Гауссовы единицы

Вариант системы единиц сантиметр-грамм-секунда

Карл Фридрих Гаусс

Гауссовы единицы составляют метрическую систему физических единиц . Эта система является наиболее распространенной из нескольких систем электромагнитных единиц, основанных на единицах СГС (сантиметр-грамм-секунда) . Ее также называют гауссовой системой единиц , гауссовыми единицами СГС или часто просто единицами СГС . ^[a] Термин «единицы СГС» неоднозначен, и поэтому его следует по возможности избегать: существует несколько вариантов СГС с противоречивыми определениями электромагнитных величин и единиц.

Единицы СИ преобладают в большинстве областей и продолжают расти в популярности за счет гауссовых единиц. ^{[1] [b]} Существуют также альтернативные системы единиц. Преобразования между величинами в гауссовых и СИ единицах не являются прямыми преобразованиями единиц, поскольку сами величины определяются по-разному в каждой системе. Это означает, что уравнения, выражающие физические законы электромагнетизма, такие как уравнения Максвелла , будут меняться в зависимости от используемой системы единиц. Например, величины, которые безразмерны в одной системе, могут иметь размерность в другой.

Альтернативные системы единиц

Система единиц Гаусса — это всего лишь одна из нескольких систем электромагнитных единиц в системе СГС. Другие включают « электростатические единицы », « электромагнитные единицы » и единицы Хевисайда–Лоренца .

Некоторые другие системы единиц называются « естественными единицами », эта категория включает атомные единицы , единицы Планка и другие.

Международная система единиц (СИ) с соответствующей Международной системой величин (МСКВ) на сегодняшний день является наиболее распространенной системой единиц. В инженерных и практических областях СИ является практически универсальной и является таковой уже несколько десятилетий. ^[1] В технической, научной литературе (такой как теоретическая физика и астрономия ) до последних десятилетий преобладали гауссовы единицы, но сейчас их становится все меньше. ^{[1] [b]} В 8-й брошюре СИ признается, что система единиц СГС-Гаусса имеет преимущества в классической и релятивистской электродинамике , ^[2] но в 9-й брошюре СИ системы СГС не упоминаются.

Естественные единицы могут использоваться в более теоретических и абстрактных областях физики, в частности в физике элементарных частиц и теории струн .

Основные различия между гауссовой системой и системой СИ

«Рационализированные» системы единиц

Одно из различий между гауссовыми и СИ единицами заключается в множителях 4 π в различных формулах. В электромагнитных единицах СИ, называемых рационализированными , ^{[3] [4]} уравнения Максвелла не имеют явных множителей 4 π в формулах, тогда как законы обратных квадратов силы — закон Кулона и закон Био-Савара — имеют множитель 4 π, прикрепленный к r ² . В гауссовых единицах, называемых нерационализированными (и в отличие от единиц Хевисайда-Лоренца ), ситуация обратная: два уравнения Максвелла имеют множители 4 π в формулах, тогда как оба закона обратных квадратов силы, закон Кулона и закон Био-Савара, не имеют множителя 4 π, прикрепленного к r ² в знаменателе.

(Величина 4 π появляется, поскольку 4 πr ² — это площадь поверхности сферы радиуса r , которая отражает геометрию конфигурации. Подробности см. в статьях Связь между законом Гаусса и законом Кулона и Закон обратных квадратов .)

Единица заряда

Основное различие между гауссовой системой и ISQ заключается в соответствующих определениях величины заряда. В ISQ отдельная базовая размерность, электрический ток, с соответствующей единицей СИ, ампер , связана с электромагнитными явлениями, в результате чего единица электрического заряда (1  кулон  = 1 ампер × 1 секунда) является физической величиной, которая не может быть выражена исключительно в терминах механических единиц (килограмм, метр, секунда). С другой стороны, в гауссовой системе единица электрического заряда (статкулон , статКл) может быть записана полностью как размерная комбинация неэлектрических базовых единиц (грамм, сантиметр, секунда), как:

1 статС =1 г ^1/2 ⋅см ^3/2 ⋅с ⁻¹ .

