Планковские единицы

Единицы измерения определяются только физическими константами

В физике элементарных частиц и физической космологии единицы Планка представляют собой систему единиц измерения , определяемую исключительно в терминах четырех универсальных физических констант : c , G , ħ и k B (описанных ниже). Выражение одной из этих физических констант в единицах Планка дает числовое значение 1 . Они представляют собой систему природных единиц , определяемую с использованием фундаментальных свойств природы (в частности, свойств свободного пространства ), а не свойств выбранного объекта-прототипа . Первоначально предложенные в 1899 году немецким физиком Максом Планком , они актуальны в исследованиях единых теорий, таких как квантовая гравитация .

Термин «масштаб Планка» относится к количествам пространства, времени, энергии и других единиц, которые по величине аналогичны соответствующим единицам Планка. Эта область может характеризоваться энергиями частиц около10 ¹⁹  ГэВ или10 ⁹  Дж , интервалы времени около5 × 10 ⁻⁴⁴  с и длиной около10–35  м ⁽ приблизительно энергетический эквивалент планковской массы, планковского времени и планковской длины соответственно). Ожидается, что в масштабе Планка предсказания Стандартной модели , квантовой теории поля и общей теории относительности не будут применимы, и ожидается, что квантовые эффекты гравитации будут доминировать. Одним из примеров являются условия в первые 10–43 ^{секунды} существования нашей Вселенной после Большого взрыва , произошедшего примерно 13,8 миллиардов лет назад.

Четыре универсальные константы , которые по определению имеют числовое значение 1, если выражаться в этих единицах:

• c , скорость света в вакууме,
• G , гравитационная постоянная ,
• ħ , приведенная постоянная Планка и
• k _B , постоянная Больцмана .

Существуют варианты основной идеи единиц Планка, такие как альтернативные варианты нормализации, которые дают другие числовые значения одной или нескольким из четырех констант, указанных выше.

Введение

Любой системе измерения может быть присвоен взаимно независимый набор основных величин и связанных с ними базовых единиц , из которых могут быть выведены все остальные величины и единицы. Например, в Международной системе единиц базовые величины СИ включают длину и соответствующую ей единицу метра . В системе планковских единиц может быть выбран аналогичный набор основных величин и связанных с ними единиц, через которые могут быть выражены другие величины и когерентные единицы. ^{[1] [2] : 1215} Планковская единица длины стала известна как планковская длина, а планковская единица времени известна как планковское время, но не установлено, что эта номенклатура распространяется на все величины.

Все единицы Планка выводятся из размерных универсальных физических констант, которые определяют систему, и в соглашении, в котором эти единицы опускаются (т.е. рассматриваются как имеющие безразмерное значение 1), эти константы затем исключаются из уравнений физики, в которых они появляются. . Например, закон всемирного тяготения Ньютона .

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {F_{\text{P}}l_{\text{P}}^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$,

может быть выражено как:

${\displaystyle {\frac {F}{F_{\text{P}}}}={\frac {\left({\dfrac {m_{1}}{m_{\text{P}}}}\right)\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\right)^{2}}}}$.

Оба уравнения согласованы по размерам и одинаково справедливы в любой системе величин, но второе уравнение, при отсутствии G , связывает только безразмерные величины , поскольку любое отношение двух величин одинаковой размерности является безразмерной величиной. Если, условно говоря, понимать, что каждая физическая величина представляет собой соответствующее соотношение с когерентной единицей Планка (или «выраженное в единицах Планка»), приведенные выше отношения могут быть выражены просто с помощью символов физической величины без масштабирования. явно по соответствующей единице:

${\displaystyle F'={\frac {m_{1}'m_{2}'}{r'^{2}}}}$.

Это последнее уравнение (без G ) справедливо, когда F ′ , m ₁ ′, m ₂ ′ и r ′ являются безразмерными величинами отношения, соответствующими стандартным величинам, записанным, например, F ′ ≘ F или F ′ = F / F _P , но не как прямое равенство величин. Это может показаться «установкой констант c , G и т. д. равными 1», если соответствие величин мыслится как равенство. По этой причине планковские и другие натуральные единицы следует использовать с осторожностью. Ссылаясь на « G = c = 1 », Пол С. Вессон писал: «Математически это приемлемый трюк, который экономит труд. Физически он представляет собой потерю информации и может привести к путанице». ^[3]

История и определение

Понятие натуральных единиц было введено в 1874 году, когда Джордж Джонстон Стоуни , отметив, что электрический заряд квантуется, вывел единицы длины, времени и массы, теперь названные в его честь единицами Стоуни . Стони выбрал свои единицы измерения так, чтобы G , c и заряд электрона e были численно равны 1. ^[4] В 1899 году, за год до появления квантовой теории, Макс Планк ввел то, что позже стало известно как постоянная Планка. ^{[5] [6]} В конце статьи он предложил основные единицы, которые позже были названы в его честь. Единицы Планка основаны на кванте действия , ныне обычно известном как постоянная Планка, который появился в приближении Вина для излучения черного тела . Планк подчеркнул универсальность новой системы единиц, написав: ^[5]

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch ausserirdische und aussermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als »natürliche Maasseinheiten« bezeichnet werden können.

