Закон Гаусса

Основной закон электромагнетизма, связывающий электрическое поле и распределение зарядов

Закон Гаусса в его интегральной форме особенно полезен, когда по причинам симметрии можно найти замкнутую поверхность (ЗП), вдоль которой электрическое поле однородно. Электрический поток тогда является простым произведением площади поверхности и напряженности электрического поля и пропорционален общему заряду, заключенному поверхностью. Здесь вычисляется электрическое поле снаружи ( r > R ) и внутри ( r < R ) заряженной сферы (см. Викиверситет).

В физике (в частности , электромагнетизме ) закон Гаусса , также известный как теорема Гаусса о потоке (или иногда теорема Гаусса), является одним из уравнений Максвелла . Он является приложением теоремы о расходимости и связывает распределение электрического заряда с результирующим электрическим полем .

Определение

В своей интегральной форме он утверждает, что поток электрического поля из произвольной замкнутой поверхности пропорционален электрическому заряду, заключенному на поверхности, независимо от того, как этот заряд распределен. Хотя одного этого закона недостаточно для определения электрического поля на поверхности, охватывающей любое распределение заряда, это может быть возможно в случаях, когда симметрия требует однородности поля. Если такой симметрии нет, закон Гаусса может быть использован в его дифференциальной форме , которая утверждает, что дивергенция электрического поля пропорциональна локальной плотности заряда.

Закон был впервые ^[1] сформулирован Жозефом-Луи Лагранжем в 1773 году, ^[2] а затем Карлом Фридрихом Гауссом в 1835 году, ^[3] оба в контексте притяжения эллипсоидов. Это одно из уравнений Максвелла , которое составляет основу классической электродинамики . ^{[примечание 1]} Закон Гаусса может быть использован для вывода закона Кулона , ^[4] и наоборот.

Качественное описание

В словах закон Гаусса гласит:

Чистый электрический поток через любую гипотетическую замкнутую поверхность равен 1/ ε ₀ умноженному на чистый электрический заряд , заключенный внутри этой замкнутой поверхности. Замкнутая поверхность также называется гауссовой поверхностью. ^[5]

Закон Гаусса имеет близкое математическое сходство с рядом законов в других областях физики, таких как закон Гаусса для магнетизма и закон Гаусса для гравитации . Фактически, любой закон обратных квадратов может быть сформулирован способом, аналогичным закону Гаусса: например, сам закон Гаусса по сути эквивалентен закону Кулона , а закон Гаусса для гравитации по сути эквивалентен закону тяготения Ньютона , оба из которых являются законами обратных квадратов.

Закон может быть выражен математически с использованием векторного исчисления в интегральной и дифференциальной форме; обе формы эквивалентны, поскольку они связаны теоремой о расходимости , также называемой теоремой Гаусса. Каждая из этих форм, в свою очередь, может быть выражена двумя способами: в терминах соотношения между электрическим полем E и полным электрическим зарядом или в терминах электрического поля смещения D и свободного электрического заряда . ^[6]

Уравнение, включающееЭполе

Закон Гаусса можно сформулировать, используя либо электрическое поле E , либо электрическое поле смещения D. В этом разделе показаны некоторые формы с E ; форма с D приведена ниже, как и другие формы с E.

Интегральная форма

Электрический поток через произвольную поверхность пропорционален общему заряду, заключенному на этой поверхности.

Внутри сферы нет заряда. Электрический поток через ее поверхность равен нулю.

Закон Гаусса можно выразить так: ^[6]

$${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

где Φ _E — электрический поток через замкнутую поверхность S, охватывающую любой объем V , Q — полный заряд, заключенный внутри V , а ε ₀ — электрическая постоянная . Электрический поток Φ _E определяется как поверхностный интеграл электрического поля:

${\displaystyle \Phi _{E}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle _{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

где E — электрическое поле, d A — вектор, представляющий бесконечно малый элемент площади поверхности, ^{[примечание 2]} и · представляет собой скалярное произведение двух векторов.

В искривленном пространстве-времени поток электромагнитного поля через замкнутую поверхность выражается как

${\displaystyle \Phi _{E}=c}$ ${\displaystyle \scriptstyle _{S}}$ ${\displaystyle F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} S_{\kappa }}$

где — скорость света ; обозначает временные компоненты электромагнитного тензора ; — определитель метрического тензора ; — ортонормированный элемент двумерной поверхности, окружающей заряд ; индексы и не совпадают друг с другом. ^[8] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F^{\kappa 0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle i,j,\kappa =1,2,3}$

Поскольку поток определяется как интеграл электрического поля, это выражение закона Гаусса называется интегральной формой .

