Дивергенция

Векторный оператор в векторном исчислении

Расхождение различных векторных полей. Расхождение векторов из точки ( x , y ) равно сумме частной производной по x x -компоненты и частной производной по y -компоненты, при этом точка: ${\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}}$

В векторном исчислении дивергенция — это векторный оператор , который работает с векторным полем , создавая скалярное поле , дающее количество источника векторного поля в каждой точке. С технической точки зрения, дивергенция представляет собой объемную плотность внешнего потока векторного поля из бесконечно малого объема вокруг данной точки.

В качестве примера рассмотрим воздух, когда он нагревается или охлаждается. Скорость воздуха в каждой точке определяет векторное поле . Пока воздух нагревается в определенной области, он расширяется во всех направлениях, и, таким образом, поле скоростей направлено наружу из этой области. Таким образом, дивергенция поля скорости в этой области будет иметь положительное значение. Пока воздух охлаждается и таким образом сжимается, дивергенция скорости имеет отрицательное значение.

Физическая интерпретация дивергенции

С физической точки зрения дивергенция векторного поля — это степень, в которой поток векторного поля ведет себя как источник в данной точке. Это локальная мера его «исходящего» — степени, в которой больше векторов поля выходит из бесконечно малой области пространства, чем входит в нее. Точка выхода потока имеет положительную дивергенцию и часто называется «источником» поля. Точка, в которой поток направлен внутрь, имеет отрицательную расходимость и часто называется «стоком» поля. Чем больше поток поля через небольшую поверхность, окружающую данную точку, тем больше значение расходимости в этой точке. Точка, в которой поток через окружающую поверхность равен нулю, имеет нулевую расходимость.

Дивергенцию векторного поля часто иллюстрируют на простом примере поля скорости жидкости , жидкости или газа. Движущийся газ имеет скорость , скорость и направление в каждой точке, которые могут быть представлены вектором , поэтому скорость газа образует векторное поле . Если газ нагреть, он расширится. Это вызовет чистое движение частиц газа наружу во всех направлениях. Любая замкнутая поверхность в газе будет окружать газ, который расширяется, поэтому через поверхность будет возникать поток газа наружу. Таким образом, поле скоростей будет везде иметь положительную дивергенцию. Аналогично, если газ охладить, он сожмется. В любом объеме будет больше места для частиц газа, поэтому внешнее давление жидкости вызовет чистый поток объема газа внутрь через любую замкнутую поверхность. Поэтому поле скорости везде имеет отрицательную дивергенцию. Напротив, в газе при постоянной температуре и давлении чистый поток газа из любой замкнутой поверхности равен нулю. Газ может двигаться, но объемная скорость газа, втекающего в любую замкнутую поверхность, должна равняться объемной скорости вытекания, поэтому чистый поток равен нулю. Таким образом, скорость газа всюду имеет нулевую дивергенцию. Поле, всюду имеющее нулевую расходимость, называется соленоидальным .

Если газ нагревается только в одной точке или небольшой области или вводится небольшая трубка, которая подает источник дополнительного газа в одну точку, газ там будет расширяться, выталкивая частицы жидкости вокруг себя наружу во всех направлениях. Это создаст направленное наружу поле скоростей по всему газу с центром в нагретой точке. Любая замкнутая поверхность, охватывающая нагретую точку, будет иметь поток частиц газа, выходящих из нее, поэтому в этой точке существует положительная дивергенция. Однако любая замкнутая поверхность, не охватывающая точку, будет иметь постоянную плотность газа внутри, поэтому столько же частиц жидкости входит в объем, сколько покидает его, поэтому чистый поток из объема равен нулю. Поэтому расхождение в любой другой точке равно нулю.