...можно установить единицы длины, массы, времени и температуры, независимые от особых тел или веществ, обязательно сохраняющие свое значение на все времена и для всех цивилизаций, включая внеземные и нечеловеческие, которые могут называть «естественными единицами измерения».

Планк рассматривал только единицы, основанные на универсальных константах , и пришел к естественным единицам длины , времени , массы и температуры . ^[6] Его определения отличаются от современных в раз , потому что в современных определениях используется вместо . ^{[5] [6]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle h}$

В отличие от Международной системы единиц , не существует официального органа, который устанавливает определение системы единиц Планка. Некоторые авторы определяют базовые единицы Планка как единицы массы, длины и времени, считая дополнительную единицу температуры избыточной. ^{[примечание 1]} В других таблицах, помимо единицы температуры, добавляется единица электрического заряда, так что либо постоянная Кулона ^{[12] [13]} , либо диэлектрическая проницаемость вакуума ^[14] нормализуется к 1. Таким образом, в зависимости от по выбору автора, эта единица заряда определяется выражением ${\displaystyle k_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

$${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\approx 1.875546\times 10^{-18}{\text{ C}}\approx 11.7\ e}$$

${\displaystyle k_{\text{e}}=1}$

$${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\epsilon _{0}\hbar c}}\approx 5.290818\times 10^{-19}{\text{ C}}\approx 3.3\ e}$$

^[15] ${\displaystyle \varepsilon _{0}=1}$

В единицах СИ значения c , h , e и k _B являются точными, а значения ε ₀ и G в единицах СИ соответственно имеют относительную неопределенность1,5 × 10–10 ^{[ 16]} и2,2 × 10 ^-5 . ^[17] Следовательно, неопределенности в значениях SI единиц Планка почти полностью происходят из неопределенности в значении SI G .

По сравнению с единицами Стони все базовые единицы Планка больше в раз , где – постоянная тонкой структуры . ^[18] ${\textstyle {\sqrt {{1}/{\alpha }}}\approx 11.7}$ ${\displaystyle \alpha }$

Производные единицы

В любой системе измерения единицы многих физических величин можно вывести из основных единиц. В Таблице 2 представлен образец производных единиц Планка, некоторые из которых используются редко. Как и в случае с базовыми единицами, их использование в основном ограничивается теоретической физикой, поскольку большинство из них слишком велики или слишком малы для эмпирического или практического использования, а их значения имеют большую неопределенность.

Некоторые планковские единицы, такие как время и длина, на много порядков слишком велики или слишком малы, чтобы их можно было использовать на практике, поэтому единицы Планка как система обычно имеют отношение только к теоретической физике. В некоторых случаях единица Планка может указывать на предел диапазона физической величины, в котором применяются современные теории физики. ^[19] Например, наше понимание Большого Взрыва не распространяется на эпоху Планка , то есть, когда возраст Вселенной был меньше одного планковского времени. Для описания Вселенной в эпоху Планка необходима теория квантовой гравитации , которая включила бы квантовые эффекты в общую теорию относительности . Такой теории пока не существует.

Некоторые величины не являются «экстремальными» по величине, например, масса Планка, которая составляет около 22 микрограммов : очень большая по сравнению с субатомными частицами и находится в диапазоне масс живых организмов. ^{[20] : 872} Точно так же соответствующие единицы энергии и импульса находятся в пределах некоторых повседневных явлений.

Значение

В единицах Планка мало антропоцентрического произвола, но они все же предполагают некоторый произвольный выбор с точки зрения определяющих констант. В отличие от метра и секунды , которые существуют как базовые единицы в системе СИ по историческим причинам, планковская длина и планковское время концептуально связаны на фундаментальном физическом уровне. Следовательно, натуральные единицы помогают физикам по-новому сформулировать вопросы. Фрэнк Вильчек выражает это кратко:

Мы видим, что вопрос [задается] не в том: «Почему гравитация такая слабая?» а скорее: «Почему масса протона так мала?» В естественных (планковских) единицах сила гравитации — это просто первичная величина, тогда как масса протона — это крохотное число 1/13 квинтиллиона . ^[21]

Хотя это правда, что электростатическая сила отталкивания между двумя протонами (только в свободном пространстве) значительно превышает силу гравитационного притяжения между теми же двумя протонами, речь идет не об относительной силе двух фундаментальных сил. С точки зрения планковских единиц, это сравнение яблок с апельсинами , ведь масса и электрический заряд — несоизмеримые величины. Скорее, несоответствие величины силы является проявлением того факта, что заряд протонов примерно равен единице заряда , но масса протонов намного меньше единицы массы.

