Музыкальный изоморфизм

В математике , точнее, в дифференциальной геометрии , музыкальный изоморфизм (или канонический изоморфизм ) — это изоморфизм между касательным расслоением и кокасательным расслоением псевдориманова многообразия, индуцированным его метрическим тензором . Подобные изоморфизмы имеются и на симплектических многообразиях . Термин «музыкальный» относится к использованию символов (бемоль) и (диез). ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ ${\displaystyle \flat }$ ${\displaystyle \sharp }$

В обозначениях исчисления Риччи он также известен как повышение и понижение индексов .

Мотивация

В линейной алгебре конечномерное векторное пространство изоморфно двойственному ему пространству , но не канонически изоморфно ему. С другой стороны, конечномерное векторное пространство , наделенное невырожденной билинейной формой , канонически изоморфно своему двойственному, причем изоморфизм задается формулой: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}V&\rightarrow &V^{*}\\v&\mapsto &\langle v,\cdot \rangle \end{array}}}$$

Пример: где – евклидово пространство, а – его внутренний продукт . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Музыкальные изоморфизмы — это глобальная версия этого изоморфизма и его обратного для касательного расслоения и кокасательного расслоения (псевдо)риманова многообразия . Это изоморфизмы векторных расслоений , которые в любой точке представляют собой вышеуказанный изоморфизм, примененный к (псевдо)евклидову пространству (касательному пространству к M в точке p ), наделенному скалярным произведением . В более общем смысле, музыкальные изоморфизмы всегда существуют между векторным расслоением, наделенным метрикой расслоения , и двойственным ему расслоением. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}M}$ ${\displaystyle g_{p}}$

Поскольку каждое паракомпактное многообразие может быть наделено римановой метрикой, музыкальные изоморфизмы показывают, что векторное расслоение на паракомпактном многообразии всегда изоморфно своему двойственному многообразию (но не канонически, если с многообразием не связана (псевдо)риманова метрика).

Обсуждение

Пусть ( M , g ) — псевдориманово многообразие . Предположим, { e _i } — движущийся касательный репер (см. также гладкий репер ) для касательного расслоения TM с , в качестве двойственного репера (см. также двойственный базис ), движущийся кофрейм ( движущийся касательный репер для кокасательного расслоения ; см. также кофрейм ) { е ^я } . Тогда локально мы можем выразить псевдориманову метрику (которая представляет собой 2- ковариантное тензорное поле , симметричное и невырожденное ) как g = g _ij e ⁱ ⊗ e ^j (где мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании ). ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$

Учитывая векторное поле X = X ⁱ e _i и обозначая g _ij X ⁱ = X _j , мы определяем его плоскость следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\flat :\mathrm {T} M&\longrightarrow \mathrm {T} ^{*}M\\X&\longmapsto g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}\\&\longmapsto X_{j}\mathbf {e} ^{j}\end{aligned}}}$$

Это называется понижением индекса . Используя обозначение угловых скобок для билинейной формы , определяемой g , мы получаем несколько более прозрачное соотношение

$${\displaystyle X^{\flat }(Y)=\langle X,Y\rangle }$$

XY

Таким же образом, учитывая ковекторное поле ω = ω _i e ⁱ и обозначая g ^ij ω _i = ω ^j , мы определяем его остроту следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sharp :\mathrm {T} ^{*}M&\longrightarrow \mathrm {T} M\\\omega &\longmapsto g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}\\&\longmapsto \omega ^{j}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$$

где g ^ij — компоненты обратного метрического тензора (задаваемые элементами обратной матрицы к g _ij ). Повышение остроты ковекторного поля называется повышением индекса . В обозначениях угловых скобок это звучит так:

$${\displaystyle {\bigl \langle }\omega ^{\sharp },Y{\bigr \rangle }=\omega (Y),}$$

ωY

Благодаря этой конструкции мы имеем два взаимно обратных изоморфизма

$${\displaystyle \flat :{\rm {T}}M\to {\rm {T}}^{*}M,\qquad \sharp :{\rm {T}}^{*}M\to {\rm {T}}M.}$$

Это изоморфизмы векторных расслоений , и, следовательно, мы имеем для каждого p в M взаимно обратные изоморфизмы векторного пространства между T _p M и T^∗
_пМ. _

Расширение для тензорных произведений

Музыкальные изоморфизмы можно распространить и на расслоения

$${\displaystyle \bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.}$$

Необходимо указать, какой индекс необходимо повысить или понизить. Например, рассмотрим (0, 2) -тензорное поле X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j . Поднимая второй индекс, получаем (1, 1) -тензорное поле

$${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$$

Расширение до k -векторов и k -форм

В контексте внешней алгебры расширение музыкальных операторов может быть определено на ⋀ V и его двойственном ⋀^∗
V , которые с небольшим злоупотреблением обозначениями могут обозначаться одинаково и снова являются взаимно обратными: ^[3]

$${\displaystyle \flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,}$$

$${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$$

В этом расширении, в котором ♭ отображает p -векторы в p -ковекторы и ♯ отображает p -ковекторы в p -векторы, все индексы полностью антисимметричного тензора одновременно повышаются или понижаются, поэтому индекс указывать не нужно:

$${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.}$$

След тензора через метрический тензор

Учитывая тензорное поле типа (0, 2) X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j , мы определяем след X через метрический тензор g формулой

$${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ij}X_{ij}.}$$

Обратите внимание, что определение следа не зависит от выбора индекса, который нужно повысить, поскольку метрический тензор симметричен.

Смотрите также

• Двойственность (математика)
• Повышение и понижение индексов
• Двойное пространство § Билинейные произведения и двойственные пространства
• Звездный оператор Ходжа
• Векторный пакет
• Бетоль (музыка) и Диез (музыка) о знаках ♭ и ♯

Цитаты

1. Ли 2003, Глава 11.
2. Ли 1997, Глава 3.
3. Ваз и да Роча 2016, стр. 48, 50.

Рекомендации

• Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 218. ИСБН 0-387-95448-1.
• Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия – введение в кривизну . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 176. Шпрингер Верлаг. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Ваз, Джейме; да Роша, Ролдан (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-878-292-6.