Например, закон Кулона в гауссовых единицах не имеет константы: где F — сила отталкивания между двумя электрическими зарядами, Q $${\displaystyle F={\frac {Q_{1}^{\mathrm {G} }Q_{2}^{\mathrm {G} }}{r^{2}}},}$$^Г
₁и Q^Г
₂— два рассматриваемых заряда, а r — расстояние, разделяющее их. Если Q^Г
₁и Q^Г
₂выражены в статС , а r в сантиметрах , то единицей измерения F , соответствующей этим единицам, является дина .

Тот же закон в ISQ: где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума , величина, которая не является безразмерной: она имеет размерность ( заряд ) ² ( время ) ² ( масса ) ⁻¹ ( длина ) ⁻³ . Без ε ₀ уравнение было бы размерно несовместимо с величинами, определенными в ISQ, тогда как величина ε ₀ не появляется в гауссовых уравнениях. Это пример того, как некоторые размерные физические константы могут быть исключены из выражений физического закона путем выбора определения величин. В ISQ преобразует или масштабирует плотность потока , D , в соответствующее электрическое поле , E (последнее имеет размерность силы на заряд ), тогда как в гауссовой системе плотность электрического потока является той же величиной, что и напряженность электрического поля в свободном пространстве, за исключением безразмерного постоянного множителя. $${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}^{\mathrm {I} }Q_{2}^{\mathrm {I} }}{r^{2}}}}$$ ${\textstyle 1/\varepsilon _{0}}$

В гауссовой системе скорость света c появляется непосредственно в электромагнитных формулах, таких как уравнения Максвелла (см. ниже), тогда как в системе ISQ она появляется через произведение . ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}=1/c^{2}}$

Единицы измерения магнетизма

В гауссовой системе, в отличие от ISQ, электрическое поле E ^G и магнитное поле B ^G имеют одинаковую размерность. Это составляет фактор c между тем, как B определяется в двух системах единиц, в дополнение к другим различиям. ^[3] (Тот же фактор применяется к другим магнитным величинам, таким как магнитное поле , H , и намагниченность , M. ) Например, в плоской световой волне в вакууме , | E ^G ( r , t ) | = | B ^G ( r , t ) | в гауссовых единицах, в то время как | E ^I ( r , t ) | = c  | B ^I ( r , t ) | в ISQ.

Поляризация, намагничивание

Существуют и другие различия между гауссовой системой и ISQ в том, как определяются величины, связанные с поляризацией и намагниченностью. Во-первых, в гауссовой системе все следующие величины имеют одинаковую размерность: E ^G , D ^G , P ^G , B ^G , H ^G , и M ^G . Еще один момент заключается в том, что электрическая и магнитная восприимчивость материала безразмерна как в гауссовой системе, так и в ISQ, но данный материал будет иметь различную численную восприимчивость в двух системах. (Уравнение приведено ниже.)

Список уравнений

В этом разделе приведен список основных формул электромагнетизма, приведенных как в гауссовой системе, так и в Международной системе величин (ISQ) . Большинство названий символов не приведены; для получения полных объяснений и определений, пожалуйста, щелкните на соответствующую специальную статью для каждого уравнения. Простую схему преобразования для использования при отсутствии таблиц можно найти в Garg (2012). ^[5] Все формулы, если не указано иное, взяты из Ref. ^[3]

Уравнения Максвелла

Вот уравнения Максвелла, как в макроскопической, так и в микроскопической форме. Приведена только «дифференциальная форма» уравнений, а не «интегральная форма»; для получения интегральных форм применяется теорема о дивергенции или теорема Кельвина–Стокса .

Другие основные законы

Диэлектрические и магнитные материалы

Ниже приведены выражения для различных полей в диэлектрической среде. Для простоты здесь предполагается, что среда однородна, линейна, изотропна и недисперсионна, так что диэлектрическая проницаемость является простой константой.

где

• E и D — электрическое поле и поле смещения соответственно;
• P — плотность поляризации ;
• ${\displaystyle \varepsilon }$- диэлектрическая проницаемость ;
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$— диэлектрическая проницаемость вакуума (используется в системе СИ, но не имеет смысла в гауссовых единицах); и
• ${\displaystyle \chi _{\mathrm {e} }}$это электрическая восприимчивость .