Планковский масштаб

В физике элементарных частиц и физической космологии шкала Планка представляет собой энергетическую шкалу около1,22 × 10 ¹⁹  ГэВ (планковская энергия, соответствующая энергетическому эквиваленту планковской массы, равна2,176 45 × 10 ⁻⁸  кг ) , при котором квантовые эффекты гравитации становятся существенными. В этом масштабе существующие описания и теории взаимодействий субатомных частиц с точки зрения квантовой теории поля терпят крах и становятся неадекватными из-за влияния кажущейся неперенормируемости гравитации в рамках существующих теорий. ^[19]

Связь с гравитацией

Ожидается, что в масштабе длины Планка сила гравитации станет сравнимой с другими силами, и было высказано предположение, что все фундаментальные силы объединены в этом масштабе, но точный механизм этого объединения остается неизвестным. ^[22] Таким образом, масштаб Планка — это точка, в которой эффекты квантовой гравитации больше нельзя игнорировать в других фундаментальных взаимодействиях , где текущие расчеты и подходы начинают давать сбой, и необходимы средства для учета ее воздействия. ^[23] На этом основании было высказано предположение, что это может быть приблизительным нижним пределом , при котором черная дыра может образоваться в результате коллапса. ^[24]

Хотя физики довольно хорошо понимают другие фундаментальные взаимодействия сил на квантовом уровне, гравитация является проблематичной и не может быть интегрирована с квантовой механикой при очень высоких энергиях, используя обычные рамки квантовой теории поля. На меньших уровнях энергии это обычно игнорируется, тогда как для энергий, приближающихся к планковскому масштабу или превышающих его, необходима новая теория квантовой гравитации . Подходы к этой проблеме включают теорию струн и М-теорию , петлевую квантовую гравитацию , некоммутативную геометрию и теорию причинных множеств . ^[25]

В космологии

В космологии Большого взрыва эпоха Планка или эра Планка — это самая ранняя стадия Большого взрыва , до того, как прошедшее время стало равным планковскому времени, t _P , или примерно 10–43 ^{секунды} . ^[26] В настоящее время не существует физической теории, описывающей такие короткие времена, и неясно, в каком смысле понятие времени имеет смысл для значений, меньших, чем планковское время. Обычно предполагается, что квантовые эффекты гравитации доминируют над физическими взаимодействиями в этом временном масштабе. Предполагается , что в этом масштабе единая сила Стандартной модели едина с гравитацией . Неизмеримо горячее и плотное, состояние эпохи Планка сменило эпоху великого объединения , когда гравитация отделилась от единой силы Стандартной модели, за которой, в свою очередь, последовала эпоха инфляции , которая закончилась примерно через 10–32 ^{секунды} (или около 10 ¹¹  т _P ). ^[27]

В таблице 3 перечислены свойства наблюдаемой сегодня Вселенной, выраженные в планковских единицах. ^{[28] [29]}

После измерения космологической постоянной (Λ) в 1998 году, оцененной в 10–122 ^в планковских единицах, было отмечено, что она предположительно близка к обратной величине возраста Вселенной ( T ) в квадрате. Барроу и Шоу предложили модифицированную теорию, в которой Λ — поле, развивающееся таким образом, что его значение остается Λ ~ T ⁻² на протяжении всей истории Вселенной. ^[30]

Анализ юнитов

Планковская длина

Планковская длина, обозначаемая ℓ _P , представляет собой единицу длины , определяемую как:

$${\displaystyle \ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$$

Это равно1,616 255 (18) × 10–35  м ^{[7] (две цифры} в скобках представляют собой расчетную стандартную ошибку , связанную с сообщенным числовым значением) или около^{В 10–20} раз больше диаметра протона . ^[31] Это можно мотивировать по-разному, например, рассматривая частицу, чья уменьшенная комптоновская длина волны сравнима с ее радиусом Шварцшильда , ^{[31] [32] [33]} , хотя вопрос о том, применимы ли эти концепции на самом деле одновременно, остается спорным. ^[34] (Тот же эвристический аргумент одновременно мотивирует и планковскую массу. ^[32] )

Планковская длина представляет собой масштаб расстояний, представляющий интерес для размышлений о квантовой гравитации. Энтропия Бекенштейна -Хокинга черной дыры составляет одну четверть площади ее горизонта событий в единицах квадрата планковской длины. ^{[11] : 370} С 1950-х годов высказывалась гипотеза, что квантовые флуктуации метрики пространства-времени могут сделать знакомое понятие расстояния неприменимым ниже планковской длины. ^{[35] [36] [37]} Иногда это выражают, говоря, что «пространство-время становится пеной в масштабе Планка ». ^[38] Вполне возможно, что планковская длина — это самое короткое физически измеримое расстояние, поскольку любая попытка исследовать возможное существование более коротких расстояний путем проведения столкновений с более высокими энергиями привела бы к образованию черных дыр. Столкновения с более высокими энергиями вместо разделения материи на более мелкие кусочки просто создадут более крупные черные дыры. ^[39]

В теории струн струны моделируются порядка планковской длины. ^{[40] [41]} В теориях с большими дополнительными измерениями планковская длина, рассчитанная на основе наблюдаемого значения, может быть меньше истинной фундаментальной планковской длины. ^{[11] : 61  [42]} ${\displaystyle G}$

