьестадевы – Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия