Функция ошибки

Специальная функция сигмовидной формы

В математике функция ошибок (также называемая функцией ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf , представляет собой функцию, определяемую как: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$

Некоторые авторы определяют без фактора . ^[2] Этот неэлементарный интеграл представляет собой сигмоидальную функцию, которая часто встречается в уравнениях вероятности , статистике и уравнениях в частных производных . Во многих из этих приложений аргументом функции является действительное число. Если аргумент функции вещественный, то и значение функции также вещественное. ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle 2/{\sqrt {\pi }}}$

В статистике для неотрицательных значений x функция ошибок имеет следующую интерпретацию: для случайной величины Y , которая обычно распределяется со средним значением 0 и стандартным отклонением. 1/√ 2, erf x — вероятность того, что Y попадает в диапазон [− x , x ] .

Две тесно связанные функции — это дополнительная функция ошибок ( erfc ), определяемая как

${\displaystyle \operatorname {erfc} z=1-\operatorname {erf} z,}$

и мнимая функция ошибок ( erfi ), определяемая как

${\displaystyle \operatorname {erfi} z=-i\operatorname {erf} iz,}$

где я — мнимая единица .

Имя

Название «функция ошибки» и ее аббревиатура erf были предложены Дж. У. Л. Глейшером в 1871 году из-за ее связи с «теорией вероятностей, и особенно с теорией ошибок ». ^[3] Дополнение к функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. ^[4] Для «закона легкости» ошибок, плотность которых определяется выражением

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-cx^{2}}}$

( нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p и q , как:

${\displaystyle \left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}e^{-cx^{2}}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).}$

График функции ошибок Erf(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ и ожидаемым значением 0, то erf (а/σ √ 2) — это вероятность того, что ошибка одного измерения лежит между − a и + a для положительного a . Это полезно, например, при определении частоты ошибок по битам в цифровой системе связи.

Функции ошибок и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные условия задаются ступенчатой ​​функцией Хевисайда .

Функция ошибок и ее аппроксимации могут использоваться для оценки результатов, которые справедливы с высокой или низкой вероятностью. Учитывая случайную величину X ~ Norm[ μ , σ ] (нормальное распределение со средним значением µ и стандартным отклонением σ ) и константу L > µ , это можно показать посредством интегрирования путем подстановки:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq L]&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\\&\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$

где A и B — некоторые числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего значения, а именно µ − L ≥ σ √ ln k , то:

${\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}}$

поэтому вероятность стремится к 0 при k → ∞ .

Вероятность того, что X находится в интервале [ L _a , L _b ], может быть получена как

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[L_{a}\leq X\leq L_{b}]&=\int _{L_{a}}^{L_{b}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} {\frac {L_{b}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}-\operatorname {erf} {\frac {L_{a}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).\end{aligned}}}$

Характеристики

Участки в сложной плоскости

Свойство erf (− z ) = −erf z означает, что функция ошибок является нечетной функцией . Это напрямую следует из того, что подынтегральная функция e ^{− t 2} является четной функцией (первообразная четной функции, равная нулю в начале координат, является нечетной функцией, и наоборот).

Поскольку функция ошибок представляет собой целую функцию , которая преобразует действительные числа в действительные числа, для любого комплексного числа z :

${\displaystyle \operatorname {erf} {\overline {z}}={\overline {\operatorname {erf} z}}}$

где z — комплексно-сопряженное число z .

Подынтегральная функция f = exp(− z ² ) и f = erf z показаны в комплексной z -плоскости на рисунках справа с раскраской области .

Функция ошибок в точке +∞ равна ровно 1 (см. интеграл Гаусса ). На действительной оси erf z приближается к единице при z → +∞ и к −1 при z → −∞ . На мнимой оси оно стремится к ± i ∞ .

Серия Тейлора

Функция ошибки — это целая функция ; он не имеет особенностей (кроме точки на бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но он широко известен «[...] своей плохой сходимостью, если x > 1 ». ^[5]

Определяющий интеграл не может быть вычислен в замкнутой форме с точки зрения элементарных функций (см. теорему Лиувилля ), но путем расширения подынтегрального выражения e ^{- z 2} в его ряд Маклорена и интегрирования почленно можно получить ряд Маклорена функции ошибки как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$

которое справедливо для любого комплексного числа  z . Членами знаменателя являются последовательность A007680 в OEIS .