Величины и обе безразмерны и имеют одинаковое числовое значение. Напротив, электрическая восприимчивость и обе безразмерны, но имеют разные числовые значения для одного и того же материала: ${\displaystyle \varepsilon ^{\mathrm {G} }}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\mathrm {I} }/\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} }}$ ${\displaystyle \chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} }}$ $${\displaystyle 4\pi \chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {G} }=\chi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {I} }\,.}$$

Далее, вот выражения для различных полей в магнитной среде. Опять же, предполагается, что среда однородна, линейна, изотропна и недисперсна, так что проницаемость является простой константой.

где

• B и H — магнитные поля ;
• М — намагниченность ;
• ${\displaystyle \mu }$- магнитная проницаемость ;
• ${\displaystyle \mu _{0}}$— проницаемость вакуума (используется в системе СИ, но не имеет смысла в гауссовых единицах); и
• ${\displaystyle \chi _{\mathrm {m} }}$это магнитная восприимчивость .

Величины и обе безразмерны и имеют одинаковое числовое значение. Напротив, магнитная восприимчивость и обе безразмерны, но имеют разные числовые значения в двух системах для одного и того же материала: ${\displaystyle \mu ^{\mathrm {G} }}$ ${\displaystyle \mu ^{\mathrm {I} }/\mu _{0}}$ ${\displaystyle \chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }}$ ${\displaystyle \chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }}$ $${\displaystyle 4\pi \chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {G} }=\chi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {I} }}$$

Векторные и скалярные потенциалы

Электрические и магнитные поля можно записать через векторный потенциал A и скалярный потенциал ϕ :

Электрическая цепь

где

• Q — электрический заряд
• I — электрический ток
• V — электрический потенциал
• Φ — магнитный поток
• R — электрическое сопротивление
• C — емкость
• L — индуктивность

Фундаментальные константы

Названия электромагнитных единиц

Примечание : величины СИ и удовлетворяют ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}=1/c^{2}}$

Коэффициенты преобразования записываются как символически, так и численно. Численные коэффициенты преобразования могут быть получены из символических коэффициентов преобразования с помощью размерного анализа . Например, в верхней строке указано , соотношение, которое можно проверить с помощью размерного анализа, разложив и кулоны (C) в базовых единицах СИ и разложив статкулоны (или франклины, Fr) в гауссовых базовых единицах. ${\displaystyle {1}\,/\,{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\approx {2.998\times 10^{9}\,\mathrm {Fr} }\,/\,{1\,\mathrm {C} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Удивительно думать об измерении емкости в сантиметрах. Один полезный пример: сантиметр емкости — это емкость между сферой радиусом 1 см в вакууме и бесконечностью.

Еще одной удивительной единицей измерения сопротивления является измерение сопротивления в секундах. Физический пример: возьмем плоский конденсатор , который имеет «протекающий» диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 1, но конечным сопротивлением. После зарядки конденсатор со временем разрядится из-за утечки тока через диэлектрик. Если сопротивление диэлектрика составляет t секунд, период полураспада разряда составляет ~0,05 t секунд. Этот результат не зависит от размера, формы и заряда конденсатора, и поэтому этот пример иллюстрирует фундаментальную связь между сопротивлением и единицами времени.

Эквивалентные по размеру единицы

Ряд единиц, определенных таблицей, имеют разные названия, но фактически размерно эквивалентны – т. е. они имеют одинаковое выражение в терминах основных единиц см, г, с. (Это аналогично различию в СИ между беккерелем и Гц или между ньютон-метром и джоулем .) Различные названия помогают избежать двусмысленностей и недоразумений относительно того, какая физическая величина измеряется. В частности, все следующие величины размерно эквивалентны в гауссовых единицах, но тем не менее им даны разные названия единиц следующим образом: ^[8]

Общие правила перевода формулы

Любую формулу можно преобразовать между единицами Гаусса и СИ, используя символьные коэффициенты преобразования из Таблицы 1 выше.