Крошечный ящик Гаусса, стороны которого перпендикулярны поверхности проводника, используется для нахождения локального поверхностного заряда после того, как электрический потенциал и электрическое поле вычисляются путем решения уравнения Лапласа. Электрическое поле локально перпендикулярно эквипотенциальной поверхности проводника и равно нулю внутри; его поток πa ² · E , по закону Гаусса равен πa ² · σ / ε ₀ . Таким образом, σ = ε ₀ E .

В задачах, связанных с проводниками, установленными при известных потенциалах, потенциал вдали от них получается путем решения уравнения Лапласа , либо аналитически, либо численно. Затем электрическое поле вычисляется как отрицательный градиент потенциала. Закон Гаусса позволяет найти распределение электрического заряда: заряд в любой заданной области проводника можно вывести, интегрируя электрическое поле, чтобы найти поток через небольшой ящик, стороны которого перпендикулярны поверхности проводника, и отмечая, что электрическое поле перпендикулярно поверхности и равно нулю внутри проводника.

Обратная задача, когда распределение электрического заряда известно, а электрическое поле должно быть вычислено, гораздо сложнее. Полный поток через заданную поверхность дает мало информации об электрическом поле и может входить и выходить из поверхности произвольно сложными узорами.

Исключением является случай, когда в задаче есть некоторая симметрия , которая требует, чтобы электрическое поле проходило через поверхность равномерно. Тогда, если известен полный поток, само поле может быть выведено в каждой точке. Обычные примеры симметрий, которые подчиняются закону Гаусса, включают: цилиндрическую симметрию, плоскую симметрию и сферическую симметрию. См. статью Гауссова поверхность для примеров, где эти симметрии используются для вычисления электрических полей.

Дифференциальная форма

По теореме о расходимости закон Гаусса можно записать в дифференциальной форме : $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

где ∇ · E — дивергенция электрического поля, ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума , а ρ — полная объемная плотность заряда (заряд на единицу объема).

Эквивалентность интегральных и дифференциальных форм

Интегральная и дифференциальная формы математически эквивалентны, согласно теореме о расходимости. Вот аргумент более конкретно.

Схема доказательства

Интегральная форма закона Гаусса имеет вид:

${\displaystyle {\scriptstyle _{S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$ ${\displaystyle ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$

для любой замкнутой поверхности S, содержащей заряд Q. По теореме о дивергенции это уравнение эквивалентно:

$${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

для любого объема V, содержащего заряд Q . По соотношению между зарядом и плотностью заряда это уравнение эквивалентно: для любого объема V . Для того чтобы это уравнение было одновременно верным для любого возможного объема V , необходимо (и достаточно), чтобы подынтегральные функции были равны везде. Следовательно, это уравнение эквивалентно: $${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$Таким образом, интегральная и дифференциальная формы эквивалентны.

Уравнение, включающееДполе

Свободный, связанный и полный заряд

Электрический заряд, возникающий в простейших ситуациях из учебника, можно классифицировать как «свободный заряд» — например, заряд, который передается в статическом электричестве , или заряд на пластине конденсатора . Напротив, «связанный заряд» возникает только в контексте диэлектрических (поляризуемых) материалов. (Все материалы поляризуются в некоторой степени.) Когда такие материалы помещаются во внешнее электрическое поле, электроны остаются связанными со своими соответствующими атомами, но смещаются на микроскопическое расстояние в ответ на поле, так что они оказываются больше на одной стороне атома, чем на другой. Все эти микроскопические смещения складываются, чтобы дать макроскопическое распределение чистого заряда, и это составляет «связанный заряд».

Хотя микроскопически все заряды в основе своей одинаковы, часто есть практические причины для желания рассматривать связанный заряд по-разному, чем свободный. В результате более фундаментальный закон Гаусса, в терминах E (выше), иногда приводится к эквивалентной форме ниже, которая в терминах D и только свободного заряда.

Интегральная форма

Эта формулировка закона Гаусса определяет форму полного заряда:

$${\displaystyle \Phi _{D}=Q_{\mathrm {free} }}$$

где Φ _D — поток поля D через поверхность S , которая охватывает объем V , а Q _free — свободный заряд, содержащийся в V. Поток Φ _D определяется аналогично потоку Φ _E электрического поля E через S :

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle _{S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса, включающая только свободный заряд, гласит: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }}$$

где ∇ · D — дивергенция электрического поля смещения, а ρ _своб — плотность свободного электрического заряда.

Эквивалентность отчетов о полной и свободной оплате

Доказательство того, что формулировки закона Гаусса в терминах свободного заряда эквивалентны формулировкам, включающим полный заряд.