Планковское время

Планковское время t _P — это время , необходимое свету для прохождения расстояния в 1 планковскую длину в вакууме , что составляет интервал времени примерно5,39 × 10 ⁻⁴⁴  с . Ни одна современная физическая теория не может описать временные рамки короче планковского времени, например, самые ранние события после Большого взрыва. ^[26] Некоторые гипотезы утверждают, что структура времени не обязательно должна оставаться гладкой на интервалах, сравнимых с планковским временем. ^[43]

Планковская энергия

Планковская энергия E _P примерно равна энергии, выделяющейся при сгорании топлива в автомобильном топливном баке (57,2 л при 34,2 МДж/л химической энергии). Космические лучи сверхвысокой энергии , наблюдавшиеся в 1991 году, имели измеренную энергию около 50 Дж, что эквивалентно примерно2,5 × 10 ^-8  Э _П . ^{[44] [45]}

Предложения по теориям двойной специальной теории относительности предполагают, что, помимо скорости света, энергетическая шкала также инвариантна для всех инерциальных наблюдателей. Обычно в качестве такого энергетического масштаба выбирается энергия Планка. ^{[46] [47]}

Планковская единица силы

Единицу силы Планка можно рассматривать как производную единицу силы в системе Планка, если планковские единицы времени, длины и массы считаются базовыми единицами.

$${\displaystyle F_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c}{t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}\approx \mathrm {1.2103\times 10^{44}~N} }$$

Это сила гравитационного притяжения двух тел массой 1 планков каждое, находящихся на расстоянии 1 планковской длины друг от друга. Одно из соглашений относительно планковского заряда состоит в том, чтобы выбрать его так, чтобы электростатическое отталкивание двух объектов с планковским зарядом и массой, находящихся на расстоянии 1 планковской длины друг от друга, уравновешивало ньютоновское притяжение между ними. ^[48]

Некоторые авторы утверждают, что сила Планка порядка максимальной силы, которая может возникнуть между двумя телами. ^{[49] [50]} Однако достоверность этих гипотез оспаривается. ^{[51] [52]}

Планковская температура

Планковская температура T _P равна1,416784 ( 16  ) × 1032 ^К. _ ^[10] При этой температуре длина волны света, испускаемого тепловым излучением, достигает планковской длины. Не существует известных физических моделей, способных описать температуры _, превышающие TP ; для моделирования достигнутых экстремальных энергий потребуется квантовая теория гравитации. ^[53] Гипотетически, система, находящаяся в тепловом равновесии при температуре Планка, может содержать черные дыры планковского масштаба, постоянно образующиеся из теплового излучения и распадающиеся в результате испарения Хокинга. Добавление энергии в такую ​​систему может снизить ее температуру за счет создания более крупных черных дыр, температура Хокинга которых ниже. ^[54]

Безразмерные уравнения

Физические величины, имеющие разные измерения (например, время и длина), не могут быть приравнены, даже если они численно равны (например, 1 секунда — это не то же самое, что 1 метр). Однако в теоретической физике эти сомнения можно преодолеть с помощью процесса, называемого обезразмериванием . Фактический результат состоит в том, что многие фундаментальные уравнения физики, которые часто включают некоторые константы, используемые для определения единиц Планка, становятся уравнениями, в которых эти константы заменяются единицей.

Примеры включают соотношение энергии-импульса , которое становится , и уравнение Дирака , которое становится . ${\displaystyle \ E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}$ ${\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}}$ ${\displaystyle \ (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi =0}$ ${\displaystyle \ (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$

Альтернативные варианты нормализации

Как уже говорилось выше, единицы Планка получаются путем «нормализации» числовых значений некоторых фундаментальных констант к 1. Эти нормализации не являются ни единственно возможными, ни обязательно лучшими. Более того, выбор того, какие факторы нормировать среди факторов, входящих в фундаментальные уравнения физики, не очевиден, и значения планковских единиц чувствительны к этому выбору.

Множитель 4 π повсеместно встречается в теоретической физике , поскольку в трехмерном пространстве площадь поверхности сферы радиуса r равна 4 π r ² . Это, наряду с понятием потока , лежит в основе закона обратных квадратов , закона Гаусса и оператора дивергенции , применяемого к плотности потока . Например, гравитационные и электростатические поля, создаваемые точечными объектами, обладают сферической симметрией, поэтому электрический поток через сферу радиуса r вокруг точечного заряда будет распределяться равномерно по этой сфере. Отсюда следует, что в знаменателе закона Кулона в рационализированном виде появится множитель 4 π r ² . ^{[28] : 214–15} (И численный коэффициент, и степень зависимости от r изменились бы, если бы пространство было более многомерным; правильные выражения можно вывести из геометрии сфер более высокой размерности . ^{[11] : 51} ) То же самое и с законом всемирного тяготения Ньютона: коэффициент 4 π естественным образом появляется в уравнении Пуассона , когда гравитационный потенциал связывается с распределением материи. ^{[11] : 56}