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}\end{aligned}}}$

потому что−(2 k − 1) z ²/к (2 к + 1)выражает множитель для преобразования k -го члена в ( k  + 1) -й член (считая z первым).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

которое справедливо для любого комплексного числа  z .

Производная и интегральная

Производная функции ошибок следует непосредственно из ее определения:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$

Отсюда сразу же выводится и производная мнимой функции ошибок:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$

Первообразная функции ошибок, получаемая интегрированием по частям , равна

${\displaystyle z\operatorname {erf} z+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

Первообразная мнимой функции ошибок, которую также можно получить интегрированием по частям, равна

${\displaystyle z\operatorname {erfi} z-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

Производные более высокого порядка имеют вид

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}z={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {d} ^{k-1}}{\mathrm {d} z^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots }$

где H — полиномы Эрмита физиков . ^[6]

серия Бюрманн

Разложение ^[7] , которое сходится быстрее для всех действительных значений x , чем разложение Тейлора, получается с использованием теоремы Ганса Генриха Бюрмана : ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} x&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right).\end{aligned}}}$

где sn — знаковая функция . Оставив только первые два коэффициента и выбрав c ₁ =31/200и с ₂ = -341/8000, полученное приближение показывает наибольшую относительную ошибку при x = ±1,3796 , где она меньше 0,0036127:

${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$

Обратные функции

Обратная функция ошибки

Учитывая комплексное число z , не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf w = z , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x < 1 существует уникальное действительное число, обозначаемое erf ⁻¹ x, удовлетворяющее

${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}x\right)=x.}$

Обратная функция ошибок обычно определяется в области (−1,1) и ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно распространить и на диск | г | < 1 комплексной плоскости, используя ряд Маклорена ^[9]

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$

где c ₀ = 1 и

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}}$

Итак, мы имеем разложение в ряд (в числителях и знаменателях убраны общие множители):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}z={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$

(После отмены дроби числителя/знаменателя представляют собой записи OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены члены числителя приведены в записи OEIS : A002067 .) Значение функции ошибок при  ±∞ равно  ±1 .

Для | г | < 1 , мы имеем erf(erf ⁻¹ z ) = z .

Обратная дополнительная функция ошибок определяется как

${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}z.}$

Для действительного x существует уникальное действительное число erfi ⁻¹ x , удовлетворяющее erfi(erfi ⁻¹ x ) = x . Обратная функция мнимой ошибки определяется как erfi ⁻¹ x . ^[10]

Для любого действительного x метод Ньютона можно использовать для вычисления erfi ⁻¹ x , а для −1 ≤ x ≤ 1 сходится следующий ряд Маклорена:

${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$

где c _k определяется, как указано выше.

Асимптотическое расширение

Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших действительных x :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}}$

где (2 n − 1)!! — двойной факториал числа (2 n − 1) , который является произведением всех нечётных чисел до (2 n − 1) . Этот ряд расходится для каждого конечного x , и его смысл как асимптотического разложения состоит в том, что для любого целого числа N ≥ 1 имеет место

${\displaystyle \operatorname {erfc} x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x)}$

где остаток

${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,}$

что легко следует по индукции, записав

${\displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left(e^{-t^{2}}\right)'}$

и интегрируем по частям.

Асимптотическое поведение остаточного члена в обозначениях Ландау имеет вид

${\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}\right)}$

при Икс → ∞ . Это можно найти по

$${\displaystyle R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,\mathrm {d} t\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,\mathrm {d} t\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$$

Для достаточно больших значений x для получения хорошего приближения erfc x необходимы только первые несколько членов этого асимптотического разложения (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Продолжение расширения фракции

Разложение дополнительной функции ошибок в непрерывную дробь : ^[11]

${\displaystyle \operatorname {erfc} z={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}},\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.}$

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {erf} \left(ax+b\right){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=\operatorname {erf} {\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}},\qquad a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R} }$

что, по-видимому, связано с Нг и Геллером, формула 13 в разделе 4.3 ^[12] с заменой переменных.

