Тавтологическая одна форма

В математике тавтологическая 1-форма — это специальная 1-форма, определённая на кокасательном расслоении многообразия . В физике она используется для создания соответствия между скоростью точки в механической системе и её импульсом, тем самым обеспечивая мост между лагранжевой механикой и гамильтоновой механикой (на многообразии ). ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle Q}$

Внешняя производная этой формы определяет симплектическую форму, задающую структуру симплектического многообразия . Тавтологическая однократная форма играет важную роль в установлении связи между формализмом гамильтоновой механики и лагранжевой механики . Тавтологическая однократная форма иногда также называется однократной формой Лиувилля , однократной формой Пуанкаре , канонической однократной формой или симплектическим потенциалом . Подобным объектом является каноническое векторное поле на касательном расслоении . ${\displaystyle T^{*}Q}$

Определение в координатах

Чтобы определить тавтологическую однократную форму, выберите координатную карту на и каноническую систему координат на Выберите произвольную точку По определению кокасательного расслоения, где и Тавтологическая однократная форма задается соотношением с и являющимся координатным представлением ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle m\in T^{*}Q.}$ ${\displaystyle m=(q,p),}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle p\in T_{q}^{*}Q.}$ ${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq^{i},}$$ ${\displaystyle n=\mathop {\text{dim}} Q}$ ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p.}$

Любые координаты , сохраняющие это определение с точностью до полного дифференциала ( точной формы ), можно назвать каноническими координатами; преобразования между различными каноническими системами координат известны как канонические преобразования . ${\displaystyle T^{*}Q}$

Каноническая симплектическая форма , также известная как двумерная форма Пуанкаре , задается формулой $${\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}}$$

Расширение этой концепции на общие расслоения волокон известно как форма припоя . По соглашению, фраза «каноническая форма» используется всякий раз, когда форма имеет уникальное каноническое определение, и термин «форма припоя» используется всякий раз, когда необходимо сделать произвольный выбор. В алгебраической геометрии и комплексной геометрии термин «канонический» не приветствуется из-за путаницы с каноническим классом , и предпочтительнее термин «тавтологический», как в тавтологическом расслоении .

Определение без координат

Тавтологическую 1-форму можно также определить довольно абстрактно как форму на фазовом пространстве . Пусть будет многообразием и будет кокасательным расслоением или фазовым пространством . Пусть будет канонической проекцией расслоения волокон, и пусть будет индуцированным касательным отображением . Пусть будет точкой на Поскольку является кокасательным расслоением, мы можем понимать, что это отображение касательного пространства в : ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M=T^{*}Q}$ $${\displaystyle \pi :M\to Q}$$ $${\displaystyle \mathrm {d} \pi :TM\to TQ}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q=\pi (m)}$ $${\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .}$$

То есть, мы имеем, что находится в слое Тавтологическая форма в точке тогда определяется как ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \theta _{m}=m\circ \mathrm {d} _{m}\pi .}$$

Это линейная карта и поэтому $${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle \theta :M\to T^{*}M.}$$

Симплектический потенциал

Симплектический потенциал обычно определяется немного более свободно и также определяется только локально: это любая одномерная форма , такая что ; по сути, симплектические потенциалы отличаются от канонической одномерной формы замкнутой формой . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega =-d\phi }$

Характеристики

Тавтологическая одна-форма — это единственная одна-форма, которая «отменяет» обратный откат . То есть, пусть будет 1-формой на — это раздел Для произвольной 1-формы на обратном откате по есть , по определению, Здесь — прямой откат Как и есть 1-форма на Тавтологическая одна-форма — это единственная форма со свойством, что для каждой 1-формы на ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T^{*}Q,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma :=\sigma \circ \beta _{*}.}$ ${\displaystyle \beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q}$ ${\displaystyle \beta .}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Q.}$

Итак, коммутируя между обратным ходом и внешней производной, $${\displaystyle \beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}\,d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .}$$

Действие

Если — гамильтониан на кокасательном расслоении и — его гамильтоново векторное поле , то соответствующее действие задается выражением ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S=\theta (X_{H}).}$$

В более прозаических терминах гамильтонов поток представляет собой классическую траекторию механической системы, подчиняющейся уравнениям движения Гамильтона-Якоби . Гамильтонов поток является интегралом гамильтонова векторного поля, и поэтому можно записать, используя традиционные обозначения для переменных действие-угол : с интегралом, понимаемым как взятый по многообразию, определяемому сохранением постоянной энергии: $${\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H=E={\text{const}}.}$

О римановых и псевдоримановых многообразиях

Если многообразие имеет риманову или псевдориманову метрику , то соответствующие определения могут быть сделаны в терминах обобщенных координат . В частности, если мы принимаем метрику за отображение, то определяем и ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q,}$$ $${\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }$$ $${\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }$$

В обобщенных координатах на одном есть и ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ${\displaystyle TQ,}$ $${\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}$$ $${\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}}$$

Метрика позволяет определить сферу единичного радиуса в Каноническая единичная форма, ограниченная этой сферой, образует контактную структуру ; контактная структура может быть использована для генерации геодезического потока для этой метрики. ${\displaystyle T^{*}Q.}$

Ссылки

• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Benjamin-Cummings, Лондон ISBN  0-8053-0102-X См. раздел 3.2 .