Определение

Дивергенция в точке x — это предел отношения потока через поверхность S _i (красные стрелки) к объему для любой последовательности замкнутых областей V ₁ , V ₂ , V ₃ , … , охватывающих x , приближающейся к нулевому объему: ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle |V_{i}|}$
${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}}$

Дивергенция векторного поля F ( x ) в точке x ₀ определяется как предел отношения поверхностного интеграла F из замкнутой поверхности объема V , охватывающего x ₀ , к объему V , поскольку V сжимается. до нуля

${\displaystyle \left.\operatorname {div} \mathbf {F} \right|_{\mathbf {x_{0}} }=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S(V)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS}$

где | В | — объем V , S ( V ) — граница V , а — внешняя единица, нормальная к этой поверхности. Можно показать, что приведенный выше предел всегда сходится к одному и тому же значению для любой последовательности объемов, которые содержат x ₀ и приближаются к нулевому объему. Результат, div F , является скалярной функцией x . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Поскольку это определение является бескоординатным, оно показывает, что расходимость одинакова в любой системе координат . Однако на практике для расчета дивергенции его используют нечасто; когда векторное поле задано в системе координат, определения координат, приведенные ниже, использовать намного проще.

Векторное поле с нулевой дивергенцией повсюду называется соленоидальным - в этом случае любая замкнутая поверхность не имеет чистого потока через нее.

Определение в координатах

Декартовы координаты

В трехмерных декартовых координатах дивергенция непрерывно дифференцируемого векторного поля определяется как скалярная -значная функция: ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

Хотя результат и выражен в координатах, он инвариантен относительно вращений , как предполагает физическая интерпретация. Это происходит потому, что след матрицы Якоби N - мерного векторного поля F в N -мерном пространстве инвариантен относительно любого обратимого линейного преобразования ^{[ необходимы пояснения ]} .

Общее обозначение дивергенции ∇ · F — это удобная мнемоника, где точка обозначает операцию, напоминающую скалярное произведение : возьмите компоненты оператора ∇ (см. del ), примените их к соответствующим компонентам F и просуммируйте Результаты. Поскольку применение оператора отличается от умножения компонентов, это считается злоупотреблением обозначениями .

Цилиндрические координаты

Для вектора, выраженного в локальных единицах цилиндрических координат как

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},}$

где e _a — единичный вектор в направлении a , дивергенция равна ^[1]

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$

Использование локальных координат жизненно важно для корректности выражения. Если мы рассмотрим x как вектор положения и функции r ( x ) , θ ( x ) и z ( x ) , которые присваивают вектору соответствующую глобальную цилиндрическую координату, в общем случае , и . В частности, если мы рассмотрим тождественную функцию F ( x ) = x , мы обнаружим, что: ${\displaystyle r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0}$.

Сферические координаты

В сферических координатах , где θ - угол с осью z , φ - вращение вокруг оси z , а F снова записано в локальных единицах координат, расхождение равно ^[2]

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}$

Тензорное поле

Пусть A — непрерывно дифференцируемое тензорное поле второго порядка, определяемое следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}}$

дивергенция в декартовой системе координат представляет собой тензорное поле первого порядка ^[3] и может быть определена двумя способами: ^[4]

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )={\cfrac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}}$

и ^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\cfrac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

У нас есть

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A^{T}} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$

Если тензор симметричен A _ij = A _ji , то . По этой причине в литературе часто два определения (а также символы div и ) используются как взаимозаменяемые (особенно в уравнениях механики, где предполагается тензорная симметрия). ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$

Выражения в цилиндрических и сферических координатах приведены в статье del в цилиндрических и сферических координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$

Общие координаты

Используя обозначения Эйнштейна, мы можем рассмотреть расхождение в общих координатах , которые мы запишем как x ¹ , …, x ⁱ , …, x ⁿ , где n — количество измерений области. Здесь верхний индекс относится к номеру координаты или компонента, поэтому x ² относится ко второму компоненту, а не к величине x в квадрате. Индексная переменная i используется для ссылки на произвольный компонент, например x ⁱ . Тогда дивергенцию можно записать с помощью формулы Восса- Вейля ^[8] как:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left(\rho \,F^{i}\right)}{\partial x^{i}}},}$

где – локальный коэффициент элемента объема , а F ⁱ – компоненты относительно локального ненормированного ковариантного базиса (иногда обозначаемого как ) . Обозначение Эйнштейна подразумевает суммирование по i , поскольку оно появляется как верхний, так и нижний индекс. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$