Факториальный ряд

Обратный факториальный ряд:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{\bar {n}}}}\\&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$

сходится при Re( z ² ) > 0 . Здесь

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{n}&{\overset {\text{def}}{{}={}}}{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\&=\sum _{k=0}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),\end{aligned}}}$

z ⁿ обозначает возрастающий факториал , а s ( n , k ) обозначает знаковое число Стирлинга первого рода . ^{[13] [14]} Также существует представление бесконечной суммы, содержащей двойной факториал :

${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$

Численные приближения

Приближение элементарными функциями

• Абрамовиц и Стегун дают несколько аппроксимаций различной точности (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке возрастания точности они следующие:

  ${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$

  (максимальная ошибка:5 × 10 ^-4 )

  где а ₁ = 0,278393 , а ₂ = 0,230389 , а ₃ = 0,000972 , а ₄ = 0,078108

  ${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$

  (максимальная ошибка:2,5 × 10 ^-5 )

  где p = 0,47047 , a ₁ = 0,3480242 , a ₂ = -0,0958798 , a ₃ = 0,7478556

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$
  (максимальная ошибка:3 × 10 ⁻⁷ )

  где a ₁ = 0,0705230784 , a ₂ = 0,0422820123 , a ₃ = 0,0092705272 , a ₄ = 0,0001520143 , a ₅ = 0,0002765672 , a ₆ = 0,0000430638

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$$
  (максимальная ошибка:1,5 × 10 ⁻⁷ )

  где p = 0,3275911 , a ₁ = 0,254829592 , a ₂ = -0,284496736 , a ₃ = 1,421413741 , a ₄ = -1,453152027 , a ₅ = 1,061405429

  Все эти приближения справедливы для x ≥ 0 . Чтобы использовать эти приближения для отрицательных x , используйте тот факт, что erf x является нечетной функцией, поэтому erf x = −erf(− x ) .
• Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальная аппроксимация дополнительной функции ошибок даются формулой ^[15]

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&\leq {\tfrac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\tfrac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&\quad x&>0\\\operatorname {erfc} x&\approx {\tfrac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&\quad x&>0.\end{aligned}}}$

• Вышеупомянутое было обобщено на суммы N экспонент ^[16] с возрастающей точностью в терминах N , так что erfc x можно точно аппроксимировать или ограничить величиной 2 Q̃ ( √ 2 x ) , где

  ${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$

  В частности, существует систематическая методология решения числовых коэффициентов {( a _n , b _n )}^Н
  _{н = 1}которые дают минимаксное приближение или оценку для тесно связанной Q-функции : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) или Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) для x ≥ 0 . Коэффициенты {( a _n , b _n )}^Н
  _{н = 1}для многих вариантов экспоненциальных аппроксимаций и границ до N = 25 были выпущены в открытый доступ в виде комплексного набора данных. ^[17]
• Точная аппроксимация дополнительной функции ошибок для x ∈ [0,∞) дана Карагианнидисом и Лиумпасом (2007) ^[18] , которые показали для соответствующего выбора параметров { A , B } , что

  ${\displaystyle \operatorname {erfc} x\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$

  Они определили { A , B } = {1,98,1,135} , что дало хорошее приближение для всех x ≥ 0 . Также доступны альтернативные коэффициенты для настройки точности для конкретного приложения или преобразования выражения в жесткую границу. ^[19]
• Одночленная нижняя граница равна ^[20]

  $${\displaystyle \operatorname {erfc} x\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,}$$

  где параметр β можно выбрать так, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале аппроксимации.
• Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»: ^{[21] [22] : 2–3.}

  ${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$

  где

  ${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$

  Это разработано так, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и окрестности бесконечности, а относительная ошибка составляет менее 0,00035 для всех действительных x . Использование альтернативного значения a ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013. ^[23]

  Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для обратной функции ошибок:

  ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.}$

• Аппроксимация с максимальной ошибкой1,2 × 10 ⁻⁷ для любого вещественного аргумента равно: ^[24]

  ${\displaystyle \operatorname {erf} x={\begin{cases}1-\tau &x\geq 0\\\tau -1&x<0\end{cases}}}$

  с

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\end{aligned}}}$

  и

  ${\displaystyle t={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}.}$

• Аппроксимация с максимальной относительной ошибкой меньше, чем по абсолютной величине: ^[25] для , ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$ ${\displaystyle 2^{-53}}$ ${\displaystyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}}$

  и для ${\displaystyle x<0}$

  ${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)}$

• Простую аппроксимацию вещественных аргументов можно выполнить с помощью гиперболических функций :

  ${\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)\approx z(x)=\tanh \left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {11}{123}}x^{3}\right)\right)}$

