В математике , особенно в дифференциальной геометрии , кокасательное расслоение гладкого многообразия — это векторное расслоение всех кокасательных пространств в каждой точке многообразия. Его можно также описать как расслоение, двойственное к касательному расслоению . Это можно обобщить на категории с большей структурой, чем гладкие многообразия, такие как комплексные многообразия или (в форме кокасательного пучка) алгебраические многообразия или схемы . В гладком случае любая риманова метрика или симплектическая форма дают изоморфизм между кокасательным и касательным расслоениями, но они, вообще говоря, не изоморфны в других категориях.
Существует несколько эквивалентных способов определения кокасательного расслоения. Один из способов — через диагональное отображение ∆ и ростки .
Пусть M — гладкое многообразие и M × M — декартово произведение M само на себя. Диагональное отображение Δ переводит точку p из M в точку ( p , p ) из M × M. Образ Δ называется диагональю. Пусть – пучок ростков гладких функций на M × M , обращающихся в нуль на диагонали. Тогда факторпучок состоит из классов эквивалентности функций, обращающихся в нуль на диагонали по модулю членов более высокого порядка. Котангенсный пучок определяется как возврат этого пучка к M :
По теореме Тейлора это локально свободный пучок модулей относительно пучка ростков гладких функций из M. Таким образом, он определяет векторное расслоение на M : кокасательное расслоение .
Гладкие сечения кокасательного расслоения называются (дифференциальными) одноформами .
Гладкий морфизм многообразий индуцирует пучок обратного образа на M . Существует индуцированное отображение векторных расслоений .
Касательное расслоение векторного пространства — , а кокасательное — , где обозначает двойственное пространство ковекторов, линейных функций .
Учитывая гладкое многообразие, вложенное в виде гиперповерхности , представленное исчезающим местом функции, с условием, что касательное расслоение
где - производная по направлению . По определению коткасательное расслоение в этом случае есть
где Поскольку каждому ковектору соответствует единственный вектор, для которого для произвольного
Поскольку кокасательное расслоение X = T * M является векторным расслоением , его можно рассматривать как самостоятельное многообразие. Поскольку в каждой точке касательные направления M могут быть спарены с их двойственными ковекторами в слое, X обладает канонической одной формой θ, называемой тавтологической одной формой , обсуждаемой ниже. Внешняя производная θ представляет собой симплектическую 2-форму , из которой для X можно построить невырожденную форму объёма . Например, в результате X всегда является ориентируемым многообразием (касательное расслоение TX является ориентируемым векторным расслоением). На кокасательном расслоении можно определить специальный набор координат ; они называются каноническими координатами . Поскольку кокасательные расслоения можно рассматривать как симплектические многообразия , любую действительную функцию на кокасательном расслоении можно интерпретировать как гамильтониан ; таким образом, кокасательное расслоение можно понимать как фазовое пространство , в котором действует гамильтонова механика .
Кокасательное расслоение несет каноническую одну форму θ, также известную как симплектический потенциал , 1 -форма Пуанкаре или 1 -форма Лиувилля . Это означает, что если мы рассматриваем T * M как самостоятельное многообразие, то существует каноническое сечение векторного расслоения T *( T * M ) над T * M .
Этот раздел можно построить несколькими способами. Самый элементарный метод использует локальные координаты. Предположим, что x i — локальные координаты на базовом многообразии M. В терминах этих базовых координат существуют координаты слоя p i : одна форма в конкретной точке T * M имеет форму pi dx i ( подразумевается соглашение Эйнштейна о суммировании ). Таким образом , само многообразие T * M несет локальные координаты ( xi , pi ) , где x — это координаты в основании, а p — это координаты в слое. Каноническая форма задается в этих координатах выражением
По сути, значение канонической одной формы в каждой фиксированной точке T*M задается как обратный ход . В частности, предположим, что π : T*M → M — проекция расслоения. Взять точку в Tx * M — это то же самое, что выбрать точку x в M и одноформу ω в x , а тавтологическая одноформа θ присваивает точке ( x , ω) значение
То есть для вектора v в касательном расслоении кокасательного расслоения применение тавтологической одной формы θ к v в точке ( x , ω) вычисляется путем проецирования v в касательное расслоение в точке x с использованием d π : T ( T * M ) → TM и применения ω к этой проекции. Заметим, что тавтологическая одноформа не является возвратом одноформы на базе M .
На кокасательном расслоении имеется каноническая симплектическая 2-форма как внешняя производная тавтологической одноформы , симплектического потенциала . Доказать, что эта форма действительно является симплектической, можно, заметив, что симплектическая форма является локальным свойством: поскольку кокасательное расслоение локально тривиально, это определение нужно проверить только на . Но там одна определенная форма — это сумма , а дифференциал — это каноническая симплектическая форма, сумма .
Если многообразие представляет собой набор возможных положений в динамической системе , то кокасательное расслоение можно рассматривать как набор возможных положений и импульсов . Например, так можно описать фазовое пространство маятника. Состояние маятника определяется его положением (углом) и его импульсом (или, что то же самое, его скоростью, поскольку его масса постоянна). Все пространство состояний выглядит как цилиндр, который является коткасательным расслоением окружности. Приведенная выше симплектическая конструкция вместе с соответствующей энергетической функцией дает полное определение физики системы. См. гамильтонову механику и статью о геодезическом потоке для получения явной конструкции гамильтоновых уравнений движения.