Коэффициент объема ρ является функцией положения, которая зависит от системы координат. В декартовых, цилиндрических и сферических координатах, используя те же соглашения, что и раньше, мы имеем ρ = 1 , ρ = r и ρ = r ² sin θ соответственно. Объем также можно выразить как , где g _ab – метрический тензор . Определитель появляется потому, что он обеспечивает соответствующее инвариантное определение объема с учетом набора векторов. Поскольку определитель является скалярной величиной, не зависящей от индексов, их можно опустить, написав . Абсолютное значение берется для обработки общего случая, когда определитель может быть отрицательным, например, в псевдоримановых пространствах. Причина квадратного корня немного тонкая: он эффективно позволяет избежать двойного счета при переходе от кривых к декартовым координатам и обратно. Объем (определитель) можно также понимать как якобиан преобразования декартовых координат в криволинейные, что при n = 3 дает . ${\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g_{ab}\right|}}}$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g\right|}}}$ ${\textstyle \rho =\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}\right|}$

Некоторые соглашения требуют, чтобы все локальные базисные элементы были нормализованы до единичной длины, как это было сделано в предыдущих разделах. Если мы напишем для нормализованного базиса и для компонент F по отношению к нему, то получим следующее: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {F}}^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}=F^{i}\|{\mathbf {e} _{i}}\|{\frac {\mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {e} _{i}\|}}=F^{i}{\sqrt {g_{ii}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {F}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},}$

используя одно из свойств метрического тензора. Поставив точку в обеих частях последнего равенства контравариантному элементу , можно заключить, что . После замены формула примет вид: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$ ${\textstyle F^{i}={\hat {F}}^{i}/{\sqrt {g_{ii}}}}$

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\frac {\rho }{\sqrt {g_{ii}}}}{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {\frac {\det g}{g_{ii}}}}\,{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}$

См. § В криволинейных координатах для дальнейшего обсуждения.

Характеристики

Следующие свойства могут быть выведены из обычных правил дифференцирования исчисления . Самое главное, что дивергенция является линейным оператором , т. е.

${\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} }$

для всех векторных полей F и G и всех действительных чисел a и b .

Существует правило произведения следующего типа: если φ — скалярная функция, а F — векторное поле, то

${\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,}$

или в более наводящих на размышления обозначениях

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).}$

Другое правило произведения векторного произведения двух векторных полей F и G в трех измерениях включает в себя ротор и гласит следующее:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,}$

или

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).}$

Лапласиан скалярного поля — это дивергенция градиента поля :

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .}$

Дивергенция ротора любого векторного поля (в трёх измерениях) равна нулю:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

Если на шаре в R3 определено векторное поле F с нулевой дивергенцией, то на шаре существует векторное поле ^{G такое} , что F = rot G. Для областей в R3 ^, топологически более сложных, чем это, последнее утверждение может быть неверным (см. лемму Пуанкаре ). Степень ошибочности истинности утверждения, измеряемая гомологией цепного комплекса .

${\displaystyle \{{\text{scalar fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {grad} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {curl} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {div} }{\rightarrow }}~\{{\text{scalar fields on }}U\}}$

служит хорошей количественной оценкой сложности лежащего в основе региона U . Таковы начала и основные мотивации когомологий де Рама .

Теорема о разложении

Можно показать, что любой стационарный поток v ( r ) ^, дважды непрерывно дифференцируемый в R3 и обращающийся в нуль достаточно быстро при | р | → ∞ можно однозначно разложить на безвихревую часть E ( r ) и часть без источника B ( r ) . Более того, эти части явно определяются соответствующими плотностями источников (см. выше) и плотностью циркуляции (см. статью Curl ):

Для безвихревой части имеется

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),}$

с

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}$

Часть, не содержащая источников, B , может быть записана аналогично: нужно только заменить скалярный потенциал Φ( r ) векторным потенциалом A ( r ) , члены −∇Φ на +∇ × A , а плотность источника div v плотностью циркуляции ∇ × v .

Эта «теорема о разложении» является побочным продуктом стационарного случая электродинамики . Это частный случай более общего разложения Гельмгольца , которое работает и в размерностях больше трех.

