Канонический пакет

В математике каноническим расслоением неособого алгебраического многообразия размерности над полем является линейное расслоение , которое является n- й внешней степенью кокасательного расслоения на . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \,\!\Omega ^{n}=\omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$

Над комплексными числами это детерминантное расслоение голоморфного кокасательного расслоения . Эквивалентно, это линейное расслоение голоморфных n -форм на . Это дуализирующий объект для двойственности Серра на . Его с таким же успехом можно рассматривать как обратимый пучок . ${\displaystyle T^{*}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Канонический класс — это класс дивизора дивизора Картье при возникновении канонического расслоения — это класс эквивалентности для линейной эквивалентности на , и любой дивизор в нем можно назвать каноническим дивизором . Антиканоническим дивизором является любой дивизор − с каноническим. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Антиканоническое расслоение — это соответствующее обратное расслоение . Когда антиканоническое расслоение обильно , оно называется многообразием Фано . ${\displaystyle \omega ^{-1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Формула присоединения

Предположим, что X — гладкое многообразие и D — гладкий дивизор на X. Формула присоединения связывает канонические расслоения X и D . Это естественный изоморфизм

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

С точки зрения канонических классов это

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

Эта формула является одной из самых мощных формул алгебраической геометрии. Важным инструментом современной бирациональной геометрии является обращение присоединения , которое позволяет вывести результаты об особенностях X из особенностей D.

Особый случай

В единственном многообразии существует несколько способов определения канонического делителя. Если многообразие нормальное, то оно гладкое в коразмерности один. В частности, мы можем определить канонический дивизор на гладком графе. Это дает нам уникальный класс делителей Вейля на . Именно этот класс, обозначаемый , называется каноническим дивизором на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X.}$

Альтернативно, опять же на нормальном многообразии , можно рассматривать '-ю когомологию нормализованного дуализирующего комплекса . Этот пучок соответствует классу дивизоров Вейля , который равен определенному выше классу дивизоров. В отсутствие гипотезы нормальности тот же результат справедлив, если S2 и Горенштейн в размерности один. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h^{-d}(\omega _{X}^{.})}$ ${\displaystyle -d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Канонические карты

Если канонический класс эффективен , то он определяет рациональное отображение V в проективное пространство . Эта карта называется канонической картой . Рациональное отображение, определяемое n- м кратным канонического класса, является n -каноническим отображением . n - каноническое отображение отправляет V в проективное пространство размерности на единицу меньше, чем размерность глобальных сечений n -го кратного канонического класса. n -канонические карты могут иметь базовые точки, т. е. они не определены везде (т. е. не могут быть морфизмом многообразий). Они могут иметь слои положительной размерности, и даже если они имеют нульмерные слои, они не обязательно должны быть локальными аналитическими изоморфизмами.

Канонические кривые

Лучше всего изучен случай кривых. Здесь каноническое расслоение совпадает с (голоморфным) кокасательным расслоением . Таким образом, глобальное сечение канонического расслоения совпадает с всюду регулярной дифференциальной формой. Классически их называли дифференциалами первого рода . Степень канонического класса равна 2 g − 2 для кривой рода g . ^[1]

Низкий род

Предположим, что C — гладкая алгебраическая кривая рода g . Если g равно нулю, то C — это P ¹ , а канонический класс — это класс −2 P , где P — любая точка C . Это следует из формулы исчисления d (1/ t ) = − dt / t2 , например, мероморфного дифференциала с двойным полюсом в начале координат на ^сфере Римана . В частности, K _C и его кратные неэффективны. Если g равен единице, то C — эллиптическая кривая , а K _C — тривиальное расслоение. Глобальные сечения тривиального расслоения образуют одномерное векторное пространство, поэтому n -каноническое отображение для любого n является отображением в точку.

Гиперэллиптический случай

Если C имеет род два или более, то канонический класс большой , поэтому образ любой n -канонической карты является кривой. Образ 1-канонического отображения называется канонической кривой . Каноническая кривая рода g всегда находится в проективном пространстве размерности g − 1 . ^[2] Когда C — гиперэллиптическая кривая , каноническая кривая — это рациональная нормальная кривая , а C — двойное покрытие ее канонической кривой. Например, если P — многочлен степени 6 (без повторяющихся корней), то

у ² знак равно п ( Икс )

является аффинным представлением кривой рода 2, обязательно гиперэллиптической, а базис дифференциалов первого рода задается в тех же обозначениях

dx / √ п ( Икс ) ,   Икс dx / √ п ( Икс ) .

Это означает, что каноническое отображение задается однородными координатами [1: x ] как морфизм проективной прямой. Рациональная нормальная кривая для гиперэллиптических кривых высшего рода возникает таким же образом, как и для мономов высшей степени по x .