Следовательно, значительная часть физической теории, разработанная после статьи Планка 1899 года, предлагает нормализовать не G , а 4 π G (или 8 π G ) к 1. Это привело бы к введению коэффициента1/4 π(или1/8 π) в безразмерную форму закона всемирного тяготения, согласующуюся с современной рационализированной формулировкой закона Кулона в терминах диэлектрической проницаемости вакуума. Фактически, альтернативные нормализации часто сохраняют фактор1/4 πв безразмерной форме закона Кулона, так что безразмерные уравнения Максвелла для электромагнетизма и гравитоэлектромагнетизма принимают ту же форму, что и уравнения для электромагнетизма в системе SI, которые не имеют каких-либо множителей 4 π . Когда это применяется к электромагнитным константам ε ₀ , эта система единиц называется « рационализированной » . Применительно к гравитации и единицам Планка они называются рационализированными единицами Планка ^[55] и встречаются в физике высоких энергий. ^[56]

Рационализированные единицы Планка определяются так, что c = 4 πG = ħ = ε ₀ = k _B = 1 .

Существует несколько возможных альтернативных нормировок.

Гравитационная постоянная

В 1899 году закон всемирного тяготения Ньютона все еще считался точным, а не удобным приближением, справедливым для «малых» скоростей и масс (приблизительный характер закона Ньютона был показан после развития общей теории относительности в 1915 году). Следовательно, Планк нормализовал гравитационную постоянную G в законе Ньютона к единице. В теориях, появившихся после 1899 года, G почти всегда появляется в формулах, умноженных на 4 π или на небольшое целое число, кратное ему. Следовательно, выбор, который необходимо сделать при разработке системы натуральных единиц, заключается в том, какие случаи 4 π , встречающиеся в уравнениях физики, если таковые имеются, следует исключить посредством нормализации.

• Нормализация 4 π G к 1 (и, следовательно, установка G =1/4 π):
  • Закон Гаусса для гравитации принимает вид Φ _g = − M (а не Φ _g = −4 π M в планковских единицах).
  • Исключает 4 π G из уравнения Пуассона .
  • Устраняет 4 π G в гравитоэлектромагнитных (GEM) уравнениях, которые справедливы в слабых гравитационных полях или локально плоском пространстве-времени . Эти уравнения имеют ту же форму, что и уравнения Максвелла (и уравнение силы Лоренца ) электромагнетизма , с плотностью массы , заменяющей плотность заряда , и с1/4 π Гзаменив ε ₀ .
  • Нормализует характеристический импеданс Z _g гравитационного излучения в свободном пространстве до 1 (обычно выражается как4 π Г/с). ^{[заметка 2]}
  • Исключает 4 π G из формулы Бекенштейна-Хокинга (для энтропии черной дыры , выраженной в ее массе m _BH и площади ее горизонта событий A _BH ), которая упрощается до S _BH = π A _BH = ( m _BH ) ² .
• Полагая 8 π G = 1 (и, следовательно, полагая G =1/8 π). Это исключило бы 8 π G из уравнений поля Эйнштейна , действия Эйнштейна–Гильберта и уравнений Фридмана для гравитации. Единицы Планка, модифицированные так, что 8 π G = 1 , известны как уменьшенные единицы Планка , потому что масса Планка делится на √ 8 π . Кроме того, формула Бекенштейна-Хокинга для энтропии черной дыры упрощается до SBH ₌ ( m _BH ) ² /2 = 2 π A _BH .

Смотрите также

• cGh физика
• Размерный анализ
• Двойная специальная теория относительности
• Транспланковская проблема
• Энергия нулевой точки

Заметки с пояснениями

1. Например, так делают и Фрэнк Вильчек, и Бартон Цвибах , ^{[1] [11] : 54,} как и учебник «Гравитация» . ^{[2] : 1215}
2. Общая теория относительности предсказывает, что гравитационное излучение распространяется с той же скоростью, что и электромагнитное излучение . ^{[57] : 60  [58] : 158}