В этом доказательстве мы покажем, что уравнение эквивалентно уравнению Обратите внимание, что мы имеем дело только с дифференциальными формами, а не с интегральными, но этого достаточно, поскольку дифференциальные и интегральные формы эквивалентны в каждом случае по теореме о дивергенции. $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\dfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }}$$

Введем плотность поляризации P , которая имеет следующее отношение к E и D : и следующее отношение к связанному заряду: Теперь рассмотрим три уравнения: Ключевое понимание заключается в том, что сумма первых двух уравнений является третьим уравнением. Это завершает доказательство: Первое уравнение истинно по определению, и, следовательно, второе уравнение истинно тогда и только тогда, когда истинно третье уравнение. Таким образом, второе и третье уравнения эквивалентны, что мы и хотели доказать. $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$$ $${\displaystyle \rho _{\mathrm {bound} }=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\mathrm {bound} }&=\nabla \cdot (-\mathbf {P} )\\\rho _{\mathrm {free} }&=\nabla \cdot \mathbf {D} \\\rho &=\nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} )\end{aligned}}}$$

Уравнение для линейных материалов

В однородных , изотропных , недисперсных , линейных материалах существует простая связь между E и  D :

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$$

где ε — диэлектрическая проницаемость материала. Для случая вакуума (он же свободное пространство ) ε = ε ₀ . При таких обстоятельствах закон Гаусса принимает вид

$${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}}$$

для интегральной формы, и

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}}$$

для дифференциальной формы.

Связь с законом Кулона

Вывод закона Гаусса из закона Кулона

^{[ необходима ссылка ]}

Строго говоря, закон Гаусса не может быть выведен только из закона Кулона, поскольку закон Кулона дает электрическое поле, обусловленное только отдельным электростатическим точечным зарядом . Однако закон Гаусса может быть доказан из закона Кулона, если предположить, кроме того, что электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции . Принцип суперпозиции утверждает, что результирующее поле является векторной суммой полей, создаваемых каждой частицей (или интегралом, если заряды равномерно распределены в пространстве).

Схема доказательства

Закон Кулона гласит, что электрическое поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом , равно: где $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$$

• e _r — радиальный единичный вектор ,
• r — радиус, | r | ,
• ε ₀ — электрическая постоянная ,
• q — заряд частицы, которая предполагается находящейся в начале координат .

Используя выражение из закона Кулона, мы получаем полное поле в точке r , используя интеграл для суммирования поля в точке r, вызванного бесконечно малым зарядом в каждой другой точке s в пространстве, чтобы получить где ρ — плотность заряда. Если мы возьмем дивергенцию обеих сторон этого уравнения относительно r и воспользуемся известной теоремой ^[9] $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$где δ ( r ) — дельта-функция Дирака , результат равен $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }$$

Используя « свойство просеивания » дельта-функции Дирака, приходим к дифференциальной форме закона Гаусса, что и требовалось. $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$$

Поскольку закон Кулона применим только к неподвижным зарядам, нет оснований ожидать, что закон Гаусса будет справедлив для движущихся зарядов, основываясь только на этом выводе. Фактически, закон Гаусса справедлив для движущихся зарядов, и в этом отношении закон Гаусса более общий, чем закон Кулона.

Доказательство (без дельты Дирака)

Пусть — ограниченное открытое множество, а — электрическое поле с непрерывной функцией (плотностью заряда). ${\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|^{3}}}\mathrm {d} \mathbf {r} '\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$

Это правда, несмотря на все это . ${\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

Рассмотрим теперь компактное множество, имеющее кусочно- гладкую границу, такую, что . Отсюда следует, что и, таким образом, для теоремы о расходимости: ${\displaystyle V\subseteq R^{3}}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }$ ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}$$

Но потому что , ${\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0}$$ для аргумента выше ( и затем ) ${\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}$

Поэтому поток через замкнутую поверхность, создаваемый некоторой плотностью заряда снаружи (поверхности), равен нулю.

Теперь рассмотрим , и как сферу с центром в , имеющую радиус (она существует, поскольку является открытым множеством). ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Omega }$

Пусть и будут электрическим полем, созданным внутри и снаружи сферы соответственно. Тогда, ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$, и ${\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}$

$${\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }$$

Последнее равенство следует из того , что и приведенного выше рассуждения. ${\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }$

RHS — это электрический поток, создаваемый заряженной сферой, и поэтому:

$${\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}$$с ${\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}$

Где последнее равенство следует из теоремы о среднем значении для интегралов. Используя теорему о сжатии и непрерывность , приходим к: ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}$$

Вывод закона Кулона из закона Гаусса

Строго говоря, закон Кулона не может быть выведен только из закона Гаусса, поскольку закон Гаусса не дает никакой информации относительно ротора E ( см . разложение Гельмгольца и закон Фарадея ). Однако закон Кулона можно доказать из закона Гаусса, если дополнительно предположить, что электрическое поле от точечного заряда сферически симметрично (это предположение, как и сам закон Кулона, верно в точности, если заряд неподвижен, и приблизительно, если заряд движется).