  который сохраняет абсолютную разницу . ${\displaystyle |\operatorname {erf} \left(x\right)-z(x)|<0.000358,\,\forall x}$

Таблица значений

Связанные функции

Дополнительная функция ошибок

Дополнительная функция ошибок , обозначаемая erfc , определяется как

График дополнительной функции ошибок Erfc(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&=1-\operatorname {erf} x\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} x,\end{aligned}}}$

который также определяет erfcx , масштабированную дополнительную функцию ошибок ^[26] (которую можно использовать вместо erfc , чтобы избежать арифметического опустошения ^{[26] [27]} ). Другая форма erfc x для x ≥ 0 известна как формула Крейга по имени ее первооткрывателя: ^[28]

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$

Это выражение действительно только для положительных значений x , но его можно использовать в сочетании с erfc x = 2 − erfc(− x ) для получения erfc( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что область интегрирования фиксирована и конечна. Расширение этого выражения для erfc суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом: ^[29]

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$

Функция мнимой ошибки

Мнимая функция ошибок , обозначаемая erfi , определяется как

График мнимой функции ошибки Erfi(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} x&=-i\operatorname {erf} ix\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}}$

где D ( x ) — функция Доусона (которую можно использовать вместо erfi , чтобы избежать арифметического переполнения ^[26] ).

Несмотря на название «мнимая функция ошибки», erfi x действительна, когда x действительна.

Когда функция ошибок вычисляется для произвольных комплексных аргументов z , результирующая комплексная функция ошибок обычно рассматривается в масштабированной форме как функция Фаддеевой :

${\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz).}$

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существу идентична стандартной нормальной функции кумулятивного распределения , обозначаемой Φ , также называемой нормой ( x ) в некоторых языках программирования ^{[ нужна ссылка ]} , поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,

нормальная кумулятивная функция распределения, построенная на комплексной плоскости

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$

или переставить для erf и erfc :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\[6pt]\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)\\&=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией , которая представляет собой хвостовую вероятность стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} {\frac {x}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$

Обратная функция Φ известна как нормальная функция квантиля или пробит- функция и может быть выражена через обратную функцию ошибок как

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$

Стандартный нормальный CDF чаще используется в теории вероятности и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и также может быть выражена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

${\displaystyle \operatorname {erf} x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}M\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

Оно имеет простое выражение через интеграл Френеля . ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

В терминах регуляризованной гамма-функции P и неполной гамма-функции

${\displaystyle \operatorname {erf} x=\operatorname {sgn} x\cdot P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right).}$

Sign x — знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E _n ( x ) :
серая кривая: E ₁ ( x ) =1 - е ^{- х}/√ π
красная кривая: E ₂ ( x ) = erf ( x )
зеленая кривая: E ₃ ( x )
синяя кривая: E ₄ ( x )
золотая кривая: E ₅ ( x ) .

^{Некоторые авторы обсуждают} более общие функции ^:

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}.}$

Известные случаи:

• E ₀ ( x ) — прямая линия, проходящая через начало координат: E ₀ ( x ) =Икс/е √ π
• E ₂ ( x ) — функция ошибок, erf x .

После деления на n ! , все En _для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу. Аналогично, En для четных _n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n ! . Все обобщенные функции ошибок для n > 0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x > 0 с использованием гамма-функции и неполной гамма-функции :

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right),\qquad x>0.}$

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок через неполную гамма-функцию:

${\displaystyle \operatorname {erf} x=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right).}$

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются формулой ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {i} ^{n}\!\operatorname {erfc} z&=\int _{z}^{\infty }\operatorname {i} ^{n-1}\!\operatorname {erfc} \zeta \,\mathrm {d} \zeta \\[6pt]\operatorname {i} ^{0}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {erfc} z\\\operatorname {i} ^{1}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {ierfc} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}-z\operatorname {erfc} z\\\operatorname {i} ^{2}\!\operatorname {erfc} z&={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {erfc} z-2z\operatorname {ierfc} z\right)\\\end{aligned}}}$

Общая рекуррентная формула:

${\displaystyle 2n\cdot \operatorname {i} ^{n}\!\operatorname {erfc} z=\operatorname {i} ^{n-2}\!\operatorname {erfc} z-2z\cdot \operatorname {i} ^{n-1}\!\operatorname {erfc} z}$