Рекомендации

1. Вильчек, Франк (2005). «Об абсолютных единицах я: выбор». Физика сегодня . Американский институт физики . 58 (10): 12–13. Бибкод : 2005PhT....58j..12W. дои : 10.1063/1.2138392.
2. Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . Нью-Йорк. ISBN 0-7167-0334-3. ОСЛК  585119.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Вессон, PS (1980). «Применение анализа размерностей в космологии». Обзоры космической науки . 27 (2): 117. Бибкод : 1980ССРв...27..109Вт. дои : 10.1007/bf00212237. S2CID  120784299.
4. Барроу, JD (1 марта 1983 г.). «Естественные единицы до Планка». Ежеквартальный журнал Королевского астрономического общества . 24 : 24. Бибкод : 1983QJRAS..24...24B. ISSN  0035-8738. Архивировано из оригинала 20 января 2022 года . Проверено 16 апреля 2022 г.
5. Планк, Макс (1899). «Убер-необратимое страдание». Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (на немецком языке). 5 : 440–480. Архивировано из оригинала 17 ноября 2020 года . Проверено 23 мая 2020 г.стр. 478–80 содержат первое появление основных единиц Планка и постоянной Планка , которую Планк обозначил b . a и f в этой статье соответствуют k и G в этой статье.
6. Томилин, К.А. (1999). Естественные системы единиц. К столетнему юбилею системы Планка (PDF) . Труды XXII семинара по физике высоких энергий и теории поля. стр. 287–296. Архивировано из оригинала (PDF) 12 декабря 2020 года . Проверено 31 декабря 2019 г.
7. «Значение CODATA 2018: планковская длина» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
8. «Значение CODATA 2018: планковская масса» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
9. «Значение CODATA 2018: Планковское время» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
10. «Значение CODATA 2018: Планковская температура» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
11. Zwiebach, Бартон (2004). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83143-7. OCLC  58568857.
12. Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2016). Энциклопедия расстояний. Спрингер . п. 602. ИСБН 978-3662528433. Архивировано из оригинала 6 марта 2021 года . Проверено 9 сентября 2020 г.
13. Элерт, Гленн. «Излучение черного тела». Гиперучебник по физике . Архивировано из оригинала 3 марта 2021 года . Проверено 22 февраля 2021 г.
14. Павшич, Матей (2001). Ландшафт теоретической физики: глобальный взгляд. Фундаментальные теории физики. Том. 119. Дордрехт: Клювер Академик. стр. 347–352. arXiv : gr-qc/0610061 . дои : 10.1007/0-306-47136-1. ISBN 978-0-7923-7006-2. Архивировано из оригинала 5 сентября 2021 года . Проверено 31 декабря 2019 г.
15. Зейдлер, Эберхард (2006). Квантовая теория поля I: Основы математики и физики (PDF) . Спрингер . п. 953. ИСБН 978-3540347620. Архивировано (PDF) из оригинала 19 июня 2020 года . Проверено 31 мая 2020 г.
16. «Значение CODATA 2018: электрическая проницаемость вакуума» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
17. «Значение CODATA 2018: гравитационная постоянная Ньютона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
18. Рэй, Т.П. (1981). «Основные единицы Стоуни». Ирландский астрономический журнал . 15 : 152. Бибкод :1981IrAJ...15..152R.
19. Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (второе изд.). Издательство Принстонского университета . стр. 172, 434–435. ISBN 978-0-691-14034-6. OCLC  659549695. Как и в нашем обсуждении теории Ферми, неперенормируемость квантовой гравитации говорит нам, что в масштабе энергии Планка... должна появиться новая физика. Теория Ферми вскричала, и новая физика оказалась электрослабой теорией. Теория Эйнштейна сейчас вопиет.
20. Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности . Нью-Йорк: Альфред А. Кнопф. ISBN 978-0-679-45443-4.
21. Вильчек, Франк (2001). «Масштабирование горы Планк I: вид снизу». Физика сегодня . 54 (6): 12–13. Бибкод : 2001PhT....54f..12W. дои : 10.1063/1.1387576 .
22. Виттен, Эд (2002). «В поисках объединения». arXiv : hep-ph/0207124 .
23. Бингхэм, Роберт (4 октября 2006 г.). «Может ли эксперимент получить доступ к физике планковского масштаба?». ЦЕРН Курьер . Архивировано из оригинала 30 ноября 2020 года . Проверено 4 ноября 2021 г.
24. Хокинг, SW (1975). «Создание частиц черными дырами». Связь в математической физике . 43 (3): 199–220. Бибкод : 1975CMaPh..43..199H. дои : 10.1007/BF02345020. S2CID  55539246. Архивировано из оригинала 5 июля 2014 года . Проверено 20 марта 2022 г.
25. Ровелли, Карло (2008). «Квантовая гравитация». Схоларпедия . 3 (5): 7117. Бибкод : 2008SchpJ...3.7117R. doi : 10.4249/scholarpedia.7117 .