В произвольных конечных размерах

Дивергенция векторного поля может быть определена в любом конечном числе измерений. Если ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots F_{n}),}$

в евклидовой системе координат с координатами x ₁ , x ₂ , ..., x _n , определим

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.}$

В одномерном случае F сводится к регулярной функции, а дивергенция – к производной.

Для любого n дивергенция является линейным оператором и удовлетворяет «правилу произведения».

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} )}$

для любой скалярной функции φ .

Связь с внешней производной

Дивергенцию можно выразить как частный случай внешней производной , которая переводит 2-форму в 3-форму в R ³ . Определите текущую двухформу как

${\displaystyle j=F_{1}\,dy\wedge dz+F_{2}\,dz\wedge dx+F_{3}\,dx\wedge dy.}$

Он измеряет количество «вещества», протекающего через поверхность в единицу времени в «вещественной жидкости» плотности ρ = 1 dx ∧ dy ∧ dz , движущейся с локальной скоростью F . Тогда его внешняя производная dj будет равна

${\displaystyle dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot {\mathbf {F} })\rho }$

где находится клиновое произведение . ${\displaystyle \wedge }$

Таким образом, дивергенцию векторного поля F можно выразить как:

${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {F} }={\star }d{\star }{\big (}{\mathbf {F} }^{\flat }{\big )}.}$

Здесь верхний индекс ♭ — один из двух музыкальных изоморфизмов , а ⋆ — оператор звезды Ходжа . Когда дивергенция записана таким образом, оператор называется кодифференциалом . Работать с текущей двухформой и внешней производной обычно проще, чем работать с векторным полем и дивергенцией, поскольку в отличие от дивергенции внешняя производная коммутирует с изменением (криволинейной) системы координат. ${\displaystyle {\star }d{\star }}$

В криволинейных координатах

Соответствующее выражение более сложное в криволинейных координатах . Дивергенция векторного поля естественным образом распространяется на любое дифференцируемое многообразие размерности n , имеющее форму объема (или плотность ) µ , например риманово или лоренцево многообразие . Обобщая конструкцию двухформ для векторного поля на R ³ , на таком многообразии векторное поле X определяет ( n − 1) -форму j = i _X  µ , полученную стягиванием X с µ . Тогда дивергенция представляет собой функцию, определяемую формулой

${\displaystyle dj=(\operatorname {div} X)\mu .}$

Дивергенцию можно определить через производную Ли как

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu =(\operatorname {div} X)\mu .}$

Это означает, что дивергенция измеряет скорость расширения единицы объема ( элемента объема ) при ее движении вместе с векторным полем.

На псевдоримановом многообразии дивергенция по объему может быть выражена через связность Леви-Чивита ∇ :

${\displaystyle \operatorname {div} X=\nabla \cdot X={X^{a}}_{;a},}$

где второе выражение представляет собой сжатие векторного поля со значением 1-формы ∇ X с самим собой, а последнее выражение представляет собой традиционное координатное выражение из исчисления Риччи .

Эквивалентное выражение без использования соединения:

${\displaystyle \operatorname {div} (X)={\frac {1}{\sqrt {\left|\det g\right|}}}\,\partial _{a}\left({\sqrt {\left|\det g\right|}}\,X^{a}\right),}$

где g — метрика и обозначает частную производную по координате x ^a . Квадратный корень из (абсолютного значения определителя ) метрики появляется потому, что расхождение должно быть записано с правильным представлением об объеме . В криволинейных координатах базисные векторы больше не являются ортонормированными; в этом случае определитель кодирует правильное представление об объеме. Оно появляется дважды, здесь, один раз, чтобы можно было преобразовать в «плоское пространство» (где координаты на самом деле ортонормированы), и еще раз, чтобы оно также превратилось в «плоское пространство», чтобы, наконец, возникла «обычная» дивергенция. можно записать с помощью «обычного» понятия объёма на плоском пространстве ( т.е. единицы объёма, т.е. одного, т.е. не записанного). Квадратный корень появляется в знаменателе, потому что производная преобразуется противоположным образом ( контравариантно ) вектору (который является ковариантным ). Эта идея перехода к «плоской системе координат», в которой локальные вычисления могут выполняться обычным способом, называется vielbein . Другой способ увидеть это — заметить, что дивергенция — это замаскированный кодифференциал . То есть расходимость соответствует выражению с дифференциалом и звездой Ходжа . Звезда Ходжа по своей конструкции заставляет объемную форму появляться во всех нужных местах. ${\displaystyle \partial _{a}}$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$ ${\displaystyle \star d\star }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \star }$