У них есть степенной ряд

${\displaystyle \operatorname {i} ^{n}\!\operatorname {erfc} z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}},}$

откуда следуют свойства симметрии

${\displaystyle \operatorname {i} ^{2m}\!\operatorname {erfc} (-z)=-\operatorname {i} ^{2m}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$

и

${\displaystyle \operatorname {i} ^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (-z)=\operatorname {i} ^{2m+1}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}$

Реализации

Как реальная функция реального аргумента

• В POSIX -совместимых операционных системах заголовок math.hдолжен объявлять, а математическая библиотека libmдолжна предоставлять функции erfи erfc( двойной точности ), а также их аналоги одинарной точности и расширенной точностиerff , erflи erfcf, erfcl. ^[31]

• Научная библиотека GNU предоставляет функции erf, erfc, log(erf)и масштабированных ошибок. ^[32]

Как сложная функция сложного аргумента

• libcerf, числовая библиотека C для комплексных функций ошибок, предоставляет комплексные функции cerfи cerfcдействительные cerfcxфункции erfiс erfcxточностью примерно 13–14 цифр на основе функции Фаддеевой , реализованной в пакете MIT Faddeeva Package.

Смотрите также

Связанные функции

• Интеграл Гаусса по всей действительной линии
• Функция Гаусса , производная
• Функция Доусона , перенормированная функция мнимой ошибки
• Интеграл Гудвина – Стейтона

По вероятности

• Нормальное распределение
• Нормальная кумулятивная функция распределения , масштабированная и сдвинутая форма функции ошибок.
• Пробит , обратная или квантильная функция нормального CDF.
• Q-функция , хвостовая вероятность нормального распределения
• Стандартная оценка