26. Шомберт, Джеймс. «Рождение Вселенной». HC 441: Космология . Университет Орегона . Архивировано из оригинала 28 ноября 2018 года . Проверено 20 марта 2022 г.Обсуждает «Планковское время» и « Планковскую эру » в самом начале Вселенной .
27. Колб, Эдвард В.; Тернер, Майкл С. (1994). Ранняя Вселенная. Основные книги. п. 447. ИСБН 978-0-201-62674-2. Архивировано из оригинала 6 марта 2021 года . Проверено 10 апреля 2010 г.
28. Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы: от альфы до омеги – числа, которые кодируют глубочайшие тайны Вселенной . Книги Пантеона. ISBN 0-375-42221-8.
29. Барроу, Джон Д .; Типлер, Фрэнк Дж. (1986). Антропный космологический принцип (1-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-282147-8. LCCN  87028148.
30. Барроу, Джон Д.; Шоу, Дуглас Дж. (2011). «Значение космологической постоянной». Общая теория относительности и гравитация . 43 (10): 2555–2560. arXiv : 1105.3105 . Бибкод : 2011GReGr..43.2555B. дои : 10.1007/s10714-011-1199-1. S2CID  55125081.
31. Баэз, Джон (2001). «Высшая алгебра и физика планковского масштаба». В Каллендере, Крейг ; Хаггетт, Ник (ред.). Физика встречается с философией в планковском масштабе . Издательство Кембриджского университета. стр. 172–195. ISBN 978-0-521-66280-2. OCLC  924701824. Архивировано из оригинала 8 июля 2021 года . Проверено 20 марта 2022 г.
32. Адлер, Рональд Дж. (2010). «Шесть простых путей к масштабу Планка». Американский журнал физики . 78 (9): 925–932. arXiv : 1001.1205 . Бибкод : 2010AmJPh..78..925A. дои : 10.1119/1.3439650. S2CID  55181581.
33. Сигел, Итан (26 июня 2019 г.). «Каково наименьшее возможное расстояние во Вселенной?». Начинается с взрыва . Форбс . Архивировано из оригинала 18 сентября 2021 года . Проверено 26 июня 2019 г.
34. Фараони, Валерио (ноябрь 2017 г.). «Три новых пути к масштабу Планка». Американский журнал физики . 85 (11): 865–869. arXiv : 1705.09749 . Бибкод : 2017AmJPh..85..865F. дои : 10.1119/1.4994804. ISSN  0002-9505. S2CID  119022491. Архивировано из оригинала 30 декабря 2017 года . Проверено 9 апреля 2022 г. Как и все оценки порядков, эта процедура не является строгой, поскольку она экстраполирует концепции черной дыры и комптоновской длины волны на новый режим, в котором обе концепции, вероятно, утратят свои общепринятые значения и, строго говоря, перестанут быть действительными. Однако именно так человек обретает интуицию в новом физическом режиме.
35. Уилер, Дж. А. (январь 1955 г.). «Геоны». Физический обзор . 97 (2): 511–536. Бибкод : 1955PhRv...97..511W. doi : 10.1103/PhysRev.97.511.
36. Редже, Т. (1 января 1958 г.). «Гравитационные поля и квантовая механика». Иль Нуово Чименто . 7 (2): 215–221. Бибкод : 1958NCim....7..215R. дои : 10.1007/BF02744199. ISSN  1827-6121. S2CID  123012079. Архивировано из оригинала 24 марта 2022 года . Проверено 22 марта 2022 г.
37. Горелик, Геннадий (1992). «Первые шаги квантовой гравитации и планковские значения». В Эйзенштадте, Жан; Кокс, Энн Дж. (ред.). Исследования по истории общей теории относительности: на основе материалов 2-й Международной конференции по истории общей теории относительности, Люмини, Франция, 1988. Бостон: Биркхойзер. стр. 364–379. ISBN 0-8176-3479-7. OCLC  24011430. Архивировано из оригинала 25 апреля 2019 года.
38. Мермин, Н. Дэвид (май 2009 г.). «Что плохого в этой привычке». Физика сегодня . 62 (5): 8–9. Бибкод : 2009ФТ....62е...8М. дои : 10.1063/1.3141952. ISSN  0031-9228. Архивировано из оригинала 22 марта 2022 года . Проверено 22 марта 2022 г.
39. Карр, Бернард Дж.; Гиддингс, Стивен Б. (май 2005 г.). «Квантовые черные дыры» (PDF) . Научный американец . 292 (5): 48–55. Бибкод : 2005SciAm.292e..48C. doi : 10.1038/scientificamerican0505-48. PMID  15882021. S2CID  10872062. Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2019 года.
40. Манукян, Эдуард Б. (2016). Квантовая теория поля II: Введение в квантовую гравитацию, суперсимметрию и теорию струн. Тексты для аспирантов по физике. Чам: Международное издательство Springer. п. 187. дои : 10.1007/978-3-319-33852-1. ISBN 978-3-319-33851-4. Архивировано из оригинала 24 марта 2022 года . Проверено 22 марта 2022 г.
41. Шварц, Джон Х. (декабрь 2021 г.). «От S-матрицы к теории струн». Джеффри Чу: архитектор бутстрапа . Всемирная научная. стр. 72–83. дои : 10.1142/9789811219832_0013. ISBN 978-981-12-1982-5. S2CID  245575026.
42. Хоссенфельдер, Сабина (декабрь 2013 г.). «Сценарии квантовой гравитации в масштабе минимальной длины». Живые обзоры в теории относительности . 16 (1): 2. arXiv : 1203.6191 . Бибкод : 2013LRR....16....2H. дои : 10.12942/lrr-2013-2. ISSN  2367-3613. ПМЦ 5255898 . ПМИД  28179841. 