Схема доказательства

Принимая S в интегральной форме закона Гаусса за сферическую поверхность радиуса r с центром в точечном заряде Q , имеем

$${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

В предположении сферической симметрии подынтегральное выражение является константой, которую можно вынести за пределы интеграла. Результатом является где r̂ — единичный вектор, направленный радиально от заряда. Опять же в силу сферической симметрии E направлен в радиальном направлении, и поэтому мы получаем что по сути эквивалентно закону Кулона. Таким образом, зависимость электрического поля от закона обратных квадратов в законе Кулона следует из закона Гаусса. $${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$$

Смотрите также

• Метод графических зарядов
• Теорема единственности для уравнения Пуассона
• Список примеров закона Стиглера

Примечания

1. Остальные три уравнения Максвелла : закон Гаусса для магнетизма , закон индукции Фарадея и закон Ампера с поправкой Максвелла.
2. бесконечно малая область рассматривается как плоская и имеет площадь d N . Вектор d R нормален к этому элементу площади и имеет величину d A . ^[7]

Цитаты

1. Дюэм, Пьер (1891). «4». Leçons sur l'électricité et le Magnetisme [ Уроки электричества и магнетизма ] (на французском языке). Том. 1. Париж Готье-Виллар. стр. 22–23. OCLC  1048238688. ОЛ  23310906М .Показывает, что Лагранж имеет приоритет над Гауссом. Другие после Гаусса тоже открыли "Закон Гаусса".
2. Лагранж, Жозеф-Луи (1869) [1776]. Серрет, Жозеф-Альфред ; Дарбу, Жан-Гастон (ред.). «Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques» [О притяжении эллиптических сфероидов]. Œuvres de Lagrange: Mémoires extraits des Recueils de l'Académie Royale des Sciences et belles-lettres de Berlin (на французском языке). Готье-Виллар: 619.
3. Гаусс, Карл Фридрих (1877). «Теория притяжения тел сфероидальной эллиптической формы, трактуемая новым методом». В Шеринге , Эрнст Кристиан Юлиус ; Брендель, Мартин (ред.). Карл Фридрих Гаусс Верке [ Труды Карла Фридриха Гаусса ] (на латыни и немецком языке). Том. 5 (2-е изд.). Gedruckt in der Dieterichschen Universitätsdruckerei (WF Kaestner). стр. 2–22.Гаусс упоминает положение XCI из «Начал » Ньютона относительно нахождения силы, действующей со стороны сферы на точку в любой точке вдоль оси, проходящей через сферу.
4. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт (1970). Основы физики . John Wiley & Sons. С. 452–453.
5. Сервэй, Рэймонд А. (1996). Физика для ученых и инженеров с современной физикой (4-е изд.). С. 687.
6. Grant, IS; Phillips, WR (2008). Электромагнетизм . Manchester Physics (2-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
7. Мэтьюз, Пол (1998). Векторные исчисления . Springer. ISBN 3-540-76180-2.
8. Федосин, Сергей Г. (2019). «О ковариантном представлении интегральных уравнений электромагнитного поля». Progress in Electromagnetics Research C. 96 : 109–122. arXiv : 1911.11138 . Bibcode : 2019arXiv191111138F. doi : 10.2528/PIERC19062902. S2CID  208095922.
9. См., например, Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику (4-е изд.). Prentice Hall. стр. 50.или Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 35.

Ссылки

• Гаусс, Карл Фридрих (1867). Верке Банд 5 .Цифровая версия
• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.Дэвид Дж. Гриффитс (6-е изд.)

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с законом Гаусса на Wikimedia Commons
• Серия видеолекций Массачусетского технологического института (30 лекций по 50 минут) — Электричество и магнетизм. Преподаватель — профессор Уолтер Левин .
• раздел о законе Гаусса в онлайн-учебнике Архивировано 2010-05-27 на Wayback Machine
• MISN-0-132 Закон Гаусса для сферической симметрии ( файл PDF ) Питера Сигнела для проекта PHYSNET.
• MISN-0-133 Закон Гаусса, применяемый к цилиндрическим и плоским распределениям зарядов (файл PDF) Питера Сигнела для проекта PHYSNET.