Например, электрическое поле неподвижного точечного заряда имеет формулу ISQ , где r — расстояние, а верхний индекс « I » указывает на то, что электрическое поле и заряд определяются как в ISQ. Если мы хотим, чтобы формула вместо этого использовала гауссовские определения электрического поля и заряда, мы смотрим, как они связаны, используя Таблицу 1, которая гласит: $${\displaystyle \mathbf {E} ^{\mathrm {I} }={\frac {q^{\mathrm {I} }}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {E} ^{\mathrm {G} }}{\mathbf {E} ^{\mathrm {I} }}}&={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,,\\{\frac {q^{\mathrm {G} }}{q^{\mathrm {I} }}}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}}\,.\end{aligned}}}$$

Таким образом, после подстановки и упрощения мы получаем формулу гауссовой системы: которая является правильной формулой гауссовой системы, как упоминалось в предыдущем разделе. $${\displaystyle \mathbf {E} ^{\mathrm {G} }={\frac {q^{\mathrm {G} }}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,,}$$

Для удобства в таблице ниже приведена компиляция символических коэффициентов преобразования из Таблицы 1. Чтобы преобразовать любую формулу из гауссовой системы в ISQ с помощью этой таблицы, замените каждый символ в столбце Gaussian соответствующим выражением в столбце SI (наоборот, чтобы преобразовать в другую сторону). Это воспроизведет любую из конкретных формул, приведенных в списке выше, например, уравнения Максвелла, а также любую другую формулу, не указанную в списке. ^{[9] [10] [11] [c]}

После замены всех вхождений произведения на в уравнении не должно остаться величин, имеющих электромагнитную размерность ISQ (или, что эквивалентно, имеющих электромагнитную единицу СИ). ${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}}$ ${\displaystyle 1/c^{2}}$

Примечания

1. Один из многочисленных примеров использования термина «единицы СГС» для обозначения гауссовых единиц: Конспект лекций Стэнфордского университета
2. Например, одним из широко используемых учебников по электромагнетизму для выпускников является «Классическая электродинамика» Дж . Д. Джексона . Во втором издании, опубликованном в 1975 году, использовались исключительно гауссовы единицы, но в третьем издании, опубликованном в 1998 году, в основном используются единицы СИ. Аналогично, «Электричество и магнетизм» Эдварда Перселла является популярным учебником для студентов. Во втором издании, опубликованном в 1984 году, использовались гауссовы единицы, а в третьем издании, опубликованном в 2013 году, были использованы единицы СИ.
3. Некоторые примеры использования этой таблицы см. в: Единицы измерения в электричестве и магнетизме. См. раздел «Преобразование гауссовых формул в систему СИ» и последующий текст.

Ссылки

1. "CGS", в How Many? Словарь единиц измерения , Расс Роулетт и Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл
2. Международное бюро мер и весов (2006), Международная система единиц (СИ) (PDF) (8-е изд.), ISBN 92-822-2213-6, заархивировано (PDF) из оригинала 2021-06-04 , извлечено 2021-12-16, стр. 128
3. Littlejohn, Robert (осень 2017 г.). "Гауссова, СИ и другие системы единиц в электромагнитной теории" (PDF) . Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes . Получено 18.04.2018 .
4. Ковальски, Людвик, 1986, «Краткая история единиц СИ в электричестве», Архивировано 29.04.2009 в Wayback Machine The Physics Teacher 24(2): 97–99. Альтернативная веб-ссылка (требуется подписка)
5. А. Гарг, 2012, «Классическая электродинамика в двух словах» (Издательство Принстонского университета).
6. Введение в электродинамику Капри и Паната, стр. 180
7. Кардарелли, Ф. (2004). Энциклопедия научных единиц, весов и мер: их эквиваленты в системе СИ и происхождение (2-е изд.). Springer. С. 20–25. ISBN 978-1-85233-682-0.
8. Коэн, Дуглас Л. (2001). Демистификация электромагнитных уравнений. SPIE Press. стр. 155. ISBN 9780819442345. Получено 25.12.2012 .
9. Бредов, М. М.; Румянцев, В. Б.; Топтыгин, И. Н. (1985). «Приложение 5: Преобразование единиц измерения». Классическая электродинамика [ Классическая электродинамика ] (на русском языке). Наука . п. 385.
10. Симпсон, Дэвид. "SI / Gaussian Formula Conversion Table" (PDF) . Prince George's Community College . Получено 23 февраля 2024 г. .
11. Джексон, Джон (14 августа 1998 г.). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 782. ISBN 0-471-30932-X.

Внешние ссылки

• Полный список названий гауссовых единиц и их выражений в базовых единицах
• Эволюция гауссовых единиц Архивировано 2016-01-09 на Wayback Machine Дэном Петру Данеску