43. Вендел, Гарретт; Мартинес, Луис; Бойовальд, Мартин (19 июня 2020 г.). «Физические последствия фундаментального периода времени». Физ. Преподобный Летт. 124 (24): 241301. arXiv : 2005.11572 . Бибкод : 2020PhRvL.124x1301W. doi : 10.1103/PhysRevLett.124.241301. PMID  32639827. S2CID  218870394.
44. «HiRes - Обсерватория космических лучей сверхвысокой энергии Fly's Eye с высоким разрешением» . www.cosmic-ray.org . Архивировано из оригинала 15 августа 2009 года . Проверено 21 декабря 2016 г.
45. Берд, диджей; Корбато, Южная Каролина; Дай, HY; Элберт, JW; Грин, К.Д.; Хуанг, Массачусетс; Киеда, Д.Б.; Ко, С.; Ларсен, КГ; Лох, ЕС; Луо, МЗ; Саламон, Миннесота; Смит, доктор медицинских наук; Сокольский П.; Соммерс, П.; Тан, JKK; Томас, SB (март 1995 г.). «Обнаружение космических лучей с измеренной энергией, значительно превышающей ожидаемую спектральную границу из-за космического микроволнового излучения». Астрофизический журнал . 441 : 144. arXiv : astro-ph/9410067 . Бибкод : 1995ApJ...441..144B. дои : 10.1086/175344. S2CID  119092012.
46. Иуда, Саймон; Виссер, Мэтт (4 августа 2003 г.). «Законы сохранения в «двойной специальной теории относительности»». Физический обзор D . 68 (4): 045001. arXiv : gr-qc/0205067 . Бибкод : 2003PhRvD..68d5001J. doi : 10.1103/PhysRevD.68.045001. ISSN  0556-2821. S2CID  119094398.
47. Хоссенфельдер, Сабина (9 июля 2014 г.). «Проблема футбольного мяча». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 10 : 74.arXiv : 1403.2080 . Бибкод : 2014SIGMA..10..074H. дои : 10.3842/SIGMA.2014.074. S2CID  14373748. Архивировано из оригинала 19 марта 2022 года . Проверено 16 апреля 2022 г.
48. Кифер, Клаус (2012). Квантовая гравитация . Международная серия монографий по физике. Том. 155. Издательство Оксфордского университета. п. 5. ISBN 978-0-191-62885-6. ОСЛК  785233016.
49. де Саббата, Венцо; Шиварам, К. (1993). «О пределе напряженности поля в гравитации». Основы физики письма . 6 (6): 561–570. Бибкод : 1993FoPhL...6..561D. дои : 10.1007/BF00662806. S2CID  120924238.
50. Гиббонс, GW (2002). «Принцип максимального напряжения в общей теории относительности». Основы физики . 32 (12): 1891–1901. arXiv : hep-th/0210109 . Бибкод : 2002FoPh...32.1891G. дои : 10.1023/А: 1022370717626. S2CID  118154613.
51. Джоуси, Аден; Виссер, Мэтт (3 февраля 2021 г.). «Контрпримеры к гипотезе о максимальной силе». Вселенная . 7 (11): 403. arXiv : 2102.01831 . Бибкод : 2021Univ....7..403J. дои : 10.3390/universe7110403 .
52. Афшорди, Ниайеш (1 марта 2012 г.). «Где Эйнштейн потерпит неудачу? Аренда гравитации и космологии». Бюллетень Астрономического общества Индии . Астрономическое общество Индии , Система астрофизических данных НАСА . 40 (1): 5. arXiv : 1203.3827 . Бибкод : 2012BASI...40....1A. OCLC  810438317. Однако для большинства физиков-экспериментаторов достижение энергий, сравнимых с энергией Планка, является не более чем далекой фантазией. Самым мощным ускорителям на Земле не хватает планковской энергии на 15 порядков, а космическим лучам сверхвысоких энергий все еще не хватает на 9 порядков M _p .
53. Ривз, Хьюберт (1991). Час нашей радости . Компания WH Freeman. п. 117. ИСБН 978-0-7167-2220-5. Точка, в которой наши физические теории сталкиваются с наиболее серьезными трудностями, заключается в том, что материя достигает температуры примерно 10 ³² градусов, также известной как температура Планка. Чрезвычайная плотность излучения, испускаемого при этой температуре, создает непропорционально интенсивное поле гравитации. Чтобы пойти еще дальше в прошлое, необходима квантовая теория гравитации , но такую ​​теорию еще предстоит написать.
54. Шор, Питер В. (17 июля 2018 г.). «Время скремблирования и причинная структура фотонной сферы черной дыры Шварцшильда». arXiv : 1807.04363 [gr-qc].
55. Соркин, Рафаэль (1983). «Монополь Калуцы-Клейна». Физ. Преподобный Летт. 51 (2): 87–90. Бибкод : 1983PhRvL..51...87S. doi :10.1103/PhysRevLett.51.87.
56. Раньяда, Антонио Ф. (31 октября 1995 г.). «Модель топологического квантования электромагнитного поля». У М. Ферреро; Алвин ван дер Мерве (ред.). Фундаментальные проблемы квантовой физики . Спрингер. п. 271. ИСБН 9780792336709. Архивировано из оригинала 1 сентября 2020 года . Проверено 16 января 2018 г.
57. Шоке-Брюа, Ивонн (2009). Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-155226-7. ОСЛК  317496332.
58. Ставров, Ива (2020). Кривизна пространства и времени, введение в геометрический анализ . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-6313-7. ОКЛК  1202475208.

Внешние ссылки

• Значение фундаментальных констант, включая единицы Планка, по данным Национального института стандартов и технологий (NIST).
• Шкала Планка: теория относительности встречается с квантовой механикой и гравитацией из «Света Эйнштейна» в UNSW