Общий случай

В противном случае для негиперэллиптического C , что означает , что g не меньше 3, морфизм является изоморфизмом C с его образом, который имеет степень 2 g - 2. Таким образом, для g = 3 канонические кривые (негиперэллиптический случай) являются четвертой степенью. плоские кривые . Таким образом возникают все неособые плоские квартики. Имеются явные сведения для случая g = 4, когда каноническая кривая является пересечением квадрики и кубической поверхности ; и для g = 5, когда оно является пересечением трех квадрик. ^[2] Существует обратное утверждение, которое является следствием теоремы Римана–Роха : неособая кривая C рода g , вложенная в проективное пространство размерности g − 1 как линейно нормальная кривая степени 2 g − 2, является каноническая кривая при условии, что ее линейный охват — все пространство. На самом деле связь между каноническими кривыми C (в негиперэллиптическом случае g не ниже 3), Римана-Роха и теорией специальных дивизоров довольно тесная. Эффективные дивизоры D на C , состоящие из различных точек, имеют линейную оболочку в каноническом вложении с размерностью, непосредственно связанной с размерностью линейной системы, в которой они движутся; и после некоторых дополнительных обсуждений это применимо и к случаю точек с кратностями. ^{[3] [4]}

Более подробная информация доступна для больших значений g , но в этих случаях канонические кривые обычно не являются полными пересечениями , и описание требует большего внимания к коммутативной алгебре . Эта область началась с теоремы Макса Нётера : размерность пространства квадрик, проходящих через C , вложенных в каноническую кривую, равна ( g - 2)( g - 3)/2. ^[5] Теорема Петри , часто цитируемая под этим названием и опубликованная в 1923 году Карлом Петри (1881–1955), утверждает, что при g не менее 4 однородный идеал, определяющий каноническую кривую, порождается ее элементами степени 2, за исключением случаи (а) тригональных кривых и (б) неособых плоских квинтик при g = 6. В исключительных случаях идеал порождается элементами степеней 2 и 3. Исторически этот результат был широко известен до Петри: и была названа теоремой Бэббиджа-Кизини-Энрикеса (в честь Денниса Бэббиджа, завершившего доказательство, Оскара Кизини и Федериго Энрикеса ). Терминология запутана, поскольку результат еще называют теоремой Нётер–Энриквеса . За пределами гиперэллиптических случаев Нётер доказала, что (в современном языке) каноническое расслоение нормально порождается : симметричные степени пространства сечений канонического расслоения отображаются на сечения его тензорных степеней. ^{[6] [7]} Это подразумевает, например, порождение квадратичных дифференциалов на таких кривых дифференциалами первого рода; и это имеет последствия для локальной теоремы Торелли. ^[8] Работа Петри фактически предоставила явные квадратичные и кубические генераторы идеала, показав, что, за исключением исключений, кубики могут быть выражены через квадратичные дроби. В исключительных случаях пересечение квадрик через каноническую кривую представляет собой соответственно линейчатую поверхность и поверхность Веронезе .

Эти классические результаты были доказаны для комплексных чисел, но современные дискуссии показывают, что эти методы работают с полями любой характеристики. ^[9]

Канонические кольца

Каноническое кольцо V — это градуированное кольцо .

${\displaystyle R=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,K_{V}^{d}).}$

Если канонический класс V — обильное линейное расслоение , то каноническое кольцо — это однородное координатное кольцо образа канонического отображения. Это может быть верно, даже если канонический класс V недостаточен. Например, если V — гиперэллиптическая кривая, то каноническое кольцо снова является однородным координатным кольцом образа канонического отображения. В общем, если указанное выше кольцо конечно порождено, то элементарно видно, что оно является однородным координатным кольцом образа k -канонического отображения, где k — любое достаточно делимое положительное целое число.

Программа минимальной модели предполагала, что каноническое кольцо каждого гладкого или слабо сингулярного проективного многообразия конечно порождено. В частности, было известно, что это подразумевает существование канонической модели , особой бирациональной модели V с мягкими особенностями, которую можно было построить путем раздутия V . Когда каноническое кольцо конечно порождено, канонической моделью является Proj канонического кольца. Если каноническое кольцо не является конечно порожденным, то Proj R не является многообразием и, следовательно, не может быть бирациональным V ; в частности, V не допускает канонической модели.

Фундаментальная теорема Биркара–Каскини–Хакона–Маккернана 2006 г. ^[10] состоит в том, что каноническое кольцо гладкого или слабо сингулярного проективного алгебраического многообразия конечно порождено.

Размерность Кодайры V — это размерность канонического кольца минус один . Здесь под размерностью канонического кольца можно понимать размерность Крулля или степень трансцендентности .

Смотрите также

• Бирациональная геометрия
• Дифференциальная форма

Примечания

1. «канонический класс», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
2. Паршин, А.Н. (2001) [1994], «Каноническая кривая», Энциклопедия математики , EMS Press
3. "Геометрическая форма Римана-Роха | Строгие тривиальности" . 7 августа 2008 г.
4. Рик Миранда, Алгебраические кривые и римановы поверхности (1995), гл. VII.
5. Дэвид Эйзенбуд , Геометрия сизигий (2005), стр. 181-2.
6. Исковских, В.А. (2001) [1994], «Теорема Нётер – Энриквеса», Энциклопедия математики , EMS Press
7. Игорь Ростиславович Шафаревич , Алгебраическая геометрия I (1994), с. 192.
8. «Теоремы Торелли», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
9. http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/42/57/PDF/these-OD.pdf, стр. 11–13.
10. «09w5033: Комплексный анализ и сложная геометрия | Международная исследовательская станция Банф» .