Уравнение Пуассона

Выражение, часто встречающееся в математической физике, обобщение уравнения Лапласа

Симеон Дени Пуассон

Уравнение Пуассона — эллиптическое уравнение в частных производных , имеющее широкое применение в теоретической физике . Например, решением уравнения Пуассона является потенциальное поле, вызванное данным распределением электрического заряда или плотности массы; зная потенциальное поле, можно затем рассчитать электростатическое или гравитационное (силовое) поле. Это обобщение уравнения Лапласа , которое также часто встречается в физике. Уравнение названо в честь французского математика и физика Симеона Дени Пуассона . ^{[1] [2]}

Формулировка уравнения

Уравнение Пуассона

$${\displaystyle \Delta \varphi =f,}$$

операторвещественныекомплекснозначныена. евклидово пространство∇ ² ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f.}$$

В трехмерных декартовых координатах он принимает вид

$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$$

При тождественном получении получаем уравнение Лапласа . ${\displaystyle f=0}$

Уравнение Пуассона можно решить с помощью функции Грина :

$${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}r',}$$

экранированном уравнении Пуассонаметод релаксации

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационного поля g из-за притягивающего массивного объекта с плотностью ρ закон гравитации Гаусса в дифференциальной форме можно использовать для получения соответствующего уравнения Пуассона для гравитации:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

Поскольку гравитационное поле консервативно (и безвихрево ), его можно выразить через скалярный потенциал φ :

$${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$

Подставив это в закон Гаусса,

$${\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,}$$

уравнение Пуассона

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

Если плотность массы равна нулю, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа. Соответствующую функцию Грина можно использовать для расчета потенциала на расстоянии r от центральной точечной массы m (т. е. фундаментального решения ). В трех измерениях потенциал

$${\displaystyle \phi (r)={\frac {-Gm}{r}},}$$

закону всемирного тяготения Ньютона

Электростатика

Одним из краеугольных камней электростатики является постановка и решение задач, описываемых уравнением Пуассона. Решение уравнения Пуассона сводится к нахождению электрического потенциала φ для заданного распределения заряда . ${\displaystyle \rho _{f}}$

Математические детали, лежащие в основе уравнения Пуассона в электростатике, следующие ( используются единицы СИ , а не единицы Гаусса , которые также часто используются в электромагнетизме ).

Начиная с закона Гаусса для электричества (также одного из уравнений Максвелла ) в дифференциальной форме, имеем

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},}$$

оператор дивергенцииDполе электрического смещенияρ _fзаряда ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

Предполагая, что среда линейна, изотропна и однородна (см. плотность поляризации ), имеем материальное уравнение

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,}$$

εдиэлектрическая проницаемостьEэлектрическое поле

Подставляя это в закон Гаусса и предполагая, что ε пространственно постоянна в интересующей области, получаем

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,}$$

∇×оператор ротораφэлектрическим потенциалом

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}$$

φпотенциальная электрическая энергия

Вывод уравнения Пуассона в этих обстоятельствах прост. Подставив электрическое поле градиентом потенциала,

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }},}$$

уравнение Пуассона

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$

Решение уравнения Пуассона для потенциала требует знания распределения плотности заряда. Если плотность заряда равна нулю, то получается уравнение Лапласа . Если плотность заряда подчиняется распределению Больцмана , то получается уравнение Пуассона-Больцмана . Уравнение Пуассона-Больцмана играет роль в развитии теории Дебая-Хюккеля разбавленных растворов электролитов .

Используя функцию Грина, потенциал на расстоянии r от центрального точечного заряда Q (т. е. фундаментального решения ) равен

$${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},}$$

Кулона . ${\displaystyle 4\pi }$

Приведенное выше обсуждение предполагает, что магнитное поле не меняется во времени. То же уравнение Пуассона возникает, даже если оно меняется во времени, если используется кулоновская калибровка . В этом более общем контексте вычисления φ уже недостаточно для расчета E , поскольку E также зависит от векторного магнитного потенциала A , который должен быть вычислен независимо. См. уравнение Максвелла в потенциальной формулировке, чтобы узнать больше о φ и A в уравнениях Максвелла и о том, как в этом случае получается уравнение Пуассона.

Потенциал гауссовой плотности заряда

Если существует статическая сферически-симметричная гауссова плотность заряда

$${\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$$

Qφ ( r )

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}}$$

$${\displaystyle \varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$$

erf( x )функция ошибок

Это решение можно проверить явно, вычислив ∇ ² φ .