Рекомендации

1. Эндрюс, Ларри К. (1998). Специальные функции математики для инженеров. СПАЙ Пресс. п. 110. ИСБН 9780819426161.
2. Уиттакер, ET; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа . Издательство Кембриджского университета. п. 341. ИСБН 978-0-521-58807-2.
3. Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (июль 1871 г.). «Об одном классе определенных интегралов». Философский журнал и журнал науки Лондона, Эдинбурга и Дублина . 4. 42 (277): 294–302. дои : 10.1080/14786447108640568 . Проверено 6 декабря 2017 г.
4. Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (сентябрь 1871 г.). «Об одном классе определенных интегралов. Часть II». Философский журнал и журнал науки Лондона, Эдинбурга и Дублина . 4. 42 (279): 421–436. дои : 10.1080/14786447108640600 . Проверено 6 декабря 2017 г.
5. "A007680 - OEIS" . oeis.org . Проверено 2 апреля 2020 г.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Эрф». Математический мир .
7. Шёпф, HM; Супанчич, PH (2014). «О теореме Бюрмана и ее применении к задачам линейной и нелинейной теплопередачи и диффузии». Журнал Математика . 16 . дои : 10.3888/tmj.16-11 .
8. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бюрмана». Математический мир .
9. Доминичи, Диего (2006). «Асимптотический анализ производных обратной функции ошибок». arXiv : math/0607230 .
10. Бергсма, Вичер (2006). «О новом коэффициенте корреляции, его ортогональном разложении и связанных с ним критериях независимости». arXiv : math/0604627 .
11. Кайт, Энни AM ; Петерсен, Вигдис Б.; Вердонк, Бриджит; Вааделанд, Хокон; Джонс, Уильям Б. (2008). Справочник цепных дробей для специальных функций . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-1-4020-6948-2.
12. Нг, Эдвард В.; Геллер, Мюррей (январь 1969 г.). «Таблица интегралов от функций ошибки». Журнал исследований Национального бюро стандартов. Раздел B. 73B (1): 1. doi :10.6028/jres.073B.001.
13. Шлёмильх, Оскар Ксавьер (1859). «Ueber Facultätenreihen». Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком языке). 4 : 390–415.
14. Нильсон, Нильс (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (на немецком языке). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер. п. 283 уравнение. 3 . Проверено 4 декабря 2017 г.
15. Кьяни, М.; Дардари, Д.; Саймон, МК (2003). «Новые экспоненциальные границы и приближения для расчета вероятности ошибки в каналах с замиранием» (PDF) . Транзакции IEEE по беспроводной связи . 2 (4): 840–845. CiteSeerX 10.1.1.190.6761 . дои : 10.1109/TWC.2003.814350. 
16. Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2020). «Глобальные минимаксные приближения и оценки гауссовой Q-функции суммами экспонент». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 68 (10): 6514–6524. arXiv : 2007.06939 . дои : 10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID  220514754.
17. Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2020). «Коэффициенты глобальных минимаксных аппроксимаций и границы гауссовой Q-функции по суммам экспонент [набор данных]». Зенодо . дои : 10.5281/zenodo.4112978.
18. Карагианнидис, ГК; Люмпас, А.С. (2007). «Улучшенное приближение гауссовой Q-функции» (PDF) . Коммуникационные письма IEEE . 11 (8): 644–646. дои : 10.1109/LCOMM.2007.070470. S2CID  4043576.
19. Танаш, ИМ; Риихонен, Т. (2021). «Улучшенные коэффициенты для приближений Карагианнидиса – Лиумпаса и границы гауссовой Q-функции». Коммуникационные письма IEEE . 25 (5): 1468–1471. arXiv : 2101.07631 . дои : 10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID  231639206.
20. Чанг, Сок-Хо; Косман, Памела С .; Мильштейн, Лоуренс Б. (ноябрь 2011 г.). «Границы типа Чернова для функции ошибки Гаусса». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 59 (11): 2939–2944. дои : 10.1109/TCOMM.2011.072011.100049. S2CID  13636638.
21. Виницкий, Сергей (2003). «Равномерные приближения трансцендентных функций» . Вычислительная наука и ее приложения – ICCSA 2003 . Конспекты лекций по информатике. Том. 2667. Шпрингер, Берлин. стр. 780–789. дои : 10.1007/3-540-44839-X_82. ISBN 978-3-540-40155-1.
22. Цзэн, Кайбин; Чен, Ян Цуан (2015). «Глобальные аппроксимации Паде обобщенной функции Миттаг-Леффлера и ее обратной». Дробное исчисление и прикладной анализ . 18 (6): 1492–1506. arXiv : 1310.5592 . doi : 10.1515/fca-2015-0086. S2CID  118148950. Действительно, Виницкий [32] предложил так называемое глобальное приближение Паде.
23. Виницкий, Сергей (6 февраля 2008 г.). «Удобное приближение функции ошибок и ее обратной».
24. Числовые рецепты на Фортране 77: Искусство научных вычислений ( ISBN 0-521-43064-X ), 1992, стр. 214, Cambridge University Press. 
25. Диа, Яя Д. (2023). Приближенные неполные интегралы, приложение к дополнительной функции ошибки. Доступно на SSRN: https://ssrn.com/abstract=4487559 или http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.4487559, 2023 г.
26. Коди, WJ (март 1993 г.), «Алгоритм 715: SPECFUN — портативный пакет FORTRAN специальных функций и тестовых драйверов» (PDF) , ACM Trans. Математика. Программное обеспечение , 19 (1): 22–32, CiteSeerX 10.1.1.643.4394 , doi : 10.1145/151271.151273, S2CID  5621105 
27. Заглул, MR (1 марта 2007 г.), «О расчете профиля линии Фойгта: единственный собственный интеграл с затухающим синусоидальным подынтегральным выражением», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 375 (3): 1043–1048, Bibcode : 2007MNRAS.375.1043Z, номер документа : 10.1111/j.1365-2966.2006.11377.x
28. Джон В. Крейг, Новый, простой и точный результат для расчета вероятности ошибки для двумерных сигнальных созвездий. Архивировано 3 апреля 2012 г. в Wayback Machine , Труды конференции IEEE Military Communication Conference 1991 г., том. 2, стр. 571–575.
29. Бехнад, Айдын (2020). «Новое расширение формулы Q-функции Крейга и ее применение в анализе производительности двухветвевого EGC». Транзакции IEEE в области коммуникаций . 68 (7): 4117–4125. дои : 10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID  216500014.
30. Карслоу, HS ; Джагер, JC (1959), Теплопроводность в твердых телах (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, стр 484
31. "math.h - математические объявления" . opengroup.org . 2018 . Проверено 21 апреля 2023 г.
32. «Специальные функции – документация GSL 2.7» .

дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 297. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Пресс, Уильям Х.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.

Внешние ссылки

• Таблица интегралов функций ошибок