Расходимость тензоров

Дивергенцию также можно обобщить на тензоры . В обозначениях Эйнштейна дивергенция контравариантного вектора F ^μ определяется выражением

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu },}$

где ∇ _µ обозначает ковариантную производную . В этой общей ситуации правильная формулировка дивергенции состоит в том, чтобы признать, что она является кодифференциалом ; оттуда следуют соответствующие свойства.

Эквивалентно, некоторые авторы определяют дивергенцию смешанного тензора , используя музыкальный изоморфизм ♯ : если T является ( p , q ) -тензором ( p для контравариантного вектора и q для ковариантного), то мы определяем дивергенцию T быть ( p , q − 1) -тензором

${\displaystyle (\operatorname {div} T)(Y_{1},\ldots ,Y_{q-1})={\operatorname {trace} }{\Big (}X\mapsto \sharp (\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\ldots ,Y_{q-1}){\Big )};}$

то есть мы берем след по первым двум ковариантным индексам ковариантной производной. ^[a] Символ относится к музыкальному изоморфизму . ${\displaystyle \sharp }$

Смотрите также

• Завиток
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Теорема о дивергенции
• Градиент

Примечания

1. Выбор «первого» ковариантного индекса тензора является внутренним и зависит от порядка членов декартова произведения векторных пространств, на которых тензор задан как полилинейное отображение V × V × ... × V → R . Но столь же четко определенный выбор расхождений можно сделать и с использованием других индексов. Следовательно, более естественно указать расхождение T по заданному индексу. Однако есть два важных особых случая , когда этот выбор по существу не имеет значения: с полностью симметричным контравариантным тензором, когда каждый выбор эквивалентен, и с полностью антисимметричным контравариантным тензором (также известным как k -вектор), когда выбор влияет только на знак.

Цитаты

1. Цилиндрические координаты в Wolfram Mathworld
2. Сферические координаты в Wolfram Mathworld
3. Гуртин 1981, с. 30.
4. «1.14 Тензорное исчисление I: Тензорные поля» (PDF) . Основы механики сплошных сред . Архивировано (PDF) из оригинала 8 января 2013 г.
5. Уильям М. Дин (2016). Введение в химическую механику жидкости. Издательство Кембриджского университета. п. 133. ИСБН 978-1-107-12377-9.
6. Тасос К. Папанастасиу; Георгиос К. Георгиу; Андреас Н. Александру (2000). Поток вязкой жидкости (PDF) . ЦРК Пресс. п. 66,68. ISBN 0-8493-1606-5. Архивировано (PDF) из оригинала 20 февраля 2020 г.
7. Адам Пауэлл (12 апреля 2010 г.). «Уравнения Навье-Стокса» (PDF) .
8. Гринфельд, Павел. «Формула Восса-Вейля (ссылка на YouTube)». YouTube . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. Проверено 9 января 2018 г.

Рекомендации

• Брюэр, Джесс Х. (1999). «ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ». musr.phas.ubc.ca. _ Архивировано из оригинала 23 ноября 2007 г. Проверено 9 августа 2016 г.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-054235-Х.
• Эдвардс, Швейцария (1994). Расширенное исчисление нескольких переменных . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-68336-2.
• Гуртин, Мортон (1981). Введение в механику сплошных сред . Академическая пресса. ISBN 0-12-309750-9.
• Корн, Тереза ​​М .; Корн, Гранино Артур (январь 2000 г.). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.

Внешние ссылки

• «Дивергенция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Идея дивергенции векторного поля
• Академия Хана: видеоурок «Дивергенция»
• Сандерсон, Грант (21 июня 2018 г.). «Дивергенция и завиток: язык уравнений Максвелла, течения жидкости и многого другого». 3Синий1Коричневый . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. – на YouTube .