Обратите внимание, что для r, намного большего, чем σ , функция erf приближается к единице, а потенциал φ ( r ) приближается к потенциалу точечного заряда ,

$${\displaystyle \varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},}$$

r > 3 σ

Реконструкция поверхности

Реконструкция поверхности является обратной задачей . _{Цель состоит в том, чтобы в цифровом виде восстановить гладкую поверхность} на основе большого количества точек pi ( облака точек ), где каждая точка также несет оценку локальной нормали к поверхности n _i . ^[3] Уравнение Пуассона можно использовать для решения этой проблемы с помощью метода, называемого реконструкцией поверхности Пуассона. ^[4]

Целью этого метода является восстановление неявной функции f , _{значение} которой равно нулю в точках pi и _чей градиент в точках pi равен нормальным векторам n _i . Таким образом , набор ( pi _, ni ) _{моделируется} как непрерывное векторное поле V. Неявная функция f находится путем интегрирования векторного поля V. Поскольку не каждое векторное поле является градиентом функции, проблема может иметь или не иметь решение: необходимым и достаточным условием для того, чтобы гладкое векторное поле V было градиентом функции f , является то, что ротор V должен быть тождественно нуль. В случае, если это условие трудно наложить, все же можно выполнить аппроксимацию методом наименьших квадратов , чтобы минимизировать разницу между V и градиентом f .

Чтобы эффективно применить уравнение Пуассона к задаче восстановления поверхности, необходимо найти хорошую дискретизацию векторного поля V . Основной подход состоит в том, чтобы связать данные сеткой конечных разностей . Для функции, оцениваемой в узлах такой сетки, ее градиент может быть представлен как оцененный на шахматных сетках, т.е. на сетках, узлы которых лежат между узлами исходной сетки. Удобно определить три шахматные сетки, каждая из которых сдвинута в одном и только одном направлении, соответствующем компонентам нормальных данных. На каждой шахматной сетке мы выполняем трилинейную интерполяцию по множеству точек. Затем веса интерполяции используются для распределения величины связанного компонента n _i по узлам конкретной ячейки шахматной сетки, _{содержащей} pi . Каждан и соавторы предлагают более точный метод дискретизации с использованием адаптивной сетки конечных разностей, т. е. ячейки сетки меньше (сетка более мелко разделена) там, где больше точек данных. ^[4] Они предлагают реализовать эту технику с помощью адаптивного октодерева .

Динамика жидкостей

Для несжимаемых уравнений Навье–Стокса , определяемых формулой

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}}$$

Уравнение поля давления является примером нелинейного уравнения Пуассона: ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Дискретное уравнение Пуассона
• Уравнение Пуассона – Больцмана
• Уравнение Гельмгольца
• Теорема единственности уравнения Пуассона
• Слабая формулировка

Рекомендации

1. Джексон, Джулия А.; Мель, Джеймс П.; Нойендорф, Клаус К.Е., ред. (2005), Глоссарий геологии, Американский геологический институт, Спрингер, стр. 503, ISBN 9780922152766
2. Пуассон (1823). «Mémoire sur la theorie du Magnetisme en mouvement» [Мемуары о теории магнетизма в движении]. Мемуары Королевской академии наук Института Франции (на французском языке). 6 : 441–570.Из стр. 463: «Donc, d'après ce qui precède, nous aurons enfin:
   $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$$
   selon que le point M sera situé en dehors, à la Surface ou en dedans du Volume que L’on Sidère». (Таким образом, согласно предыдущему, мы в конце концов получим:
   $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$$
   в зависимости от того, находится ли точка М снаружи, на поверхности или внутри рассматриваемого объема.) V определяется (с. 462) как
   $${\displaystyle V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz',}$$
   где в случае электростатики интеграл производится по объему заряженного тела, координаты точек, находящихся внутри или на объеме заряженного тела, обозначаются , является заданной функцией и в электростатике будут мера плотности заряда и определяется как длина радиуса, простирающегося от точки М до точки, лежащей внутри или на заряженном теле. Координаты точки М обозначаются и обозначает значение (плотности заряда) в М. ${\displaystyle (x',y',z')}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle (x',y,'z')}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'}$
3. Калакли, Фатих; Таубин, Габриэль (2011). «Реконструкция поверхности с плавным знаком со знаком» (PDF) . Тихоокеанская графика . 30 (7).
4. Каждан, Михаил; Болито, Мэтью; Хоппе, Хьюз (2006). «Реконструкция поверхности Пуассона». Материалы четвертого симпозиума Eurographics по геометрической обработке (SGP '06) . Ассоциация еврографики, Эр-ла-Виль, Швейцария. стр. 61–70. ISBN 3-905673-36-3.

дальнейшее чтение

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 0-8053-7002-1.
• Полянин, Андрей Дмитриевич (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон (Флорида): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

Внешние ссылки

• «Уравнение Пуассона», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнение Пуассона на EqWorld: мир математических уравнений
• Уравнение Пуассона на PlanetMath .